2023-2024學(xué)年運(yùn)城市稷山中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月考試卷附答案詳析

2023-2024學(xué)年運(yùn)城市稷山中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月考試卷

（試卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘）2023.11

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.直線/：x+y-l=0的傾斜角為（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.過點(diǎn)加（2，-3）且與直線x+2y-9=°平行的直線方程是

A2x-y+8=0Bx-2y+7=0Qx+2y+4=0px+2y-l=0

AB+-BC+-BD

3.空間四邊形ABCD,連接AC,BD.M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，則22等于（）

A.ACB.GAC.AGD.MG

4.過點(diǎn)（5,2）,且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是（）

A.2x+y-12=0B.x-2y-l=0或2x-5y=0C.x-2y-l=0D.2x+y-12=0或2x-5y=0

5.如圖，在四棱錐P-A8c。中，底面48CD,底面ABC。為正方形，PA=BC,E為CD的中點(diǎn),

〃為℃的中點(diǎn)，則異面直線勿與此所成角的正弦值為（）

V7885百4-

A.9B.§C.9D.9

6.LA知向量m,n分別是直線I的方向向量和平面Q的法向量，若cos<m,n>=2,貝ij1與a所成的

角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

j_3

7.圓丁+9+24-6），+1=（）關(guān)于直線or—力+3=°（?>0,b>0）對(duì)稱，則二工的最小值是（）.

1620

A.3B.3C.4D.2指

22

口口工一5=1（。>0.8>0）

8.設(shè)小心分別是雙曲線/什的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)尸，使得

（。尸+0身.尸2尸=0,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且同卜2陷則該雙曲線的離心率為

A.3B.13+1c.TD.鄧

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知直線4：“一"1+2=0,直線/2：融—（々一2力-3=0,若3"則實(shí)數(shù)a可能的取值為（）

A.-1B.0C.1D.2

C,――_y2—|

10.已知雙曲線.4”一，則（）

在

A.雙曲線C的離心率為2

B,雙曲線°的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1

-y=±—x

C,雙曲線0的漸近線方程2

D.雙曲線0左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為4

11.已知圓C的方程為（“一1）-+（y一1）-=4,直線/的方程為x+叼-〃?-2=°,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（21）

B.直線與圓相交

C,直線被圓所截最短弦長(zhǎng)為2行

D.存在一個(gè)實(shí)數(shù)機(jī)，使直線/經(jīng)過圓心C

12.如圖所示，正方體ABCO-AGGA的棱長(zhǎng)為1,E、F、G分別為8C、°G、⑶片的中點(diǎn)，則下列

說法正確的是（）.

A.直線馬。與直線所垂直

B,直線4G與平面A族平行

9

C.平面AE/截正方體所得的截面面積為G

D.點(diǎn)A與點(diǎn)。到平面4故的距離相等

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)直線/的斜率為％,且一1“<8，則直線/的傾斜角。的取值范圍為.

k.過圓*+丁+2.-4），-4=0與直線x-），=0的兩個(gè)交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程為

15.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓/25-焦距為6,兩個(gè)焦點(diǎn)為匕居，弦AB過點(diǎn)勺則居的周長(zhǎng)

為

16.2-A8CQ是正四棱錐，48co-A8CQ是正方體，其中人“=2,PA=R,則到平囪PA。的距

離為

匹、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（1）已知直線乙：2%-〃"-1=°和/2：（加-1）工-"1=0,若〃兒，求實(shí)數(shù)的值;

（2）已知"3。的三個(gè)頂點(diǎn)A（-Z0）,3（2，。），。（6,4）,求其外接圓〃的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.如圖，在斜四棱柱ABCD-A8CQ中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為i的正方形，

⑵若PC與AB所成角為45,求二面角/一BE-A的余弦值.

C:「十==1(〃>/?>0)(2\/20)~~

22.已知橢圓少曠的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為I、’人離心率為2.

(1)求橢圓0的方程；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)3在直線'=4上，且。試判斷直線A8與圓/+丁=9

的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

1.D

【分析】求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€/的斜率為-1,所以/的傾斜角為135。.

故選：D

2.C

【解析】設(shè)所求的直線方程為x+2y+〃?=。，代入點(diǎn)M(2,-3),即可求得本題答案.

【詳解】因?yàn)樗笾本€方程與直線"+2?'-9=°平行，所以可設(shè)為x+2y+〃?=°,又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)“(2,-3),

代入可得"，=4,則所求直線方程為x+2y+4=0

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想和空間向量加法法則化簡(jiǎn)即可.

'BC=BM-BD=MG

【詳解】VM,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，...2,2

AB+-BC+-BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG

22

故選：C

4.D

【分析】根據(jù)直線是否過原點(diǎn)進(jìn)行分類討論，結(jié)合截距式求得直線方程.

?=2.

【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為‘-即21-5)，=0

xy.52

-H---=1(c--1---=1。=6

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為。2。，代入得〃2a,

所以直線方程為2x+)'—12=0

故選：D

5.A

【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出4"和PE的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式計(jì)算夾角的余弦值,

再由同角三:角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.

［詳解］因?yàn)槭酌鍭8CO,A及ADu面AN。，可得笈_(tái)LAB,PA±AD,

因?yàn)樗倪呅蜛3CO為正方形，可得A8J.A。,

所以A氏八。用。兩兩垂直，如圖分別以八及4。，4P所在的直線為x?，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,

則展2,

可得3（2,0,0）P（0,0,2）,0（220）,:（1,1,1）,￡（1,2,0）,

所以即=（一1』,1）正=（1，2，一2）,

所以〈，|明?四厚39,

設(shè)異面直線BF與正所成的角為

【解析】根據(jù)線面角與方向向量與法向量的夾角的關(guān)系進(jìn)行判斷.

【詳解】設(shè)1與a所成的角為e且6￡[0,90°1，WiJsin9=|cos<m,n>|=2.A0=30°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面所成的角向量的解法.

7.A

【分析】根據(jù)題意可知直線經(jīng)過圓心（T'3）,整理得§“+"一1（。>°,b>0）,結(jié)合基本不等式運(yùn)算

求解.

【詳解】由圓/+/+2x-6），+1=0可得標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+N+U-3）2=9,

即圓心為㈠孫

因?yàn)閳A關(guān)于直線以一力+3=°對(duì)稱，則該直線經(jīng)過圓心（T，3）.

-a+b=\

艮|一，一勸+3=0,整理得3b>0),

—+-=—a

貝!。°13

3b3a.3

——=—a=b=一

當(dāng)且僅當(dāng)?！?，即4時(shí)，等號(hào)成立，

1316

--1--

所以。人的最小值是3.

故選：A.

8.D

【分析】由(8+啕?右=°,得1研=1°周，取產(chǎn)工中點(diǎn)M,可得3門勺利用雙曲線的定義結(jié)

合勾股定理解出該雙曲線的離心率.

【詳解】由(8+叫6尸=°，得如=阿，取次中點(diǎn)〃，則。所以尸口”,

設(shè)|Pg|=〃7,則附|=2叫且歸國(guó)一儼閭=2?="?,因此(4a)?+(2a)2=(2c)2,解得,

故選：D.

9.BC

【分析】由《,幻可得"+-2)=0,即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)?U,所以"〃32)=0,解得。=0或1.

故選：BC.

10.ABC

【分析】根據(jù)雙曲線的基本幾何量運(yùn)算即可.

c?—-y2=1-

［詳解］解：雙曲線4'中，〃=4方=1,所以°2=/+/=5,則a=2,b=l,c=V5

c_75

所以雙曲線°的離心率為力二耳，故A正確：

雙曲線的焦點(diǎn)為到漸近線，=±5"的距離為》+(，)，故B正確，C正確；

雙曲線c左支上的點(diǎn)。到右焦點(diǎn)居的距離為歸閭"+〃=石+2,故最短距離為蓬+2,故D不正確.

故選：ABC.

11.ABC

【分析】化簡(jiǎn)直線/的方程為■r-2+，〃(y-l)=0,結(jié)合方程組的解，可判定A正確；求得圓心到定點(diǎn)I24)

能距離，得到點(diǎn)。在圓內(nèi)，進(jìn)而得到直線與圓相交，可判定B正確；根據(jù)圓的性質(zhì)，得到當(dāng)直線和直線

PC垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，求得最短弦長(zhǎng)，可判定C正確；將圓心坐標(biāo)代入直線/的方程，可判

定D不正確.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：由直線/的方程〃-2=°,可化為x-2+〃?（y-l）=°,

x-2=0

聯(lián)立方程組b'T=°,解得x="=l,即直線/恒經(jīng)過定點(diǎn)P（2J）,所以A正確：

對(duì)于B項(xiàng)：由圓C的方程（XT"1一1）'、可得圓心C（U）,半徑r=2,

又由儼4=1<2=、可得?（ZD在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，所以B正確；

對(duì)于C項(xiàng)：由歸根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線PC垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)

為2歷時(shí)=2-=23所以c正確；

對(duì)于D項(xiàng)：將圓心81）代入直線/的方程X+〃D」〃L2=0,可得1+〃-2=-100,所以不存在一個(gè)

實(shí)數(shù)〃?，使得直線/過圓心°,所以D不正確.

故選：ABC.

12.BCD

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積計(jì)算判斷A；

通過線面平行的定義判斷B；

根據(jù)截面形狀計(jì)算面積判斷C：

根據(jù)圖形關(guān)系判斷點(diǎn)到平面距離是否相等即可判斷D.

【詳解】如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，建立以。為原點(diǎn)，以O(shè)A、DC、所

區(qū)為E、F、G分別為8C、CC、BBI的中點(diǎn),

則0(0,0,0)A(0,0,1)4(1,0,0)F。心

DD—00="'3）DD）-AF=—^0

對(duì)于A選項(xiàng)，叫一（。，。川、12人...2,故A錯(cuò)誤

對(duì)于B選項(xiàng)，連接陽、"%?."卬比尸，.?.A、A、E、F四點(diǎn)共面，

”.//GJAA=GJ...四邊形A.FG為平行四邊形，

?Afi〃D\F又AGa平面4即，.Fu平面從政，

???AG//平面AEE,故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，連接他、加，???他//斯，

???四邊形AD'FE為平面AEF截工方體所得的截面,

逑=2

見四邊形物莊的面積為22）48,故C正確:

對(duì)于D選項(xiàng)，連接交A"于點(diǎn)°,

則。是A0的中點(diǎn)，且。是線段4。與平面AD'FE的交點(diǎn)，

???點(diǎn)4和點(diǎn)D到平面A痔的距離相等，故D正確；

故選：BCD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為:

（1）幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線進(jìn)而求解；

（2）坐標(biāo)法：通過建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間坐標(biāo)運(yùn)算公式求解；

（3）基底法：通過向量的基底轉(zhuǎn)化以及向量的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系及正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】解：直線/的傾斜角為"，則"4°"）,由74k<6,得-Kana〈后,

一。,小戶

故答案為：L14

【分析】先得到圓f+)'+23-4)，-4=°與直線"-)，二°的交點(diǎn)坐標(biāo)AI,進(jìn)而得到過這兩個(gè)交點(diǎn)且面

稹最小的圓是以A8為百件的圓，得到圓心和半徑，得到答案.

【詳解】設(shè)圓/+)/+2工-4)，-4=°與直線4-、=()的兩個(gè)交點(diǎn)為48,

j2+/+2%-4y-4=0（x=-\x=2

聯(lián)立卜7=0,解得i）'=T或心

不妨設(shè)4-LT)、W2,2),

貝!過這兩個(gè)交點(diǎn)且面積最小的圓是以八4為直徑的圓,

15.4后

【分析】根據(jù)橢圓的方程和焦距求得a,再由△加馬的周長(zhǎng)為4a求解.

r2

—+--=I

【詳解】解：焦點(diǎn)在x軸上的橢圓25焦距為6,

所以2c=6,解得c=3,

所以/=25+9=34,則〃=曲，

所以△嶼的周長(zhǎng)為4〃=4后，

故答案為：4后

6亞

16.5-

【分析】以A"為文軸，AA為y軸，AA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面幺。的法向量，8①的

坐標(biāo)，利用距離公式，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：以A媯為X軸，AR為y軸，AA為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)平面幺。的法向量是'〃=(K)'，Z),

AO=(0,2,0),AP=(1,1,2)

m-AD=Of2>'=0

..由可得［x+y+2z=。

取z=l得加=(-2,0』)，

4A=(-2,(X2),

.?.4到平面幺力的距離WI5.

6x/5

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

17.⑴小=2；⑵-+(k6)2=40

【分析】(1)根據(jù)《“A得出兩直線的斜率相同，解出m的值，再檢驗(yàn)m的值；

⑵設(shè)外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。-4+。一方=產(chǎn),結(jié)合待定系數(shù)法求出a、b、r的值即可.

【詳解】(1)由題意，得

直線人的斜率'一”,直線12的斜率&2=6-1,

因?yàn)樗哉?*2即機(jī)一",解得m=2或m=-L

當(dāng)m=2時(shí)，4：2x—2y—l=0,4：x—y+l=O,符合題意；

當(dāng)m=-l時(shí)，K2x+y—l=(),￡-2x-y+\=Of4與"重合，不符題意.

故m=2；

(2)由題意，設(shè)48c外接圓H的標(biāo)準(zhǔn)方程為a-a)2+()i)2=L

因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C都在外接圓H上，

(-2-十(一力)'=r'a=0

■(2-a)2+(-b)2=r2<b=6

所以k6_4+(4_八：解得|「=2啊

所以乂BC外接圓H的標(biāo)準(zhǔn)方程為V+()」6)2=40

18.(1)證明見解析；

⑵3

【分析】(1)由AC="十A8+AO,80=4)-48,應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知可得

AC^BD=0即可證結(jié)論；

(2)由I4GI之AVA8+AO|[應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律得方程求側(cè)棱"A的長(zhǎng).

【詳解】⑴由圖ACLAVACLM+AA+AAnAAj+AB+AZ),BD=AD-ABt

所以AC〕,BD=(.AAi+AB+AD)-(AD—AB)=A4(,AD+AD—AAi,AB—AB~

Z8AA=ZDAA=-.A-2?2

又6且底面ABC。是邊長(zhǎng)為i的正方形，則4r=xr=Ax8,

所以4G4。=0,即AG18。

(2)由(])知?MGI2=1MI2=M2++AD"+2M-AB+2AA.?AD+2AB-AD

根據(jù)已知條件，所以IAA『+2#1AAi|-9=(|/V\|+3\/5)(|A4,|-75)=0,貝|j|A4J=\/5

19.(l)x=0或3x-4y+20=0；

⑵f+y2+2x-]]y+30=0

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理求解弦長(zhǎng)，再根據(jù)弦長(zhǎng)為46即可求出直線方程：

⑵設(shè)圓C內(nèi)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為D(x,y),則CDJ_PD,則00。=°,據(jù)此化簡(jiǎn)即可得軌跡方程.

【詳解】(1)圓C的方程可化為：*+2)2+(>—6)2=16,圓心c(—2,6),半徑r=4.

如圖,設(shè)直線1與圓C交于AB兩點(diǎn),則1ABi乂色D是AB的中點(diǎn),則>=2色|AC|=4.

在RSADC中，可得18k於葉麗=際=2

蘭直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的斜率為k,

貝!吏線1的方程為y-5—kx,即kx-y+5—0.

|-2k-6+5|3

出點(diǎn)到直線的距離公式得而==2,解得k=*,

此時(shí)直線1的方程為3x-4y+20=0.

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線1的方程為x=0,

x=0

<、,=>y=±2rV3+6

[(x+2)2+(y-6)2=16",

...弦長(zhǎng)為|(26+6卜(-26+6)|=4百滿足題意.

因此，直線1的方程為x=0或3x—4y+20=0.

(2)設(shè)圓C內(nèi)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為D(x,y),則CD_LPD,

:.CDPD=。,*;C￡)=(x+2,y-6)PD=(x,y-5),

.*.(x+2)x4-(y—6)(y—5)=0,

化簡(jiǎn)得軌跡方程：x24-r+2x-lly4-30=0

20.(1)3.(2)3

【分析】(I)如圖建系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)以及4"、平面"EG的法向量"?=(X，X，zJ,由向量的夾角公式

即可求解;

(2)連接EF,證明FC/g利用線面平行的性質(zhì)定理即可求證，直線"C到平面AEG的距離等于點(diǎn)尸到

平面AEG的距離，計(jì)算點(diǎn)F到平面"的距離即可.

(1)如圖：以2為原點(diǎn)，以°人所在的直線為人軸，.G所在的直線為)‘軸，所在的直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，貝/(I，。/)，網(wǎng)1,2,1),E(IJO),G(0,2,0),

廣(1,1,1)A3=(O,2,O)AE=(OJ,-l)明=(-1,1,0)

設(shè)平面4對(duì)的法向量為,

m-AE=y-馬=0

V

貝?。?明=F+M=°,令K=1可得4=1,所以"(I』」)

設(shè)A8與平面AEG所成角為夕，

則'”同網(wǎng)73x23,

所以48與平面"EG所成角的正弦值為3,

(2)連接石尸，因?yàn)辄c(diǎn)E為線段斗四的中點(diǎn)，點(diǎn)/為線段A8的中點(diǎn)，

所以睥嗯二,則四邊形甌C是平行四邊形，

所以FC/g,

因?yàn)镋Gu平面AEG,尸Ca平面AEC,

所以“C〃平面

區(qū)為FC〃平面A￡G,所以直線產(chǎn)。到平面AEG的距離等于點(diǎn)尸到平面AEG的距離，

吃喝?⑺

d=?J==—

所=(°m),所以距離IH&3,

立

所以直線尸c到平面的距離等于3.

21.（1）證明見解析（2）3

【分析】（1）根據(jù)幺=。/九￡為A。的中點(diǎn)，得到小工人。，再由正_LC。，利用線面垂直和面面垂

直的判定定理證明：

（2）以E為原點(diǎn)，以￡4為x軸，所為軸，以科為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面七防的一

m-n

cos<m,n>=-------

個(gè)法向量為機(jī)=E戶Z）,再由平面樹的一個(gè)法向量為〃由1〃小1川求解.

【詳解】（1）證明：

?:PA=PD,E是A。的中點(diǎn)，???。石工4。，

又PE工CD,AD"）CD=DfA。、CQu平面ABCD,

???PE_L平面ABCD，?二PEu平面PAD,

???平面"O_L平面A8CQ；

BC=CD=-AD=\

（2）解：??,AD//BC、4OC=90、2,：,AE±BE,

以上為坐標(biāo)原點(diǎn)，射、EB、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

連接比，

?：AE〃BC、人E=8C,.?.四邊形A￡C3為平行四邊形，

AAB//CE，,“CE是異面直線尸C與AB所成的角，則NPCE=45°,

:.PE=CE=叵,則石（（），（），（））、川°'°,a）、8（0,1。）、C（T，I，（）），

/?1⑥

r--9-9---

???I22

-一,EF=（-——

設(shè)平面8￡尸的法向量為機(jī)=（x，y，z）,又E8=（0,l,0）、2'2'2,

m-EB=y=0

'“11應(yīng)c

/.222，令z=l,則x=Vi、y=。，

...$=（x/2,0,1）,又平面母的法向量〃=（0,0,1）,

設(shè)二面角尸一/坦-A的平面角為0,經(jīng)觀察。為鈍角，

V3xl3

X

三+J

22.（1）168；（2）相交，證明見解析.

c=2&

cV2

<。=-=—

a2

a2=h2+c2,

【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組,解方程組的“力的值即可求解；

（2）設(shè)AG。，〉'。），W'，4）,且而工°,由=°可得/，%」的關(guān)系，分類討論直線A8的斜率是否

存在，求出原點(diǎn)到直線A8的距離，與半徑比較大小即可求解.

c=2xi傷

C_V2c=2>/2

<e=-

a2,a=4

cr=b2+C2L.、仄

【詳解】（1）由題意可得：，解得：

x2/.

--++--=1

所以橢圓C的方程為168,

（2）設(shè)4（%，%），8（（4）,且毛工。，可得°A=（%，NO）,OB=(f,4)

”-必

醫(yī)為N1OR,所以。4。"=*,+4K=（）,解得