湖北省部分高中協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘。★?？荚図樌镒⒁馐马棧?、答題前，請將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、考試結(jié)束后，請將答題卡上交。一、選擇題8540項中，只有一項是符合題目要求的。1、在數(shù)列{a}中,a=1,aa=a+(-1)n(n≥2,n∈N*),則的值是()A.B.C.D.2.已知數(shù)列{a}中,a=2,a=4,a+a+a=2,則a2=()A.4B.2C.-2D.-43.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333的一個通項公式是()A.a=(10n-1)B.a=(10n-1)C.a=D.a=(10n-1)4、現(xiàn)有一球形氣球,在吹氣過程中,氣球的體積V(單位:L)與直徑d(單位:dm)的關(guān)系式為V=,當(dāng)d=2dm時,氣球體積的瞬時變化率為()A.2πB.πC.D.共4頁，第1頁5、若兩曲線y=lnx-1與y=ax2存在公切線,則正實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,2e]B.C.D.[2e,+∞)6、如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象,則f(x)的極小值點的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.47、(1+x)2+(1+x)3x)9的展開式中x2的系數(shù)是()A.60B.80C.84D.1208、甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在兩端,乙和丙之間恰有2人,則不同排法共有()A.20種B.16種C.12種D.8種二、選擇題36186錯的得0分。9、(多選題)如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則以下關(guān)于函數(shù)y=f(x)的判斷正確的是()A.在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞減B.在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增C.-3是極小值點D.4是極大值點10、(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)g(x)=xf'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是()共4頁，第2頁A.f(x)有兩個極值點B.f(-2)為函數(shù)的極小值C.f(x)有兩個極小值D.f(-1)為f(x)的極小值11、(多選題)已知(1-2x)2023=a+ax+ax2a2x2023,則下列結(jié)論正確的是()A.展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為22023B.展開式中所有奇次項的系數(shù)的和為C.展開式中所有偶次項的系數(shù)的和為D.=-1三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、已知等差數(shù)列{a}的項數(shù)為奇數(shù),其中所有奇數(shù)項和為290,所有偶數(shù)項和為261,則該數(shù)列的項數(shù)為。13、已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且x≤1時,f(x)=ex+x-1,則曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為。14、(x+1)2的展開式中,x3的系數(shù)是。四、解答題：本題共5小題，共77分15（本小題滿分15分）在數(shù)列{a}中,Sn是數(shù)列{a}的前n項和,S=4a+2,a=1。(1)設(shè)c=,求證數(shù)列{c}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{a}的通項公式。共4頁，第3頁16（本小題滿分15分）已知數(shù)列{a}的前n項和為S,a=,且滿足(n-1)·S+2na=0。(1)設(shè)b=,證明:是等比數(shù)列;(2)設(shè)c=,數(shù)列{c}的前n項和為T,證明:T<2。17（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x。(1)當(dāng)0≤x≤π時,求f(x)的最大值;(2)當(dāng)時,證明:f(x)>ln(x+1)。18（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=ex+sinx-1。(1)判定函數(shù)f(x)在上的零點個數(shù);(2)?x≥0,f(x)+mx≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍。19（本小題滿分17分）有6名同學(xué)報名參加3個智力競賽項目,在下列情況下各有多少種不同的報名方法(6名同學(xué)不一定都能參加)?(1)每人只參加一項,每項人數(shù)不限;(2)每項限報一人,且每人至多參加一項;(3)每項限報一人,但每人參加的項目不限。共4頁，第4頁

一、選擇題：1、C解析由已知,得a=1+(-1)2=2,所以2a=2+(-1)3,a=,所以+(-1)4,a=3,所以3a=3+(-1)5,所以a=,所以。故選C。2.D解析因為a=2,a=4,a+a+a=2,所以a=2-a-a,則a=2-a-a=-4,a=2-a-a=2,a=2-a-a所以數(shù)列{a}是以3為周期的周期數(shù)列,則a2=a=a=-4。故選D。3.C解析根據(jù)題意,數(shù)列9,99,999,9的第n項為10n-1,則數(shù)列0.9,0.99,0.999,0.999的第n項為×(10n-1)=1-,則數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333的一個通項公式是a=。故選C。4、A解析設(shè)V=f(d)=,則f'(d)=,所以當(dāng)d=2dm時,氣球體積的瞬時變化率為f'(2)=2π。故選A。5、B解析設(shè)公切線與曲線y=lnx-1和y=ax2的切點分別為(x,lnx-1),(x,a),其中x>0,對于y=lnx-1有y'=,則y=lnx-1的切線方程為y-(lnx-1)=(x-x),即y=+lnx-2y=ax2有y'=2ax,則y=ax2的切線方程為y-a=2ax(x-x),即y=2axx-a,所以則-=lnx-2,即lnx(x>0)。令g(x)=2x2-x2lnx,則其定義域為(0,+∞),g'(x)=3x-2xlnx=x(3-2lnx),令g'(x)=0,得x=,當(dāng)x∈(0,)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)=g()=e3,故0<e3,即a≥e-3。故選B。6A解析由題意知,只有在x=-1處滿足f'(-1)=0,A。7、D解析因為(1+x)n的展開式的通項T=xr,所以(1+x)2+(1+x)3x)9的展開式中x2的系數(shù)是=120。故選D。8、B解析因為乙和丙之間恰有2人,所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位,①當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)首四位,此時還剩末位,故甲在乙丙中間,排乙丙有種方法,排甲有種方共4頁，第1頁法,剩余兩個位置兩人全排列有種排法,所以有=8種方法;②當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)尾四位,此時還剩首位,故甲在乙丙中間,排乙丙有種方法,排甲有種方法,剩余兩個位置兩人全排列有種排法,所以有=8,一共有8+8=16種排法,故選B。二、選擇題：9BD解析函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,4)上f'(x)>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞增,故A不正確,B正確;C項,由題中圖象知當(dāng)x=-3時,函數(shù)f'(x)取得極小值,但是函數(shù)y=f(x)沒有取得極小值,故C錯誤;D項,當(dāng)x=4時,f'(x)=0,當(dāng)2<x<4時,f'(x)>0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>4時,f'(x)<0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減,故4是函數(shù)f(x)的極大值點,故D正確。故選BD。10、BC解析由題圖知,當(dāng)x∈(-∞,-2)時,g(x)>0,所以f'(x)<0,當(dāng)x∈(-2,0)時,g(x)<0,所以f'(x)>0,當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)<0,所以f'(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時,g(x)>0,所以f'(x)>0f(x)在(-∞,-2),(0,1)上單調(diào)遞減,在(-2,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增。故AD錯誤,BC正確。故選BC。11、ACD解析對于A,(1-2x)2023的展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為22023,故A正確;對于B,令f(x)=(1-2x)2023,則a+a+a+aa2=f(1)=-1,a-a+a-aa2=f(-1)=32023,所以展開式中所有奇次項的系數(shù)的和為,展開式中所有偶次項的系數(shù)的和為,故B錯誤,C正確;對于D,a=f(0)=1,-a=-1,故D正確。故選ACD。三、填空題：12、19解析設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項和為S,項數(shù)為2k-1,則,解得k=10,則項數(shù)為2×10-1=19。13、2x+y-4=0解析解法一:P(2,f(2))關(guān)于直線x=1的對稱點為(0,f(0)),即點(0,0),當(dāng)x≤1時,f'(x)=ex+1,f'(0)=2,所以f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,其關(guān)于直線x=1對稱的直線方程即所求方程為2x+y-4=0。解法二:設(shè)點M(x,y),N(x,y)分別為函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于直線x=1對稱的兩點,且x≤1<x,則所以y=-x+1x>1時,f(x)=e2-x-x+1,所以f(2)=e2-2-2+1=0,f'(x)=-e2-x-1,所以f'(2)=-e2-2-1=-2,所以曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為y=-2(x-2),即2x+y-4=0。共4頁，第2頁14、15解析的展開式的通項為T=x5-2k,(x+1)2=x2+2x+1,當(dāng)在(x2+2x+1)中取x2時,令5-2k=1,解得k=2,則有x2x=10x3;當(dāng)在(x2+2x+1)中取2x時,令5-2k=2,無解;當(dāng)在(x2+2x+1)中取1時,令5-2k=3,解得k=1,則有1×x3=5x3(x+1)2的展開式中,含x3的項為10x3+5x3=15x3,所以x3的系數(shù)是15。四、解答題：15、解(1)證明:在數(shù)列{a}中,?n∈N*,S=4a+2,則當(dāng)n≥2時,S=4a+2,兩式相減,得an=4a-4a。因為c=,即a=2nc,所以2n+1c=4×2nc-4×2n-1c,整理得c=2c-c,即cn+c=2c,所以數(shù)列{c}是等差數(shù)列。(2)由S=4a+2,得a+a=4a+2,又a=1,所以a=5,c=,c=,因此,等差數(shù)列{c}的公差d=,即{c}是以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以c=(n-1)=,即,則a=(3n-1)·2n-2,所以數(shù)列{a}的通項公式為a=(3n-1)·2n-2。16、證明(1)因為(n-1)S+2na=0,而a=S-S,所以(n-1)S+2n(S-S)=0,所以,即b=b,而b=S=a=,所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列。(2)由(1)知,所以S=,所以a=。當(dāng)n=1時,c==1,所以T<2。當(dāng)n≥2時,c=,所以T=1+<2。綜上,T<2。17、解(1)f'(x)=2cosx-2cos2x=2cosx-2(2cos2x-1)=(-cosx+1)(4cosx+2)。當(dāng)0≤x≤π時,令f'(x)>0,得-<cosx<1,即0<x<;令f'(x)<0,得cosx<-,即<x<π。所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)0≤x≤π時,f(x)=f。(2)證明:設(shè)g(x)=f(x)-ln(x+1)=2sinx-sin2x-ln(x+1),則g'(x)=-4cos2x+2cosx+2-時,1->0,所以g'(x)>-4cos2x+2cosx+1,又-4cos2x+2cosx+1=-4,所以-4cos2x+2cosx+1>0,所以g'(x)>0在區(qū)間共4頁，第3頁上恒成立。所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g-0.739>0,所以當(dāng)時,f(x)>ln(x+1)。18分析】對于第(2)問:設(shè)g(x)=ex+sinx+mx-1(x≥0),因為g(0)=0,g(x)≥0,所以一定存在x0>0,使g(x)在(0,x)上單調(diào)遞增,否則不滿足g(x)≥0g'(x)=ex+cosx+m,所以g'(0)=m+2≥0,即m≥-2。這可能就是所要求的范圍,下面給予證明?！窘狻?1)由題意得f'(x)=ex+cosx,當(dāng)x∈時,易得函數(shù)f'(x)單調(diào)遞增,而f'(-π)=e-π-1<0,f'>0,故存在x∈,使f'(x)=0,當(dāng)x∈[-π,x)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈時,f'(x)>0,而f(-π)=e-π-1<0,f-2<0,所