2025版高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2古典概型學(xué)案含解析新人教B版必修3VIP

PAGEPAGE103.2古典概型學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事務(wù)所含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率.3.了解概率的一般加法公式及適用條件．學(xué)問點(diǎn)一古典概型思索1“在區(qū)間[0,10]上任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)恰為5的概率是多少？”這個(gè)概率模型屬于古典概型嗎？答案不屬于．因?yàn)樵趨^(qū)間[0,10]上任取一個(gè)數(shù)，其試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)，故其基本領(lǐng)件有無限個(gè)，所以不是古典概型．思索2若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，則該試驗(yàn)符合古典概型嗎？答案不肯定符合．還必需滿意每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等才符合古典概型．梳理(1)古典概型的特征：①有限性在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本領(lǐng)件；②等可能性每個(gè)基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是均等的．(2)古典概型的計(jì)算公式：P(A)＝eq\f(事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù),試驗(yàn)的基本領(lǐng)件總數(shù)).學(xué)問點(diǎn)二概率的一般加法公式(選學(xué))1．事務(wù)的交(或積)由事務(wù)A和B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事務(wù)D，稱為事務(wù)A與B的交(或積)，記作D＝A∩B(或D＝AB)．2．概率的一般加法公式：假如A，B不是互斥事務(wù)，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．每一個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．(√)2．古典概型中的任何兩個(gè)基本領(lǐng)件都是互斥的．(√)題型一古典概型的推斷例1某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)、命中9環(huán)、……、命中5環(huán)和不中環(huán)．你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？解不是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的全部可能結(jié)果只有7個(gè)，而命中10環(huán)、命中9環(huán)、……、命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的(為什么？)，即不滿意古典概型的其次個(gè)條件.反思與感悟推斷一個(gè)試驗(yàn)是不是古典概型要抓住兩點(diǎn)：一是有限性；二是等可能性．跟蹤訓(xùn)練1從全部整數(shù)中任取一個(gè)數(shù)的試驗(yàn)中“抽取一個(gè)整數(shù)”是古典概型嗎？解不是，因?yàn)橛卸鄶?shù)個(gè)基本領(lǐng)件.題型二古典概型的概率計(jì)算例2將一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲兩次視察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的狀況．(1)一共有多少種不同的結(jié)果？(2)點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有多少種？(3)點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是多少？解(1)將一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子拋擲一次，得到的點(diǎn)數(shù)有1,2,3,4,5,6，共6種結(jié)果，故先后將這枚骰子拋擲兩次，一共有6×6＝36(種)不同的結(jié)果．(2)點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種．(3)正方體骰子是質(zhì)地勻稱的，將它先后拋擲兩次所得的36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的，其中點(diǎn)數(shù)之和為5(記為事務(wù)A)的結(jié)果有4種，因此所求概率P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).反思與感悟古典概型問題包含的題型較多，但都必需緊扣古典概型的定義，進(jìn)而用公式進(jìn)行計(jì)算．列舉法是求解古典概型問題的常用方法，借助于圖表等有時(shí)更好用更有效．跟蹤訓(xùn)練2在兩個(gè)袋內(nèi)，分別裝著寫有0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字的6張卡片，從每個(gè)袋中各任取一張卡片，則兩張卡片上數(shù)字之和等于7的概率為________．答案eq\f(1,9)解析試驗(yàn)結(jié)果如表所示：0123450012345112345622345673345678445678955678910由表可知兩張卡片上數(shù)字之和共有36種狀況，其中和為7有4種狀況，∴所求事務(wù)的概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).1．下列不是古典概型的是()A．從6名同學(xué)中，選出4人參與數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小B．同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率答案C解析A，B，D為古典概型，因?yàn)槎歼m合古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性，而C不滿意等可能性，故不為古典概型．2．從長度分別為1,2,3,4的四條線段中，任取三條不同的線段，以取出的三條線段為邊可組成三角形的概率為()A．0B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)答案B解析從中任取三條線段共有4種取法，能構(gòu)成三角形的只有長度為2,3,4的線段，所以P＝eq\f(1,4)，故選B.A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案B解析從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)字能構(gòu)成20個(gè)兩位數(shù)：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，而大于40的數(shù)有8個(gè)：41,42,43,45,51,52,53,54，故所求的概率是eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).4．從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率為________．答案eq\f(1,6)解析從2,3,8,9中任取2個(gè)分別記為(a，b)，則有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12種狀況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種狀況，∴P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).5．現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．求所取的2道題不是同一類題的概率．解將4道甲類題依次編號(hào)為1,2,3,4；2道乙類題依次編號(hào)為5,6.任取2道題，基本領(lǐng)件為{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個(gè)，而且這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“不是同一類題”這一事務(wù)，則B包含的基本領(lǐng)件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個(gè)，所以P(B)＝eq\f(8,15).古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概型的基礎(chǔ)，這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)、生活中常常遇到的題型．解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A)＝eq\f(m,n)時(shí)，關(guān)鍵是正確理解基本領(lǐng)件與事務(wù)A的關(guān)系，從而求出m，n.一、選擇題1．下列是古典概型的是()A．隨意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本領(lǐng)件時(shí)B．求隨意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本領(lǐng)件時(shí)C．從甲地到乙地共n條路途，求某人正好選中最短路途的概率D．拋擲一枚勻稱硬幣首次出現(xiàn)正面為止答案C解析A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的基本領(lǐng)件是無限的，故B不是；C項(xiàng)滿意古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項(xiàng)中基本領(lǐng)件既不是有限個(gè)也不具有等可能性，故D不是．2．從甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人中選取三人參與演講競賽，則甲、乙都入選的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(2,10)C.eq\f(3,10)D.eq\f(3,5)答案C解析從五個(gè)人中選取三個(gè)人有10種不同結(jié)果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都入選的結(jié)果有3種，故所求的概率為eq\f(3,10).3．甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參與，若每人必需參與并且僅能參與一個(gè)學(xué)習(xí)小組(兩人參與各小組的可能性相同)，則兩人參與同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)答案A解析甲、乙兩人參與學(xué)習(xí)小組，若以(A，B)表示甲參與學(xué)習(xí)小組A，乙參與學(xué)習(xí)小組B，則一共有：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9種情形，其中兩人參與同一個(gè)學(xué)習(xí)小組共有3種情形，依據(jù)古典概型概率公式，得P＝eq\f(1,3).4．先后拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,6)D.eq\f(5,36)答案C解析拋擲兩顆骰子，一共有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和為7的共有6種結(jié)果，依據(jù)古典概型的概率公式，得P＝eq\f(1,6).5．盒子里裝有大小質(zhì)量完全相同且分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的四個(gè)小球，從盒子里隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，那么事務(wù)“摸出的小球上標(biāo)有的數(shù)字之和為5”的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,6)答案A解析從裝有四個(gè)小球的盒子里隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6種取法，其中小球上標(biāo)有的數(shù)字之和為5的取法共有2種，分別為(1,4)，(2,3)，依據(jù)古典概型的概率公式，得其概率為eq\f(1,3)，故選A.6．袋中有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案C解析袋中紅球用a表示，2個(gè)白球分別用b1，b2表示，3個(gè)黑球分別用c1，c2，c3表示，則從袋中任取兩球所含基本領(lǐng)件為(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15個(gè)．兩球顏色為一白一黑的基本領(lǐng)件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6個(gè)．∴其概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).7．假如小明同學(xué)的QQ密碼是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)字中的6個(gè)數(shù)字組成的六位數(shù)，由于長時(shí)間未登錄QQ，小明遺忘了密碼的最終一個(gè)數(shù)字，假如小明登錄QQ時(shí)密碼的最終一個(gè)數(shù)字隨意選取，則恰好能登錄的概率是()A.eq\f(1,105)B.eq\f(1,104)C.eq\f(1,102)D.eq\f(1,10)答案D解析只考慮最終一位數(shù)字即可，從0至9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選擇一個(gè)作為密碼的最終一位數(shù)字有10種可能，選對(duì)只有一種可能，所以選對(duì)的概率是eq\f(1,10).8．甲、乙兩人玩猜數(shù)字嬉戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)隨意找兩人玩這個(gè)嬉戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,18)D.eq\f(4,9)答案D解析首先要弄清晰“心有靈犀”的實(shí)質(zhì)是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，則滿意要求的事務(wù)可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16種，而依題意得，基本領(lǐng)件的總數(shù)有36種．因此他們“心有靈犀”的概率為P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).二、填空題9．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m，n作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓x2＋y2＝16內(nèi)的概率是________．答案eq\f(2,9)解析基本領(lǐng)件的總數(shù)為6×6＝36，記事務(wù)A＝{點(diǎn)P(m，n)落在圓x2＋y2＝16內(nèi)}，則A所包含的基本領(lǐng)件有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共8個(gè)．∴P(A)＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).10．從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．答案eq\f(1,2)解析設(shè)3件正品為A，B，C,1件次品為D，從中不放回地任取2件，有以下基本領(lǐng)件：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個(gè)．其中恰有1件是次品的基本領(lǐng)件有：AD，BD，CD，共3個(gè)，故P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).11．從三男三女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則2名都是女同學(xué)的概率等于________．答案eq\f(1,5)解析用A，B，C表示三名男同學(xué)，用a，b，c表示三名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的全部選法為AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc共15種，其中2名都是女同學(xué)的有ab，ac，bc共3種，故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).三、解答題12．某學(xué)校有初級(jí)老師21人，中級(jí)老師14人，高級(jí)老師7人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法從這些老師中抽取6人對(duì)績效工資狀況進(jìn)行調(diào)查．(1)求應(yīng)從初級(jí)老師、中級(jí)老師、高級(jí)老師中分別抽取的人數(shù)；(2)若從分層抽樣抽取的6名老師中隨機(jī)抽取2名老師做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2名老師均為初級(jí)老師的概率．解(1)由分層抽樣學(xué)問得應(yīng)從初級(jí)老師、中級(jí)老師、高級(jí)老師中抽取的人數(shù)分別為3,2,1.(2)在分層抽樣抽取的6名老師中，3名初級(jí)老師分別記為A1，A2，A3,2名中級(jí)老師分別記為A4，A5，高級(jí)老師記為A6，則從中抽取2名老師的全部可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種．抽取的2名老師均為初級(jí)老師(記為事務(wù)B)的全部可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).13．海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．解(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是：50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2，所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被抽取的件數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)6件來自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A1；B1，B2，B3；C1，C2，則抽取的這2件商品構(gòu)成的全部基本領(lǐng)件為：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A1，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè)．每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本領(lǐng)件出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是等可能的．記事務(wù)D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事務(wù)D包含的基本領(lǐng)件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè)．所以P(D)＝eq\f(4,15)，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(4,15).四、探究與拓展14．一次擲兩枚骰子，得到的點(diǎn)數(shù)為m和n，則關(guān)于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有實(shí)數(shù)根的概率是________．答案eq\f(11,12)解析基本領(lǐng)件共有36個(gè)．因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其對(duì)立事務(wù)是m＋n＜4，它包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3個(gè)基本領(lǐng)件．所以所求概率為1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12).15．“搶紅包”的活動(dòng)給節(jié)假日增加了一份趣味，某發(fā)紅包單位進(jìn)行一次關(guān)于“是否參與搶紅包活動(dòng)”的調(diào)查活動(dòng)，組織員工在幾個(gè)大型小區(qū)隨機(jī)抽取50名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，對(duì)問卷結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：年齡(歲)[10，20)[20，30)[30，40)[40，5