北師大版 第12講 多邊形和圓的初步認識（4個知識點+6種題型+過關檢測）（解析版）

第12講多邊形和圓的初步認識（4個知識點+6種題型+過關檢測）知識點1．多邊形（1）多邊形的概念：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側．②每個內角的度數均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形．知識點2．多邊形的對角線（1）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（2）n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線．從n個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條，而每條重復一次，所以n邊形對角線的總條數為：n（n﹣3）2（n≥3，且n為整數）（3）對多邊形對角線條數公：n（n﹣3）2的理解：n邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成對角線，故可連出（n﹣3）條．共有n個頂點，應為n（n﹣3）條，這樣算出的數，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求對角線條數時，直接代入邊數n的值計算，而計算邊數時，需利用方程思想，解方程求n．知識點3．圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．知識點4．扇形面積的計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積．題型一、平面圖形形狀的識別1．（23-24七年級上·四川眉山·階段練習）數學家吳文俊院士非常重視古代數學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所得兩長方形面積相等（如圖所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復原了《海島算經》九題古證，下列說法不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】平面圖形形狀的識別【分析】本題考查長方形的性質，根據長方形的對角線把長方形的面積平分求解即可．【詳解】解：∵是長方形的對角線，∴，故選項A正確，不符合題意；由題意，四邊形和四邊形均為長方形，∵、分別是長方形、長方形的對角線，∴，，故選項D正確，不符合題意；∴，∴，故選項B正確，不符合題意；不能證明，故選項C錯誤，符合題意，故選：C．2．（23-24七年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，四邊形去掉后，剩下的新圖形是邊形．【答案】三、四、五【知識點】平面圖形形狀的識別【分析】本題主要考查多邊形，能根據題意分類討論是解題的關鍵．設線段上一點為（點不與點，點重合），線段上一點為（點不與點，點重合），分三種情況討論：沿直線切割；沿直線切割；沿直線或切割．【詳解】設線段上一點為（點不與點，點重合），線段上一點為（點不與點，點重合）．①如圖所示，沿直線切割，得到，新圖形為三角形．

②如圖所示，沿直線切割，得到五邊形，新圖形為五邊形．

③如圖所示，沿直線或切割，得到四邊形或四邊形，新圖形為四邊形．

綜上所述，新圖形是三角形或四邊形或五邊形．故答案為：三、四、五．3．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，①②③④四個圖形都是平面圖形，觀察圖形和表中對應的數值，探究計數的方法并解答下面的問題．圖形①②③④頂點數V7邊數E9區(qū)域數F3(1)數一數每個圖形各有多少個頂點、多少條邊，這些邊圍出多少個區(qū)域，將結果填入上表；(2)根據表格，猜想平面圖形的頂點數、邊數和區(qū)域數之間的關系；(3)如果一個平面圖形有個頂點和個區(qū)域，那么這個平面圖形有幾條邊？【答案】(1)見解析(2)(3)條邊【知識點】圖形類規(guī)律探索、平面圖形形狀的識別【分析】本題考查了平面圖形，圖形的規(guī)律探究．根據圖形推導一般性規(guī)律是解題的關鍵．（1）根據頂點，邊長的定義，作答即可；（2）推導一般性規(guī)律即可；（3）根據，，計算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，填表如下；圖形①②③④頂點數V478邊數E69區(qū)域數F3356（2）解：由題意知，；；；∴可推導一般性規(guī)律為；（3）解：由題意知，，∴，∴這個平面圖形有條邊．題型二、多邊形的概念與分類4．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫作多邊形的．【答案】對角線【知識點】多邊形的概念與分類【分析】本題考查多邊形對角線的概念：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線，據此解答即可【詳解】解：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線，故答案為：對角線．5．（22-23·全國·課堂例題）下列說法中，正確的個數是（）①等腰三角形是正多邊形；②等邊三角形是正多邊形；③長方形是正多邊形；④正方形是正多邊形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識點】多邊形的概念與分類【分析】本題考查正多邊形的定義，根據各個邊各個內角都相等的圖形叫正多邊形直接逐個判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，等腰三角形不是正多邊形，故①錯誤不符合題意，等邊三角形是正多邊形，故②符合題意，長方形不是正多邊形，故③錯誤不符合題意，正方形是正多邊形，故④符合題意，故選：B．6．（22-23七年級上·全國·單元測試）如圖，你能數出多少個不同的四邊形？【答案】27【知識點】多邊形的概念與分類【分析】根據四邊形的組成方式，分別數出由單個的四邊形，由2個四邊形，3個四邊形，4個四邊形，5個四邊形，6個四邊形，7個四邊形組成的大四邊形，從而可得答案．【詳解】解：單個的四邊形：一共有9個，由2個四邊形組成的四邊形有6個，由3個四邊形組成的四邊形有4個，由4個四邊形組成的四邊形有1個，由5個四邊形組成的四邊形有4個，由6個四邊形組成的四邊形有2個，由7個四邊形組成的四邊形有1個，故一共有27個四邊形．【點睛】本題主要考查了認識平面圖形，做到不重復不遺漏的數圖形是解題關鍵．題型三、平面鑲嵌7．（23-24七年級上·全國·單元測試）如圖，有兩塊形狀大小完全相同的三角板，把它們相等的邊靠在一起，可以拼出許多圖形，其中形狀不同的四邊形的種數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識點】平面鑲嵌【分析】本題考查了多邊形的拼接，把相等的邊重合，然后進行不同的排列拼出圖形即可得解．【詳解】解：如圖所示，把它們相等的邊靠在一起拼成形狀不同的四邊形共有4種可能，故選：B．8．（22-23七年級上·河南南陽·期末）若一個正多邊形的每個外角都等于，則用這種多邊形能鋪滿地面嗎？寫出一種鋪滿地面的方法．【答案】不能【知識點】平面鑲嵌【分析】根據正多邊形的每個外角都等于，得出這個正多邊形的內角，結合鑲嵌的條件即可求出答案．【詳解】解：∵正多邊形的每個外角是，∴該正多邊形的內角為，∵，不是整數，∴用這種多邊形不能鋪滿地面．故答案為：不能．【點睛】此題主要考查了平面鑲嵌，解決本題的關鍵是理解一種正多邊形鑲嵌的條件是能被360°整除．9．（22-23七年級·山西呂梁·階段練習）下面是小明設計的由大小相同的正六邊形、正方形、正三角形三種地磚鋪滿小路地面的圖案，請觀察圖案，根據你發(fā)現的規(guī)律解答下列問題：

(1)第6個圖案中有正六邊形個，正方形個，正三角形個．(2)若鋪設這條小路用去n塊正六邊形地磚，則正方形地磚的數量為，正三角形地磚的數量為．（用含n的代數式表示）(3)若這條小路計劃鋪2021塊正方形地磚，問該小路需要鋪正六邊形地磚和正三角形地磚各多少塊？【答案】(1)6；31；26(2)；(3)該小路需要鋪正六邊形地磚和正三角形地磚各404塊，1618塊【知識點】平面鑲嵌、圖形類規(guī)律探索【分析】（1）根據圖形規(guī)律可得答案；（2）由（1）的規(guī)律可得答案；（3）由（1）（2）的規(guī)律代入數值計算即可．【詳解】（1）解：由題意可知：第1個圖案有：正六邊形地磚有1個，正方形地磚有6個，正三角形有6個，第2個圖案有：正六邊形地磚有2個，正方形地磚有（個），正三角形有（個），第3個圖案有：正六邊形地磚有3個，正方形地磚有（個），正三角形有（個），第4個圖案有：正六邊形地磚有4個，正方形地磚有（個），正三角形有（個），第6個圖案有：正六邊形地磚有6個，正方形地磚有（個），正三角形有（個），故答案為：6，31，26；（2）由（1）可得：若鋪設這條小路用去n塊正六邊形地磚，則是第n個圖案，第n個圖案有：正六邊形地磚有n個，正方形地磚有塊，正三角形有塊，若鋪設這條小路用去n塊正六邊形地磚，則正方形地磚的數量為，正三角形地磚的數量為；故答案為：，；（3）根據題意得，解得，小路需要鋪正六邊形地磚404塊，，小路需要鋪正三角形地磚1618塊，該小路需要鋪正六邊形地磚和正三角形地磚各404塊，1618塊．【點睛】本題考查了平面鑲嵌(密鋪)問題，解題的關鍵是要注意分別找到三角形和正方形的個數的規(guī)律．題型四、圓的基本概念辨析10．（2022七年級·全國·專題練習）我們熟悉的平面圖形中的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、圓等，它們是由若干條的線段首尾順次相連組成的圖形．【答案】不在同一直線上封閉平面【知識點】圓的基本概念辨析、多邊形的概念與分類【解析】略11．（23-24七年級上·重慶銅梁·開學考試）下面說法錯誤的是（

）A．圓有無數條半徑和直徑 B．直徑是半徑的2倍C．圓有無數條對稱軸 D．圓的大小與半徑有關【答案】B【知識點】圓的基本概念辨析【分析】本題主要考查了圓的相關概念，明確在同一個圓和等圓內、所有的半徑都相等、所有的直徑都相等、所有直徑是半徑的2倍成為解題的關鍵．根據圓的特征逐項分析即可解答．【詳解】解：A．圓有無數條半徑和直徑，說法正確；B．由直徑的定義可知，同一個圓的直徑是半徑的2倍，選項缺少在同一個圓中，故說法錯誤；C．因為圓是軸對稱圖形，且它的直徑所在的直線就是其對稱軸，而圓有無數條直徑，所以圓就有無數條對稱軸；D．圓的大小和圓的半徑有關，說法正確．故選：B．12．（21-22七年級上·全國·單元測試）學過圓之后，我們知道了圓有很多的優(yōu)點，比如在相等周長的情況下，圓形的物體面積最大．其實自然界的很多植物都很好地利用了這種優(yōu)點，比如樹干都是圓柱形的，說說你的理由？【答案】圓柱形可以減小阻力，可以預防大風等優(yōu)點【知識點】圓的基本概念辨析【分析】根據圓柱的特點作答即可．【詳解】圓柱形可以減小阻力，可以預防大風等優(yōu)點．【點睛】本題考查圓的特性，掌握該知識點是本題關鍵．題型五、圓的周長和面積問題13．（24-25七年級上·遼寧大連·期中）在一個半徑為的大圓上，挖去9個半徑為的小圓，當，時，剩余部分的面積為（結果保留．【答案】【知識點】圓的周長和面積問題【分析】本題考查了圓的面積．熟練掌握圓的面積是解題的關鍵．根據剩余部分的面積為：，計算求解即可．【詳解】解：由題知，剩余部分的面積為：，故答案為：．14．（22-23七年級上·山東臨沂·開學考試）周長是的圓，面積是（）平方厘米．A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26【答案】D【知識點】圓的周長和面積問題【分析】根據圓的周長公式，，得出，將周長18.84厘米代入，由此即可求出圓的半徑，根據圓的面積公式，，將半徑代入，即可求出圓的面積．此題主要考查了圓的周長公式的靈活應用與圓的面積公式的實際應用．熟練掌握圓的周長公式和面積公式是解題的關鍵．【詳解】解：（厘米），（平方厘米）故選：D．15．（22-23七年級·陜西榆林·階段練習）將一根底面半徑是5厘米的圓柱體木料鋸成三段（每段都是圓柱體），其表面積增加了多少平方厘米？（取3.14）【答案】314平方厘米【知識點】圓的周長和面積問題【分析】將圓柱體木料鋸成三段表面積增加了4個圓柱的底面圓面積，據此列式計算即可．【詳解】解：圓柱截成三段后，表面積增加了4個圓柱的底面圓面積．所以（平方厘米）．答：表面積增加了314平方匣米．【點睛】本題主要考查了圓的面積，明確將圓柱體木料鋸成三段表面積增加了4個圓柱的底面圓面積是解答本題的關鍵．題型六、圓心角概念辨析16．（22-23七年級上·四川達州·期末）下列說法中，錯誤的是（

）A．頂點在圓心的角叫做圓心角B．等于C．各邊相等的多邊形叫做正多邊形D．在數軸上，與表示的點的距離為3的數有2和．【答案】C【知識點】數軸上兩點之間的距離、角的單位與角度制、多邊形的概念與分類、圓心角概念辨析【分析】分別利用圓心角的定義以及正多邊形的定義和角度的換算、數軸上的點的特征，分別分析得出答案．【詳解】解：A、頂點在圓心上的角叫圓心角，正確，不符合題意；B、，正確，不符合題意；C、各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形，故不正確，符合題意；D、在數軸上，與表示的點的距離為3的數有2和，正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了正多邊形的定義和圓周角定義等知識，正確把握相關定義是解題關鍵．17．（20-21七年級上·河南鄭州·期末）若將一個圓等分成三個扇形，則其中一個扇形圓心角的度數為．【答案】120【知識點】圓心角概念辨析【分析】根據圓的性質計算，即可得到答案．【詳解】根據題意，將一個圓等分成三個扇形，則其中一個扇形圓心角的度數為：故答案為：120．【點睛】本題考查了圓的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓和圓心角的性質，從而完成求解．18．（21-22七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，把一個圓分成三個扇形，你能求出這三個扇形的圓心角嗎？

【答案】．【知識點】圓心角概念辨析、圓的基本概念辨析【分析】根據扇形所占的百分比即可求出圓心角．【詳解】∵周角是360°，∴，，．【點睛】此題考查了扇形所占的百分比和扇形圓心角之間的關系，解題的關鍵是熟練掌握扇形所占的百分比和扇形圓心角之間的關系．扇形的圓心角=360°×百分比．一、單選題1．已知是的弦，的半徑為r，下列關系式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】圓的基本概念辨析【分析】根據“直徑是最長的弦”進行解答即可．【詳解】解：若是的直徑時，，若AB不是的直徑時，無法判定AB與的大小關系．觀察選項，只有選項D符合題意．故選D．【點睛】本題考查了圓的認識，解題的關鍵是掌握“直徑是圓中最長的弦”．2．如果一個多邊形從一個頂點出發(fā)最多能畫五條對角線，則這個多邊形的邊數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【知識點】多邊形對角線的條數問題【分析】根據從邊形的一個頂點可以作出條對角線，求出邊數即可．【詳解】解：多邊形的邊數為，由題意可得：，解得，故選：D．【點睛】本題考查了一個頂點出發(fā)的對角線條數，解題的關鍵是掌握邊形從一個頂點可以作出條對角線．3．如圖，用對角線長為4的正方形，做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【知識點】用七巧板拼圖形【分析】本題主要考查七巧板中的面積計算，根據陰影部分面積正方形面積的一半，求解即可．【詳解】解：，故選B．4．如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線【答案】C【知識點】圓的基本概念辨析【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據題意，易得重物移動的路徑為一段圓?。驹斀狻拷猓涸谝苿拥倪^程中木棒的長度始終不變，故點的運動軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，故選：C．5．在學校“文明學生”表彰會上，6名獲獎者每兩位都相互握手祝賀，則他們一共握了多少次手（

）A．6 B．8 C．13 D．15【答案】D【知識點】多邊形對角線的條數問題【分析】本題主要考查了的是多邊形對角線，這類握手問題相當于求多邊形的對角線的條數與邊數之和．根據邊形有條對角線，求出六邊形的對角線數量，再加上邊數，即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，握手相當于求多邊形的對角線的條數與邊數之和，六邊形的對角線條數為，六邊形的邊數為6，六邊形的對角線的條數與邊的條數之和為，即6名獲獎者每兩位都相互握手祝賀，則他們一共握了15次手，故選：D．6．用形狀相同的多邊形進行拼接，彼此之間既無空隙又不重疊地鋪成一片，這就是一種密鋪平面圖形．下列圖形中不能進行密鋪的是（

）A．正六邊形 B．正五邊形 C．正方形 D．等邊三角形【答案】B【知識點】平面鑲嵌【分析】進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內角和應為，因此我們只需驗證是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內角度數的整數倍即可．【詳解】解：、正六邊形能進行密鋪，因為正六邊形的每一個內角等于，；、正五邊形不能進行密鋪，因為正五邊形的每一個內角等于，的整數倍不等于；、正方形能進行密鋪，因為正方形的每一個內角等于，；、等邊三角形能進行密鋪，因為等邊三角形的每一個內角等于，．故選：．【點睛】本題考查了平面鑲嵌（密鋪），幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是，圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．7．小明在社會實踐中想用不同的正多邊形瓷磚進行地面鋪設，若在一個頂點處有一個正三角形和一個正十邊形瓷磚，則還需一個正（

）邊形瓷磚才能鋪成平整無縫隙的地面．A．十二 B．十三 C．十四 D．十五【答案】D【知識點】平面鑲嵌【分析】根據正三角形的每個內角為60°，正十邊形的每個內角為144°，若能構成鑲嵌，則還需正多邊形的每個內角為360°-60°-144°=156°，據此即可求解．【詳解】解：∵正三角形的每個內角為180°÷3=60°，正十邊形的每個內角為180°-=144°，∴還需正多邊形的每個內角為360°-60°-144°=156°，其每個外角為180°-156°=24°，其邊數為=15．故選D．【點睛】本題考查了平面鑲嵌，欲解答此題，要熟悉平面鑲嵌的定義還要熟悉正多邊形內角和外角的求法．8．下列說法正確的有（

）個①把一個角分成兩個角的射線叫做這個角的角平分線；②連接、兩點的線段叫兩點之間的距離；③兩點之間直線最短；④射線上點的個數是直線上點的個數的一半；⑤邊形從其中一個頂點出發(fā)連接其余各頂點，可以畫出條對角線，這些對角線把這個邊形分成了個三角形．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【知識點】對角線分成的三角形個數問題、直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別、兩點之間線段最短【分析】分別利用直線、射線、線段的定義、角的概念和角平分線的定義以及多邊形對角線的求法分析得出即可．【詳解】解：①把一個角分成兩個角的射線叫做這個角的角平分線，故原說法錯誤；②連接、兩點的線段的長度叫兩點之間的距離，故原說法錯誤；③兩點之間線段最短，故原說法錯誤；④射線上點的個數與直線上點的個數沒有關系，故原說法錯誤；⑤邊形從其中一個頂點出發(fā)連接其余各頂點，可以畫出條對角線，這些對角線把這個邊形分成了個三角形，此說法正確．所以，正確的說法只有1個，故選：C．【點睛】此題主要考查了直線、射線、線段的定義以及角的概念和角平分線的定義等知識，正確把握相關定義是解題關鍵．9．如圖，在中，，，若以點為圓心，的長為半徑的圓恰好經過的中點，則的長等于（）A． B． C． D．【答案】D【知識點】圓的基本概念辨析、斜邊的中線等于斜邊的一半、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查圓的基本性質、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握圓的基本性質、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關鍵．連接CD，由直角三角形斜邊中線定理可得，然后可得是等邊三角形，則有，進而根據勾股定理可求解．【詳解】解：連接CD，如圖所示：∵點是AB的中點，，，∴，∵，∴，在中，由勾股定理可得，故選：D．10．為方便銷售，售貨員把直徑都為7cm的啤酒瓶捆成如圖的形狀，如果每組分別捆5圈（接頭處不計），每組至少需要繩子（

）cm．（π取3.14）A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325【答案】B【知識點】圓的周長和面積問題【分析】根據一圈繩子長=一個圓周長+一個正方形周長，列出算式，進而即可求解．【詳解】解：一圈的長度為：（cm），5圈的長度為：．故選：B．【點睛】本題主要考查幾何圖形的周長問題，掌握圓周長公式是關鍵．二、填空題11．一個八邊形的對角線共有條．【答案】20【知識點】多邊形對角線的條數問題【分析】根據邊形對角線有條即可解答．【詳解】八邊形的對角線條數是：，故答案為：20．【點睛】本題主要考查多邊形對角線，掌握邊形對角線有條可得答案．12．一根繩子長，用這根繩子在操場上圍出一塊地，則所圍地的最大面積是．【答案】【知識點】圓的基本概念辨析【分析】圍成的地的面積最大是圓形地塊，通過圓的周長為，求出圓的半徑，再求出圓的面積．【詳解】解：要使所圍地的面積最大，地的形狀應該為圓形，圓形地的周長為，∴圓的半徑為，圓的面積為（）．故答案為：．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，圓的周長和圓的面積，解題的關鍵是掌握有理數的混合運算，圓的周長和圓的面積．13．下圖中，長方形有個．

【答案】21【知識點】平面圖形形狀的識別、圖形類規(guī)律探索【分析】根據圖形，可知是由六個小長方形構成的，除了這六個小長方形，再依次將兩個、三個、四個、五個、六個組合，求和，即可解決問題．【詳解】解：∵單個的長方形有6個，兩個小長方形組成的長方形有5個，三個小長方形組成的長方形有4個，四個小長方形組成的長方形有3個，五個小長方形組成的長方形有2個，六個小長方形組成的長方形有1個，∴（個），∴圖中長方形有15個,故答案為：21．【點睛】本題考查了長方形的概念，熟練掌握長方形的概念是解決本題的關鍵．14．若一個多邊形的一條對角線將其分成兩個四邊形，則該多邊形的邊數是．【答案】六/【知識點】多邊形的概念與分類【分析】本題考查了多邊形的對角線，根據一個多邊形被一條對角線分成兩個四邊形，可得多邊形的邊數，可得答案．【詳解】解：兩個四邊形有一條公共邊，得多邊形邊的數目是，故答案為：六．15．如圖，四邊形去掉后，剩下的新圖形是邊形．【答案】三、四、五【知識點】平面圖形形狀的識別【分析】本題主要考查多邊形，能根據題意分類討論是解題的關鍵．設線段上一點為（點不與點，點重合），線段上一點為（點不與點，點重合），分三種情況討論：沿直線切割；沿直線切割；沿直線或切割．【詳解】設線段上一點為（點不與點，點重合），線段上一點為（點不與點，點重合）．①如圖所示，沿直線切割，得到，新圖形為三角形．

②如圖所示，沿直線切割，得到五邊形，新圖形為五邊形．

③如圖所示，沿直線或切割，得到四邊形或四邊形，新圖形為四邊形．

綜上所述，新圖形是三角形或四邊形或五邊形．故答案為：三、四、五．16．如圖，直線DE將△ABC分成等周長的兩部分，若AD+AE＝2，則△ABC的周長為．【答案】4【知識點】多邊形的周長【分析】根據直線DE將△ABC分成等周長的兩部分得AD+AE＝BD+CE+BC=2，進而可求解．【詳解】解：由題意得：AD+AE＝BD+CE+BC．∵AD+AE＝2，∴BD+CE+BC＝2．∴C△ABC＝AB+AC+BC＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）＝2+2＝4．故答案為：4．【點睛】本題考查了三角形的周長，解題的關鍵是正確理解題干中直線DE將△ABC分成等周長的兩部分．17．如圖，CD是的直徑，A為延長線上一點，點E在上，，交于點B，且，則的度數是．【答案】/27度【知識點】圓的基本概念辨析、等邊對等角、三角形的外角的定義及性質【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形外角定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．由得到，則，而，因此，即可求出．【詳解】解：連，如圖，，，，，而，，，，，而，，所以．故答案為：．18．小于半圓的弧（如圖中的）叫做；大于半圓的?。ㄓ萌齻€字母表示，如圖中的）叫做．【注意】1）弧分為是優(yōu)弧、劣弧、半圓．2）已知弧的兩個起點，不能判斷它是優(yōu)弧還是劣弧，需分情況討論．【答案】劣弧優(yōu)弧【知識點】圓的基本概念辨析【解析】略三、解答題19．計算陰影部分的面積．

【答案】【知識點】平面圖形形狀的識別【分析】用長為、寬為的長方形面積減去兩直角邊為、的直角三角形面積即可．【詳解】解：答：陰影部分的面積是．【點睛】本題考查陰影圖形面積，把陰影部分的面積轉化為規(guī)則圖形的面積差是解題的關鍵．20．中，．求證：三點在同一個圓上．【答案】見解析．【知識點】圓的基本概念辨析【分析】取AB的中點O，根據直角三角形的性質得到CO＝AO＝BO，故可求解．【詳解】如圖所示，取AB的中點O，連接CO在Rt△ABC中，∵AO=BO，∠ACB=90°，∴CO＝AB，即CO＝AO＝BO．∴A，B，C三點在同一個圓上，圓心為點O．【點睛】此題主要考查證明三點共圓，解題的關鍵是熟知圓的基本性質及直角三角形的特點．21．學科某校八年級六個班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)（即每兩個班舉行一場比賽）積分制，那么一共需要進行多少場比賽？【答案】15場【知識點】多邊形對角線的條數問題【分析】由題意可知，比賽的總場數即為六邊形的對角線條數加邊數．【詳解】解：如圖所示，由題意可知，比賽的總場數即為六邊形的對角線條數加邊數，即共需比賽（場）．

【點睛】體育比賽中的單循環(huán)賽、打電話、握手等問題，都是多邊形對角線公式在實際問題中的應用．需要注意的是一班與二班比賽一場和二班與一班比賽一場，只能算一場，不能重復計算．22．如圖，已知線段a和b，直線AB和CD相交于點O．利用尺規(guī)，按下列要求作圖：（1）在射線上作線段，使它們分別與線段a相等；（2）在射線OD上作線段，使與線段b相等；（3）連接．你得到了一個怎樣的圖形？與同伴進行交流．【答案】見解析；四邊形（箏形）【知識點】多邊形的概念與分類、作線段(尺規(guī)作圖)【分析】（1）根據尺規(guī)作圖的方法作出線段即可；（2）根據尺規(guī)作圖的方法作出線段即可；（3）根據（1）（2）作出的線段圍成的圖形即可判斷．【詳解】解：（1）如圖所示，根據題意作出線段；（2）如圖所示，根據題意作出線段；（3）如圖所示，多邊形是一個四邊形（箏形）．【點睛】此題考查了尺規(guī)作圖的方法，四邊形的概念，解題的關鍵是熟練掌握尺規(guī)作圖的方法．23．如圖，長方形的長厘米，寬厘米．

(1)如圖，一個半徑為的圓沿著長方形的四邊內側滾動一周，求圓滾過的面積；(2)如圖2，E，F分別為，上的點，且，，一個半徑為厘米的圓在長方形外側連續(xù)地從經過點，滾動到點，求圓滾過的面積．（結果保留）【答案】(1)(2)【知識點】圓的基本概念辨析【分析】（1）如圖所示，圓滾過的面積=長方形的面積一中間白色長方形的面積?四個直角處的面積和；四個直角處的面積和=邊長為2厘米的正方形的面積-半徑為l的圓的面積，據此解答即可；（1）如圖把圓滾過的面積分為7部分，3個長方形，起點、終點分別為兩個半圓，兩個角處分別為半徑為2厘米的圓；起點、終點加起來正好是一個半徑長為1厘米圓的面積；兩個角面積之和是半徑為2厘米的半圓的面積；據此解答即可．【詳解】（1）解：如圖1中，

空白部分的長，寬，∴陰影部分的面積；（2）解：如圖2中，

由題意，，，∴陰影部分的面積為：．【點睛】本題考查了圓的面積，矩形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．24．剪圖與拼圖．（本題要求畫出裁剪線，并畫出拼接成的圖形的示意圖）如圖1，在邊長為2的正方形紙片上，以它的中心為圓心，以1為半徑作半圓；再分別以、為圓心，以1為半徑作圓，剪去圖1中陰影部分，得到圖2．(1)圖3是圖2的紙片，請你剪2刀，再將剪成部分拼成一個正方形：(2)圖4是兩個圖2的紙片，請你在每個圖形上各剪1刀，再將剪成的四部分拼成一個正方形（要求畫出兩種拼法）．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】用七巧板拼圖形【分析】本題考查圖形的剪拼，能夠靈活運用面積關系是解題的關鍵．（1）可求得個圖的面積為，可知拼成的正方形的面積為2，由此可得到剪拼方法；（2）可求得個圖的面積為，可知拼成的正方形的邊長為，由此可得到剪拼方法．【詳解】（1）由題意可知，個圖的面積為，可知拼成的正方形的邊長為2，因此按如圖虛線剪刀，再將剪下的①②部分拼到如圖①②的位置，得到一個正方形；（2）由題意可知，個圖的面積為，可知拼成的正方形的邊長為，因此按如圖虛線各剪刀，再將剪下的部分拼如圖相應的位置，得到一個正方形．

25．有一個著名的希波克拉蒂月牙問題．如圖：以AB為直徑作半圓，C是圓弧上一點，（不與A、B重合），以AC、BC為直徑分別作半圓，圍成兩個月牙形1、2（陰影部分）．已知直徑AC為4，直徑BC為3，直徑AB為5．（1）分別求出三個半圓的面積（結果保留π）；（2）請你猜測，這兩個月牙形的面積與三角形ABC的面積之間有何等量關系，請寫出你的猜想，并通過計算說明．【答案】（1）π