江蘇省蘇州市2024～2025學年高二下學期期中調(diào)研數(shù)學試卷含答案

/江蘇省蘇州市2024?2025學年高二下學期期中調(diào)研數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若函數(shù)，則當自變量由1變化到1.1時，函數(shù)的平均變化率是（）A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.32．某個彈簧振子在振動過程中的位移（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則該彈簧振子在時的瞬時速度是（）A． B． C． D．3．某班有5名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊、羽毛球隊，每人限報其中一個運動隊，則不同的報法種數(shù)是（）A． B． C． D．4．如圖，直線和圓，當從開始在平面上按順時針方向繞點勻速轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度不超過）時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積是時間的函數(shù)．這個函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．5．要從5名高二學生中選出3名同學分別到兩個社區(qū)做志愿者，每個社區(qū)至少一人，則不同安排的種數(shù)是（）A．20 B．40 C．60 D．806．的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，則（）A． B．75 C．135 D．1657．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．用半徑為4的圓形鐵皮剪出一個圓心角為的扇形，制成一個圓錐形容器，當該圓錐形容器的容積最大時，扇形的圓心角是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．到了畢業(yè)季，某科技創(chuàng)新興趣小組內(nèi)的5名同學要站在一排進行拍照留念，則下列說法正確的是（）A．所有不同的排法種數(shù)為120種B．如果甲同學和乙同學必須相鄰，則所有不同的排法種數(shù)為48種C．如果甲同學不站在第一個位置，也不在最后一個位置，則所有不同的排法種數(shù)為48種D．如果甲和丙不能相鄰，則所有不同的排法種數(shù)為72種10．若函數(shù)，其導函數(shù)為偶函數(shù)，且其導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）A．在與處的瞬時增長率相同B．在上不單調(diào)C．可能為奇函數(shù)D．11．“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（）

A．在“楊輝三角”第6行中，從左到右第3個數(shù)是20B．在“楊輝三角”中，第10行的所有的數(shù)字之和為1024C．記“楊輝三角”第行的第個數(shù)為，則D．在“楊輝三角”中，第行所有數(shù)字的平方和恰好是第行的中間一項的數(shù)字三、填空題（本大題共3小題）12．曲線在點處的切線方程為.13．在的展開式中，含項的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）14．若一個三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如212，324等都是“凹數(shù)”，用1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成三位數(shù)，則組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)是，其中能被3整除的“凹數(shù)”的個數(shù)是.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）求值：①；②.（2）求證：；16．已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為2187.(1)求和的值；(2)求展開式中按的降冪排列的第3項；(3)求展開式中項的系數(shù)最大的項.17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)若函數(shù)在上存在最大值，求實數(shù)的范圍；(3)過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的范圍.18．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)的一個極值點是，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍：(3)當時，，求實數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與曲線只有一個公共點，求實數(shù)的值；(2)若方程有兩個不同的解，且，①求實數(shù)的范圍，試比較與的大小關(guān)系，并說明理由；②證明：.

參考答案1．【答案】B【詳解】當自變量由1變化到1.1時，，，則，則平均變化率是.故選B.2．【答案】A【詳解】由，當時，，所以該彈簧振子在時的瞬時速度是.故選A.3．【答案】D【詳解】每個同學報名都有4種方式可選，共有5個同學，則有種報名方法.故選D.4．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，可得面積隨著的增大而增加，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且增長趨勢先慢后快，過圓心后逐漸變慢，即函數(shù)圖象的變化率先變大在變小，結(jié)合選項，可得選項D復(fù)合題意.故選D.5．【答案】C【詳解】從5名高二學生中取出1人組和2人組的取法數(shù)為，再把兩組人分配到兩個社區(qū)有種方法，所以不同安排的種數(shù)是.故選C.6．【答案】D【詳解】展開式的通項，則，的展開式中的項為，則，所以.故選D.7．【答案】A【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以，即，令，則即可，，所以在上單調(diào)遞減，故，所以.故選A.8．【答案】D【詳解】設(shè)圓形半徑為，圓錐底面半徑為，則扇形的弧長為，圓錐底面周長為，則，即，則圓錐的高為，則圓錐的體積為設(shè)，則，由得；得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，取最大值，即時，圓錐的體積取最大值，此時.故選D.9．【答案】ABD【詳解】對于A，5名同學排一排共有種不同排法，故A正確；對于B，相鄰問題捆綁法，共有種排法，故B正確；對于C，先排甲，有3個位置可選，再排另外4人有種，共有種排法，故C錯誤；對于D，先將除了甲丙之外的三人排好有種，再插空甲丙有種，共有種排法，故D正確.故選ABD.10．【答案】ACD【詳解】對于A，由函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，得，因此在與處的瞬時增長率相同，A正確；對于B，當時，，因此在上單調(diào)遞減，B錯誤；對于C，函數(shù)的導函數(shù)符合給定圖象，函數(shù)是奇函數(shù)，C正確；對于D，當時，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上為凹函數(shù)，因此，即，D正確.如圖，在凹函數(shù)定義域內(nèi)，觀察圖象得.故選ACD.11．【答案】BCD【詳解】對于A中，在楊輝三角中，第6行第3個數(shù)是，所以A錯誤.對于B中，第10行的所有的數(shù)字之和為，所以B正確.對于C中，第行的第個數(shù)為，所以即，所以C正確.對于D中，用數(shù)學符號語言可表示為：，證明如下：對應(yīng)相乘，恰好得到這一項的系數(shù)為，而是二項式的展開式中第項的二項式系數(shù)（即的系數(shù)），故，所以D正確.故選BCD.12．【答案】【解析】求出曲線在處的導數(shù)值即切線斜率，即可得出方程.【詳解】，，在點處的切線的斜率，則切線方程為，即.13．【答案】330【詳解】展開式中含有項的系數(shù)為.14．【答案】3010【詳解】依題意，十位數(shù)字是1的“凹數(shù)”個數(shù)為；十位數(shù)字是2的“凹數(shù)”個數(shù)為；十位數(shù)字是3的“凹數(shù)”個數(shù)為；十位數(shù)字是4的“凹數(shù)”個數(shù)為1，所以所求“凹數(shù)”的個數(shù)是；1，2，3，4，5除以3的余數(shù)依次為1，2，0，1，2，因此能被3整除的“凹數(shù)”含有數(shù)字3時，另兩個數(shù)字除以3的余數(shù)不同，其中十位數(shù)字是1，另兩個數(shù)字分別為2，3和3，5；十位數(shù)字是2，另兩個數(shù)字為3，4；十位數(shù)字是3，另兩個數(shù)字分別為4，5；共有個；不含數(shù)字3時，三個數(shù)字除以3的余數(shù)相同，十位數(shù)字是1，另兩個數(shù)字分別為4，4；十位數(shù)字是2，另兩個數(shù)字為5，5，共2個，所以能被3整除的“凹數(shù)”的個數(shù)是10個.15．【答案】（1），，（2）證明見詳解【詳解】（1）①.②由二項式系數(shù)和的特點，.（2）.16．【答案】(1)，(2)(3)第6項【詳解】（1）由題意得，即，解得，令，則各項系數(shù)和為，解得.所以，.（2）由（1），展開式的通項為，所以展開式中按降冪排列的第3項為，（3）由（2）知，展開式的第項系數(shù)為，，設(shè)第項系數(shù)最大，則，解得，又，所以，所以展開式中項的系數(shù)最大的項為第6項.17．【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；(2)；(3).【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，求導得，當或時，；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，函數(shù)有唯一極大值點，要函數(shù)在上存在最大值，則，當時，恒有，當時，，當時，，由，得，整理得，解得，因此，解得，所以實數(shù)的范圍是.（3）設(shè)切點坐標為，則，切線方程為，由切線過點，得，整理得，令，求導得，當或時，；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，由過點可作曲線的三條切線，得方程有3個不同實數(shù)解，則直線與函數(shù)的圖象有3個交點，于是，所以數(shù)的范圍是.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由得則.檢驗：當時，函數(shù)當時，單調(diào)遞減，當時單調(diào)增.則在時取得極小值值，符合題意.（2）其中在內(nèi)有零點，則.則.（3）令則.令則在上單調(diào)遞減，則則，則在時恒成立，則單調(diào)遞減，則時,則.以上.19．【答案】(1)(2)①，，理由見解析；②證明見解析.【詳解】（1），曲線在處的切線斜率為，所以曲線在處的切線方程為．由于