天津市紅橋區(qū)2024-2025學年高三年級下冊一模數(shù)學試題

天津市紅橋區(qū)2024-2025學年高三下學期一模數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={xeR|1WxW3},B^{xeR\x2<4},則AUB=()

A.{x\x>2}B.{x|-2<x<3]

C.{x|l<x<2}D.{x\x<—2或%>1}

2.已知命題p:log2》〉log2y，命題q：2%>2V,則命題p是命題q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.等比數(shù)列的前〃項和為%,且旬+。4=4,a2+a5=8,則$6=()

A.24B.28C.36D.48

Inx_

?,c=elnx,則a,b,c的大小關系是()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

5.在2022年某省普通高中學業(yè)水平考試(合格考)中，對全省所有考生的數(shù)學成績進行統(tǒng)

計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為

[40,50),[50,60),[60,70),[80,90),[90,100],90分以上為優(yōu)秀，則下列說法中不正確的是()

B.若要全省的合格考通過率達到96%,則合格分數(shù)線約為44分

C.從全體考生中隨機抽取1000人，則其中得優(yōu)秀考試約有100人

D.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，可得考試數(shù)學成績的平均分約為705

6.拋物線%2=2py(p>0)的焦點與雙曲線=1的右焦點的連線垂直于雙曲線的一

條漸近線，則P的值為（）

7.己知a〉O,b〉O,貝壯+白+b的最小值為（）

a4匕2

A.4V2B.2V2C.4D.2

8.已知函數(shù)f（%）=Asin（3%+9）+8（4>0,3>0,|租|V的部分圖象如圖所示，則下列

①/（%）關于點值,3）對稱；

②/（久）關于直線x=g對稱;

③/⑺在區(qū)間槨期上單調(diào)遞減;

④/⑺在區(qū)間（―工*）上的值城為［1,3）；

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.正方體4BCD—4/1的。1的棱長為3,平面力BCD內(nèi)一動點Q滿足|Q*=2|QB|,當三棱

錐Q-4的體積取最大值時，該三棱錐外接球的表面積為（）

A.24TTB.27nC.54TTD.56TT

二、填空題

10.已知z?是虛數(shù)單位，則號=.

11.1+盍）6展開式中的常數(shù)項為.

12.某班有48名學生，一次考試的數(shù)學成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N（80,J）,且成

績在［80,90］上的學生人數(shù)為16,則成績在90分以上的學生人數(shù)為.

試卷第2頁，共4頁

13.假設某市場供應的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品的合格率為90%,

乙廠產(chǎn)品的合格率為80%,在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，則恰有一個是合格品的概率

為;若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為.

14.如圖，在AABC中，AB^a,AC=b,D,歹分別為8C,AC的中點，尸為力。與8尸的交

點，S.AE=2EB.若BP=:r2+y6,則x+y=；若AB=3,AC=4,Z-BAC=則

~BP-~ED=

若函數(shù)F(x)=f(x)-\kx-1|有且只有3個零點,

則實數(shù)k的取值范圍是.

三、解答題

16.在A/IBC中，內(nèi)角4所對的邊分別是a,6,c,已知a=3,b-c=2,B=y.

⑴求6,c的值；

(2)求sinC的值；

⑶求sin(B—C)的值.

17.如圖，已知四棱錐P_L平面||CD,AB1AD,CD=AD=1AB=1,

^PAD=45°,E是B4的中點，AF=-AB.

4

⑴求證：DE〃平面PBC；

(2)求平面EPC與平面PBC夾角的余弦值;

⑶求點A到平面PBC的距離.

18.已知橢圓后呼+5=1(a>6>0)的離心率為個，以橢圓￡的四個頂點為頂點的四邊形

面積為小巧.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點4(0,-2),過點P(0,-3)且斜率為k(k>0)的直線/與橢圓E相交于不同兩點BC

直線AB、AC分別與直線y=-3交于點M、N,當IPM\+|PN\<15時，求斜率左的取值范

圍.

19.已知等比數(shù)列｛每｝的前71項和為5,0n+1=Sn+2(nGN*).

(1)求數(shù)列｛5｝的通項公式；

(2)在即與即+1之間插入幾個數(shù)，使這九+2個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為

Tn,若不等式(一1)-<2-汽寸一切neN*恒成立，求實數(shù)2的取值范圍；

7n

(3)記g=4,求證：喏+啜+…+

Iog2?n曬曬

20.已知函數(shù)/(%)=In(%+1),g(%)=ax2+x.

⑴求函數(shù)/(%)在點。4⑴)處的切線方程；

(2)當%>-1時，/(%)<gM，求實數(shù)。的取值范圍；

-1-t1

(3)已知九GN*,證明：sin----Fsin---1■…+sin—<ln2.

試卷第4頁，共4頁

《天津市紅橋區(qū)2024-2025學年高三下學期一模數(shù)學試題》參考答案

題號123456789

答案BABAABDCC

1.B

【分析】解不等式，得到8={%|-2V%<2},利用并集概念求出答案.

【詳解】B={x\-2<x<2]f又/={%E%<3},

所以ZUB={%|1<%<3}U{%|—2<%<2}={%|-2<%<3}.

故選：B

2.A

【分析】根據(jù)對數(shù)以及指數(shù)的單調(diào)性化簡，即可求解.

【詳解】由p：log2%>log2y可得％>y>0,

由q:2X>2y可得%>y,

因此%>y>00%>y,但久>y^x>y>0,

因此命題p是命題q的充分不必要條件，

故選：A

3.B

【分析】求出公比，得到的+%=16,從而得到S6.

【詳解】設公比為q,則4=黑=2,

所以。3+。6=+a。/=4X4=16,

所以=%+。4+。2+。5+。3+。6=4+8+16=28.

故選：B

4.A

【分析】根據(jù)第c(eT,l),利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】解：因為％C(eT,l),

所以a=In%G(—1,0),力=(Je(1,2),c=elnxEgl)，

所以a<c<b,

故選：A

5.A

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計算中位數(shù)、平均分，由不合格率為4%求得合格線，利用優(yōu)

答案第1頁，共12頁

秀率估算抽取的1000人中的優(yōu)秀從數(shù)，從而判斷各選項.

【詳解】由頻率分布直方圖知中位數(shù)在［70,80］上，設其為x,則蕓=竺皿詈3,

o1)—700.3

解得久=71.67,A錯；

要全省的合格考通過率達到96%,設合格分數(shù)線為y,則喘=富，y=44,B正確；

由頻率分布直方圖優(yōu)秀的頻率為0.1,因此人數(shù)為1000x0.1=100,C正確；

由頻率分布直方圖得平均分為45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+

95x0.1=70.5,考試數(shù)學成績的平均分約為70.5,D正確.

故選：A.

6.B

【分析】分別求出拋物線和雙曲線的焦點坐標，得出過兩焦點的直線方程的斜率，根據(jù)直線

垂直的條件可得答案.

【詳解】拋物線/=2py(p>0)的焦點坐標為(0,9，

雙曲線=1的右焦點坐標為(5,0),漸近線方程為y=±jx,

P-0

根據(jù)兩焦點坐標可得該直線斜率為匹=-n三，

0—510

因為兩焦點的連線垂直于雙曲線的一條漸近線，所以—巳義|=-1,解得P=三,

故選：B.

7.D

【分析】利用基本不等式即得.

【詳解】因為Q>0,h>0,

所以工+772+力之2I--+/?=b+^>2lb,=2,

a4bzva4bz匕7匕

當且僅當工=白，且b=<，即a=2,6=1時，取等號，

a4b2b

所以工+M+人的最小值為2.

a4匕2

故選：D.

8.C

【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象確定函數(shù)的解析式，在逐項判斷即可.

【詳解】由函數(shù)的圖象可知：A=^=2,8=等=3.

答案第2頁，共12頁

因為/(O)=2今2sing+3=2=>sing=-又101V所以9=-

226

因為八一小=102sin(一等一小+3=10sin(一手—￡)=—1,

所以-------=----F2/cn,kGZ.所以3=2—12k,kEZ.

662

由圖象可知：->-=>r>-,即空>-=>co<6.

263co3

所以當々=0時，3=2.

所以/(%)=2sin(2x-J+3.

對①：因為/弓)=25也(2*合]+3=4,所以/⑴的圖象不關于&3)對稱，①錯誤；

對②：因為/(g=2sin(2xg—f+3=5,所以/(x)的圖象關于直線久=?對稱，②正確；

對③：當x寸,那寸，2支一江普引，因為y=sinx在普雪上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)

在相期上單調(diào)遞減，③正確；

對④：當％€(一罵，*)時，2%-,€(―Tt,0),所以sin(2x—1e[—1,0),所以/'(x)6[1,3),

④正確.

故選：C

9.C

【分析】首先求點Q的軌跡方程，并確定三棱錐體積最大時的點Q的位置，再代入三棱錐外

接球的半徑公式，即可求解.

【詳解】如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系，

/BQ

‘X4(3,0,0),5(3,3,0),Q(x,y,0),由|QA|=2|QB|可知,

J(x—3)2+y2=2JO_3)2+(y―3",

整理為(久—3)2+(y-4)2=4,

所以點Q的軌跡是平面ABC。內(nèi)，以(3,4,0)為圓心，2為半徑的圓,

答案第3頁，共12頁

如下圖，點Q到平面DD14的最大值為6,此時點Q在4B的延長線上，且BQ=3,

所以Q41平面叫QA=6,

等腰直角三角形名。4的外接圓的半徑為r=苧,

所以三棱錐Q-的外接球的半徑R=

所以三棱錐外接球的表面積S=4ITR2=54P

【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算法則求解.

1—i_(1—1)(3—i)_2—4i12.

-I

3+i-10-1055

【點睛】本題考查復數(shù)除法運算法則，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

11.15

,3

【分析】先求出二項式展開式的通項公式7.+1=禺/英「，然后令》的次數(shù)為0,求出r的值，

從而可得展開式中的常數(shù)項.

【詳解】二項式（％+專）6展開式的通項公式為.+］=墨久6-「忌）r=C^X6-lr,

令6-|r=0,得r=4,

所以（％+盍）6展開式中的常數(shù)項為禺=15.

故答案為：15

12.8

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.

【詳解】由X（單位：分）服從正態(tài)分布N（80R2）,知正態(tài)密度曲線的對稱軸為x=80,成

績在［80,90］上的學生人數(shù)為16,

由對稱性知成績在80分上的學生人數(shù)為24人，所以90分以上的學生人數(shù)為24-16=8.

故答案為：8

答案第4頁，共12頁

Q43

13.0.18/—0.86/—

5050

【分析】根據(jù)全概率公式和條件概率公式計算即可.

【詳解】在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，

恰有一個是合格品的概率為最x0.9x0.1=0.18,

若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為0.6X0.9+0.4x0.8=

0.86.

故答案為：0.18；0.86.

1,4..-1-4

33

【分析】連接△ABC的中位線DF,利用三角形相似得到方=|同，再利用加法的三角形法

則表示出品，即可得到的值；同理表示出前，利用向量的數(shù)量積運算即可得到結果.

【詳解】

如圖所示：連接DF,

因為。，廠分別為BC,AC的中點,

所以DF是△ABC的中位線，所以黑=果=5

則麗=BA+AP=-AB+1AD=-AB+1x|=-|a+|b,

所以％=一|,y=:所以％+y=-1；

因為前=EA+AD=-|IB+|（XB+ZC）=+

所以麗.麗=(-11+翔（-3+3

1TO7fT1TQ

=-a2__a.b+_b2

7I』Tl8

=1一論⑷-16cosQQ

lo3+D

3?4

=1y---7x3x4X-1+,-8=

18233

答案第5頁，共12頁

故答案為：—巳；

5（-七,。）”。喧）

【分析】畫出函數(shù)圖像，y=|kx-1|的圖像是丫=kx-1在x軸下方的部分向上翻折形成,

考慮k=0,fc>0,k<0三種情況，根據(jù)相切計算斜率，結合圖像得到答案.

【詳解】y=\kx-1|的圖像是y=kx-1在%軸下方的部分向上翻折形成，

畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

當々=0時，/（%）=1,有兩個零點，不滿足；

當k>0時，y=kx-1過點（0,-1）,與y=^>0）相切與點（刈白二），y'=妥,故攵=

2--4?1

康，即與［=已解得勺=*k=±根據(jù)圖像知當ke（0,3時，F(xiàn)Q）有且只有3個零

點;

當k<0時，y=\kx-1\=\-kx+1|,y=-for+1過點（0,1）,與y=>0）相切與

2%2-41

點（%2，V），y'=g故—k=2p即工二=白，解得叼=8,k=_±,根據(jù)圖像知,

當-ke（o,+），即ke（-2,。）時，F(xiàn)O）有且只有3個零點；

綜上所述：當ke（-總o）u（o,總時，F(xiàn)Q）有且只有3個零點.

故答案為：ke（-高山（喔）

16.（l）c=5,b=7

⑵鬻

⑶手

【分析】（1）由已知，利用余弦定理，代入求解即可；

（2）根據(jù)正弦定理進行求解即可；

答案第6頁，共12頁

(3)由(2)可求得cosC,然后利用兩角差的正弦公式展開計算即可.

【詳解】(1)因為a=3,b-c=2,B=g,則6=c+2,

由余弦定理，COSB="H,則==9+C~C+2)2,

2ac26c

解得c=5,b=c+2=7.

(2)由(1)知c=5,b=7,

由正弦定理々=$,貝iJsinC="警=2.

sinBsmCb14

(3)由(2)知sinC=延,

14

又B=g,貝UO<C<p

所以850=v1-5由20=五,

則sin(B—C)=sinBcosf—cosBsinf=/x巳一(一1)x咎=手.

17.(1)證明見解析

鴻

⑶竽

【分析】(1)點。為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面PBC的法向量，利用向量法

證明線面平行；

(2)求出平面FPC的法向量，然后利用向量法求解兩平面夾角的余弦值;

(3)利用點到平面的向量距離公式求解即可.

【詳解】(1)如圖所示，

建立空間直角坐標系，點。為坐標原點,

A(l,0,0),B(l,2,0),P(0,0,l),E(I，0,J,F(1,|,0),C(0,l,0),D(0,0,0),

貝U屁=(I，0,j),PF=(1,2,-1),PC=(0,1,-1),PF=

答案第7頁，共12頁

設平面PBC的法向量沅=(x,y,z),DE=Q,O,j),

則口空=。,即『+2y-z；。，

tm-PC=0(y-z=O

不妨令y=L可得訪=

因為炭-m=-lx|+0x3+lx|=0,

所以礪1沅，且DEC平面PBC,即DE〃平面PBC；

(2)設平面FPC的法向量￡=(a,6,c),

n-PC=0nJbjc

亦可=0,即3+c=0

不妨令b=1,可得元=(I，1,1),

于是|cos(沅?n)\=|告同=—?7===苧，

l|m||n|1V3.J1+1+13

所以平面CB/與平面BBiCG夾角的余弦值為日；

(3)由標=(-1,0,1),平面P8C的法向量記=(-1,1,1),

則平面d=臀=2=當，

\m\V33

所以點B到平面CB#的距離為學.

此Cl)?+?=1

⑵(1,3]

【分析】(1)由橢圓E的離心率為?，且橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積為4西，列出

方程組，求得a,b的值，即可得到橢圓的方程；

(2)設直線Ly=憶X-3,聯(lián)立方程組由△>(),求得k>1,設。(%2，、2)，得到

與+“2=券，久62=品，再由和AC的方程，求得“(—言，—3)和'(一言5，—3),

結合|PM|+\PN\<15,得到/％W15,將力=kxi-3和刈=kx2-3,代入化簡得

到/三+*7=5k,求得kW3,進而得到答案.

yi+2y2+2

【詳解】(1)由橢圓E：q+2=1的離心率為半，且橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積

a2bz5

為4曲，

答案第8頁，共12頁

fe—￡—在

e-a-5L22

可得,X2a-26=4逐，解得a=*,b=2,橢圓C:X事+?V=1.

Ia2=b2+c2

（2）設直線上y=kx—3,聯(lián)立方程組，54,整理得（5/+4）%2—30fcx+25=0,

ly=kx—3

則△二（一30fc）2-4（51+4）x25>0且々>0,可得好>1,所以々>1,

（,30/c

Xi+%?=

設火功打）,。（久2必），貝q蜜9+4，

Ixr1x2=—5H；+—4

則直線的方程為y=等尤-2,與直線y=-3交于點”（—就，一3）,

直線"的方程為y=管x-2,與直線尸-3交于點N（-肅p-3）,

當|PM|+|PN|W15時，且—3-<0,--^-<0,則3+且W15,

yi+2乃+2yi+2'2+2

將=kX1—3,y2=4%2—3,

50k30k

代入市得一%]+%2一包,“2_2依1%2—（％1+汽2）_5k2+4_5壯+4_rI.所以

住人口J何為+2十乃+2一口「1十依2-1-2f（巧+%2）+1—25k230fc11-5儲.以二_Lb,

5k2+45k2+4

解得k<3,

所以斜率k的取值范圍為（1,3].

【點睛】方法策略：解答圓錐曲線的最值與范圍問題的方法與策略：

（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐

曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；

（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這

個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）

三角換元法；（5）導數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍；

3、涉及直線與圓錐曲線的綜合問題：通常設出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立方程組，結合根

與系數(shù)的關系，合理進行轉(zhuǎn)化運算求解，同時抓住直線與圓錐曲線的幾何特征應用.

19.（l）an=2"

⑵（T|）

答案第9頁，共12頁

(3)詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)廝和與的關系即可求解；(2)根據(jù)等差數(shù)列前幾項和公式求出7；代入化簡

即可解決；(3)求出肉瞥，進行適當放縮后用裂項相消求和解決.

【詳解】(1)設等比數(shù)列的公比為q,

當九=1時，有。2=。1+2,則aiq=%+2①

當正22時，[?+：：,九：,兩式相減可得：an+1-an^Sn-Sn^=an,

整理得與+1=2an,可知q=2,代入①可得a1=2,

所以等比數(shù)列｛冊｝的通項公式為廝=2幾(n￡N*).

(2)由已知在即與與+1之間插入幾個數(shù)，組成以an=2幾為首項的等差數(shù)列，

所以心=s+2)(a「+Q一廝_即+1==3n-2^,

則(_1)”<2_患=2_金

lnz

設@=2-未，則｛4｝是遞增數(shù)列,

當n為偶數(shù)時，A<2-奈恒成立，即4<(2—?)=。2=|，所以a<|；

N\minNN

當n為奇數(shù)時，—4<2-。恒成立，即—4<(2—=q=l,所以兀>—1；

2\2/min

綜上所述，4的取值范圍是(-1,|).

(3)證明：由(1)得%=一方=；,

log2a於2n

則有%一%+11立______四_____v_”_____

、V2n(n+1)2Vn(n+l)Vn(n+1)+Vn(n+1)nVn+l+Vn(n+l)

=.=-On一赤)=yj2(l____

VnVn+l(Vn+Vn+1)?7n+\\Vnyjn+lj'

瓦尚+M+…+鼠-2+i<回化一耳+d一目+…+厚―—)

亞亞匹V2/VV2V3/V^+1J

<&(1-<魚,原不等式得證.

20.(l)y-ln2=1(x-1)

⑵[0,+co)

(3)證明見解析

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，根據(jù)點斜式直線方程求解即可；

(2)先利用導數(shù)法證明ln(%+1)<%,然后按照a>0和a<0分類討論，a>0時結合結論