直角三角形（一）-2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)分類匯編

專題01直角三角形（1）

題型概覽題型01直角三角形兩銳角互余

題型02含有30。的直角三角形

題型03斜邊的中線等于斜邊的一半

題型04勾股定理求線段問題

題型05勾股定理解決面積問題

題型06勾股定理的證明與計算

題型07直角三角形的判定

題型08利用勾股定理逆定理計算求解

題型09勾股數(shù)的判斷

題型10勾股定理的實際應(yīng)用

01

（2024春?婁底期中）

1.在一個直角三角形中，有一個銳角等于35。，則另一個銳角的度數(shù)是（）

A.145°B.125°C.65°D.55°

（2024春.新晃縣期中）

2.在△N8C中，ZC=90°,NB=2NA,則//=（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

（2024春?通道縣期中）

3.在RtZk/BC中，ZC=90°,4B的垂直平分線交2c于。，連接

ACAD:ZDAB=2:5,Z4DC的度數(shù)為（）

試卷第1頁，共16頁

A.55°B.65°C.75°D.85°

（2024春?澧縣期中）

4.直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角的度數(shù)為（）

A.100度B.120度C.135度D.140度

（2024春?洪江市校級期中）

5.AD、為△48C的高，AD、相交于X點(diǎn)，ZC=50°,求NBHD.

做型，含有30。的直角三角形

（2024春?洪江市校級期中）

6.在Rt&LBC中，Z.C=90。，乙8=30。，斜邊48的長為2cm,則NC的長為（）

A.4cmB.2cmC.1cmD.ycm

（2024春?云溪區(qū)期中）

7.在RM48c中，ZC=90°,ZB=30°,AB=8cm,則4c的長度是（）

A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm

（2024春?汝城縣期中）

8.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30。角，這

棵樹在折斷前的高度為（）.

A.6米；B.9米；C.12米；D.15米.

（2024春?淑浦縣校級期中）

9.如圖，在乙408=60。的兩邊上有兩點(diǎn)P和。在運(yùn)動，且點(diǎn)P從離點(diǎn)。有1厘米遠(yuǎn)的地方

試卷第2頁，共16頁

出發(fā)，以1厘米每秒運(yùn)動，點(diǎn)0從點(diǎn)。出發(fā)以2厘米每秒運(yùn)動，則△尸。。為直角三角形時,

（2024秋?吉首市校級期中）

10.如圖，樹垂直于地面，為測樹高，小明在處，測得//CB=15。，他沿C2方向走到

處，線段C〃=20米，測得N4D8=30。，求樹48的高度.

斜邊的中線等于斜邊的一半

（2024春?湖南期中）

11.如圖，公路/C、8c互相垂直，公路的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得43的長為

5.6km,貝ijM、C兩點(diǎn)間的距離為（）

A.2.8kmB.3.6kmC.4.6kmD.5.6km

（2024春?汝城縣期中）

12.如圖，在RtZk48C中，/4CB=90°,BC=3,AC=4,。為的中點(diǎn)，則CD等于

試卷第3頁，共16頁

A.2B.2.5C.3D.3.5

（2024春?武岡市期中）

13.如圖，一架5m長的梯子斜靠在一豎直的墻上，M為N3中點(diǎn)，當(dāng)梯子的上端沿墻

壁下滑時，的長度將（）

A.變大B.變小C.不變先變大后變小

（2024春?岳陽期中）

14.如圖，RtA48C中，//C8=90。，點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，某同學(xué)用刻度尺測量長度時,

點(diǎn)/、2對應(yīng)的刻度分別為4、0,則CD的長為.

（2024春?婁底期中）

15.如圖，在四邊形4BC。中，AABC=ZADC=90°,E為對角線/C的中點(diǎn)，連接BE,

DE,若NB4D=58。,則/BE。的度數(shù)為（）

A.118°B.108°C.122°D.116°

勾股定理求線段問題

（2024春?長沙期中）

試卷第4頁，共16頁

16.中，NC=90。，兩直角邊分別是。和6,斜邊是c,若。=6,6=8,則。=.

（2024春?洪江市校級期中）

17.已知直角三角形的兩邊長分別為5和12,則斜邊長是—.

（2024春?湘西州期中）

18.已知直角三角形兩直角邊的比是3：4,斜邊長為20cm,則斜邊上的高是.

（2024春?長沙縣校級期中）

19.如圖，在△N8C中，48=12,BC=9,NOIBC于點(diǎn)。，/。=8,若點(diǎn)￡在邊42（不

與點(diǎn)43重合）移動，則線段CE最短為

（2024春?新田縣期中）

20.在Rt^4BC中，ZC=90°,//、NB、/C所對的邊分別為a、b、c.

（1）已知c-25,6=15,求a；

（2）已知c=12,4=30。,求a、b.

勾股定理解決面積問題

（2024春?寧鄉(xiāng)市期中）

21.如圖，圖中的三角形是直角三角形，四邊形都是正方形，若正方形/,2的面積分別是

16,9,則最大正方形C的面積是（）

A.30B.25C.20D.15

（2024春?婁底期中）

22.如圖是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是（）

試卷第5頁，共16頁

C.144D.169

（2024春?湖南期中）

23.如圖，在RtZ\/8C中，44c8=90。，以的三邊為邊向外作正方形，其面積分

別為岳，邑，5，=81,尾=225,則邑=（）

（2024春?寧鄉(xiāng)市期中）

24.如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形

（2024春?湖南期中）

25.勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四

幅圖中不能證明勾股定理的是（）

試卷第6頁，共16頁

（2024春?桃源縣期中）

26.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

27.“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的

“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若

/尸=15,小正方形EFGH的面積是49,則大正方形的面積是（）

A.225B.256C.289D.324

（2024秋?衡陽縣期中）

28.如圖，四個全等的直角三角形和中間的小正方形可以拼成一個大正方形，若直角三角形

的較長直角邊長為。，較短直角邊長為6,大正方形面積為15,小正方形面積為6,則（a+6）2

的值為.

試卷第7頁，共16頁

ab

（2024春?長沙期中）

29.如圖①，這個圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽

弦圖此圖案的示意圖如圖②，其中四邊形/BCD和四邊形EFG”都是正方形，AABF、

△BCG、ACDH,△可￡是四個全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,則42的長為.

圖I圖2

做型07

（2024春?天元區(qū)校級期中）

30.下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.1,1,6

C.6,8,11D.5,12,23

（2024春?長沙縣期中）

31.下列條件中，不能判斷△NSC是直角三角形的是（）

A.a:6:c=3:4:5B.NN:N3:NC=3:4:5

C.AA+ZB=ZCD.a:b:c=l:2:6

（2024春?攸縣期中）

32.滿足下列條件的△NBC是直角三角形的有個（）

①NA=NB-NC；@ZA：ZB：NC=1：2：1；③/=(b+c)(6-c)；④/。是2c上

的中線，且8C=24D.

試卷第8頁，共16頁

A.1B.2C.3D.4

（2024春?湘西州期中）

33.用下列長度的線段〃，b,。首尾相連構(gòu)成三角形，其中能構(gòu)成直角三角形的個數(shù)是

（）

①。=8,6=15,。=17；②。=1,b=6,。=2；

③a:b:c=3:4:5④一1,b=2n,c=n2+\（〃為大于1的正整數(shù)）

A.1B.2C.3D.4

（2024春?道縣期中）

34.若三角形的三邊長分別為〃、氏c,且滿足（Q—”丫+0―I2|+G?=o,則這個三角形

的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

利用勾股定理逆定理計算求解

（2024春?隆回縣期中）

35.在ZUBC中，48=5cm,8c=12cm,/C=13cm,則△4BC的面積等于cm2.

（2024春?桑植縣期中）

36.如圖在四邊形48c。中，4B=BC=2,CD=3,DA=1,且/2=90。，求/D4B的度

數(shù).

（2024春?寧遠(yuǎn)縣期中）

37.一塊鋼板形狀如圖所示，量得/2=3,2C=4,AB1BC,CD=12,AD=13,請你計算

一下這塊鋼板的面積.

試卷第9頁，共16頁

（2024春?汝城縣期中）

38.如圖，在四邊形/BCD中，AC1BC,AB=13,5c=12,CD=3,AD=4.

⑴求4C的長;

（2）求四邊形4BCL1的面積.

（2024春?新田縣期中）

39.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

（1）求證：ANC。是直角三角形;

⑵求四邊形4BC。的面積.

做型打勾股數(shù)的判斷

（2024春?永定區(qū)期中）

40.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組（）

A.0.3,0.4,0.5B.1,y/3,2C.6,8,10D.2,2,V5

（2024春?桃源縣期中）

41.下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.10,8,6B.32,42,52

C.>/2，A/3,V5D.10,15,-20

試卷第10頁，共16頁

（2024春?汝城縣期中）

42.若一組勾股數(shù)的其中兩個為5和12,則第三個勾股數(shù)是（）

A.13B.VH9C.13或vn?D.不確定

勾股定理的實際應(yīng)用

（2024春?通道縣期中）

43.如圖，在/村與3村之間有一座大山，原來從/村到3札需沿道路/fCf8（ZC=90°）

繞過村莊間的大山，打通）,8間的隧道后，就可直接從/村到8村.已知/C=6km,

5C=8km,那么打通隧道后從/村到3村比原來減少的路程為（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

（2024春?澧縣期中）

44.如圖，當(dāng)秋千靜止時，踏板離地的垂直高度3E=lm,將它往前推4m至C處時（即水

平距離CD=4m）,踏板離地的垂直高度C尸=3m,它的繩索始終拉直，則繩索/C的長是

（）

A

J?V..F-J.....E

A.4mB.5mC.6mD.8m

（2024秋?寧鄉(xiāng)市期中）

45.如圖5,一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30。夾

角，這棵大樹在折斷前的高度為（）

試卷第11頁，共16頁

05

A.10米B.15米C.25米D.30米

（2024春?永定區(qū)期中）

46.如圖，一架云梯斜靠在一面墻上，且云梯28長25m,云梯底端到墻的距離08為7m.

（1）這架云梯的頂端到地面的距離。4有多高？

⑵如果云梯的頂端A到下滑4m到A，處，那么它的底部在水平方向也滑動了4m嗎？

（2024春?長沙期中）

47.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水

一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.（1丈=10尺），大意是：有一個水池,

水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這

根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分

別是多少？

將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意畫出圖形（如圖所示），其中水面寬/8=10尺,

線段CD,C8表示蘆葦，。。，48于點(diǎn)￡.

（1）圖中。E=尺，EB=尺;

試卷第12頁，共16頁

⑵求水池中水的深度.

（2024春?長沙期中）

48.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍200千米的范圍內(nèi)形成極端氣候,

有極強(qiáng)的破壞力.如圖，有一臺風(fēng)中心由西向東，從A移動到3,已知點(diǎn)C是一個海港，且

點(diǎn)C與43兩點(diǎn)的距離分別為NC=300km,8c=400km,43兩點(diǎn)的距離為：/8=500km.

⑴求的度數(shù)；

⑵海港C會受到這次臺風(fēng)的影響嗎？請說明理由.

優(yōu)選提升題

（2024秋?岳陽樓區(qū)校級期中）

49.如圖，在△NBC中，ZBAC=90°,高4D與角平分線BE相交于點(diǎn)尸，ND4c的平分

線NG分別交2C,BE于點(diǎn)G,O,連接尸G,下列結(jié)論：①NC=NEBG；

②ZAEF=ZAFE；③AG工EF；@GFLAB,其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②④B.②③C.③④D.②③④

（2024秋?新田縣期中）

50.如圖，△NBC為等邊三角形，點(diǎn)。是2C邊上異于2,C的任意一點(diǎn)，DEJ.AB于點(diǎn)、

E,DFJ.AC于點(diǎn)、F.若8c邊上的高線=10,則。￡+。尸=（）

試卷第13頁，共16頁

A.5B.10C.8D.6

（2024春?東安縣期中）

51.如圖，。尸=1,過點(diǎn)尸作修，CP且供=1,得六=&；再過點(diǎn)尸/作雅，州且月月=1,

得OR=百；又過點(diǎn)匕作64,能且￡1=1,得優(yōu)=2……依此法繼續(xù)作下去，得

°Ro24=（）

A.72022B.V2023C.^2024D.J2025

（2024春?新寧縣期中）

52.如圖所示，正方形/BCD的邊長為1,其面積標(biāo)記為H，以CD為斜邊作等腰直角三角

形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為$2，…，按照此

規(guī)律繼續(xù)下去，則邑。24的值為

（2024春?道縣期中）

試卷第14頁，共16頁

53.定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做“和美三角形"，若A/BC既是直

角三角形，又是“和美三角形”，其三邊長分別為。、6、，，且"=9。。，則廣

（2024春?桑植縣期中）

54.如圖，已知。尸=1,過P作PR1OP,且PP/=1；再過巳作尸/P?1O尸/且巳巳=1；又

過B作尸2P3，。尸2且尸2尸3=1；又過尸3作尸32八。尸3且尸3尸4=1；…，按照這種方法依次作

下去得到一組直角三角形Rt△。尸P/,RtMPR，Rt△。尸2尸3，RSOP3P4，…,它們的面積

分別為S/,512，S3,S”…，那么$202/=-

（2024秋?長沙期中）

55.如圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據(jù)它的原理設(shè)計了如圖2的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑

O0=25cm,用長為125cm的連桿將點(diǎn)。與動力裝置尸相連（N。。尸大小可變），點(diǎn)P在軌

道上滑動，并帶動磨盤繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動，OALAB,OA=80cm.若磨盤轉(zhuǎn)動過程中，則點(diǎn)尸

到A的最小距離為.

圖1圖2

（2024春?云溪區(qū)期中）

56.如圖，在△4BC中，CFLAB于點(diǎn)、F,8E_L2C于點(diǎn)￡,〃為8c的中點(diǎn)，若所=4,

BC=10,求△￡7物的周長.

試卷第15頁，共16頁

A

（2024春?永定區(qū)期中）

57.用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱

為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法.

（1）如圖1是著名的“趙爽弦圖”，由四個全等的直角三角形拼成（。＜6）,貝U：

S小正方形+4S三角形S大正方形=_；（此兩空均用含。，b,c的代數(shù)式表示，不用化簡）根據(jù)

面積相等，可知一（化簡），故驗證了勾股定理.

（2）如圖2,在Rt448C中，ZACB=90°,C￡）是48邊上的高，AC=8,BC=6,求CD的

長；

⑶如圖1,S大正方形=169,S小正方形=49,直接寫出（a+4的值.

試卷第16頁，共16頁

1.D

【分析】根據(jù)直角三角形中兩銳角互余可直接求得.

【詳解】解：一個直角三角形中，有一個銳角等于35。，則另一個銳角的度數(shù)是

90°-35°=55°,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)是解本題

的關(guān)鍵.

2.B

【分析】由NC=90。，NB=244,可得/8+44=3乙4=90。,從而可得答案.

【詳解】解：???/C=90。，NB=2NA,

.-.ZB+ZA=3ZA=90°,

ZA=30°.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，掌握“三角形的內(nèi)角和定理”是解本題的關(guān)

鍵.

3.C

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出=

設(shè)/D/8=/3=5x,則/C4D=2無，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出5x+5x+2x=90。，求出

x=7.5°,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出ZADC=90°-NCAD=75°即可.

【詳解】解：的垂直平分線交于。，

?1?AD=BD,

???ZDAB=ZB,

設(shè)/DAB=/B=5x,則NC4Z)=2x,

vZC=90°,

："B+ABAC=90°,

5x+5x+2x=90°,

解得：x=7.5。，

.-.ZCAD=2x7.5°=15°,

ZADC=90°-ACAD=75。.

故選：C.

答案第1頁，共26頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，垂直平分線的性質(zhì),

等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“等邊對等角”.

4.C

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出/胡。+//8。=180。-90。=9()。，根據(jù)角平分線

定義得出AOAB+AOBA=；x90。=45。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可.

【詳解】解：如圖，■?ZC=90°,

.-.ZBAC+ZABC=180°-90°=90°,

???AD、BE分別是ZBAC和ZABC的平分線，

ZOAB=-ZBAC,ZOBA=-ZABC,

22

AOAB+AOBA=!x90。=45°,

2

...NAOB=180°-{AOAB+/OB/)=180。-45。=135°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理,

整體思想的利用是解答本題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

5.50°

【分析】根據(jù)同角的余角相等求出=從而得解.

【詳解】解：,?,4D是△4BC的高，

.-.ZBHD+ZHBD=90°,

?；BE是AABC的高，

.-.ZHBD+ZC=9Q°,

：.ZBHD=ZC,

■■ZC=50°,

；"BHD=50°..

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)

確識圖是解題的關(guān)鍵.

答案第2頁，共26頁

6.C

【分析】根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)得出AB=2AC,從而得出AC.

【詳解】解：?.2C=90。，ZB=3O°,

???AB=2AC,

vAB=2cm,

.?.AC=yAB=lcm,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，30。所對的直角邊等于斜邊的一半.是基

礎(chǔ)知識要熟練掌握.

7.B

【分析】根據(jù)直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半計算即可.

【詳解】解：?：/C=90°,ZB=30°,AB=8cm,

:.AC=—AB=—x8=4cm,

22

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜

邊的一半是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】根據(jù)直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長度，再

加上離地面的距離就是折斷前樹的高度.

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意BC=3米，

???ZBAC=3O°,ZACB=9O°,

.??AB=2BC=2x3=6米，

??.BC+AB=3+6=9（米）.

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

9.-

3

【分析】本題考查了含30度的直角三角形的性質(zhì)，分兩種情況：當(dāng)/尸。。=90。時，當(dāng)

NQPO=90。時，分別結(jié)合含30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解是解決問題的關(guān)鍵.

答案第3頁，共26頁

【詳解】解：由題意可得：。尸=（1+，）。加，OQ=2tcm,

當(dāng)/尸0。=90。時，

ZAOB=60°,

...ZOPQ=30°,貝！jOP=2O0,

即：l+y2x2/,解得：f=g；

當(dāng)N0尸0=90。時，

???ZAOB=60°,

.-.ZOQP=30°,貝|。0=2。尸，

即：21=2x0+/）,此時無解；

綜上，當(dāng)/=；時，△尸。。為直角三角形，

故答案為：—.

10.10米

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到/C4D=//D8-//C3=15。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

得到=C。=20米，由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：■.?N/〃8=30。，ZACB=15°,

:./C4D=N4DB-N4cB=30°-15°=15。,

ZACB=ZCAD,

.-.AD=CD=20（米），

又：ZABD=90°,

AB=-AD=\0（米），

2

二樹的高度為10米.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等角對等邊，三角形的外角的性質(zhì)，熟

練掌握含30。角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.A

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

得出答案.

【詳解】解：由題意得：N/C2=90。，點(diǎn)〃■為48的中點(diǎn)，

答案第4頁，共26頁

.\CM=-AB=2.8km

2f

故選：A.

12.B

【分析】本題考查勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì).掌握直角三角形斜邊的中線等于

斜邊的一半是解題關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理可求出48=5,再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)

即可得出CD=J/8=2.5.

【詳解】"ZACB=90°,

???AB=ylBC2+AC2=V32+42=5.

為48的中點(diǎn)，

CD=LAB=2.5.

2

故選B.

13.C

【分析】本題考查了直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，據(jù)此進(jìn)行作答即可.

【詳解】解：???〃為中點(diǎn)，ZAOB=90°,

：.OM=-AB,

2

??,梯子的長度5m,即48=5m不變，

.??。河=3/8=^111為一個定值，即■的長度將不變.

故選：C

14.2

【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半.根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解:：?點(diǎn)42對應(yīng)的刻度分別為4、0,

AB=4,

在RtZUBC中，ZACB=90°,。為斜邊的中點(diǎn)，

.-.CD=-AB=2,

2

故答案為：2.

15.D

答案第5頁，共26頁

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).根據(jù)

直角三角形的性質(zhì)可得==,從而得到/4DE=/D4E,NBAE=ZABE,再由三角

形外角的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：ZABC=ZADC=90°,E為對角線/C的中點(diǎn)，

*'?DE=AE=BE,

/ADE=/DAE,ZBAE=AABE,

ZBAE=/ADE+NABE=58°,

???/BED=ZADE+/DAE+/BAE+/ABE=/BAE+ZADE+ZABE=58°x2=116°.

故選：D

16.10

【分析】根據(jù)勾股定理求出c的值.

【詳解】解：???RtZ\4BC中,ZC=90°,

?■a2+b2=c2

c=Va2+b2=-\/62+82=10，

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，在一個直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

17.12或13

【分析】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵,

注意分類討論，避免漏解.求第三邊的長必須分類討論，分12是斜邊或直角邊兩種情況，

然后利用勾股定理求解.

【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)5和12為直角邊長時，

由勾股定理得：斜邊長月后=13；

②12為斜邊長時，斜邊長為12；

故答案為：12或13.

18.9.6cm

【詳解】解：設(shè)直角邊為3xcm,4xcm,則斜邊為5xcm,

.?-5x=20

???x=4

直角三角形的三邊長為12,16,20cm

答案第6頁，共26頁

斜邊上的高為：12x16-20=9.6cm

故答案為9.6cm.

19.6

【分析】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)，三角形的面積公式，根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)

時，CE為最短，然后根據(jù)三角形的面積公式求出CE即可.

【詳解】根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)CE人45時，CE為最短.

vAD1BC,

.-.S.RC^-AB-CE^-BCAD,

"c22

vAB=12,BC=9,AD=8,

BCAD8x9「

CE=-----------=------=6.

B12

；,CE的最短為6.

故答案為：6.

20.(1)〃=20

(2)a=6A/3,b=6

【分析】(1)由勾股定理計算即可得出答案；

(2)由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得出6=；c=6,再由勾股定理計算即可.

【詳解】(1)解：由勾股定理得：。=后導(dǎo)=苗-152=20；

(2)解：?.,在RtZk4BC中,ZC=90°,c=12,4=30°,

a=yjc2-b2=V122—62=65/3?

21.B

【分析】設(shè)正方形4B、C的邊長分別為x,y,z,根據(jù)題意可知/=16,再根據(jù)

勾股定理可求出z2=x2+y2=25,即最大正方形C的面積是25.

【詳解】解：設(shè)正方形4B、C的邊長分別為x,y,z,

則/=16,y2=9.

???圖中的三角形是直角三角形，

答案第7頁，共26頁

.-.Z2=x2+y2=25,

最大正方形C的面積是25.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理.熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

22.B

【分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理得出：AB=^AC2-BC2=V132-122=5,

.?.EF=AB=5,

???陰影部分面積是25,

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜

邊長為c,那么a2+b2=c2解答.

23.D

【分析】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)勾股定理得，AB2=AC2+BC2,再利用正方形的面積公式可得答案.

【詳解】解：在中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

：.S3=邑+4,

■.■St=81,風(fēng)=225,

.-.5,=225-81=144,

故選：D

24.49

【分析】根據(jù)勾股定理計算即可

【詳解】解：最大的正方形的面積為7?=49c/,

由勾股定理得，正方形￡、尸的面積之和為49c加2,

???正方形工、B、C、。的面積之和為4%療，

答案第8頁，共26頁

故答案為49.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為

C,那么小〃..

25.A

【分析】本題主要考查勾股定理的證明過程，關(guān)鍵是要牢記勾股定理的概念，在直角三角形

中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.分別利用每個圖形面積的兩種不同的計算方法,

再建立等式，再整理即可判斷.

【詳解】解：A、大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積和，

+b)——ct~+2ab+b~)

以上公式為完全平方公式，故A選項不能說明勾股定理，

B、由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積，

3ab—cib—c2=萬(a++Z?),

整理可得/+/=c2,故B選項可以證明勾股定理，

C、大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，

4x—ab+c~=(a+,

整理得/+/=c2,故C選項可以證明勾股定理，

D、整個圖形的面積等于兩個三角形的面積加大正方形的面積，也等于兩個小正方形的面積

加上兩個直角三角形的面積，

/+2x—ab=。~+62+2x—ab,

22

整理得a2+〃=c2,故D選項可以證明勾股定理，

故選：A.

26.B

【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的證明方法.根據(jù)各個圖象，

答案第9頁，共26頁

利用面積的不同表示方法，列式證明結(jié)論/+〃=C2,找出不能證明的那個選項.

222

【詳解】解：A.???4xgab+c2=(a+b)2,整理，na+b=c,即能證明勾股定理，故本

選項不符合題意；

B.根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項符合題意.

C.5義小方+出-4=。?....整理，得/+62=02,即能證明勾股定理，故本選項不符合題

思；

D.?.?；M+；c2+gab=g(a+6)(a+b),整理，得/+/=02,即能證明勾股定理，故本選

項不符合題意；

故選：B.

27.C

【分析】先求出小正方形的邊長，進(jìn)而求出直角三角形的短直角邊長，再利用勾股定理求出

大正方形邊長的平方，即為大正方形的面積.本題以“趙爽弦圖”為背景考查正方形的性質(zhì)，

勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,?,小正方形EFG”的面積是49,

???小正方形EFGH的邊長尸G=7,

???四個直角三角形全等，

：.BG=AF=15,

:.BF=BG-FG=\5-1=8,

AB'=AF~+BF2=\52=1^,9,

大正方形ABCD的面積是289,

故選：C.

28.24

【分析】本題考查勾股定理，完全平方公式，根據(jù)圖形和勾股定理可知/=/+〃=”，

(.-6)2=6,再由完全平方公式即可得到結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)直角三角形的斜邊為c,

貝"=/+/=15,

(a-6)~=/+-2ab=6,

lab=15-6=9,

22

??.(a+6)2=a+2ab+b=15+9=24,

答案第10頁，共26頁

故答案為：24.

29.10.

【詳解】解：依題意知，BG=AF=DE=8,EF=FG=2,；.BF=BG-BF=6,：直角4ABF中,利

用勾股定理得：AB=^AF2+BF2=A/82+62=10.故答案為10.

點(diǎn)睛：此題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是得到直角A43尸的兩直角邊的長度.

30.B

【分析】此題主要考查學(xué)生對勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟練掌握這個逆定理是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理的逆定理：a2+b2=c2,將各個選項逐一代數(shù)計算即可得出答案.

【詳解】解:A、-?-42+52^62,

??.4,5,6不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；

B、vl2+l2=(72)2,

??.1,1,正能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；

C>v62+82^112)

??.6,8,11不能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；

D、5?+122/23?,

??.5,12,23不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：B.

31.B

【分析】本題考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，掌握直

角三角形的判定是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直角三角形的判定方法，即可逐步判斷答案.

【詳解】A、設(shè)。=3左，則6=4左，c=5k,

a2+b2=(3上>+(4左了=(5k)2=c2,

.?.△NBC是直角三角形，不符合題意；

B、設(shè)N/=3x,則ZB=4x,ZC=5x,

ZA+ZB+ZC=180°,

/.3x+4x+5x=180°

解得％=15。,

.?.2/=45。，ZB=60°,ZC=75°,

.?.△/5C不是直角三角形，符合題意；

答案第11頁，共26頁

c、ZA+ZB+ZC=ISO°,ZA+ZB=ZC,

ZC+ZC=180°,

解得NC=90。，

.?.A/2C是直角三角形，不符合題意；

D、設(shè)。=左，貝6=2左，c=y/3k,

a2+c2=(k)2+(限)2=(2左?=b2,

.?.A/3C是直角三角形，不符合題意；

故選B.

32.D

【分析】本題主要考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三

角形內(nèi)角和為180。結(jié)合角度關(guān)系即可得到①②是直角三角形，根據(jù)勾股定理逆定理可得③

是直角三角形，根據(jù)等邊對等角證出④是直角三角形；

【詳解】解：@-.-ZA=ZB-ZC,

ZA+ZC=ZB,

■.?ZT4+ZC+ZS=180°,

.?.ZB=90。，

.?.A48C是直角三角形；

②：N4：NB：ZC=1：2：1,

Z5=180°x-=90°,

4

.1A/BC是直角三角形；

(3)1,?a2=(6+司優(yōu)-0),

a2=b2-c2,

“ABC是直角三角形；

④?.,4。是上的中線，

BD=CD,

???BC=2AD,

答案第12頁，共26頁

B,

\DDB=AD=CD,

A^--------------、C

/B=ABAD,ZC=ADAC,

■：NB+ABAD+ADAC+ZC=180°,

Z5+ZC=90°,

.?.△NBC是直角三角形；

故是直角三角形的有4個，

故選：D.

33.D

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾

股定理的逆定理，進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】???/+/=8?+15?=289,c2=172=289,

■■a2+b2=c2,

???以線段a,b,c首尾相連能構(gòu)成直角三角形，故①符合題意；

,-?a2+&2=12+(V3)2=4,c2=22=4,

?■a2+b2=c2,

???以線段a,b,c首尾相連能構(gòu)成直角三角形，故②符合題意；

??,a:6:c=3:4:5,

?,?設(shè)a=3k,b=4k,c=5k,

a2+b2=^k)2+(4左y=25k2,c2=(5^)2=25k2,

-'-a2+b2=c2,

???以線段a,b,c首尾相連能構(gòu)成直角三角形，故③符合題意；

2242242

a+b=-1J+(2〃y=n+2n+1,c-n+2n+1,

■■a2+b2=c2,

???以線段a,b,c首尾相連能構(gòu)成直角三角形，故④符合題意；

故選：D.

答案第13頁，共26頁

34.B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，絕對值非負(fù)性，平方根的非負(fù)性質(zhì).根據(jù)絕

對值非負(fù)性，平方根的非負(fù)性質(zhì)得出。，b,c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角

形的形狀.

【詳解】解：〈(a—13)+-12|+-\/c—5=0,

「.a—13=0,b—12=0,c—5=0,

6=12,。=5,

2222

.-.C+/)=5+12=169,〃2=i32=]69,

???c2+b2=a2,

???這個三角形是直角三角形，

故選：B.

35.30

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，再利用面積公式求解.

【詳解】解：:48=5cm,BC=l2cm,AC=13cm,BP52+122=132,

.?.△Z5C為直角三角形，

???直角邊為45,BC,

根據(jù)三角形的面積公式有：S=|x5xl2=30(cm2)

故答案為：30.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的知識，需要學(xué)生利用勾股定理的逆定理判定三角形

為直角三角形的和直角三角形的面積公式結(jié)合求解.隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能

力.

36.135°

【分析】本題考查了勾股定理以及勾股逆定理，先由/5=90。，AB=BC=2,得出

AC=^AB2+BC2=272,ABAC=45°，再結(jié)合C〃=3,DA=\,證明ANCD是直角三角形,

即可作答.

【詳解】解：如圖所示，連接/C,

答案第14頁，共26頁

D

A

L\S\cvAB=90°,AB=BC=2,

Bc

AC=slAB2+BC2=2V2,ABAC=45°.

又?：CD=3,DA=1,

:.AC2+DA2=S+\=9,CD2=9,

:.AC2+DA2=CD2,

.?.△/CD是直角三角形，

ACAD=90°,

.?./D/3=45°+90°=135°.

故的度數(shù)為135。.

37.36

【分析】本題考查了勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)

鍵.利用勾股定理求出/C,再利用勾股定理逆定理得//CD=90。，然后根據(jù)這塊鋼板的

面積等于ABCQACD的面積之和求解即可.

【詳解】???AB1BC,

：.2B=90°,

■.■AB=3,BC=4

???AC=732+42=5,

52+122=132,

/4CD=90。,

4x45x1?

???鋼板的面積=S.ABC+Leo=彳+餐=36.

38.(1)/C的長為5

⑵36

【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理.

(1)根據(jù)垂直定義可得乙4c8=90。，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解

答案第15頁，共26頁

答；

（2）先利用勾股定理的逆定理證明△/DC是直角三角形，從而可得/。=90。，然后根據(jù)四

邊形ABCD的面積=A/DC的面積+4/3C的面積，進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】（1）解：???NCL2C,

.-.ZACB=90°,

?；AB=V7,8c=8,

?1?AC=yjAB2-BC2=V132-122=5，

.??/C的長為5

（2）解：■-AD2+CD2=A1+31=25,AC2=52=25,

■■AD2+CD2=AC2,

??.△4DC是直角三角形，

.-.ZD=90°,

二四邊形46C。的面積=A40c的面積+Z\48C的面積

=-ADCD+-ACBC

22

=ix4x3+—xl2x5

22

=6+30

=36,

四邊形4BCD的面積為36.

39.⑴見解析

⑵13

【分析】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理，三角形面積公式，熟練掌握以上知識點(diǎn)并

靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

（1）由勾股定理得出NC、CD、的長，再由勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可；

（2）根據(jù)S四邊形43cz）=S4ABC+計算即可得出答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：/C="+22=26，CD=M+Y=#，

AD=V32+42=5.

???AC2+CD2=（2司2+mJ=25=52=AD2.

：.ZACD=90°,即“CO是直角三角形.

答案第16頁，共26頁

⑵解：SK^ABCD=S^ABC+S^ACD=1x4x4+|xV5x2V5=8+5=13.

40.C

【分析】本題考查勾股數(shù)，凡是可構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱之為勾股數(shù)，根

據(jù)定義即可求解.

【詳解】解：A,0.3,0,4,0.5不是正整數(shù)，因此0.3,0.4,0.5不是勾股數(shù)；

B,6不是正整數(shù)，因此1,百，2不是勾股數(shù)；

C,62+82