安徽省淮北、淮南市2025屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

準(zhǔn)北市和準(zhǔn)南市2025屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解集合，再求出集合在中的補(bǔ)集，最后求出集合與的交集.【詳解】對(duì)于不等式，解得，即集合.所以或.集合，可得.故選：C.2.若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，代入化簡(jiǎn)，由復(fù)數(shù)相等即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，所以，由，所以，故，所以，故選：A.3.已知向量，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由向量共線以及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，解得，則，由可得，解得.故選：D4.若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為（）A.2 B. C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】可先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出的值，最后根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的關(guān)系求出橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng).【詳解】在拋物線中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且（為橢圓的半焦距）.在橢圓中，，又因?yàn)?，所?而在橢圓中，，所以.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：C.5.函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，確定零點(diǎn)及極值點(diǎn)情況，再結(jié)合函數(shù)式、導(dǎo)函數(shù)式分析判斷作答.【詳解】觀察圖象知，，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，設(shè)3個(gè)零點(diǎn)為，于是，當(dāng)時(shí)，，而此時(shí)，因此，又，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，即有兩個(gè)不等實(shí)根，，因此，所以.故選：B6.甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，則取出的兩球顏色相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可根據(jù)從甲箱中取出球的顏色進(jìn)行分類(lèi)討論，再結(jié)合條件概率公式分別計(jì)算從乙箱中取出兩球顏色相同的概率，最后根據(jù)全概率公式求出最終結(jié)果.【詳解】從甲箱中隨機(jī)取一個(gè)球，甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，那么從甲箱中取出紅球的概率；取出白球的概率.若從甲箱中取出一個(gè)紅球放入乙箱，則乙箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球.從個(gè)球中取出個(gè)球的組合數(shù)為種.從個(gè)紅球中取出個(gè)紅球的組合數(shù)為種；從個(gè)白球中取出個(gè)白球的組合數(shù)為種.所以在從甲箱取出紅球的條件下，從乙箱取出兩球顏色相同的概率.若從甲箱中取出一個(gè)白球放入乙箱，則乙箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球.從個(gè)球中取出個(gè)球的組合數(shù)為種.從個(gè)紅球中取出個(gè)紅球的組合數(shù)為種；從個(gè)白球中取出個(gè)白球的組合數(shù)為種.所以在從甲箱取出白球的條件下，從乙箱取出兩球顏色相同的概率.由全概率公式可得，取出的兩球顏色相同的概率為：.故選：B.7.已知函數(shù)和的定義域均為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則（）A.4 B.2 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】由偶函數(shù)得到，由為奇函數(shù)，得到，將，代入，將代入，結(jié)合已知條件聯(lián)立求出.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，因此.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，整理得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由得，，當(dāng)時(shí)，由得，所以，即，因?yàn)樗越獾?，所?故選：A.8.在中，記，則（）A.存在，使B.存在，使C.的最小值為D.的最大值為【答案】D【解析】【分析】利用兩角和差公式以及、化簡(jiǎn)AB選項(xiàng)；令化簡(jiǎn)，使其為關(guān)于的函數(shù)，求函數(shù)值域即可判斷C選項(xiàng)；利用一元二次方程有根，則可根據(jù)求解判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意可得，，，則，故AB錯(cuò)誤；若，則因，則，則，得，則，故C錯(cuò)誤；，即，則方程在上存在根，則，即，等號(hào)成立時(shí)，因，則，則，此時(shí)變?yōu)?，得，則，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故D正確.故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校100名學(xué)生學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，已知所有學(xué)生成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，則（）A.圖中的值為0.005B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為73C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75D.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為71.7【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中各小矩形得面積之和為1，可求出的值，再結(jié)合平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，由頻率分布圖可知：，解得，故A正確；對(duì)于B，由頻率分布圖可知：，故B正確；對(duì)于C，由頻率分布圖可知眾數(shù)為65，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為，因?yàn)椋?所以中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，則，解得，故D正確；故選：ABD.10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)有，下列命題正確的有（）A.若，則B.一定不是等差數(shù)列C.若為等比數(shù)列，則公比為2D.若，則為等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】求出可判斷A；假設(shè)是等差數(shù)列，設(shè)公差為，求出代入根據(jù)多項(xiàng)式相等可判斷C；若為等比數(shù)列，由兩式相減得，求出可判斷C；求出，利用可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，由得，即，根據(jù)多項(xiàng)式相等可得，方程組無(wú)解，所以一定不是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，若為等比數(shù)列，由兩式相減得，即，由得，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，又，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故D正確.故選：ABD11.甲乙兩名玩家輪流從裝有個(gè)小球的容器中取球，每次至少取一個(gè)，先取球者第一次不能將球取完，之后雙方每次取球數(shù)不超過(guò)對(duì)手上一輪取球數(shù)的2倍，取得最后一個(gè)球的玩家獲勝.若甲先取，乙有必勝的策略，則可以是（）A.4 B.5 C.8 D.13【答案】BCD【解析】【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n為斐波那契數(shù)列中的數(shù)時(shí)，乙有必勝策略，再判斷選項(xiàng)中的數(shù)是否屬于斐波那契數(shù)列即可求解.【詳解】設(shè)斐波那契數(shù)列：，現(xiàn)證明以下結(jié)論成立：若，則后取者乙有必勝策略.當(dāng)時(shí)，甲只能取1個(gè)球，故乙必勝；當(dāng)時(shí)，若甲取1個(gè)球，乙可直接取2個(gè)球后獲勝；若甲取2個(gè)球，乙可直接取1個(gè)球后獲勝，故乙必勝.故結(jié)論成立.設(shè)和時(shí)結(jié)論成立，那么時(shí)，若甲取的球數(shù)，則剩下的球數(shù)為，故乙只要將剩下的個(gè)球全部取走而獲勝；若甲取的球數(shù)，注意到，故不失一般性可以假設(shè)一開(kāi)始個(gè)球分成兩堆，其中一堆個(gè)球，另一堆有個(gè)球，而甲從有個(gè)球的一堆中取走了r個(gè)球，于是由歸納假設(shè)，乙有策略保證自己取到有個(gè)球的那堆中的最后一個(gè)球，而剩下有個(gè)球的那一堆，并由歸納假設(shè)知乙可使自己最后一次取球的個(gè)數(shù)不大于，這時(shí)無(wú)論甲取多少根火柴（至多為不可能將個(gè)球取完），由歸納假設(shè)知乙有必勝策略，保證自己取到最后一個(gè)球，且乙最后一個(gè)所取球的個(gè)數(shù)，故若，則后取者乙有必勝策略.選項(xiàng)中，，故當(dāng)n為5，8，13時(shí)，乙有必勝的策略.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若實(shí)數(shù)和的等差中項(xiàng)為1，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】2【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【詳解】若實(shí)數(shù)和的等差中項(xiàng)為1，則，，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故的最小值為2.故答案為：2.13.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由橢圓的定義結(jié)合題意可得出，，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案.【詳解】由題可知，由橢圓的定義知：，，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，解得：，，所以在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：所以，可得：，即，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.14.如圖，圓錐有且僅有一條母線在平面內(nèi)，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓，則圓錐外接球的表面積為_(kāi)_________；若是中點(diǎn)，，且點(diǎn)到直線的距離為，則與圓錐底面所成角的余弦值為_(kāi)_________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓，先求出圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑，從而求得圓錐外接圓的半徑，即可求解圓錐外接圓的表面積；再在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作直線，取中點(diǎn)M，連接，由面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，過(guò)作垂線，分別交，于點(diǎn)和，連接，，結(jié)合平行線的性質(zhì)和勾股定理，求出的值，最后根據(jù)線面角的定義與求法，即可得解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)，底面半徑，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓，所以，，解得，所以中，設(shè)圓錐外接圓的圓心為G，半徑為R，由圓錐外接圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)G在線段上，在中，，即，解得，故圓錐外接球的表面積為.在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作直線，取中點(diǎn)M，連接，則，且，因?yàn)轫旤c(diǎn)為的圓錐有且僅有一條母線在平面內(nèi)，所以平面平面,又平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，過(guò)作垂線，分別交，于點(diǎn)和，連接，，即,又,平面，所以平面,又平面，所以，即到的距離為，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，在中，，在中，設(shè)與圓錐底面所成角為，則，則,即與圓錐底面所成角的余弦值為.故答案為：；.四?解答題：本題共小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為（1）求；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式求得，結(jié)合余弦定理計(jì)算求得，進(jìn)而得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由得，因?yàn)?所以，即，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槿切蚊娣e為，所以，所以，由余弦定理知，即，所以，故，所以三角形的周長(zhǎng)為.16.四棱錐中，平面，（1）求；（2）求證：；（3）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）分別在和中使用余弦定理，解方程即可得出答案；（2）先證得，，由線面垂直的判定定理證得平面，由線面垂直的性質(zhì)定理即可證得；（3）法一：先求出和的面積，再由等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，即可求出與平面所成角的正弦值；法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的向量公式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】分別在和中使用余弦定理得：即，得，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由余弦定理可得：，所以，從而，所?又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)3詳解】方法一：設(shè)三棱錐的體積為和的面積分列為，點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，所以，所以，且，由得所以與平面所成角的正弦值為.方法二：因平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以可取，設(shè)與平面所成角為的，所以.所以與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）求證：當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先把代入函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，再求處的導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值，是切線斜率，是切點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后用點(diǎn)斜式得出切線方程.（2）先確定定義域，求出.分情況討論：時(shí)，化簡(jiǎn)，令求零點(diǎn).

時(shí)，判斷，函數(shù)遞增，再根據(jù)與異號(hào)，用零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn).

時(shí)，令得兩個(gè)極值點(diǎn)，分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合時(shí)，以及，用零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn).最后總結(jié)時(shí)零點(diǎn)情況.【小問(wèn)1詳解】若，則，所以，函數(shù)在處的切線方程為；【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)4：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，由，知存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增：當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增：當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；因?yàn)楫?dāng)時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)遞增，且，所以存在唯一零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).18.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)為其左，右頂點(diǎn)，且與的斜率之積為（1）求雙曲線的方程；（2）點(diǎn)為實(shí)軸上一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，記的面積為的面積為，若，求點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先根據(jù)直線斜率之積得到關(guān)于的方程，解出的值，再將的值代入另一個(gè)方程求出的值，最后根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式得出雙曲線的方程．(2)方法1通過(guò)設(shè)直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合已知點(diǎn)在直線上得到關(guān)于的表達(dá)式，再根據(jù)面積關(guān)系列出等式求解，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)；方法2先求出直線PQ與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，再根據(jù)面積關(guān)系消去，得到關(guān)于的方程，最后聯(lián)立雙曲線方程求解點(diǎn)坐標(biāo)．【小問(wèn)1詳解】由得，解得，又，解得，于是的方程為：.【小問(wèn)2詳解】（方法1）設(shè)，顯然，設(shè)直線，與0聯(lián)立，消去得，則，又在直線上，得，代入上式得于是，即，整理得，解得，進(jìn)而，即所求點(diǎn)坐標(biāo)為.（方法2）設(shè)，顯然直線的斜率存在，其方程為：，令，解得依題意將（1）代入上式，消去得.整理得，即由知聯(lián)立，解得.即所求點(diǎn)坐標(biāo)為.19.在組合數(shù)學(xué)、表示論和數(shù)學(xué)物理中，“數(shù)”，是一種通過(guò)引入?yún)?shù)對(duì)