2025屆高考數(shù)學二輪復習：專題四 平面向量（含解析）

專題四平面向量典例分析考查方式平面向量在高考中更注重基礎，時有創(chuàng)新.平面向量以選擇題、填空題為主，主要考查平面向量的基本概念、線性運算、數(shù)量積，其中平面向量的線性運算、數(shù)量積、向量共線、向量垂直、向量的模及向量的夾角問題是重點和熱點，平面向量大多單獨考查，有時也出現(xiàn)平面向量與其他知識的交匯問題，或以平面向量為載體的綜合探究題.高考真題1．[2022年新高考Ⅱ卷]已知向量，，，若，則()A.-6 B.-5 C.5 D.62．[2024年新課標Ⅱ卷]已知向量a，b滿足，，且，則()A. B. C. D.13．[2022年新高考Ⅰ卷]在中，點D在邊AB上，.記，，則()A. B. C. D.4．[2024年新課標Ⅰ卷]已知向量，，若，則()A.-2 B.-1 C.1 D.25．[2023年新課標Ⅰ卷]已知向量，.若，則()A. B. C. D.6．[2023年新課標Ⅱ卷]已知向量a，b滿足，，則___________.參考答案1．答案：C解析：，，即，解得，故選C.2．答案：B解析：由，得，所以.將的兩邊同時平方，得，即，解得，所以，故選B.3．答案：B解析：如圖，因為點D在邊AB上，，所以，故選B.4．答案：D解析：解法一：因為，所以，即.因為，，所以，，得，所以，解得，故選D.解法二：因為，，所以.因為，所以，所以，所以，解得，故選D.5．答案：D解析：因為，，所以，，因為，所以，所以，整理得.故選D.6．答案：解析：由，得，即①.由，得，整理得，，結合①，得，整理得，，所以.重難突破1.在矩形中，，，則向量的長度等于()A.4 B. C.3 D.22.已知向量，.若a與b反向共線，則的值為()A.0 B.48 C. D.3.在中，點P在上，且，點Q是的中點，若，，則等于()A. B. C. D.4.已知向量a，b滿足，，且，則()A. B. C. D.15.已知點，，，若，點當P在第一、三象限的角平分線上時，的值為()A.1 B.2 C. D.6.已知向量a，b滿足，，，則()A. B. C. D.7.已知A，B，C是平面內不共線的三個點.若，，則一定是()A.直角（非等腰）三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.銳角（非等腰）三角形8.若是一組基底，向量，則稱為向量在基底下的坐標.現(xiàn)已知向量a在基底，下的坐標為，則a在另一組基底，下的坐標為()A. B. C. D.9.在中，M是的中點，，點P在上且滿足，則等于()A. B. C. D.10.我國東漢末年數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，，，則()A. B. C. D.11.在中，，，所對的邊分別為a，b，c，若，，且D是BC邊上的動點（不含端點），則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知中，，，，，，則的最小值為()A.3 B.5 C. D.13.（多選）設a，b是兩個非零向量.若，則下列結論正確的是()A. B.C.a在b上的投影向量為b D.14.（多選）已知，，，，則()A.B.若，則，C.若點A是BD的中點，則B，C兩點重合D.若點B，C，D共線，則15.（多選）如圖，在中，，，與BE交于點F，則下列說法正確的是()A. B.C. D.16.已知，，若，則實數(shù)的值為___________.17.設點O在的內部，D，E分別為邊AC，BC的中點，且，則__________.18.如圖，A，B，C，D為平面內的四個點，，E為線段BC的中點，若，則________.19.已知平面單位向量，，滿足.設，，向量a，b的夾角為，則的最小值是__________.20.如圖，在矩形中，M，N分別為線段，的中點，若，，，則的值為___________.21.已知在平面直角坐標系中，點，，.（1）求t的值；（2）若點P，Q滿足，，O為坐標原點，求的最小值.22.如圖，在平行四邊形中，，垂足為P.（1）若，求的長；（2）設，，，，求的值.23.已知向量以為基底的分解式為，其中，.（1）求m，n的值；（2）若，且，求實數(shù)k的值.24.如圖，在中，AD是BC邊上的中線.（1）取BD的中點M，試用和表示.（2）若G是AD上一點，且，直線EF過點G，交AB于點E，交AC于點F.若，（，），求的最小值.25.如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，點F在邊CD上.（1）若，F(xiàn)是邊CD上靠近C的三等分點，求的值；（2）若，當時，求CF的長.

答案以及解析1.答案：A解析：在矩形中，由，可得，又因為，故，故，故選：A.2.答案：C解析：由題意得，解得，又a與b反向共線，故，此時，故.故選C.3.答案：B解析：點Q是的中點，，，，，，，.4.答案：B解析：由，得，所以.將的兩邊同時平方，得，即，解得，所以，故選B.5.答案：D解析：設點P的坐標為，則，，又點P在第一、三象限的角平分線上，，即，解得.故選：D.6.答案：D解析：由題可得①，②，①②兩式聯(lián)立得，，，而，.故選D.7.答案：B解析：設，則根據(jù)平行四邊形法則知，點P在BC邊上的中線所在的直線上.設，，它們都是單位向量.由平行四邊形法則，知點P也在的平分線上，所以一定是等腰三角形，不能確定是等邊三角形.故選B.8.答案：D解析：因為a在基底下的坐標為，所以.令，所以解得所以a在基底下的坐標為.9.答案：A解析：因為M是的中點，所以，又因為點P在上且滿足，，所以，，所以.故選：A.10.答案：B解析：因為“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，且，，，所以，解得，所以.故選B.11.答案：C解析：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，，所以，，，設，，則，，，所以，因為，所以，所以的取值范圍是.故選C.12.答案：C解析：設點O為BC上的一點，令，即，當時，取最小值3，此時根據(jù)勾股定理可得，由此可知為等邊三角形，當點O為BC的中點時建立如圖所示的平面直角坐標系，則有，，，所以，，所以，，所以，故.因為，所以，則，.因為，所以當時取最小值，.故選C.13.答案：ABC解析：因為，所以，所以，所以選項A正確；因為，所以，所以，所以選項B正確；a在b上的投影向量為，所以選項C正確；由向量數(shù)量積的定義可知，，所以，所以選項D錯誤.故選ABC.14.答案：ACD解析：因為，，，所以，A正確；因為，所以，所以，取，則，B不正確；因為點A是BD的中點，所以，即，，從而有，所以B，C兩點重合，C正確；因為點B，C，D共線，所以存在實數(shù)t，使得，所以，D正確.綜上所述，正確選項為ACD.15.答案：BCD解析：，故A錯誤；因為B，F(xiàn)，E三點共線，所以存在實數(shù)使得，因為A，F(xiàn)，D三點共線，所以存在實數(shù)使得，從而有解得即，所以F為BE的中點，從而有，故B正確；，，所以，故C正確；取AB的中點G，BC的中點H，連接GH，如圖，則G，F(xiàn)，H三點共線，所以，故D正確.故選BCD.16.答案：-1或解析：因為，，.所以，即，解得或.故實數(shù)的值為-1或.17.答案：2解析：如圖所示，易知.18.答案：/1.25解析：因為，即，所以.又E為線段BC的中點，所以，所以，，則.故答案為：19.答案：解析：由題可知從而由①②可得代入③可得，從而，所以，故的最小值為.20.答案：解析：因為M，N分別為線段，的中點，所以，，，所以，所以，解得，所以，所以的值為.故答案為：.21.答案：（1）（2）解析：（1）由題意得，則，解得.因為，所以.（2）由題意得，則，所以，則，所以，即的最小值為.22.答案：（1）2（2）解析：（1）在平行四邊形中，，垂足為P，，，解得，故長為2.（2），且B，P，O三點共線，①，又，，，則，由可知，展開，化簡得到②，聯(lián)立①②解得，，故.23.答案：（1）（2）解析：（1）由題得，則解得（2）由（1）得.由，設，即，則解得.24.答案：（1）（2）解析：（1）由題意，D為BC的中點，所以，又M為BD的中點，所以.（2）由，，（，），得，，所以.又因為E，F(xiàn)