【素養(yǎng)目標(biāo)】第5章 一元一次方程 問題解決策略：直觀分析 教案（表格式）2024-2025學(xué)年北師大數(shù)學(xué)上冊

☆問題解決策略：直觀分析教學(xué)目標(biāo)課題☆問題解決策略：直觀分析授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)借助圖表直觀分析問題中數(shù)量關(guān)系的能力，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想，開拓思維。2.進(jìn)一步提高利用一元一次方程解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)培養(yǎng)借助圖表直觀分析問題中數(shù)量關(guān)系的能力，提高利用一元一次方程解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)難點(diǎn)助圖表分析較復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系。教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖借助簡單的生活情境，通過圖片與文字的對比，激發(fā)學(xué)生興趣，讓學(xué)生感受借助圖表分析問題的便利，引出接下來的學(xué)習(xí)主題?！厩榫骋搿吭谇懊娴恼n程中，你是否發(fā)現(xiàn)，在利用一元一次方程解決問題時(shí)，借助表格和示意圖可以直觀分析問題，使問題中的數(shù)量關(guān)系更加清晰。這是因?yàn)槿藗儗D表的理解和記憶能力超過單純的文字，而這是由大腦的特點(diǎn)決定的。實(shí)際上，借助圖表直觀分析數(shù)量關(guān)系，往往是解決問題的一種重要策略。這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)這種策略?！窘虒W(xué)建議】酌情再引用一些課外材料，讓學(xué)生感受用圖表分析問題的便利，也可以讓學(xué)生自己舉例說明?；顒?dòng)二：問題引入，合作探究設(shè)計(jì)意圖通過對問題的逐步分析與交流，培養(yǎng)學(xué)生借助圖表直觀分析數(shù)量關(guān)系的能力，再用對應(yīng)的練習(xí)讓學(xué)生鞏固。探究點(diǎn)借助圖表直觀分析問題問題（教材P156問題）一家商店將某種服裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？【理解問題】（1）這個(gè)問題中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？每件服裝的成本價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、利潤，利潤是已知量，成本價(jià)、標(biāo)價(jià)和售價(jià)是未知量。（2）你能用文字語言描述這個(gè)問題中所蘊(yùn)含的等量關(guān)系嗎？服裝的成本價(jià)提價(jià)后等于標(biāo)價(jià)，標(biāo)價(jià)再打折后等于售價(jià)，售價(jià)與成本價(jià)的差等于利潤。（3）采用什么方式可以更清楚地展示這個(gè)問題中各個(gè)量之間的關(guān)系？可以借助圖表來表示它們之間的關(guān)系?！緮M訂計(jì)劃】（1）想象一下商店從進(jìn)貨、標(biāo)價(jià)到銷售獲利的過程，你能用示意圖直觀地表示這一過程嗎？（2）根據(jù)自己畫的示意圖，你能寫出哪些等量關(guān)系？成本價(jià)×（1+40%）=標(biāo)價(jià)，標(biāo)價(jià)×80%=售價(jià)，售價(jià)-成本價(jià)=利潤。（3）設(shè)這種服裝每件的成本為x元，你能用含x的代數(shù)式表示其他量嗎？根據(jù)自己寫出的等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程？標(biāo)價(jià)為（1+40%）x，售價(jià)為（1+40%）x·80%，可列出方程：（1+40%）x·80%-x=15?！緦?shí)施計(jì)劃】寫出你的解決方案，并與同伴進(jìn)行交流。（讓學(xué)生自主回答）小明用如圖所示的框圖直觀地表示了商店從進(jìn)貨、標(biāo)價(jià)到銷售獲利的過程，并將問題中的數(shù)量信息標(biāo)注在框圖中。據(jù)此，他列出了方程（1+40%）x·80%-x=15。解這個(gè)方程，得x=125。因此，這種服裝每件的成本是125元?！净仡櫡此肌浚?）你是用怎樣的示意圖表示商店從進(jìn)貨、標(biāo)價(jià)到銷售獲利全過程的？與同伴交流不同示意圖的優(yōu)缺點(diǎn)。讓學(xué)生自主回答。（2）示意圖對解決這類問題有什么作用？請舉例說明。借助適當(dāng)?shù)膱D表，可以直觀、形象地呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得清晰明了，從而幫助我們更好地理解問題、分析問題、解決問題。比如教材P151上面的問題?！緦?yīng)訓(xùn)練】用直觀分析策略解答教材P157下方問題2。解：畫圖分析數(shù)量關(guān)系如下：數(shù)量關(guān)系：小明的路程+爸爸的路程=（2×11）km。設(shè)會(huì)合時(shí)他們騎行了th，可列方程：10t+12t=2×11。解這個(gè)方程，得t=1。因此，會(huì)合時(shí)他們騎行了1h?！窘虒W(xué)建議】指定學(xué)生代表上臺(tái)畫圖和分析，鼓勵(lì)學(xué)生列出各種不同的方程進(jìn)行比較和分析?！窘虒W(xué)建議】指定學(xué)生代表畫圖分析問題中的數(shù)量關(guān)系，教師酌情給予指導(dǎo)?；顒?dòng)三：知識(shí)延伸，鞏固升華設(shè)計(jì)意圖借助例題和對應(yīng)訓(xùn)練讓學(xué)生了解更多形式的直觀分析方法，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想，拓寬思維。例（1）用直觀分析策略解答教材P157下方問題1；解：畫圖分析如下：假設(shè)四幢宿舍樓分別為點(diǎn)A，B，C，D，超市為點(diǎn)E，四幢宿舍樓到超市的距離之和即為AE+BE+CE+DE。分三種情況討論：①如圖，當(dāng)點(diǎn)E1位于AB上時(shí)，AE1+BE1+CE1+DE1=AD+BC+2BE1，容易發(fā)現(xiàn)此時(shí)當(dāng)BE1最小時(shí)，距離之和最短，即當(dāng)點(diǎn)E1位于點(diǎn)B時(shí)，距離之和最短為AD+BC。②如圖，當(dāng)點(diǎn)E2位于BC上時(shí)，AE2+BE2+CE2+DE2=AD+BC。③如圖，當(dāng)點(diǎn)E3位于CD上時(shí)，AE3+BE3+CE3+DE3=AD+BC+2CE3，容易發(fā)現(xiàn)此時(shí)當(dāng)CE3最小時(shí)，距離之和最短，即當(dāng)點(diǎn)E3位于點(diǎn)C時(shí)，距離之和最短為AD+BC。綜上，超市應(yīng)建在線段BC上，即中間兩幢宿舍樓連線所構(gòu)成的線段上。（2）用直觀分析策略解答教材P157下方問題4。解：畫圖分析如下：將所有同學(xué)分成A，B，C，D四部分，答對第一題的有32人，即A+C=32；答對第二題的有27人，即B+C=27；兩題都答對的有20人，即C=20，因此A=12，B=7。所以D=45-12-20-7=6。因此，兩題都答錯(cuò)的有6人?！緦?yīng)訓(xùn)練】1.用直觀分析策略解答教材P157下方問題3；解：畫圖分析如下：將五個(gè)人分別看作在一條直線上的五個(gè)點(diǎn)，五個(gè)人總共握手的次數(shù)即為每兩點(diǎn)之間不同線段的條數(shù)。由圖可知不同線段的條數(shù)為4+3+2+1=10，所以五個(gè)人共握10次手。2.用直觀分析策略解答教材P158問題5。解：1個(gè)人從出發(fā)樓層到會(huì)議樓層需要爬樓的層數(shù)情況如下表：（1）因?yàn)橄噜弮蓪訕侵g爬樓的距離相同，所以用各個(gè)出發(fā)樓層到會(huì)議樓層需要爬樓的層數(shù)乘相應(yīng)出發(fā)樓層的參會(huì)人數(shù)，再求和所得的總層數(shù)可以表示所有參會(huì)人員到會(huì)議地點(diǎn)爬樓的距離。會(huì)議設(shè)置的樓層總層數(shù)10×2+1×1+2×2+3×1+4×1=1221×2+0×1+1×2+2×1+3×1=932×2+1×1+0×2+1×1+2×1=843×2+2×1+1×2+0×1+1×1=1154×2+3×1+2×2+1×1+0×1=16因此，要使所有參會(huì)人員到會(huì)議地點(diǎn)爬樓的距離之和最短，會(huì)議地點(diǎn)應(yīng)設(shè)在3層。（2）同（1）計(jì)算如下：會(huì)議設(shè)置的樓層總層數(shù)10×2+1×2+2×1+3×2+4×1=1421×2+0×2+1×1+2×2+3×1=1032×2+1×2+0×1+1×2+2×1=1043×2+2×2+1×1+0×2+1×1=1254×2+3×2+2×1+1×2+0×1=18因此，要使所有參會(huì)人員到會(huì)議地點(diǎn)爬樓的距離之和最短，會(huì)議地點(diǎn)應(yīng)設(shè)在2層或3層。（3）同（1）計(jì)算如下：會(huì)議設(shè)置的樓層總層數(shù)10×18+1×14+2×10+3×10+4×11=10821×18+0×14+1×10+2×10+3×11=8132×18+1×14+0×10+1×10+2×11=8243×18+2×14+1×10+0×10+1×11=10354×18+3×14+2×10+1×10+0×11=144因此，要使所有參會(huì)人員到會(huì)議地點(diǎn)爬樓的距離之和最短，會(huì)議地點(diǎn)應(yīng)設(shè)在2層?！窘虒W(xué)建議】先讓學(xué)生分組討論交流，指定學(xué)生代表分享直觀分析的方法，教師酌情給予指導(dǎo)。問題4，5難度較大，教師講解時(shí)注意安排好時(shí)間?；顒?dòng)四：課堂總結(jié)【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.在利用一元一次方程解決問題時(shí)，借助圖表分析對解決這類問題有什么作用？2.你會(huì)借助圖表分析問題中的數(shù)量關(guān)系嗎？板書設(shè)計(jì)問題解決策略：直觀分析一、用一元一次方程解決問題。1.理解問題2.借助圖表分析問題3.列方程解決問題二、直觀分析各種形式