浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末題含答案

/一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.在等比數(shù)列中，，，則的值為（）A. B.0 C. D.1【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】∵為等比數(shù)列，∴公比，∴，∴，故選：C.2.過(guò)點(diǎn)（2，－3）、斜率為直線在y軸上的截距為（）A.2 B.－2 C.4 D.－4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式公式，整理直線方程，令，可得答案.【詳解】由題意得直線方程為，令x=0，解得y＝－2．故選：B．3.某班有8名優(yōu)秀學(xué)生，其中男生有5人，女生有3人．現(xiàn)從中選3人參加一次答辯比賽，要求選出的3人中，既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A.45種 B.56種 C.90種 D.120種【答案】A【解析】【分析】利用間接的方法，先求出人中選人總共有多少種，再分別求出都是女生和都是男生的有多少種，即可求解.【詳解】解：人中選人共有：種，其中都是男生的有：種，都是女生的有：，故既有男生又有女生，則不同的選法共有：.故選：A.4.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)后，將代入先求出，然后求出即可.【詳解】由，求導(dǎo)可得，，取得到，解得，此時(shí)，則.故選：A5.如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，若點(diǎn)滿足，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意建立合適空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量關(guān)系求解出的坐標(biāo)，則可求.【詳解】記正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，且，平面平面，所以平面，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：A.6.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則數(shù)列（）A.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng) B.有最小項(xiàng)，無(wú)最大項(xiàng)C.既無(wú)最大項(xiàng)，又無(wú)最小項(xiàng) D.既有最大項(xiàng)，又有最小項(xiàng)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng),公差列方程,可得和,進(jìn)而可得,通項(xiàng),進(jìn)而根據(jù)的單調(diào)性,即可得最值.【詳解】等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由得,故當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,故,且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,故,且故有最大值為2,最小值為故選:D7.已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，，則（）A.的最大值是4B.的最小值是C.的最小值是D.直線與圓相交【答案】B【解析】【分析】利用三角換元求最值，將圓心到直線的距離和圓的半徑比較可得到直線和圓的位置關(guān)系.【詳解】對(duì)于A，圓的方程可化為，設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，，的最大值是，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，的最小值是，則B正確；對(duì)于C，，其中當(dāng)時(shí)，的最小值是，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓心到直線的距離為，所以直線和圓相離，則D錯(cuò)誤；故選：B.8.定義方程的實(shí)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)，，的“新駐點(diǎn)”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)相等列出方程，直接解得，再引入新函數(shù)，利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定新函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間，得的范圍，從而確定它們的大小．【詳解】，由得，，即，，由得，，令，，恒成立，所以在遞增，又，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，所以，，則得，即，令，，或時(shí)，，時(shí)，，所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，而，，，所以在上有唯一零點(diǎn)，所以．綜上．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)新定義，用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，解題關(guān)鍵是理解新定義，對(duì)方程根的研究，通過(guò)引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出根（零點(diǎn)）的范圍，從而比較大小．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，則（）A.橢圓C的離心率為 B.橢圓C的離心率為C.的周長(zhǎng)為6 D.可以是直角【答案】AD【解析】【分析】求出離心率，判斷AB；利用橢圓定義求出周長(zhǎng)判斷C；判斷∠F1PF2是否可以是直角判斷D.【詳解】由橢圓C：得，則橢圓C的離心率為，A正確，B錯(cuò)誤，的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋砸詾橹睆降膱A與橢圓有交點(diǎn)，所以可以是直角，D正確.故選：AD.10.已知，下列說(shuō)法正確的是（）A.在處的切線方程為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極大值為D.方程有兩個(gè)不同的解【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程；根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；求出函數(shù)零點(diǎn)即可求出與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而判斷出方程的解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋?，∵，∴，由?dǎo)數(shù)的幾何意義可知在處的切線方程的斜率為，∴在處的切線方程為，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，令得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，令得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值，，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，∵，∴在上存在一個(gè)零點(diǎn)，∵當(dāng)時(shí)，，∴在上沒(méi)有零點(diǎn)，∴與只有一個(gè)交點(diǎn)，∴方程只有一個(gè)解，則錯(cuò)誤；故選：.11.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形面內(nèi)（包含邊界）動(dòng)點(diǎn)，則（）A.與所成角為B.平面截正方體所得截面的面積為C.平面D.若，則三棱錐的體積最大值是【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，如圖建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可判斷選項(xiàng)；做出截面求得截面面積可判斷B；利用線線平行可得線面平行判斷C，求得P的軌跡方程可求得三棱錐的體積最大值判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，，對(duì)A選項(xiàng)，，則直線與所成角，故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)一定與交于一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，則過(guò)點(diǎn)作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長(zhǎng)為，則正六邊形的面積為，故B正確.由正方體，可得，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∴平面平面，∴平面，故C正確；如圖，面，又面，故，同理，又，根據(jù)題意可得，設(shè)，又，∴，整理得，∴在正方形面內(nèi)(包括邊界)，是以為圓心，半徑的圓上的點(diǎn)，令，可得，∴當(dāng)為圓與線段的交點(diǎn)時(shí)，到底面的距離最大，最大距離為，∴三棱錐的體積最大值是，故D正確.故選:BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法研究點(diǎn)線面的位置關(guān)系及數(shù)量計(jì)算.12.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖1，在長(zhǎng)度為1的線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C、D，使得，以CD為邊在線段AB的上方做一個(gè)正方形，然后擦掉CD，就得到圖形2；對(duì)圖形2中的最上方的線段EF作同樣的操作，得到圖形3；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設(shè)圖1，圖2，圖3，…，圖n，各圖中的線段長(zhǎng)度和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.C.恒成立D.存在正數(shù)，使得恒成立【答案】BC【解析】【分析】由題意寫(xiě)出數(shù)列前三項(xiàng)，類比歸納出數(shù)列的遞推公式，利用累加法可得通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)概念，可得答案.【詳解】由題意可知，，以此類推可得，，則，所以當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；所以，故B正確；因?yàn)楹愠闪?，故C正確；因?yàn)?，根?jù)一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，所以數(shù)列無(wú)最大值，因此不存在正數(shù)，使得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，求出斜率，寫(xiě)出切線方程.【詳解】由已知，則，又，所以切線方程為，即.故答案為：.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線C于AB兩點(diǎn)，且，則p的值為_(kāi)_____．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)求解，或聯(lián)立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設(shè)，，，

則，

∵，所以，，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，取.

.故答案為：3.15.對(duì)于數(shù)列，定義的“優(yōu)值”為．若的“優(yōu)值”，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)優(yōu)值利用作差法可求的通項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈摹皟?yōu)值”，故，所以，故，故當(dāng)時(shí)，，則，而，故，符合，故.故答案為：.16.一個(gè)五位數(shù)滿足,,,且,(如37201?45412),則稱這個(gè)五位數(shù)符合“正弦規(guī)律”,那么,共有______個(gè)五位數(shù)符合“正弦規(guī)律”.【答案】2892【解析】【分析】將情況分為五個(gè)數(shù)中沒(méi)有數(shù)相同；五個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)相同；五個(gè)數(shù)中有三個(gè)數(shù)相同三種情況，分別計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)意義知，五位數(shù)中，最大，最小.當(dāng)五個(gè)數(shù)中沒(méi)有數(shù)相同時(shí)：選五個(gè)數(shù)，最大數(shù)賦值給，最小數(shù)賦值給，剩余三個(gè)全排列，共有個(gè)；當(dāng)五個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)相同時(shí)：選四個(gè)數(shù)，最大數(shù)賦值給，最小數(shù)賦值給，剩余兩個(gè)數(shù)賦值給，共有個(gè)；當(dāng)五個(gè)數(shù)中有三個(gè)數(shù)相同時(shí)：選三個(gè)數(shù)，最大數(shù)賦值給，最小數(shù)賦值給，剩余的一個(gè)數(shù)賦值給，共有個(gè)；故共有故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合綜合應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵.四、解答題（本答題共6小題，滿分70分）17.已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．（2）設(shè)是函數(shù)的最大值．求出的表達(dá)式并比較與的大?。敬鸢浮?7.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減18.，.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到的最大值，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性比較與的大小.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，則，令得，令得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】，令得，令得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴的最大值，∵，，構(gòu)造函數(shù)，，令得，令得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，∴.18.動(dòng)圓滿足：①圓心的橫坐標(biāo)大于；②與直線相切；③與直線相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．（1）求證：動(dòng)圓圓心在曲線上．（2）設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，曲線在處的切線交軸于，交軸于．求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而可求切線方程，然后結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，半徑為，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，即動(dòng)圓圓心在曲線上；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，由題意得，所以曲線在處的切線方程為，即，令得，即，令得，即，所以，，所以.19.如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．（1）求證：平面．（2）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求平面與平面所成夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，再利用面面垂直的性質(zhì)定理得結(jié)論；（2）利用兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谔菪沃?，，，，如圖：過(guò)作交于，可得，則，所以，得，又平面平面，平面平面，面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦嗡?，又平面平面，又平面平面，平面，所以平面，則兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，所以所以平面與平面所成夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列滿足，．（1）證明：對(duì)任意的成立．（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（3）證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將條件變形，可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，據(jù)此可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)其為等差數(shù)列可得結(jié)論；（2）利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可；（3）利用裂項(xiàng)相消法可求和并證明不等式.【小問(wèn)1詳解】由得，即，即，故數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，所以，整理得，即數(shù)列為等差數(shù)列，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；【小問(wèn)3詳解】由（1），所以因?yàn)?，所?21.已知橢圓的焦距為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程．（2）記和分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．設(shè)是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且縱坐標(biāo)不為．直線交橢圓于點(diǎn)（異于），直線交橢圓于點(diǎn)（異于）．若的中點(diǎn)為，求三角形面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距和橢圓所過(guò)點(diǎn)可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可整理得到，結(jié)合三角形面積公式和基本不等式可求得最值.【小問(wèn)1詳解】橢圓的焦距，；橢圓過(guò)點(diǎn)，，又，（舍）或，，橢圓的方程為：.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，，設(shè)，，，由題意可設(shè)直線，其中，，由得：，，；同理可得：；，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），面積的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的三角形面積最值的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑷切蚊娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，從而利用函數(shù)最值的求法或基本不等式求得結(jié)果.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程．（2）如圖所示，函數(shù)圖像上一點(diǎn)處的切線與函數(shù)圖像交于點(diǎn)，過(guò)的切線（為切點(diǎn)）與處的切線交于點(diǎn)．問(wèn)：三角形是否可能是等邊三角形？若是，求此時(shí)的值；若不是，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）能，【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，求出斜率，進(jìn)而可得切線方程；（2）設(shè)點(diǎn)，求出過(guò)點(diǎn)的切線方程，與聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出過(guò)點(diǎn)的切線方程，然后求出過(guò)點(diǎn)的