2016年高考各省數(shù)學(xué)試題匯編

絕密★啟封并使用完畢前

試題類型：A

2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

全國卷H晉、豫、冀、贛、鄂、湘、粵、皖、閩).

注意事項：

1,本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至3頁，第n卷3至5

頁.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置.

3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.

第I卷

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

(1)設(shè)集合”={11爐-4X+3<0},B={X\2X-3>0］則4B=

3333

(-3,--)(-3,-)(1,-)(-,3)

(A)2(B)2(c)2(D)2

(2)設(shè)(l+i)x=1+W,其中x,)，是實數(shù)，則上+刈=

(A)1(B)3(C)G(D)2

(3)已知等差數(shù)列{"J前9項的和為27,6/10=8,則"@二

(A)100(B)99(C)98(D)97

(4)某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班

車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是

11?3

(A)-(B)-(C)-(D)-

3234

x2V2

(5)已知方程---------4—二1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則

+n3m~-n

〃的取值范圍是

(A)(-1,3)(B)(-l,小)(C)(0,3)(D)(0,小)

(6)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾

何體的體積是空，則它的表面積是

3

(A)17n(B)18n(C)20人(D)28”

(7)函數(shù)產(chǎn)2?-那在［-2,2］的圖像大致為

(A)ac<bc(B)abc<bac

(C)a\ogbc<b\ogac(D)\ogac<\ogbc

(9)執(zhí)行右面的程序圖，如果輸入的x=0,y=L/?=1,則輸出x,y的值滿足

(10)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、8兩點，交C的準線于。、月兩點.已知|AB|=4&,

\DE\=2y[5,則C的焦點到準線的距離為

(A)2(B)4(C)6(D)8

(11)平面。過正方體ABCQ-AiBCQ的頂點A,a〃平面C8。，af]平面"CD郵，afl平

面ABBiA=n,則m、〃所成角的正弦值為

+x/2V31

(A)—(B)—(C)—(D)-

2233

12.已知函數(shù)f(x)=sin(5+0)3>O，M|=為/(x)的零點，x=(為

y=f(x)圖像的對稱軸，且/(%)在單調(diào)，則力的最大值為

(A)11(B)9(C)7(D)5

第H卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題~第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答.

第(22)題?第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分

(13)設(shè)向量a=(m,1),)=(1,2),且|a+bF=|aF+步F，則〃尸.

(14)(2X+&)5的展開式中，V的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)

(15)設(shè)等比數(shù)列滿足D滿足。1+。3=10，。2+。4:5,則43…4"的最大值為。

(16)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料。生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要

甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,

用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。學(xué).科

網(wǎng)該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、

產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元。

三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

(17)(本題滿分為12分)

A3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別別為。，b,c,已知2cosc(々8s3+bcosA)=c.

(I)求C；

(II)若c=布,ABC的面積為出，求ABC的周長.

2

(18)(本題滿分為12分)

如圖，在已A,8,C,Q,E,尸為頂點的五面體中，面A8"為正方形,ZAFD=90,

且二面角O-ARE與二面角CBE-F都是60.

(I)證明；平面ABE尸_L平面EFOC；

(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

(19)(本小題滿分12分)

某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器

時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買,

則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺

這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖:

40

20

II9110},L更兼的用摘軍伊馳

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X

表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

(I)求X的分布列;

(II)若要求P(XV〃)20.5,確定〃的最小值;

(III)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一，應(yīng)

選用哪個？

20.(木小題滿分12分)

設(shè)圓/+y2+24-15=0的圓心為A,直線/過點且與X軸不重合，/交圓A于。,

D兩點,過B作AC的平行線交4。于點￡

⑴證叫酬+但卻為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(II)設(shè)點E的軌跡為曲線G，直線/交C于M,N兩點，過8且與！垂直的直線與圓4交

于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

(21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=(x-2)/+a(x-I)2有兩個零點.

⑴求。的取值范圍；

(H)設(shè)X1，X2是的兩個零點，證明：X[+X2<2.

請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題

號

(22)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，△OAB是等腰三角形，NAO5=120°.以。為圓心，,以為半徑作圓.

2

⑴證明：直線AB與。O相切

(II)點CO在00上，且48.CD四點共圓，證明：AB//CD.

(23)(本小題滿分10分)選修I：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

X-dcost

在直線坐標(biāo)系xoy中，曲線G的參數(shù)方程為《一.(/為參數(shù)，a>0)

y=1+asinr

o在以坐標(biāo)原點為極點，X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線Q：p=4cos。

（I）說明G是哪種曲線，并將Ci的方程化為極坐標(biāo)方程;

（II）直線C3的極坐標(biāo)方程為8=〃0,其中4G滿足ku.2,若曲線G與C2的公共點都在

。3上，求（1o

（24）（本小題滿分10分），選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)兀r）=Ix+1I-I2x-3I.

（I）在答題卡第（24）題圖中畫出y=/（x）的圖像；

（II）求不等式I貝x）|>1的解集。

2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)參考答案

A.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

(1)D(2)B(3)C(4)B(5)A(6)A

(7)D(8)C(9)C(10)B(11)A(12)B

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分

(13)-2(14)10

(15)64(16)216000

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

(17)(本小題滿分為12分)

解；(D由已知及正弦定理得，2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

即2coscsin(A+B)=sinC.

故2sinCcosC=sinC.

可得cosC="L所以C=X.

23

(II)由已知，-^sinC=—.

22

JT

又C=—,所以〃6=6.

3

由已知及余弦定理得，a2+b2-2abcosC=7.

故〃2+/=13,從而(々+0)2=25.

所以AABC的周長為5+J7.

(18)(本小題滿分為12分)

解：(I)由已知可得AFJ_DF,AF±FE,所以AF_L平面EFDC.

又AFu平面ABEF,故平面ABEF_L平面EFDC.

(II)過D作DG_LEF,垂足為G,由(I)知DG_L平面ABEF.

以G為坐標(biāo)原點，GF的方向為工軸正方向，|GF|為單位長度，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系G-型.

由⑴知NDFE為二面角D-AF-E的平面角，故NDFE=60,W|EF|=2,|DG|=3,

可得A(l,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,x/3).

由已知，AB//EF,所以AB〃平面EFDC.

又平面ABCD平面EFDC=DC,故AB〃CD,CD//EF.

由BE〃AF,可得BEJL平面EFDC,所以NCEF為二面角C-BE-F的平面角,

ZCEF=60.從而可得

所以EC=(l,0,G),EB=(0,4,0),AC=(—3,T,G),AB=(Y,O,O).

設(shè)〃=(x,y,z)是平面BCE的法向量，則

〃

EC=0,即＜x+\/3z=0

H-EB=04y=0

所以可取〃=9,0,-6卜

in-AC=0

設(shè)機是平面ABCD的法向量,則《

m-AB=0

n?tn2\/19

同理可取m則cos(〃,w)=

問網(wǎng)19

故二面角E-BC-A的余弦值為一短9.

(19)(本小題滿分12分)

解：(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,

10,11的概率分別為0.2,0.4,02,0.2,從而

P(X=16)=0.2x0.2=0.04；

P(X=17)=2x0.2x0.4=0.16；

p(x=18)=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24；

P(X=19)=2x0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.24；

P(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2；

P(X=21)=2x0.2x0.2=0.08：

P(X=22)=0.2x0.2=0.04.

所以X的分布列為

X16171819202122

p0.040.160.240.240.20.080.04

(II)由(I)知P(XV18)=Q44,P(X<19)=0.68,故〃的最小值為19.

(Ill)記丫表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元).

當(dāng)"=19時，￡7=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+(19x200+2x500)x0.08

+(19x200+3x500)x0.04=4040.

當(dāng)〃=20時，

EK=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080.

可知當(dāng)〃=19時所需費用的期望值小于〃=20時所需費用的期望值，故應(yīng)選〃=19.

20.(本小題滿分12分)

解：(I)因為|AO|=|AC|,EB//AC,故/EBD=ZACD=ZADC,

所以|￡8|=|EO|,^.\EA\+\EB\=\EA\+\ED\=\AD\.

又圓A的標(biāo)準方程為(x+l)2+y'=16,從而|A￡)|=4,所以|E4|+|￡8|=4.

由題設(shè)得A(—1,0),8(1,0),|48|=2,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：

22

—x+2v-=1("0).

43

(H)當(dāng)/與x軸不垂直時，設(shè)/的方程為丁=左。-1)6/0),〃(石,,)，N(x2,y2).

y=k(x-1)

rti</產(chǎn)得(4公+3)f—8FX+4F—12=0.

-----1-----=1

43

8尸4^-12

則

+X2=止+3'中2-軟2+3

12(公+1)

所以|MN|=J1+公?$一%|=

4&2+3

1?

過點8(1,0)且與/垂直的直線加：y=--(x-l),A到機的距離為一j--------所以

k"2+[

|P2I=242-(-2=)2=4

/.故四邊形MPNQ的面積

V找+1

S二g|MN||PQ1=1241

442+3

可得當(dāng)/與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為口2,86).

當(dāng)/與x軸垂直時，其方程為x=l,|MN|=3,|尸Q|=8,四邊形MPNQ的面積為12.

綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8JJ).

(21)(本小題滿分12分)

xr

解：(I)f\X)=(x-\)e+2a(x-1)=(x-l)(e+2a).

⑴設(shè)。=0,則/(x)=(u-2)/,/(x)只有一個零點.

(ii)設(shè)。>0,則當(dāng)X￡(YO,1)時，/'")<0；當(dāng)X￡(L+?)時，/,(X)>0.所以/(X)

在(YO,1)上單調(diào)遞減，在。,+0。)上單調(diào)遞增.

又/(1)=一e,/(2)=?,取b滿足〃v0且b<ln￡,則

f(b)>-(b-2)+a(b-l)2=a(b2--b)>0,

22

故/(x)存在兩個零點.

(iii)設(shè)avO,由尸(x)=0得工=1或x=ln(-2a).

若。則ln(-2a)Kl,故當(dāng)xw(l,+oo)時，/'(x)>0,因此f(x)在(1,包)上單調(diào)

遞增.又當(dāng)時，/(x)<0,所以/(x)不存在兩個零點.

若"-則蚊？4乂，故當(dāng)x￡(l』n(—2。))時，/'(x)<0；當(dāng)x￡(ln(2〃*時,

f\x)>0.因此/(x)在(l』n(—2a))單調(diào)遞減，在(ln(-2a),+o。)單調(diào)遞增.又當(dāng)時,

/(x)<0,所以/(?不存在兩個零點.

綜上，〃的取值范圍為(0,+8).

(II)不妨設(shè)X1<々，由(I)知工］GOOXe(1,4-00),e(-oo,1),/(x)在(y,l)

(-,1),22-X2

上單調(diào)遞減，所以玉+々<2等價于/(占)>/(2-/)，即f(2—/)<°.

由于/(2—S)=-%2,2"+-I)??而f(々)=(X2—2)e"+4*2—D?=0,所以

2X2

/(2-x2)=-x2e~-(x2-2)e”.

2xx

設(shè)g(x)=re2r_(x_2)e\則g\x)=(x-\)(e--e).

所以當(dāng)x>l時，g*(x)<0,而g(l)=0,故當(dāng)x>l時，g(x)vO.

從而g(X2)=/(2-9)<°，故%+工2<2.

請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題

號

(22)(本小題滿分10分)選修乙1：幾何證明選講

解：(I)設(shè)E是A3的中點，連結(jié)。上，

因為。4=0氏NAOB=120。，所以O(shè)E_LAB,NAO￡=60°.

在Rt^OE中，OE=』A。，即。到直線AB的距離等于圓。的半徑,所以直線AB

2

與。O相切.

（II）因為。4=20。，所以。不是ARC,。四點所在圓的圓心，設(shè)。是

4,8,C,。四點所在圓的圓心，作直線001

由已知得0在線段45的垂直平分線上，又O'在線段43的加直平分線上，所以

OO,-LAB.

同理可證，OOLCD.所以AB〃CD.

（23）（本小題滿分10分）

解：⑴匕“cos’（「均為參數(shù)）

（j=l+flsinr

???￥+（）,_I）?=/①

???&為以（0,1）為圓心，a為半徑的圓.方程為f+），2—2y+l—。2=0

122

VX+y=pty=psinQ

??p2-2psin0+\-a2=0即為的極坐標(biāo)方程

（2）C2：p=4cos。

兩邊同乘夕得p?=4p8S。p2=x2+y2,pcos0=x

x2+y2=4x

即（x-2）2+）,2=4②

G：化為普通方程為1y=2x

由題意：G和G的公共方程所在直線即為G

①一②得：4x-2y+\-a:=0,即為C3

/.1-^2=0

.*.?=!

（24）（本小題滿分10分）

解：（1）如圖所示：

x-4,

3

⑵/W=-3x—2,—1<x<一

2

、3

4-x,x^—

2

當(dāng),解得x>5或xv3

W—1

3i

當(dāng)T<x</,|3x-2|>1,解得x>l或

I3

/.-l<x<-§￡l<x<—

32

當(dāng)|4一x|>l,解得x>5或x<3

，3wx<3或x>5

2

綜上，X/或1cx<3或x>5

3

???〃(到>1，解集為卜嗎)(1,3)(5,+oo)

2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

全國卷2(貴、甘、青、藏、吉、寧、蒙、黑、疆、云、遼)

本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共24題，共150分，共4頁?？荚?/p>

結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條

形碼區(qū)域內(nèi)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5亳米黑色字跡的簽字筆

書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效;

在草稿紙、試題卷上答題尢效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用墨色筆跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮

紙刀。

第?卷

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

(1)已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)機的取值范

圍是

(A)(-3,1)(B)(-1,3)(C)(1,4-00)Ct+?)(D)

(2)已知集合幺=@2,3}B={r|(r+lXx-2)<0,xeZ}則=

(A)0}(B)Q，2》(C)3123)(D){-10,12,3}

⑶已知向量e=Q電且(。+加_1_白，則〃尸

(A)-8(B)-6(C)6(D)8

(4)圓工+/一2工-8/13=0的圓心到直線皿+了-1=0的距離為1,則“

43r~

(A)——(B)——(C)J3(D)2

34

(5)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年

公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

(A)24(B)18(C)12(D)9

(6)右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

—4-?

n(C)28n(D)32n

(7)若將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移專個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為

k/r乃kjr

(A)x=(keZ)(B)x=------1--7(仁)

~2~~626

k乃乃

x=(keZ)(D)x=------F■—(keZ)

"12212

(8)中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，右圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖,執(zhí)行該程序框

圖，若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的5=

/輸N"

?

_=0,5=0I

/輸

?

$記拜M

/輸時/

十1

（3?

(A)7(B)12(C)17(D)34

3

n5

(9)若cos(4-a)=

1、7

(A)—(B)—(C)-(D)-------

255525

（10）從區(qū)間［°』隨機抽取2〃個數(shù)乜",…，J貝，居，…，外，構(gòu)成〃個數(shù)對（區(qū)田）,

（?，為），…，（$，乂），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法

得到的圓周率R的近似值為

4n2n4m2m

(A)E(B)E(C)?(D)n

（11）已知尸/,F?是雙曲線E1的左,右焦點,點"在E上，MB與工軸垂直,

ZMF^=-

sin3，則E的離心率為

3

(A)及(B)2(C)(D)2

r-4-1

(12)已知函數(shù)/(x)(xeR)滿足f(-x)=2-f(x)，若函數(shù)y=--與y=/(x)圖像的

x

交點為(西.切),(々，必)…，(/，yJ則2(蒼+必)=

i=l

(A)0(B)m(C)2w(D)4m

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)題~第(21)題為必考題，每個試題

考生都必須作答.第(22)題?第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共3小題，每小題5分。

4工

(13)△A8C的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為a、b、c,若cos4=5,cosC=13,a=l,則

b-___.

(14)*6是兩個平面，m、。是兩條直線，有下列四個命題：

(1)如果m_L",m_La,n//6,那么a_L6.

(2)如果m_La,n//a,那么m_Lc.

(3)如果a〃6,mUa,那么m〃6.

(4)如果m〃"，a//6,那么m與a所成的角和/?與6所成的角相等.

其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號)

(15)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3。甲，乙，丙三人各取走一張卡片，

甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2"，乙看了丙的卡片后說：''我與

丙的卡片上相同的數(shù)字不是1"，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)

字是。

(16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切線，則b=。

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

(17)(本題滿分12分)

Sn為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，且q=1，S7=28記，式坨~],其中【司表示不

超過X的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[恰99]=1。

(I)求4,bn,%；

(II)求數(shù)列(“J的前1000項和

(18)(本題滿分12分)

某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的

本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出01234N5

險次數(shù)

保費0.85aa1.25a\.5a1.75a2a

設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)出01234N5

險次數(shù)

概率0.300.150.200.20OJO0.05

(I)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

(II)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；

(III)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

(19)(本小題滿分12分)

如圖，菱形48co的對角線AC與8。交于點。，48=5,AC=6,點￡,F分別在4D,CD上,

5

AE=CF=4,EF交8。于點兒將沿EF折到的位置，的=底

(I)證明：■平面A8CD；

(II)求二面角￡一以一c的正弦值.

（20）（本小題滿分12分）

已知橢圓E:i3的焦點在工軸上，A是E的左頂點，斜率為A（QO）的直線交E

于AM兩點，點N在E上，MA工NA.

（I）當(dāng)t=4,皿1=囪時，求“MN的面積；

（II）當(dāng)2⑷^=@1時，求A的取值范圍.

（21）（本小題滿分12分）

f00=X-^gx

⑴討論函數(shù)x+2的單調(diào)性，并證明當(dāng)五＞0時，任一？）/+五+2＞支

虱幻=---2------U＞0）

（II）證明：當(dāng)時，函數(shù)x有最小值.設(shè)g（x）的最小

值為入（"），求函數(shù)入3）的值域.

請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題

號

（22）（本小題滿分10分）選修4-1：集合證明選講

如圖，在正方形A8CD,E,G分別在邊DADC上（不與端點重合），且DE=DG,過。點

作OF_LCE,垂足為F.

⑴證明：8,C,G,F四點共圓；

（II）若A8=l,E為D4的中點，求四邊形8CGF的面積.

（23）（本小題滿分10分）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直線坐標(biāo)系xoy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25.

（I）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；

廠x=tcosa

（II）直線/的參數(shù)方程是Y（t為參數(shù)），/與C交于4、8兩點,

Jy=tsina

IAB|=Vio,求/的斜率。

（24）（本小題滿分10分），選修4一5：不等式選講

已知函數(shù)/（x）=II+Ix+|I,M為不等式/（x）<2的解集.

（I）求M；

（II）證明：當(dāng)a,b^M時，Ia+bI<I1+abI。

2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)答案

第I卷

一.選擇題：

（1）【答案】A

⑵【答案】C

（3）【答案】D

（4）【答案】A

（5）t答案】B

（6）【答案】C

（7）【答案】B

（8）【答案】C

（9）【答案】D

（10）【答案】C

（11）【答案】A

（12）【答案】C

第n卷

二、填空題

21

（13）【答案】13

（14）【答案】②③④

（15）【答案】1和3

（16）【答案】1-ln2

三.解答題

17.（本題滿分12分）

【答案】（I）4=。，1=1,%=2；（H）1893.

【解析】

試題分析：（I）先求公差、通項久?，再根據(jù)已知條件求4%：（II）用分段函數(shù)表

示勾，再由等差數(shù)列的前力項和公式求數(shù)列的前1000項和.

試題解析：（I）設(shè)的公差為"，據(jù)已知有7+2M=28,解得d=L

所以｛冬1的通項公式為4=電

4=姮1]=0與=PgU]=L%=陪01]=z

0,l<n<10,

bL10<n<100,

?.2,100<n<1000,

（H）因為h"=1000

所以數(shù)歹的前項和為lx90+2x90°+3xl=1893-

考點：等差數(shù)列的的性質(zhì)，前〃項和公式，對數(shù)的運算.

【結(jié)束】

18.（本題滿分12分）

【答案】（【）根據(jù)互斥事件的概率公式求解；（II）由條件概率公式求解；（HI）記續(xù)保人

本年度的保費為X，求X的分布列為，在根據(jù)期望公式求解..

【解析】

試題分析：

試題解析：（I）設(shè)/表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件/發(fā)生當(dāng)

且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,=+0^2+01+005=055.

（II）設(shè)3表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出.收”，則事件3發(fā)生當(dāng)且

僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故網(wǎng)為=。-"095=015_

既刈4=0=幽=些=工

又改班=網(wǎng)為故網(wǎng)⑷網(wǎng)聞。至11

2

因此所求概率為后一

（III）記續(xù)保人本年度的保費為％,則％的分布列為

X0.85aal.5flL75tf2a

P0300J50200200.100.05

￡r=0JB5ax030+ax0-15+1^5ax0J20+l_5ax0^0+l-75ax0_10+2ax0.05

=l23a

因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為

考點：條件概率，隨機變量的分布列、期望.

【結(jié)束】

19.（本小題滿分12分）

2^

【答案】(I)詳見解析：(II)25

【解析】

試題分析：(I)證/〃匹，再證刃最后證方H_L正面TJCD；(n)用

向量法求解.

AECF

試題解析：(I)由已知得*'AD.AD=CD,又由幺E=C1得而一而，故

JCHEF.

因此邸r_LHD,從而EF工D'H,由祐=5,蜀=6得次？=30=益戛二^二4

OHAE\

由EFl1AC得DOAD4.所以O(shè)H=1,DH=DH=3.

于是OH=Ltin+OH1=32M2=10=DO2,

故刀力_LM

又1EF,而OHcEF=H,

所以Z)Rj_平面05CD

(II)如圖，以H為坐標(biāo)原點，礪的方向為X軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系"一叱,

則日30.0)^(-1-2,0)5(0,-5,0)C(3,-l,0)D(0,0,3)而=@<0)

“=(6,0,0),AD=(XW).設(shè)碗=(軍人4)是平面Mti的法向量，則

mAB=039-4耳=0

7方=。，即3巧斗乂+3。=0所以可以取加=（"±-5）.設(shè)u=（巧，心為）是平面

nAC=06吃=0

即1巧+內(nèi))34=0

/?！姆ㄏ蛄浚瑒t(7而=0,所以可以取”=（°尸二1）.于是

——jn-n-147*^5

cos<m,n>=?_...=—7=—p=-=----.——2屈

同4國*回=25an<m,n>=-------

25.因此二面角

2^

B-O'd.C的正弦值是25.

考點：線面垂直的判定、二面角.

【結(jié)束】

20.（本小題滿分12分）

【答案】（

【解析】

試題分析：（I）先求直線幺”的方程，再求點M的縱坐標(biāo)，最后求兒仙"的面積；（II）

設(shè).（巧，K）,,將直線的方程與橢圓方程組成方程組，消去,，用上表示不，從而表

示1幺"|,同理用上表示I仙I,再由2⑷<=@|求上

上匕1

試題解析：（I）設(shè)“（。乂），則由題意知乂>°,當(dāng)￡=4時，E的方程為43,

2（-20）

由已知及橢圓的對稱性知，直線盤的傾斜角為7.因此直線幺”的方程為

金+F11212

將工=k2代入彳,父=：1得7/-3=0解得，=0或，=了，所以比=亍.

11212144

=2x—x——x—=----

因此A3N的面積27749

(II)由題意上>3,i>0,4一五°).

將直線幺”的方程y=Mx+M代入工3得

(3+的7+又儂?工+/Y-3f=0

干(叫=冬2^1^)皿豐+閩同=6照+')

由)3+必得r3+A2，故-113+A2.

?_%+■)皿J和

由題設(shè)，直線外的方程為PJ,故同理可得「3金+￡,

由2@1=即|得34■由一3必4?九HPC43-2)r=3t(2t-1)

當(dāng)七=數(shù)時上式不成立，

工3七(21-1)F-3f?*-2世-2)(必+1)<0

因此工=必—2.￡>3等價于~/二i-=一二二i-《

,n[i-2>0[i-2<0

K-ny4

即正豆<.由此得1*一2<。，或I好一2>0,解得短<上<2.

因此*的取值范圍是("2)

考點：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.

【結(jié)束】

(21)(本小題滿分12分)

(1—I

【答案】(I)詳見解析；(H)2’4.

【解析】

試題分析：(I)先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)?！?6+6)時，f8>f(0)證

h0=-:—

明結(jié)論；(II)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)q+2,又用導(dǎo)數(shù)法求

解.

試題解析：(I)〃力的定義域為(出8)“一2中)

任一雙工十農(nóng)一任一2XxV

f'8=NO,

(x+2)2(x+2)2

且僅當(dāng)x=o時，/8=0,所以f3在(出一益(一2加)單調(diào)遞增,

因此當(dāng)時，/W>/(0)=-l

所以任一為必>y取任一？k*+“?2>o

(x-2>r+(x+2)_r+2

(.1)怎加a(/w+flX

由(|)知,+4單調(diào)遞增，對任意“￡[0,0/(0)+“="-1<0,9#"="之0,

因此，存在唯-?。w使得f(珀+a=0,即g(&)=0

當(dāng)0<女<&時〃功+”0應(yīng)3<03分單調(diào)遞減；

當(dāng)》>巧時，f8+a>0，gt0>n怎Z單調(diào)遞增

因此gQO在無=。處取得最小值，最小值為

“一、_「一域漏+D_』VObX飛+D_談

取卬—5—5——TZ-

R4飛+2

h@=-------(------y=^——^->0,------

于是％#2,由工#2(x+2)無+2單調(diào)遞增

1『w

所以,由RE(a2］得20+2口+22+24

o*Ze(l『L

因為x+2單調(diào)遞增，對任意w于4存在唯一的\w(0n2La=f(%)eIAD，

(1

使得方@=，所以方3)的值域是寧4”

綜上，當(dāng)時，g(力有人3),力3)的值域是

考點：函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.

【結(jié)束】

請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分,做答時請寫清

題號

（22）（木小題滿分10分）選修4-L幾何證明選講

1

【答案】（I）詳見解析；（II）2

【解析】

試題分析：（【）證山臣~再證BCGNF四點共圓：（n）證明

RtABCG~亞朋股四邊形BCGF的面積S是NGCB面積Sg的2倍.

試題解析：（I）因為WEC,所以96y~A8尸，

DFDEDG

ZGDF=ZDEF=ZFCB,--

則有CFCDCff

所以AOH~由此可得ZDGF=Z.CBF,

由此Z.CGF+Z.CBF=180°,所以比GG產(chǎn)四點共圓

（H）由瓦GG,尸四點共圓，3_1。知的_|_班，連結(jié)金,

由G為犬皿C斜邊C