【素養(yǎng)目標(biāo)】5.3.1 幾何圖形問題 教案（表格式） 2024-2025學(xué)年北師大數(shù)學(xué)上冊(cè)

3一元一次方程的應(yīng)用第1課時(shí)幾何圖形問題教學(xué)目標(biāo)課題第1課時(shí)幾何圖形問題授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.能根據(jù)幾何圖形問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，感悟數(shù)學(xué)模型的思想。2.通過對(duì)幾何圖形問題的解決，體會(huì)利用方程解決問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系。3.經(jīng)歷運(yùn)用方程解決幾何圖形問題的過程，感受數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)尋找?guī)缀螆D形問題中的等量關(guān)系，建立方程。教學(xué)難點(diǎn)抓住幾何圖形變化中的不變量，確定等量關(guān)系。教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖借助橡皮泥的變化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的數(shù)量關(guān)系，從而引出本節(jié)課的課題?！厩榫骋搿咳鐖D，用一塊橡皮泥先捏出一個(gè)“瘦高”的圓柱，然后再讓這個(gè)“瘦高”的圓柱“變矮”，變成一個(gè)“矮胖”的圓柱，請(qǐng)思考下列幾個(gè)問題：（1）在你操作的過程中，圓柱由“高”變“矮”，圓柱的底面直徑是否變化了？還有哪些量改變了？（2）在這個(gè)變化過程中，什么量沒有變化呢？接下來這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)一元一次方程的應(yīng)用?！窘虒W(xué)建議】教師可事先準(zhǔn)備一塊橡皮泥作為演示道具，指定學(xué)生代表回答問題，并帶學(xué)生回顧圓柱的體積公式，為后續(xù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，合作探究設(shè)計(jì)意圖借助幾何圖形問題，通過分析的方式，培養(yǎng)學(xué)生從問題中找等量關(guān)系、抽象出方程模型、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，感受方程模型在解決實(shí)際問題中的作用，增強(qiáng)模型觀念與應(yīng)用意識(shí)。探究點(diǎn)利用一元一次方程解決幾何圖形問題1.圖形的等積變化問題某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研決定對(duì)該產(chǎn)品外包裝進(jìn)行改造，計(jì)劃將它的底面直徑減少為6cm。那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕?？?）這個(gè)問題中包含哪些量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？圓柱形易拉罐改造前后的底面半徑、高、容積。（2）設(shè)新包裝的高度為xcm，你能借助下面的表格梳理問題中的信息嗎？（3）根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程？設(shè)新包裝的高度為xcm。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：解這個(gè)方程，得x=14.52。因此，易拉罐的高度變?yōu)?4.52cm。思考（1）根據(jù)問題列方程時(shí)的關(guān)鍵是什么？列方程時(shí)，關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系。（2）用方程解決實(shí)際問題的基本步驟是什么？理解題意，尋找等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程，解方程，作答。2.圖形的等長(zhǎng)變化例（教材P147例1）用一根長(zhǎng)為10m的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形。（1）如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多1.4m，那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米？（2）如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多0.8m，那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米？此時(shí)的長(zhǎng)方形與（1）中的長(zhǎng)方形相比，面積有什么變化？（3）如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬相等，即圍成一個(gè)正方形，那么此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)是多少米？正方形的面積與（2）中長(zhǎng)方形的面積相比又有什么變化？分析提問：①本題涉及哪些量？鐵絲的長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、周長(zhǎng)、面積。②如圖，題中圍長(zhǎng)方形的過程中有什么沒有發(fā)生變化？③題中有怎樣的等量關(guān)系？等量關(guān)系：（長(zhǎng)+寬）×2=周長(zhǎng)（周長(zhǎng)就是鐵絲的長(zhǎng)度）。④如圖，結(jié)合（1）（2）問題意，若設(shè)長(zhǎng)方形的寬為xm，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)可怎么表示？試用含x的代數(shù)式在下面圖中表示出來。（1）（2）解：（1）設(shè)此時(shí)長(zhǎng)方形的寬為xm，則它的長(zhǎng)為（x+1.4）m。根據(jù)題意，得2（x+1.4）+2x=10。解這個(gè)方程，得x=1.8。1.8+1.4=3.2。此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3.2m，寬為1.8m。（2）設(shè)此時(shí)長(zhǎng)方形的寬為xm，則它的長(zhǎng)為（x+0.8）m。根據(jù)題意，得2（x+0.8）+2x=10。解這個(gè)方程，得x=2.1。2.1+0.8=2.9。此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2.9m，寬為2.1m，面積為2.9×2.1=6.09（m2），（1）中長(zhǎng)方形的面積為3.2×1.8=5.76（m2）。此時(shí)長(zhǎng)方形的面積比（1）中長(zhǎng)方形的面積增大6.09-5.76=0.33（m2）。（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm。根據(jù)題意，得4x=10。解這個(gè)方程，得x=2.5。正方形的邊長(zhǎng)為2.5m，面積為2.5×2.5=6.25（m2），比（2）中長(zhǎng)方形的面積增大6.25-6.09=0.16（m2）。思考在上面的問題中，所列方程的兩邊分別表示什么量？列方程的思路是什么？與同伴進(jìn)行交流。所列方程的兩邊分別表示長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和鐵絲的長(zhǎng)度，列方程的思路是先設(shè)一邊長(zhǎng)為未知數(shù)，再用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出周長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)等于鐵絲的長(zhǎng)度10m這個(gè)等量關(guān)系列出方程。歸納總結(jié)：周長(zhǎng)一定的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬的差值越小，長(zhǎng)方形的面積越大；當(dāng)長(zhǎng)和寬相等時(shí)（即為正方形時(shí)），長(zhǎng)方形（正方形）的面積最大。周長(zhǎng)一定的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬的差值越小，長(zhǎng)方形的面積越大；當(dāng)長(zhǎng)和寬相等時(shí)（即為正方形時(shí)），長(zhǎng)方形（正方形）的面積最大。【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P149隨堂練習(xí)。【教學(xué)建議】指定學(xué)生代表回答，教師可沿用活動(dòng)一中的引入酌情說明，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用方程解決實(shí)際問題的基本步驟?！窘虒W(xué)建議】教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生先分組獨(dú)立完成本例，然后請(qǐng)各組代表匯報(bào)三個(gè)小問題的解答情況，最后組織學(xué)生開展討論：解這道題的關(guān)鍵是什么？從解這道題中你有哪些收獲或體驗(yàn)？鼓勵(lì)學(xué)生通過獨(dú)立思考發(fā)現(xiàn)：圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬在發(fā)生變化，但在圍的過程中，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)不變，由此便可建立“等量關(guān)系”。指定學(xué)生代表回答分析提出的問題，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方式列出方程。【教學(xué)建議】根據(jù)計(jì)算，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的變化，長(zhǎng)方形的面積也在發(fā)生變化，并引導(dǎo)學(xué)生嘗試總結(jié)其中的規(guī)律?；顒?dòng)三：知識(shí)延伸，鞏固升華設(shè)計(jì)意圖通過例題與練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)從問題中尋找隱含的等量關(guān)系，鞏固提高利用方程解決實(shí)際問題的能力。例直徑為30cm、高為50cm的圓柱形瓶里裝滿了飲料，現(xiàn)將飲料倒入底面直徑為10cm的圓柱形水杯，剛好倒?jié)M30杯，則水杯的高度是多少？分析：等量關(guān)系是飲料的體積不變，設(shè)水杯高度為未知數(shù)列方程，求解即可?！緦?duì)應(yīng)訓(xùn)練】一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是40cm，若將長(zhǎng)減少6cm，寬增加2cm，長(zhǎng)方形就變成了正方形，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少厘米？分析：等量關(guān)系是正方形的邊長(zhǎng)相等，可設(shè)長(zhǎng)為未知數(shù)列方程求解?！窘虒W(xué)建議】提醒學(xué)生：注意“裝滿”“倒?jié)M”的含義，倒飲料過程中飲料的體積沒有發(fā)生變化，可據(jù)此等量關(guān)系列出方程，還要注意水杯數(shù)量?！窘虒W(xué)建議】酌情提醒學(xué)生：正方形的邊長(zhǎng)相等是隱含的等量關(guān)系。鼓勵(lì)學(xué)生用不同方式列方程，還可設(shè)寬為未知數(shù)列方程，或者設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為未知數(shù)根據(jù)周長(zhǎng)列方程?；顒?dòng)四：課堂總結(jié)【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.用方程解決實(shí)際問題的基本步驟是什么？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P154～155習(xí)題5.3第1，3，4，5題。板書設(shè)計(jì)3一元一次方程的應(yīng)用第1課時(shí)幾何圖形問題1.等積變化。2.等長(zhǎng)變化。教學(xué)反思本節(jié)課以橡皮泥的變化作為引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，再通過梳理分析問題中的各種量，將思考的過程用填空的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生了解運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的思路和方法，最重要的是抓住等量關(guān)系，使學(xué)生體會(huì)方程模型對(duì)于解決實(shí)際問題的作用，加強(qiáng)模型觀念。后續(xù)通過例題與練習(xí)，幫學(xué)生掌握用方程解決一般幾何圖形問題，對(duì)幾何圖形問題有大致的分類意識(shí)，知道如何找到等量關(guān)系列出方程，提高應(yīng)用意識(shí)。解題大招一利用去分母解一元一次方程一般幾何圖形問題的大致類別解決方案等體積變形以體積為不變量，用不同方式表示出體積，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解等面積變形以面積為不變量，用不同方式表示出面積，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解等周長(zhǎng)變形以周長(zhǎng)為不變量，用不同方式表示出周長(zhǎng)，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解例（1）有一塊邊長(zhǎng)為4cm的正方體形橡皮泥，要用它來捏一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為8cm，2cm的長(zhǎng)方體橡皮泥，則它的高為4cm。（2）如圖，小明將一張正方形紙片剪去一個(gè)寬為6cm的長(zhǎng)條后，再?gòu)氖Ｏ碌拈L(zhǎng)方形紙片上剪去一個(gè)寬為8cm的長(zhǎng)條，如果兩次剪下的長(zhǎng)條面積正好相等，那么每一個(gè)長(zhǎng)條的面積為144cm2。（3）用一根120cm長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，使該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為40cm，寬為20cm?！窘馕觥浚?）設(shè)高為xcm，則43=8×2x。解這個(gè)方程，得x=4。故高為4cm。（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則6x=8（x-6）。解這個(gè)方程，得x=24。6×24=144。故每一個(gè)長(zhǎng)條的面積為144cm2。（3）設(shè)寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm，2×2x+2x=120。解這個(gè)方程，得x=20。2×20=40。故長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為40cm，寬為20cm。培優(yōu)點(diǎn)利用一元一次方程解決拼接圖形問題例如圖，周長(zhǎng)為68的長(zhǎng)方形ABCD被分成7個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形ABC