中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)：解直角三角形綜合訓(xùn)練 （三）

中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)：專題十八解直角三角形綜合訓(xùn)練

1.在ABC中,ZAZA,ZBZB都是銳角，cosA=-cosA=i,sinB=—sinB=—,

2222

則△ABC△ABC的形狀是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

2.如圖，一條河兩岸互相平行，為測(cè)得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測(cè)P、Q兩點(diǎn)距

離為機(jī)米，NPQT=tz,則河寬PT的長(zhǎng)度是（）

A.msinaB.mcosaC.mtan6zD.-------

tana

3.如圖，在2x2正方形網(wǎng)格（小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中，△回（7的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則

sinZG4B=（）

C

B

A

A3cR30屈D3

25510

4.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E、R是的三等分點(diǎn)，AF±BE,垂足為則tan/EV的

值是（）

C.-

3D需

4

5.如圖，已知在平行四邊形A3CD中，AB=5,BC=8,853=《，點(diǎn)后是3。邊上的動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)以CE為半徑的OC與邊AD有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，半徑CE的取值范圍是（）

A.0<CE<8B.0<CE<5C.3<CE<8D.3<CE<5

6.馬路邊上有一棵樹A3,樹底A距離護(hù)路坡的底端。有3米，斜坡的坡角為60度,

小明發(fā)現(xiàn)，下午2點(diǎn)時(shí)太陽(yáng)光下該樹的影子恰好為AZ）,同時(shí)刻1米長(zhǎng)的竹竿影長(zhǎng)為0.5米,

下午4點(diǎn)時(shí)又發(fā)現(xiàn)該樹的部分影子落在斜坡CD上的。石處，且5ELCD,如圖所示，線段

OE的長(zhǎng)度為（）

、/60。

D

C.3GmD.2y/3-3m

7.如圖，在△ABC中，NACB=90。，點(diǎn)。在A3的延長(zhǎng)線上，連接C。，若AB=2BD,

AC

tanZBCD=-7,則一）的值為（）

3BC

8.現(xiàn)在很多家庭都使用折疊型餐桌來節(jié)省空間，兩邊翻開后成為圓形桌面如圖①，餐桌兩邊

AD和平行且相等，如圖②，小華用皮尺量得AC=1.2m,AB=0.6m,那么桌

面翻成圓桌后，桌子面積會(huì)增加（）

①②

9.如圖，在矩形ABC。中，DC=3,AD=6DC,尸是A。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作

PG±AC,垂足為G,連接皮\取中點(diǎn)E,連接石G,則線段EG的最小值為（）

A.-B.-C.3D.V3

42

10.^8-^tan60°=.

U.如圖，與斜坡CE垂直的太陽(yáng)光線照射立柱AB（與水平地面5萬垂直）形成的影子，一部

分落在地面上，另一部分落在斜坡上.若BC=2米，CD=8.48米，斜坡的坡角NECF=32。，

則立柱AB的高為米（結(jié)果精確到0.1米）.

FCB

小穎

科學(xué)計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果(已取近似值)

0.530

0.848

0.625

12.如圖，RtZVLOB中，ZAOB=90°,頂點(diǎn)A,3分別在反比例函數(shù)y=L(x>0)與

X

3

y=—3(X<0)的圖象上，則/BAO的度數(shù)為.

13.在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，點(diǎn)。在3C邊上，且應(yīng)>=1,點(diǎn)尸是射線AD上不與點(diǎn)

A重合的一點(diǎn)，若中有一個(gè)角與N54D相等，則AP的長(zhǎng)為.

14.常德市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖①是某品牌共享單車放在水平

地面上的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中45、都與地面/平行，車輪半徑為32cm,

NBCD=64。，6c=60cm,坐墊E與點(diǎn)3的距離BE為15cm.(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)

據(jù)：sin64°?0.90,cos64°?0.44,tan64°?2.05)

(1)求坐墊E到地面的距離；

(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊E到的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適.小明的腿長(zhǎng)

約為80cm,現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置笈，求EE的長(zhǎng).

15.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們總是從一些最簡(jiǎn)單的圖形出發(fā)，研究其中的邊角關(guān)系，然后再應(yīng)

用所得到的結(jié)論去解決其他較復(fù)雜的問題.

(1)基本圖形：如圖(1),在△ABC中，AB=AC=m,ZBAC=a,則6C=，(用

含m,a的式子表示)

(2)解決問題：在△ABC中，AB=10,NB4c=45。，ZABC=60°.

①如圖(2),P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于AB,AC的對(duì)稱點(diǎn)分別是。，E,連接AP,

AD,AE,DE,請(qǐng)寫出AP與OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖(3),若P,Q,R分別是邊BC,AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為

(3)應(yīng)用拓展：如圖(4),E,R分別是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCZ)的邊5C,。。上的動(dòng)

點(diǎn)，且NEV=45。，P,Q,H分別是△AEF的邊AE,EF,AR上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出

△PQR的周長(zhǎng)的最小值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：?.1cosA=—,sin3=—

22

:.ZA=60°,ZB=60°,

.-.ZC=60°,

.?.△ABC是等邊三角形，

故選：B.

2.答案：C

解析：由題意得：PT±PQ,ZAPQ=9Q°,

在Rt^APQ中，=a米，NPQT=a,

PT=PQ-tanc=7〃tanc（米），

河寬PT的長(zhǎng)度是mtaniz米，

故選：C.

3.答案：B

解析：如圖，作8，回于點(diǎn)。，

根據(jù)題意有,

AC=AB=722+12=A/5,

q=S正方形3MG-S^ABN—S^ACG—S^BCN

□△ABC

即S^ABC=2x2-gx2xl-gx2xl-gxlxl,

%A3c2

S.ABC=—xABxCD,

-xyf5xCD=~,

22

./日3

sinACABR=CD=—5.

AC455

故答案為：B.

4.答案：C

解析：?.?點(diǎn)E、歹是CD的三等分點(diǎn)，

：.DE=EF=FC,

DF=CE,

.AD=BC,ZADF^ZBCE=90°,

..△ADFmABCE,

:.AF=BE,ZAFD^ZBEC,

:.EM=FM,

:.AM=BM,

沒AB=CD=3j%n,貝lj跖=，

3

-.AF±BE,

EM==^EF=m

:.AM^—AB=3m,

22

EM1

tanZEAF=-----=—,

AM3

故選：C.

5.答案：D

解析：如圖，過A作AMLBC于M,CN工AD于~N,連接AC,?.?四邊形A3CD是平行四邊

4BM

形，AD//BC,CD=AB=5,:.AM=CN,-.-AB=5,cosB=-=——，:.BM=4,

5AB

?/BC=8,;.CM=4=BM,XvAMXBC,:.AC^AB=5,由勾股定理得

AM=CN7AC2-CM?=3,二當(dāng)以CE為半徑的圓C與邊AD有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，半徑CE

的取值范圍是3<C￡W5.

解析：???同時(shí)刻1米長(zhǎng)的竹竿影長(zhǎng)為0.5米，4。=3米,

.?.樹的高度是6米；

延長(zhǎng)5E,交AZ）于點(diǎn)E

\-AB=6,ZCDF=60°,BELCD,

:.ZDFE=30°,

AB

AF=—7^=6^/^米,

tan30°

T

:.DF=AF-AD=（6y/3-3^^,

.-.DE=|￡>F=1（6^/3-3）=^3^-|^,

線段OE的長(zhǎng)度為-11m,

故選：A.

7.答案：B

解析：過點(diǎn)。作DMLBC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

?;ZACB=ZDMB=90°,ZABC=ZDBM,

BDBMDM

.AB—BC―AC，

-.AB=2BD,

BDBMDM1

"AB~~BC~^C^2J

.?.在Rt^CDM中，tanZMCD=-=?,沒DM=8k,

3CM

:.CM=12k,BC=2BM,

;.CM=2BM+BM=T2k,

:.BM=4k,

.4.BC=8k，

AC=16k,

.A。_161

故選：B.

8.答案：D

解析：將圓形補(bǔ)全，設(shè)圓心為。，連接。0,過點(diǎn)。作。E_LAD于點(diǎn)E,

由題意可得出：ZDAB^ZABC=90°,

AC是。。的直徑，

vAC=12,AB=0.6,

...AB1

sin/4CR-——

AC2

:.ZACB=30°,

餐桌兩邊AB和CD平行且相等,

:.ZACB^ZDAC=30°,

EO=-AO=0.3,

2

AE=A/A<92-0E-=地，

10

:.AD=2AE=^-,

5

ZCAD=ZD=30°,

:.ZAOD=120°,

Q

一?°q弓形AD=一Qq扇形AOD-0^AOD

12071x0.6x0.613括一

=-------------------------x------x0.3,

36025

39A/3

—-----71------------9

25100

二桌面翻成圓桌后，桌子面積會(huì)增加［色兀-述］平方米.

12550J

故選：D.

9答案:A

解析：如圖所示，取AP的中點(diǎn)E連接所，作GHLAO于作ETLGH于T,

設(shè)AP=m,

??,四邊形ABCD是矩形,

.-.ZD=90°,AB=CD=3,

:.ZDAC=30°,

\-PG±AC,

PG=—AP=—m,

ZAPG=90°-ZZMC=60°,

PH=PG-cosZAPG=-m-cos60°=—m,

GH^PGsinZAPG=工機(jī)?sin60°=祖根,

NPFE=ZBAP=90°,ZEPF=ZBPA,

:.AEPFsABPA,

PFEFPE1

"AP~AB~BP

131

:.EF=-AB=-,PF=-m,

222

GT=GH-HT=GH-EF=-m-~,

42

ET=FH=PF—PH=—m—m=—m,

244

在Rt^EGT中，EG2=GT2+ET2=(^m-|)2+(^-m)2=^-(m-^)2+^

...當(dāng)機(jī)=還時(shí)，EG?取得最小值名，

216

\-EG>0,

.?.EG的最小值為士.

4

故選：A.

10.答案：-1

解析：原式=2-6><代=2-3=-1.

故答案為-L

11.答案：19.2米

解析：如圖，過點(diǎn)。作垂足為H,過點(diǎn)C作CGLDH,垂足為G,

ZADH=90°-ZCDG=58°.

ZDAH=90°-ZADH=32°.

RtACDG中，CG=CDsin32°=8.48x0.53?4.49,

DG=CD-cos32°=8.48x0.848?7.19（米）.

DH=DG+GH=7.19+2=9.19（米）.

DH…

RtzXADT/中,-----=tan32,

AH

oio

AH=?14.70（米）.

0.625

AB=+BH=14.70+4.49?19.2（米）.

故答案為：19.2米.

12.答案：60°

解析：如圖，過A作AC_Lx軸于點(diǎn)C,過3作龍軸于D,

則NB￡X9=NACO=90°,

13

頂點(diǎn)A,3分別在反比例函數(shù)y=—(%>0)與y=-一(%<0)的圖象上,

XX

31

-S^BDO=5，S^AOC=5，

-.?ZAOB=9Q0,

ZBOD+ZDBO=ZBOD+ZAOC=90°,

:.ZDBO=ZAOC,

:.△BDOs^ocA,

3

.31空丫=2=3

，滉一出廠］.，

2

二”3

OA

tan/BAO==A/3，

OA

:.ZBAO=60°,

故本題答案為：60°.

13死案.小叵或電叵或生叵

13—1513

解析：如圖：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,

?.?△ABC是等邊三角形

.,.NC=60。，BE=-BC=-x4=2,

22

=AC-sinC=4x—=2A/3,DE=BE-BD=2-1=1,

2

AD=y/AE-+DE2=42呵+12=713,

如上圖：當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上，在中，ZPBD=ZBAD^,

ZPDB=ZBDA,

：.Z\PBDs^BAD,

翳器，得BD'QPD,

得F=gp。，PD=叵,

13

此時(shí)—3如舊-*=曾

如圖：當(dāng)點(diǎn)P在線段AD的延長(zhǎng)線上，在△P5D中，ZPBD=APAB^,

\-ZBPD=ZAPB,

:.△PBD^Z\PAB,

PDPBBD

PB~PA~AB~4

.-.PB=4PD,PB1=PDPA,

得（4PD）2=PD[PD+AD）,16PD~=PD2+J13PD,

解得PD=?；騊D=0（舍去）,

此時(shí)+*=嗜,

如圖：當(dāng)點(diǎn)P在線段AD的延長(zhǎng)線上，在中，=時(shí)，過點(diǎn)3作5尸，AP

于點(diǎn)F,

：.ZBFD=ZAED=90°,AB=PB,

AP=2AF,

5L-：ZBDF=ZADE,

:.AFBD^AEAD,

BD__FDZB1FD

'AD=1D,用；BF

解得陽(yáng)=巫，

13

此時(shí)AF=3FD=巫+*=噌

???-￥=喑

綜上,副的長(zhǎng)為此或嘈或第1

14.答案：（1）99.5cm

（2）3.9cm

解析：（1）如圖1,過點(diǎn)E作石于點(diǎn)M,

圖1

由題意知，ZBCM=64°,EC=BC+BE=15cm,

，EM=EC-sinZBCM=75-sin64O?67.5(cm),

?.?67.5+32799.5(cm),

單車車座E到地面的高度約為99.5cm；

(2)如圖2,過點(diǎn)￡作￡'〃，。于點(diǎn)”,

圖2

由題意知，E'H=80x0.8=64cm

Jx71.1(cm),

EE'=CE-CE'=75-71.1=3.9(cm),

.?.￡￡'的長(zhǎng)為3.9cm.

15.答案:(1)2msin-

2

(2)①DE=6AP,理由見解析

②5瓜

(3)2行

解析：(1)過點(diǎn)4作40,8。交3c于點(diǎn)

a]

:.ZBAD=—,BD=-BC,

22

./ns.aBD2

sin/BAD=sin—=----=——

2mm

:.—BC=msin—,即3c=2根sin0,

222

故答案為：2〃411處；

2

(2)①DE=6A