2023-2024學年吉林市普通高中數(shù)學高二年級上冊期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2023?2024學年吉林市普通高中數(shù)學高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

x-y+L,0,

1.變量一＞滿足約束條件，為1,貝1」2=6工+5），的最小值為0

x...-1,

A.-6B.-8

C.-lD.5

2.已知空間直角坐標系中的點P（1,1,1）,A（l,0,l）,8（0,1,0）,則點尸到直線AB的距離為（）

ACR6

66

C亞D.也

33

3.的展開式中，常數(shù)項為（）

A.—160B.—20

C.20D.160

4.已知平面直角坐標系內(nèi)一動點P,滿足圓。:（1—4）2+丁=1上存在一點。使得/。42=45。，則所有滿足條件

的點。構(gòu)成圖形的面積為（）

3兀

A.—B."

4

C.--D.2萬

2

5.已知圓G：f+）,一2〃田+"/一1=0和圓。2：/+、2-2町，+/!2-9=。恰有三條公共切線，則

。〃一6）2+（〃-8）2的最小值為（）

A.6B.36

C.10D.Vio

6.已知A（l,-2,3）,則點A關(guān)于平面的對稱點的坐標是（）

A.(-1,-2,3)B.(-1,-2,-3)

C.(l,-2,-3)2,-3)

7.在平面直角坐標系xOy中，點(0,4)關(guān)于直線x-y+l=0的對稱點為()

A.(-l,2)B.(2,-1)

C.(1,3)D.(3,1)

8.一個袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中有2個紅色球，3個綠色球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球,

下列結(jié)論正確的是()

93

A.第一次摸到綠球的概率是:B.第二次摸到綠球的概率是義

510

34

C.兩次都摸到綠球的概率是三D.兩次都摸到紅球的概率是不

9.設8點是點A(2,-3,5)關(guān)于平面xQy的對稱點，貝IJ|A8|=()

A.10B.VlO

C.V38D.38

10.如甌平行六面體ABC。一ABC4中，。為AG的中點，AB=cnAD=b，AA,=c,則AO=()

11.己知產(chǎn)是拋物線C：)，2=2p.E(〃>0)的焦點，直線/與拋物線。相交于尸，。兩點，滿足/「尸。二〒，記線

d

段PQ的中點A到拋物線C的準線的距離為d,則兩的最大值為()

B.百

/3i

D.-

r3

12.已知矩形ABCD,AB=\fBC=6沿對角線AC將_ABC折起，若二面角8—AC—。的余弦值為一；，

則3與。之間距離為()

A.lB.V2

C.>/3D.巫

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝(〃￡%)是公差不為0的等差數(shù)列，4=1,且％,4,%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項公式；

(2)設數(shù)列-------1的前〃項和為求

14.若4—2,3),8(3,-2),三點共線，則肌的值為.

15.已知函數(shù)/(4)=/+(1一2〃)工+/,若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是_________

16.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的

uuu1iirnr

直棱柱.如圖，在塹堵八中，M是AG的中點，AB=2AA,=2ACBN=%BB、,MG=3GN，若

fJ

iiuuuuumuuuu

AG=xAAi+yAB+zACt貝!Jx+>+z=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在空間四邊形A3CO中，反尸分別是A民的中點，G,H分別在CDA。上，且

CG:GD=AH:HD=2:\.

A

（1）求證：E,￡G,"四點共面；

（2）設E”與AG交于點P,求證：機n尸三點共線.

18.（12分）已知雙曲線上—二二1的左、右焦點分別為1，K,過E作斜率為"的弦A8.求:

27

（1）弦AA的長：

（2）△KA5的周長.

19.（12分）某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，且

每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，每臺機器出現(xiàn)故障的概率為g

（1）若出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X,求X的分布列；

（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)

故障時能及時維修，都產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤.若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機

器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%,雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？

20.（12分）已知｛〃”｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且4+生=6,4生=%.

（1）求數(shù)列｛叫的通項公式;

（2）數(shù)列也｝通項公式為式=2〃+1,求數(shù)列的前n項和

21.（12分）為深入學習貫徹總書記在黨史學習教育動員大會上的重要講話精神和中共中央有關(guān)決策部署，推動教育

系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學在校師生理想信念教育，引導師生學史明理、學史增信、學史崇德、學史力行,

以昂揚的狀態(tài)迎接中國共產(chǎn)黨建黨100周年，哈工大附中高二年級組織本年級同學開展了一場黨史知識競賽.為了解

本次知識競賽的整體情況，隨機抽取了100名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖

（1）求直方圖中。的值，并求該次知識競賽成績的第50百分位數(shù)（精確到0.1）；

（2）已知該樣本分數(shù)在［70,75）的學生中，男生占女生占:現(xiàn)從該樣本分數(shù)在［70,75）的學生中隨機抽出2人,

求至少有1人是女生的概率.

22.（10分）已知等比數(shù)列｛〃〃｝滿足4+4=4,%+%=12

（1）求數(shù)列｛為｝通項公式；

（2）記瓦=log.。田，求數(shù)列-^―1的前〃項和S”

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】根據(jù)不等式組，作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可求z的最小值.

【詳解】根據(jù)不等式組作出可行域如圖，

z=6x+5），=>y=--x+-則直線2=6工+5），過4（-1,0）時，工取最小值-6.

55t

故選：A.

2、D

【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.

【詳解】??41,0,1),5(0,1,0),P(l,l,l),

「?A3=(-l/,一l),AP=(0,1,0),\AP\=\f

4,從5…APAB1.萬

A尸在AB上的投影為由=國=5'

則點尸到直線A8的距離為］卜42-（養(yǎng)券）=「1=半.

故選：D

3、A

【解析】寫出展開式通項，令x的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項計算即可得解.

［詳解］（：_，’的展開式通項為4M=晨｛2j.（-x）f=c;-26--.（-i）r.x2r-6,

令2—6=0,可得r=3,因此，展開式中常數(shù)項為C；23.（_l）3=-160.

故選：A.

4、D

【解析】先找臨界情況當尸。與圓。相切時，ZCPg=45，進而可得滿足條件的點尸形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部）,

即求.

【詳解】當尸。與圓。相切時，ZCPQ=45,這種情況為臨界情況，當產(chǎn)往外時無法找到點。使NCQQ=45,當

尸往里時，可以找到。使NCPQ=45,故滿足條件的點尸形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖,

由圓C:(X—4『+)，2=1,可知圓心。(4,0),半徑為1,則大圓的半徑為血，

，所有滿足條件的點尸構(gòu)成圖形的面積為萬=2乃.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時點所滿足的條件，進而即可得到動點滿足條件的圖形，問題即可

解決.

5、B

【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得"7,〃的關(guān)系，從而點。(〃?,〃)在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記

P(6,8),由歸。求得|PQ|的最小值，平方后即得結(jié)論

【詳解】圓C標準方程為“一〃。2+尸=1,C,(m,0),半徑為1=1,

圓C2標準方程為/+(),_〃)2=9,。2(0,〃)，半徑為4二3,

兩圓有三條公切線，則兩圓外切，

所以，加1=1+3=4,即〃—+〃2=]6，

點Q(〃z,〃)在以原點為圓心，4為半徑的圓上,記。(6,8),

|P6=J(0—6尸+(0—8尸=10,所以歸。喃=10—4=6,

所以(加-6)2+(77-8)2的最小值為62=36

故選：B

6、C

【解析】根據(jù)對稱性求得坐標即可.

【詳解】點A關(guān)于xQy平面的對稱點的坐標是(1,—2,—3),

故選：C

7、D

【解析】設出點(0,4)關(guān)于直線的對稱點的坐標，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可

【詳解】解：設點(0,4)關(guān)于直線X—y+l=0的對稱點是(“/),

3+1=0

22。=3

貝廣解得:j

b-4.

-------=-I

故選：D

8、C

【解析】對選項A,直接求出第一次摸球且摸到綠球的概率；對選項B,第二次摸到綠球分兩種情況，第一次摸到綠

球且第二也摸到綠球和第一次摸到紅球且第二次摸到綠球；對選項C,直接求出第一次摸到綠球且第二也摸到綠球的

概率；對選項D,直接求出第一次摸到紅球且第二也摸到紅球的概率

C13

【詳解】對選項A,第一次摸到綠球的概率為:才故錯誤;

C1C1C1C16

對選項B,第二次摸到綠球的概率為：才*才+才、才=而，故錯誤;

^**5^**4^**5^**41U

C1C13

對選項C,兩次都摸到綠球的概率為：—f-＞故正確；

JJI。

c1C11

對選項D,兩次都摸到紅球的概率為：才=6,故錯誤

JJ?U

故選：C

9、A

【解析】寫出4點坐標，由對稱性易得線段長

【詳解】點B是點A(2,-3,5)關(guān)于平面xO)，的對稱點,

二.B的橫標和縱標與A相同，而豎標與A相反，

8(2,-3，-5),

直線48與z軸平行,

.[40=5-(-5)=10,

故選：A

10、B

【解析】先用向量A4,與4。表示AO，然后用向量,表示向量A4,與4。，即可得解

【詳解】解：為AG的中點，

AO=A4)+AiO=AA]+gAC=A4,+；(A4+AA)

=A4,+：(AB+AO)

=。+耳(。+。)

1-1?

=c+—a+—0

22

故選：B

【點睛】本題考查了平面向量基本定理的應用，解決本題的關(guān)鍵是熟練運用向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的運

算，屬于基礎(chǔ)題

11、C

【解析】設10/1=機,1。/1=〃，過點尸，Q分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為P',。'，進而得

4JP尸l+|QQ'L竺2,再結(jié)合余弦定理得|戶?！?,/+/+"源，進而根據(jù)基本不等式求解得

22

上＜1」

I尸。廠4x(1-：)3?

【詳解】解：設I尸尸1=人1。尸|=〃,

過點p,Q分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為尸

則PP，=,n,QQ'=%

因為點A為線段PQ中點，

所以根據(jù)梯形中位線定理得點A到拋物線c的準線的距離為d=='上，

22

因為NPFQ=與，

所以在APFQ中，由余弦定理得|PQ『=川+〃2_2〃〃?cosy-=m2+n2+nm,

d~_(m+n)2_(m+n)2_1

所以1尸?！?(w2+n2+nin)4](陽+〃尸一〃〃?]〔mn,

(m+n)2

_mn1

又因為(〃?+〃)2,4〃"2,所以7--------當且僅當帆時等號成立，

(〃7+/?)4

1

d<—!—p=-詁d6

所以4x(l-l)3,故畫(彳?

所以島的最大值為立?

\PQ\3

故選：C

【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.

本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設|。/|二，幾|。/|=〃，進而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得1=32,

2

IPQf=m2+n2+inn,再求最值.

12>C

【解析】過點8在平面A8C內(nèi)作B￡_LAC,過點D在平面AC。內(nèi)作DF_LAC,以F。、FE為鄰邊作平行四邊

形EFDG,連接AG,分析可知二面角N—AC—Q的平面角為NREG,利用余弦定理求出AG,證明出DG_LRG,

再利用勾股定理可求得3。的長.

【詳解】過點笈在平面A8C內(nèi)作8￡_LAC,過點。在平面AC。內(nèi)作OF_L4。，以FD、FE為鄰邊作平行四邊

形EFDG,連接BG,

因為AB上BC,AB=lt灰7=百，則，6+叱=2,

因為8E_LAC,由等面積法可得BEJBBC二好,同理可得。尸=正，

AC22

由勾股定理可得AE二yjAlf-BE?=L,同理可得.?.￡F=AC-2AE=1,

22

因為四邊形夕'OG為平行四邊形，且DQEF,故四邊形為矩形，所以，EG1AC,

因為8E_LAC,所以，二面角A—AC—。的平面角為/3EG,

在j8EG中，BE=EG=—?cosZBEG=--t

23

由余弦定埋可得BG2=BE2+EG2-2BEEGCOS/BEG=2，

?/DG//AC,EGA.AC,BE1AC,則EG_LDG,BEIDG,

因為EG=E,.?.QG_L平面BEG,???8Gu平面BEG,則DG_L8G,

?：DG=EF=\,由勾股定理可得BQMJZXL+BG?=g.

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(1)a?=n；(2)7；=1--------.

n+1

【解析】(1)根據(jù)6=1,且。2，4,％成等比數(shù)列，利用等比中項由(l+3d)2=(l+c/)(l+7d),求得公差即可.

⑵由⑴得到共1士=1占，再利用裂項相消法求解.

【詳解】(1)設數(shù)列｛/｝(〃￡%")的公差為d,

因為4=1,且4，%，6成等比數(shù)列，

所以(l+3d『=(l+d)(l+7d),

即/—/=0,

解得1=1或4=0(舍去),

所以數(shù)列｛a,,｝的通項公式為=q+(〃-l)d=〃；

(2)由(1)知：q.%—+1)—廠〃+］，

….1111111

所以=-----1-----F...4

"1223n/7+1~n+\

【點睛】方法點睛：求數(shù)列的前〃項和的方法

(1)公式法：①等差數(shù)列的前〃項和公式，S“=〃(4+%)+"("7)4②等比數(shù)列的前〃項和公式

212

navq=\

Sn=<^(1-tf)；

———Lg

"q

⑵分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解

⑶裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，止負相消剩卜首尾若十項

(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣

⑸錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前〃項和用

錯位相減法求解.

⑹并項求和法：一個數(shù)列的前〃項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如(一1)7(〃淡型，可采用兩項

合并求解

14、0

【解析】根據(jù)三點共線與斜率的關(guān)系即可得出

【詳解】由4—2,3),5(3,-2),三點共線，可知A3所在的直線與AC所在的直線平行，

-c心__2-3_3-77?3-m

又Q3訐L'小工

由已知可得一1二一上=，解得〃2=0

3

故答案為：o

15、島+8)

【解析】分析：應用換元法，令u=/(x)=f+(1-2〃)/+。2,(“三不等式/(/"))20恒成立，轉(zhuǎn)

化為之0在恒成立，確定/3)min關(guān)系式，即可求得答案.

4

詳解：f(尤)二r+(1—2o)x+ci~—［x—(ci——+rz——

，函數(shù)對稱軸小=。一3,最小值/(x)min=。一；

令口=/(x)=x2+(l-2?)x+?2,〃w［a-；,+oo)

則/(/(%))>0恒成立，即在〃€一；,+8)上/(W)min>0.

11

a—>a—,

42

113

.../(〃)在［a-7,+8)單調(diào)遞增，/(w)=—

4inin416

。一弓3NO,解得。之3弓，即實數(shù)。的取值范圍是［3弓,+8)

161616

故答案為［盤,+8).

點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題、不等式恒成立問題以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，考查了復合函數(shù)

問題求解的換元法

【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量可以解決問題.

【詳解】設AB=2,如下圖所示，建立空間直角坐標系，4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,0,l),4,(0,1,0)M[0,1,1

N(2」,02,a0卜(01；卜(2,

貝|JMN=

I3WK)

2(31"

所以AG=AM+MG=

32八228J

、c311

又因為AG=xAA,+yAB+zAC=(2y

f7228

所以Ay+zJ+LLU

2488

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【解析】(1)根據(jù)題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明EF//HG,進而證明問題；

(2)先證明Pw平面Pw平面BCD,進而證明點尸在兩個平面的交線上，然后證得結(jié)論.

【小問1詳解】

「Arj

連接AC,E,尸分別是AB,BC的中點，.?.$//4c.在二A。。中，—=——，:.GHNAC,:.EF//HG.所以

GDHD

E,￡G,H四點共面.

A

【小問2詳解】

?：EHcFG=P,所以PsEH,

又￡77u平面AB。,，平面ABD,

同理：PsFG,尸Gu平面BCR..PE平面BC。，

.?.尸為平面A5。與平面8c。的一個公共點.

又平面平面BCD=BD,:.PwBD,即P,鼠。三點共線.

18、（1）16x/2；

（2）36及.

【解析】（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，求得交點的坐標，再用兩點之間的距離公式即可求得|4用；

（2）根據(jù)（1）中所求，利用兩點之間的距離公式，即可求得三角形周長.

【小問1詳解】

設點A,8的坐標分別為（%,y）、（&,%）,

由題意知雙曲線的左、右焦點坐標分別為6（-3,0）、5（3,0）,

直線AB的方程_y=鳳x-3）,

V2v2

與二一匚二1聯(lián)立得丁―12工+20=0,解得％=2,%=1（）,

27

代入AB的方程為y=J7（x-3）分別解得y\=一萬,y2=7。.

所以|A卻=J（X-丹）~+（y-）=J（2-10）+（-b-7幣）=165/2?

【小問2詳解】

由(1)知|AB|=16夜,

\AF,\=^（2+3）2+（-A/7-0）2=4及，

|明=｛（1（）+3『+（7五—0）2=16收，

所以△尸A8的周長為|4國+忸制+|AB|=36上.

19、（1）答案見解析

（2）雇傭3名

【解析】（1）設出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X,由題意知X即可由二項分布求解；

（2）設該廠雇傭〃名工人，〃可取0、1、2、3、4,先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的

概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.

【小問1詳解】

每臺機器運行是否出現(xiàn)故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障的概率為:，4臺機器相當于4次獨立試驗

（八

設出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X,則XB4,-,

P（x=o）y即如印?1）=唔,?目啜

P（X=2）=C陪）.電嗡P（X=3）=C咱.停）備

P（X=4）=C：g）=1.

則X的分布列為:

X01234

16322481

P

8?8?8?8?8?

【小問2詳解】設該廠雇傭〃名工人，〃可取0、1、2、3、4,

設“在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修”的概率為P（XW〃），貝!I：

/I01234

16487280

P(X</?)1

818?IFs?

V—<90%<—,

8181

，至少要3名工人，才能保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于90%

當該廠雇傭3名工人時，設該廠獲利為y萬元，則y的所有可能取值為"，12,

QA1

P（y=17）=P（X<3）=^j,P（r=12）=l-P（r=17）=—,

的分布列為:

Y1712

801

P8?8?

.r(v\1^711372

??E\Y\—17x-----F12x——=------?16.9,

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，該廠獲利的均值為16.9萬元

當該廠雇傭4名工人時，4臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率為100%,該廠獲利的均值為

4x5-4=16萬元

，若該廠要保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%時，雇傭3名工人使該廠每月獲

利最大

20、(1)6=2”；(2)7；=5-與二

【解析】（1）設｛4｝的公比為夕，利用基本量運算求出公比，可得數(shù)列｛q｝的通項公式;

（2）利用錯位相減法計算出數(shù)列a的前〃項和7；

【詳解】（1）設｛〃”｝的公比為必由題意知：4（1+9）=6,a；q=%qt

又〃“>0,解得％=2,q=2,所以4=2".

b2〃+1

⑵么=2〃+L令則%=

2〃

3572,7-12/7+1

因此］=q+C2+??+%=耳+旌+m+

2"一［2〃

又I3572〃-12〃+1

-7—r—r+

21223242〃2"'?

131112〃+132A?+1_52〃+5

兩式相減得±7；=士+.、