2024-2025學(xué)年山東省青島五十八中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省青島五十八中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.從甲、乙、丙、丁四位家長中選三人對某小學(xué)附近的三個路口維護交通，每個路口安排一人，則不同的安排方法有(

)A.18種 B.24種 C.36種 D.48種2.C20250A.?1 B.1 C.0 D.220243.如圖，直線l和圓C，當(dāng)l從l0開始在平面上按順時針方向繞點O勻速轉(zhuǎn)動(轉(zhuǎn)動角度不超過90°)時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù).這個函數(shù)的圖象大致是(

)A.B.C.D.4.三個數(shù)a=2e2，b=ln22，A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為(

)A.18 B.14 C.126.集校為了解本校高一男生身高和體重的相關(guān)關(guān)系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的身高和體重得下表：身高x(單位：cm)167173175177178180181體重y(單位：kg)90545964677276由表格制作成如圖所示的散點圖：

由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線l1的方程為y=b1x+a1，其相關(guān)系數(shù)為r1；經(jīng)過殘差分析，點(167,90)對應(yīng)殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6A.b1<b2,a17.若函數(shù)?(x)=lnx?12ax2?2x在[1,4]A.[?1,+∞) B.(?1,+∞) C.(?∞,?716]8.已知隨機變量ξ的分布列如表ξ?101Pa1c若D(ξ+2)=12，則E(ξ+1)=A.52或32 B.32或12 C.32二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(4,σ2)，且P(X<m)=P(X>n)，則下列選項正確的是A.E(3X+1)=12

B.m+n=8

C.P(X≥3+σ)>P(X≤3?σ)

D.若P(X≥3)=0.68，則P(3≤X<5)=0.3610.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2(x?2)，則A.x=?1是f(x)的極大值點

B.當(dāng)0<x<1時，f(x)>f(x2)

C.當(dāng)?2<x<0時，?4<f(x+1)<0

D.曲線11.若P(A?)=12，P(BA.P(AB?)=13 B.P(AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=x，則limΔx→0f(4+Δx)?f(4)13.設(shè)(1+x)+(1+x)2+……+(1+x)7+(1+x14.若X～B(11,p)(0<p<1)，定義關(guān)于p的函數(shù)F(p)=P(X=3)，當(dāng)F(p)取得最大值時，D(11X?1)=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次向左移動的概率為13，向右移動的概率為23.若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，記經(jīng)過n(n∈N)次移動后，該質(zhì)點位于X的位置．

(1)當(dāng)n=4時，求P(X=?2)；

(2)當(dāng)n=5時，求隨機變量16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=aex?x．

(1)若a=1，求函數(shù)f(x)過點(?1,1)的切線方程；

(2)證明：當(dāng)a>0時，f(x)>2lna+17.(本小題15分)

中國在第75屆聯(lián)合國大會上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達到峰值，努力爭取2060年之前實現(xiàn)碳中和(簡稱“雙碳目標(biāo)”)，此舉展現(xiàn)了我國應(yīng)對氣候變化的堅定決心，預(yù)示著中國經(jīng)濟結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟社會運轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車、電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用為了解某一地區(qū)純電動汽車銷售情況，一機構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電汽車銷量y(單位：萬臺)關(guān)于x(年份)的線性回歸方程為y=4.7x?9459.2，且銷量y的方差為sy2=2545，年份x的方差為sx2=2．

(1)求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷電動汽車銷量y購買非電動車購買電動車總計男性39645女性301545總計692190依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為購買電動汽車與性別有關(guān)；

(3)在購買電動汽車的車主中按照性別進行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

①參考數(shù)據(jù)：5×127=635≈25

②參考公式：(i)線性回歸方程：y?=b?x+a?，其中b=i=1n(xi?P(0.100.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82818.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x2?1+aln(1+x)．

(Ⅰ)設(shè)過點(x0,y0)且與曲線y=f(x)過此點的切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的法線.若曲線y=f(x)在點(0,?1)處的法線與直線3x?2y+1=0平行，求實數(shù)a的值；

(Ⅱ)當(dāng)a=2時，若對任意x∈(?1,+∞)，不等式f(x)+x+2≤bex+lnb恒成立，求b的最小值；

19.(本小題17分)

在一個系統(tǒng)中，每一個部件能正常工作的概率稱為部件的可靠度，而系統(tǒng)能正常運行的概率稱為系統(tǒng)的可靠度.某系統(tǒng)有四個核心部件，其中甲型兩個，乙型兩個，四個部件至少有三個正常工作時，系統(tǒng)才能正常運行，且各部件是否正常工作相互獨立，一個甲型部件的可靠度為p，一個乙型部件的可靠度為q，且p+q=53，系統(tǒng)能正常運行稱為試驗成功．

(1)在一批產(chǎn)品中隨機抽取六盒甲型部件，每盒9件，經(jīng)逐個檢測部件指標(biāo)可以整理成下表，已知指標(biāo)在[30,60)內(nèi)甲型部件可以正常工作．盒一314528555866573942盒二486742465635295334盒三315348372934455864盒四552844366147566157盒五304954433562325659盒六545229375647603844(i)請根據(jù)抽樣結(jié)果估計甲型部件的可靠度p；

(ii)若p取(i)中的估計值，在一個系統(tǒng)試驗成功的條件下，求這個系統(tǒng)中兩個甲型部件同時正常工作的概率；

(2)研發(fā)人員計劃按照下圖結(jié)構(gòu)優(yōu)化系統(tǒng)，①②位置上的部件中至少有一個能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一個能正常工作，系統(tǒng)就能正常運行.優(yōu)化后系統(tǒng)比優(yōu)化前可靠度是否有提高？按照這個優(yōu)化方案怎么安排原有的四個部件使新系統(tǒng)可靠度最大，請說明理由．

參考答案1.B

2.A

3.A

4.D

5.C

6.A

7.D

8.B

9.BCD

10.ACD

11.ACD

12.1413.120

14.24

15.解：(1)當(dāng)n=4時，質(zhì)點所能到達的位置X必滿足|X|≤4，且X為偶數(shù)，

若“X=?2”，

此時表示四次移動中向右1次，向左3次，

則P(X=?2)=C43(13)3×23=881；

(2)當(dāng)n=5時，質(zhì)點所能到達的位置x必滿足|X|≤5，且X為奇數(shù)，

可得X的所有可能取值為?5，?3，?1，1，3，5，

所以P(X=?5)=C55X?5?3?1135P11040808032故E(X)=?5×1243+(?3)×16.解：(1)若a=1，則f(x)=ex?x，f′(x)=ex?1，

設(shè)過點(?1,1)的切線方程的切點為(t,et?t)，

則f′(t)=et?1，切線方程為y=(et?1)(x?t)+et?t，

代入點(?1,1)得1=(et?1)(?1?t)+et?t，解得t=0，

故切線方程為y=1；

證明：(2)當(dāng)a>0時，g(x)=f(x)?2lna?32+a2=aex?x?2lna?32+a2，

則g′(x)=aex?1，17.解：(1)由題可得，相關(guān)系數(shù)為r=i=1n(xi?x?)(yi?y?)i=1n(xi?x?)2i=1n(yi?y?)2

=i=1n(xi?x?)(yi?y?)i=1n(xi?x?X012P241故E(X)=0×218.解：(Ⅰ)由f(x)=x2?1+aln(1+x)，得f′(x)=2x+a1+x，

則f′(0)=a，又由直線3x?2y+1=0的斜率為32，

根據(jù)題意可知：32?a=?1?a=?23．

(Ⅱ)當(dāng)a=2時，不等式可化為x2?1+2ln(1+x)+x+2≤bex+lnb，

變形為x2+2x+1+2ln(1+x)≤bex+lnb+x?(x+1)2+ln(1+x)2≤bex+ln(bex)，

同構(gòu)函數(shù)g(t)=t+lnt，求導(dǎo)得g′(t)=1+1t>0，

所以g(t)=t+lnt在(0,+∞)上是增函數(shù)，而原不等式可化為g((x+1)2)≤g(bex)，

根據(jù)單調(diào)性可得：(x+1)2≤bex?b≥(x+1)2ex，x∈(?1,+∞)，

再構(gòu)造?(x)=(x+1)2ex，則?′(x)=2(x+1)ex?(x+1)2ex(ex)2=?x2+1ex，x∈(?1,+∞)，

當(dāng)x∈(?1,1)時，?′(x)=?x2+1ex>0，則?(x)=(x+1)2ex在x∈(?1,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1,+∞)時，?′(x)=?x2+1ex<0，則?(x)=(x+1)2ex在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減，19.解：(1)(i)甲型部件的總數(shù)為6×9=54，

表格統(tǒng)計指標(biāo)在[30,60)的甲型部件個數(shù)為7+7+7+6+8+7=42，

故甲型部件的可靠度p=4254=7