2024-2025學年湖北省荊楚示范高中聯盟高一下學期3月聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1湖北省荊楚優(yōu)質高中聯盟2024-2025學年高一下學期3月聯考數學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，充分性成立，反過來，當時，或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.4.已知正數滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為正數滿足，所以，即，則，當且僅當，即時取等號，此時的最小值為.故選：B.5.冪函數都有成立，則下列說法正確的是（）A. B.或C.是偶函數 D.是奇函數【答案】D【解析】因為是冪函數，所以，解得或，因為，都有成立，所以該函數在是減函數，所以，故A，B錯誤；，定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以是奇函數，故D正確，C錯誤.故選：D.6.如今科技企業(yè)掀起一場研發(fā)大模型的熱潮，大規(guī)模應用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意，虛擬數字人以及工業(yè)軟件領域已出現較為成熟的落地應用.函數和函數是研究人工智能被廣泛使用的兩種用作神經網絡的激活函數，函數的解析式為，經過某次測試得知，則當把變量增加一倍時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，解得：，；；；所以將代入得：.故選：.7.函數的圖象在區(qū)間上恰有2個最高點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，所以，由于圖象在區(qū)間上恰有2個最高點，則，解得：.所以的取值范圍為.故選：A.8.設函數與函數的圖象在內交點的橫坐標依次是，且，則實數（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，所以，又，所以，則，所以，因為，解得.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小遺給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定形式是“”B.函數且的圖象過定點C.方程的根所在區(qū)間為D.若命題“恒成立”為真命題，則“或”【答案】BC【解析】對于A，命題“”的否定形式是“”，故A項錯誤；對于B，當時，，此函數值與無關，則函數圖象過定點，故B項正確；對于C，令，則函數在上單調遞減，又，，則由零點存在性定理可知，則函數在區(qū)間內存在唯一一個零點，即方程的根所在區(qū)間為，故C項正確；對于D項，命題“恒成立”為真命題，得，解得，故D項錯誤.故選：BC.10.已知函數的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（）A.的圖像關于直線對稱B.的圖像關于點對稱C.將函數的圖像向右平移個單位長度得到函數的圖像D.若方程在上有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】由圖可知：的最小正周期，當時，，所以；對于A，，正確；對于B，，錯誤；對于C，將向右平移，得到，正確；對于D，的大致圖像如下：欲使得在內方程有2個不相等的實數根，則，正確.故選：ACD.11.已知函數，若存在四個實數，使得，則（）A.的范圍為B.的取值范圍為C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】AC【解析】函數的圖象如圖所示：對于A，由圖知，函數與交于四個交點，則，故A正確；對于B，因為，則，由于，則，所以，則，且，由于，由可得或，所以，又，則，所以，且，所以，則，故B錯誤；對于C，由上分析可得，由，得，則，因函數在上增函數，則，則，所以，故C正確；對于D，，設，則，則在上為增函數，所以，即，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知扇形的面積為8，扇形圓心角的弧度數是4，則扇形的周長為__________.【答案】12【解析】設扇形的弧長為l，半徑為r，由于扇形圓心角的弧度數是4，則，又因為，即，所以.故其周長.13.在中，，點是上的一點，若，則實數的值是__________.【答案】【解析】如下圖所示：因為為上的一點，設，即，所以，因，則為線段的中點，則，，因、不共線，故，解得.14.對于函數，若在其定義域內存在兩個實數，使當時，的值域也是，則稱函數為“保值”函數，區(qū)間稱為函數的“等域區(qū)間”.（1）請寫出一個滿足條件的“保值”函數：______；（2）若函數是“保值”函數，則實數k的取值范圍是______.【答案】【解析】（1）由題意得方程至少有兩個根，設函數；（2）因為是增函數，若是“保值”函數，則存在實數，使即，所以是關于的方程的兩個實數根，從而方程有兩個不相等的實數根.令，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，，根據二次函數的圖象可知，當且僅當時，直線與曲線有兩個不同的交點，即方程有兩個不相等的實數根，故實數的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.設是不共線的兩個向量.（1）若，求證：三點共線；（2）若與共線，求實數的值.解：（1）證明：，，又因為與共線，且有公共端點，所以三點共線.（2）因為與共線，所以存在實數，使得，即.由與不共線，可知，解得，所以，即實數的值為或.16.已知函數為奇函數，其中.（1）求和實數的值；（2）若滿足，求實數的取值范圍.解：（1）由，則；因為函數是奇函數，所以，即，即，則，所以，又因為，所以.（2）由（1）知，由，解得，則的定義域為，因為，所以在上為減函數，又因為，即，則，解得，所以實數的取值范圍為.17.已知函數的最大值為.（1）求的值和的對稱軸；（2）求在上的單調遞減區(qū)間；（3）若，成立，求的取值范圍.解：（1）由題知，因為的最大值為，所以，可得，所以，由得.所以函數的對稱軸方程為.（2）因為，令，則，因為的單調遞減區(qū)間是，由，得，所以在的單調遞減區(qū)間是.（3）由題意知，由，可得，故當時，函數取最大值，所以，，因此，實數的取值范圍是.18.如圖，在平面直角坐標系中，以軸非負半軸為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點和，已知點的坐標為.（1）若，求點的坐標；（2）若將角的終邊按逆時針方向旋轉至第一象限，且為銳角，，求的大小.解：（1）因為點在單位圓上，利用三角函數的定義，解，由三角函數定義知，，因為，且，所以，所以，，故.（2）因為，所以，因為，且，所以，因為，，所以，所以，因，且，所以；因為，且，所以.19.設次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式.例如：由可得切比雪夫多項式.（1）求切比雪夫多項式；（2）求的值；（3）已知方程在上有三個不同的根，記為，求證：.解：（1）因為，所以，所以，所以.（2）因為，所以，又，所以，所以，即，因為，解得（舍去）.（3）由題意，，法一：設，代入方程得到，解三角方程得，不妨取，，而，綜上.法二：令，即，依據多項式系數對應相等得到.綜上.湖北省荊楚優(yōu)質高中聯盟2024-2025學年高一下學期3月聯考數學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，充分性成立，反過來，當時，或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.4.已知正數滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為正數滿足，所以，即，則，當且僅當，即時取等號，此時的最小值為.故選：B.5.冪函數都有成立，則下列說法正確的是（）A. B.或C.是偶函數 D.是奇函數【答案】D【解析】因為是冪函數，所以，解得或，因為，都有成立，所以該函數在是減函數，所以，故A，B錯誤；，定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以是奇函數，故D正確，C錯誤.故選：D.6.如今科技企業(yè)掀起一場研發(fā)大模型的熱潮，大規(guī)模應用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意，虛擬數字人以及工業(yè)軟件領域已出現較為成熟的落地應用.函數和函數是研究人工智能被廣泛使用的兩種用作神經網絡的激活函數，函數的解析式為，經過某次測試得知，則當把變量增加一倍時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，解得：，；；；所以將代入得：.故選：.7.函數的圖象在區(qū)間上恰有2個最高點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，所以，由于圖象在區(qū)間上恰有2個最高點，則，解得：.所以的取值范圍為.故選：A.8.設函數與函數的圖象在內交點的橫坐標依次是，且，則實數（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，所以，又，所以，則，所以，因為，解得.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小遺給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定形式是“”B.函數且的圖象過定點C.方程的根所在區(qū)間為D.若命題“恒成立”為真命題，則“或”【答案】BC【解析】對于A，命題“”的否定形式是“”，故A項錯誤；對于B，當時，，此函數值與無關，則函數圖象過定點，故B項正確；對于C，令，則函數在上單調遞減，又，，則由零點存在性定理可知，則函數在區(qū)間內存在唯一一個零點，即方程的根所在區(qū)間為，故C項正確；對于D項，命題“恒成立”為真命題，得，解得，故D項錯誤.故選：BC.10.已知函數的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（）A.的圖像關于直線對稱B.的圖像關于點對稱C.將函數的圖像向右平移個單位長度得到函數的圖像D.若方程在上有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】由圖可知：的最小正周期，當時，，所以；對于A，，正確；對于B，，錯誤；對于C，將向右平移，得到，正確；對于D，的大致圖像如下：欲使得在內方程有2個不相等的實數根，則，正確.故選：ACD.11.已知函數，若存在四個實數，使得，則（）A.的范圍為B.的取值范圍為C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】AC【解析】函數的圖象如圖所示：對于A，由圖知，函數與交于四個交點，則，故A正確；對于B，因為，則，由于，則，所以，則，且，由于，由可得或，所以，又，則，所以，且，所以，則，故B錯誤；對于C，由上分析可得，由，得，則，因函數在上增函數，則，則，所以，故C正確；對于D，，設，則，則在上為增函數，所以，即，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知扇形的面積為8，扇形圓心角的弧度數是4，則扇形的周長為__________.【答案】12【解析】設扇形的弧長為l，半徑為r，由于扇形圓心角的弧度數是4，則，又因為，即，所以.故其周長.13.在中，，點是上的一點，若，則實數的值是__________.【答案】【解析】如下圖所示：因為為上的一點，設，即，所以，因，則為線段的中點，則，，因、不共線，故，解得.14.對于函數，若在其定義域內存在兩個實數，使當時，的值域也是，則稱函數為“保值”函數，區(qū)間稱為函數的“等域區(qū)間”.（1）請寫出一個滿足條件的“保值”函數：______；（2）若函數是“保值”函數，則實數k的取值范圍是______.【答案】【解析】（1）由題意得方程至少有兩個根，設函數；（2）因為是增函數，若是“保值”函數，則存在實數，使即，所以是關于的方程的兩個實數根，從而方程有兩個不相等的實數根.令，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，，根據二次函數的圖象可知，當且僅當時，直線與曲線有兩個不同的交點，即方程有兩個不相等的實數根，故實數的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.設是不共線的兩個向量.（1）若，求證：三點共線；（2）若與共線，求實數的值.解：（1）證明：，，又因為與共線，且有公共端點，所以三點共線.（2）因為與共線，所以存在實數，使得，即.由與不共線，可知，解得，所以，即實數的值為或.16.已知函數為奇函數，其中.（1）求和實數的值；（2）若滿足，求實數的取值范圍.解：（1）由，則；因為函數是奇函數，所以，即，即，則，所以，又因為，所以.（2）由（1）知，由，解得，則的定義域為，因為，所以在上為減函數，又因為，即，則，解得，所以實數的取值范圍為.17.已知函數的最大值為.（1）求的值和的對稱軸；（2）求在上的單調遞減區(qū)間；（3）若，成立，求的取值范圍.解：（1）由題知，因為的最大值為，所以，可得，所以，由得.所以函數的對稱軸方程為.（2）因為，令，則，因為的單調遞減區(qū)間是，由，得，所以在的單調遞減區(qū)間是.（3）由題意知，由，可得，故當時，函數取最大值，所以，，因此，實數的取值范圍是.18.如圖，在平面直角坐標系中，以軸非負半軸為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點和，已知點的坐標為.（1）若，求點的坐標；（2）若將角的終邊按逆時針方向旋轉至第一象限，