2024-2025學(xué)年山東省青島五十八中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年山東省青島五十八中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.從甲、乙、丙、丁四位家長(zhǎng)中選三人對(duì)某小學(xué)附近的三個(gè)路口維護(hù)交通，每個(gè)路口安排一人，則不同的安排方法有(

)A.18種 B.24種 C.36種 D.48種2.C20250A.?1 B.1 C.0 D.220243.如圖，直線(xiàn)l和圓C，當(dāng)l從l0開(kāi)始在平面上按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)90°)時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù).這個(gè)函數(shù)的圖象大致是(

)A.B.C.D.4.三個(gè)數(shù)a=2e2，b=ln22，A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為(

)A.18 B.14 C.126.集校為了解本校高一男生身高和體重的相關(guān)關(guān)系，在該校高一年級(jí)隨機(jī)抽取了7名男生，測(cè)量了他們的身高和體重得下表：身高x(單位：cm)167173175177178180181體重y(單位：kg)90545964677276由表格制作成如圖所示的散點(diǎn)圖：

由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)l1的方程為y=b1x+a1，其相關(guān)系數(shù)為r1；經(jīng)過(guò)殘差分析，點(diǎn)(167,90)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，把它去掉后，再用剩下的6A.b1<b2,a17.若函數(shù)?(x)=lnx?12ax2?2x在[1,4]A.[?1,+∞) B.(?1,+∞) C.(?∞,?716]8.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表ξ?101Pa1c若D(ξ+2)=12，則E(ξ+1)=A.52或32 B.32或12 C.32二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4,σ2)，且P(X<m)=P(X>n)，則下列選項(xiàng)正確的是A.E(3X+1)=12

B.m+n=8

C.P(X≥3+σ)>P(X≤3?σ)

D.若P(X≥3)=0.68，則P(3≤X<5)=0.3610.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2(x?2)，則A.x=?1是f(x)的極大值點(diǎn)

B.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>f(x2)

C.當(dāng)?2<x<0時(shí)，?4<f(x+1)<0

D.曲線(xiàn)11.若P(A?)=12，P(BA.P(AB?)=13 B.P(AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=x，則limΔx→0f(4+Δx)?f(4)13.設(shè)(1+x)+(1+x)2+……+(1+x)7+(1+x14.若X～B(11,p)(0<p<1)，定義關(guān)于p的函數(shù)F(p)=P(X=3)，當(dāng)F(p)取得最大值時(shí)，D(11X?1)=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為13，向右移動(dòng)的概率為23.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，記經(jīng)過(guò)n(n∈N)次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置．

(1)當(dāng)n=4時(shí)，求P(X=?2)；

(2)當(dāng)n=5時(shí)，求隨機(jī)變量16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=aex?x．

(1)若a=1，求函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(?1,1)的切線(xiàn)方程；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>2lna+17.(本小題15分)

中國(guó)在第75屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭(zhēng)于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和(簡(jiǎn)稱(chēng)“雙碳目標(biāo)”)，此舉展現(xiàn)了我國(guó)應(yīng)對(duì)氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國(guó)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國(guó)產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用為了解某一地區(qū)純電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電汽車(chē)銷(xiāo)量y(單位：萬(wàn)臺(tái))關(guān)于x(年份)的線(xiàn)性回歸方程為y=4.7x?9459.2，且銷(xiāo)量y的方差為sy2=2545，年份x的方差為sx2=2．

(1)求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)量y購(gòu)買(mǎi)非電動(dòng)車(chē)購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)車(chē)總計(jì)男性39645女性301545總計(jì)692190依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)與性別有關(guān)；

(3)在購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)的車(chē)主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

①參考數(shù)據(jù)：5×127=635≈25

②參考公式：(i)線(xiàn)性回歸方程：y?=b?x+a?，其中b=i=1n(xi?P(0.100.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82818.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x2?1+aln(1+x)．

(Ⅰ)設(shè)過(guò)點(diǎn)(x0,y0)且與曲線(xiàn)y=f(x)過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)叫做曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的法線(xiàn).若曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,?1)處的法線(xiàn)與直線(xiàn)3x?2y+1=0平行，求實(shí)數(shù)a的值；

(Ⅱ)當(dāng)a=2時(shí)，若對(duì)任意x∈(?1,+∞)，不等式f(x)+x+2≤bex+lnb恒成立，求b的最小值；

19.(本小題17分)

在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)部件能正常工作的概率稱(chēng)為部件的可靠度，而系統(tǒng)能正常運(yùn)行的概率稱(chēng)為系統(tǒng)的可靠度.某系統(tǒng)有四個(gè)核心部件，其中甲型兩個(gè)，乙型兩個(gè)，四個(gè)部件至少有三個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)才能正常運(yùn)行，且各部件是否正常工作相互獨(dú)立，一個(gè)甲型部件的可靠度為p，一個(gè)乙型部件的可靠度為q，且p+q=53，系統(tǒng)能正常運(yùn)行稱(chēng)為試驗(yàn)成功．

(1)在一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取六盒甲型部件，每盒9件，經(jīng)逐個(gè)檢測(cè)部件指標(biāo)可以整理成下表，已知指標(biāo)在[30,60)內(nèi)甲型部件可以正常工作．盒一314528555866573942盒二486742465635295334盒三315348372934455864盒四552844366147566157盒五304954433562325659盒六545229375647603844(i)請(qǐng)根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)甲型部件的可靠度p；

(ii)若p取(i)中的估計(jì)值，在一個(gè)系統(tǒng)試驗(yàn)成功的條件下，求這個(gè)系統(tǒng)中兩個(gè)甲型部件同時(shí)正常工作的概率；

(2)研發(fā)人員計(jì)劃按照下圖結(jié)構(gòu)優(yōu)化系統(tǒng)，①②位置上的部件中至少有一個(gè)能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一個(gè)能正常工作，系統(tǒng)就能正常運(yùn)行.優(yōu)化后系統(tǒng)比優(yōu)化前可靠度是否有提高？按照這個(gè)優(yōu)化方案怎么安排原有的四個(gè)部件使新系統(tǒng)可靠度最大，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案1.B

2.A

3.A

4.D

5.C

6.A

7.D

8.B

9.BCD

10.ACD

11.ACD

12.1413.120

14.24

15.解：(1)當(dāng)n=4時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所能到達(dá)的位置X必滿(mǎn)足|X|≤4，且X為偶數(shù)，

若“X=?2”，

此時(shí)表示四次移動(dòng)中向右1次，向左3次，

則P(X=?2)=C43(13)3×23=881；

(2)當(dāng)n=5時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所能到達(dá)的位置x必滿(mǎn)足|X|≤5，且X為奇數(shù)，

可得X的所有可能取值為?5，?3，?1，1，3，5，

所以P(X=?5)=C55X?5?3?1135P11040808032故E(X)=?5×1243+(?3)×16.解：(1)若a=1，則f(x)=ex?x，f′(x)=ex?1，

設(shè)過(guò)點(diǎn)(?1,1)的切線(xiàn)方程的切點(diǎn)為(t,et?t)，

則f′(t)=et?1，切線(xiàn)方程為y=(et?1)(x?t)+et?t，

代入點(diǎn)(?1,1)得1=(et?1)(?1?t)+et?t，解得t=0，

故切線(xiàn)方程為y=1；

證明：(2)當(dāng)a>0時(shí)，g(x)=f(x)?2lna?32+a2=aex?x?2lna?32+a2，

則g′(x)=aex?1，17.解：(1)由題可得，相關(guān)系數(shù)為r=i=1n(xi?x?)(yi?y?)i=1n(xi?x?)2i=1n(yi?y?)2

=i=1n(xi?x?)(yi?y?)i=1n(xi?x?X012P241故E(X)=0×218.解：(Ⅰ)由f(x)=x2?1+aln(1+x)，得f′(x)=2x+a1+x，

則f′(0)=a，又由直線(xiàn)3x?2y+1=0的斜率為32，

根據(jù)題意可知：32?a=?1?a=?23．

(Ⅱ)當(dāng)a=2時(shí)，不等式可化為x2?1+2ln(1+x)+x+2≤bex+lnb，

變形為x2+2x+1+2ln(1+x)≤bex+lnb+x?(x+1)2+ln(1+x)2≤bex+ln(bex)，

同構(gòu)函數(shù)g(t)=t+lnt，求導(dǎo)得g′(t)=1+1t>0，

所以g(t)=t+lnt在(0,+∞)上是增函數(shù)，而原不等式可化為g((x+1)2)≤g(bex)，

根據(jù)單調(diào)性可得：(x+1)2≤bex?b≥(x+1)2ex，x∈(?1,+∞)，

再構(gòu)造?(x)=(x+1)2ex，則?′(x)=2(x+1)ex?(x+1)2ex(ex)2=?x2+1ex，x∈(?1,+∞)，

當(dāng)x∈(?1,1)時(shí)，?′(x)=?x2+1ex>0，則?(x)=(x+1)2ex在x∈(?1,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，?′(x)=?x2+1ex<0，則?(x)=(x+1)2ex在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減，19.解：(1)(i)甲型部件的總數(shù)為6×9=54，

表格統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在[30,60)的甲型部件個(gè)數(shù)為7+7+7+6+8+7=42，

故甲型部件的可靠度p=4254=7