第二章 有理數(shù)及其運算的知識歸納與題型突破（十五大題型清單） （原卷版）-2024-2025學年七年級數(shù)學上冊單元速記·巧練（北師大版2024）

第二章有理數(shù)及其運算的知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點1：正數(shù)和負數(shù)（1）概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“—”的數(shù)叫做負數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量。知識點2：有理數(shù)（1）概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。（2）分類：兩種⑴按正、負性質(zhì)分類：⑵按整數(shù)、分數(shù)分類：正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)有理數(shù)正分數(shù)整數(shù)0零有理數(shù)負整數(shù)負有理數(shù)負整數(shù)分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)負分數(shù)知識點3：數(shù)軸（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點、正方向、單位長度（2）對應關系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應的。比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（3）應用求兩點之間的距離：兩點在原點的同側(cè)作減法，在原點的兩側(cè)作加法。（注意不帶“+”“—”號）知識點4：相反數(shù)（1）概念代數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）幾何：在數(shù)軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。（2）性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù)。兩個符號：符號相同是正數(shù)，符號不同是負數(shù)。（3）多重符號的化簡多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負號的個數(shù)（注意：當“—”號的個數(shù)是偶數(shù)個時，結果取正號當“—”號的個數(shù)是奇數(shù)個時，結果取負號）知識點5:絕對值（1）幾何意義：一個數(shù)的數(shù)量大小叫作這個數(shù)的絕對值。一個正數(shù)的絕對值是它的本身（若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b）（2）代數(shù)意義一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)0的絕對值是0（3）代數(shù)符號意義：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，則a≥0，|a|＝﹣a，則a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐a注：非負數(shù)的絕對值是它本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。（4）性質(zhì)：絕對值是a(a＞0)的數(shù)有2個，他們互為相反數(shù)。即±a。（5）非負性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝01.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（6）比較大小2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)。兩個負數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小。知識點6：加法法則⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。知識點7：加法運算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知識點8：減法法則減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b知識點9：乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數(shù)是0。知識點9：乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知識點10：倒數(shù)（1）定義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。（2）性質(zhì)：負數(shù)的倒數(shù)還是負數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為±1.知識點11：除法法則（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。知識點12：乘方法則運算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0知識點13：混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數(shù)的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。知識點14：科學計數(shù)法1.科學記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數(shù)用科學記數(shù)法表示為a×10n－12.近似數(shù)的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位。（2）保留幾個有效數(shù)字注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結果一般用科學記數(shù)法來表示例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6×1053.有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)。注意：（1）用科學記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0×104的有效數(shù)字是3。（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5。0303題型歸納題型一正負數(shù)

例題：中國古代著作《九章算術》在世界數(shù)學史上首次正式引人負數(shù)，如果盈利600元記作+600元，那么虧本400元記作（

）A．?400 B．?600 C．+400 D．+600鞏固訓練1．若氣溫為零上10℃記作+10℃，則?3℃表示氣溫為（）A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃2．某種袋裝食品，質(zhì)檢員為了解該種食品的質(zhì)量（單位：g），抽樣監(jiān)測了其中4袋．其中超標的記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)．檢驗結果分別是+4，?0.4，?0.7，?2.4，最接近標準質(zhì)量的是（

）A．+4 B．?0.4 C．?0.7 D．?2.43．實驗小學的同學們參加勞動實踐，老師將蔬菜小組的同學栽種的蔬菜以成活8棵為標準，西紅柿組成活10棵記作+2棵，茄子組成活7棵記作()，彩椒組成活8棵記作()．題型二相反意義的量表示例題：在記錄水庫水位時，如果記錄員把高于正常水位5cm記為+5cm，那么低于正常水位3cmA．3cm B．+3cm C．?3cm鞏固訓練1．小明同學的微信錢包部分賬單明細如圖所示，?12.00表示支出12元，下列說法正確的是（

）A．+3.04表示收入3.04元 B．+3.04表示支出3.04元C．收支總和為15.04元 D．收支總和為8.96元2．一次數(shù)學測驗全班的平均分為95分，小明考了98分，張老師記作+3分，小亮考了91分，張老師應記作()分．3．已知一個乒乓球的標準質(zhì)量為2.70g，把質(zhì)量為2.72g的乒乓球記為+0.02，則質(zhì)量為2.59g題型三有理數(shù)的概念辨析例題：下列說法中，正確的是（

）A．正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù) B．0既是正整數(shù)也是負整數(shù)C．正整數(shù)、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù) D．正有理數(shù)和負有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)鞏固訓練1．在?0.8、3.5、π2、0、a2、3.010010001……（每兩個1之間的0個數(shù)逐次增加1）中，有理數(shù)個數(shù)共有（A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．在數(shù)?2，0，227，π2，0.3A．2 B．3 C．4 D．5題型四有理數(shù)的分類/大小比較

例題：把下列各數(shù)填在相應的括號里?3，235，7，3.14，2024，?334，0，+2.01，?5整數(shù)集合：{

}分數(shù)集合：{

}非負數(shù)集合：{

}非負整數(shù)集合：{

}例題：比較大?。??27?38（填“>鞏固訓練1．比較大?。?232．把下列各數(shù)分別填在相應集合中．?3，負數(shù)集合：{______…}整數(shù)集合：{______…}正分數(shù)集合：{______…}負整數(shù)集合：{______…}3．把下列各數(shù)填入相應的括號內(nèi)．?12，0.618，?3.1415，2022，?32，26.5%(1)正分數(shù)：{___________}；(2)整數(shù)：{___________}；(3)負有理數(shù)：{___________}；(4)非負數(shù)：{___________}．題型五數(shù)軸和數(shù)軸上的點所表示的數(shù)．例題：在數(shù)軸上表示?3的點與表示2的點之間的距離是（

）A．5 B．?5 C．5或?5 D．1例題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示．把?a，b，0按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．0<?a<b B．?a<0<b C．b<0<?a D．b<?a<0鞏固訓練1．以下數(shù)軸畫法正確的是（）A． B．C． D．2．數(shù)軸上表示整數(shù)的點叫作整點．某數(shù)軸的單位長度為1cm，若在這條數(shù)軸上任意畫出一條長度為2024cm的線段，則線段蓋住的整點個數(shù)為（

A．2025個 B．2024個 C．2025或2024個 D．2024或2023個3．如圖，數(shù)軸上兩點A，B所表示的數(shù)分別為?3，1．若點C在數(shù)軸上，且AB=12AC，則點CA．8 B．5 C．5或?4 D．5或?11題型六倒數(shù)的概念、相反數(shù)的概念和相反數(shù)的性質(zhì)運用例題：2024的相反數(shù)是（

）A．2024 B．12024 C．?2024 D．例題：?1A．3 B．13 C．?3 D．鞏固訓練1．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()A．7和?7 B．?7和17 C．?7和-17 D．12．?2的相反數(shù)是（

）A．2 B．?2 C．12 D．3．如圖，在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)a、b，且a+b=0．若A、B兩點間的距離為6，則點A表示的數(shù)為()A．?6 B．6 C．?3 D．34．若a，b互為相反數(shù)，則代數(shù)式a+b?2的值為.題型七絕對值定義、絕對值的性質(zhì)與化簡例題：?5的絕對值是（）A．15 B．5 C．?5 D．例題：實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則a?b+b的化簡結果是（A．a(chǎn) B．?a C．a(chǎn)?2b D．2b?a鞏固訓練1．如圖，檢測4個足球，其中超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)．不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù)，從輕重的角度看，最接近標準的是（

）A． B． C． D．2．請根據(jù)以下檢驗記錄（“+”表示超出標準質(zhì)量，“?”表示不足標準質(zhì)量），選出質(zhì)量最接近標準質(zhì)量的乒乓球的編號是（

）編號1234偏差/+0.03?0.02+0.05?0.04A．1 B．2 C．3 D．43．三個有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上表示的位置如圖所示，則化簡a+b?c?b+aA．2a+2b B．2a+2b?c C．?c D．?2b?c4．已知數(shù)a、b、c位置如圖所示，化簡a?b?a+c題型八非負性的性質(zhì)例題：若|m?2+n?7|=0，則m+n=A．2 B．7 C．8 D．9鞏固訓練1．若x?4+y+132A．43 B．8 C．?8 D．2．若a+2+5?b2=03．如果|a?1|+|b?2|=0，那么2ab=．4．已知a+22與b?3互為相反數(shù)，則a?b=題型九有理數(shù)的加減運算例題：把7??3+?5A．7?3?5?2 B．7+3?5?2 C．7+3+5?2 D．7+3?5+2

例題：計算：?3+40+?32+?8；(3)5.6+?0.9+4.4+?8.1+?1鞏固訓練

1．計算：(1)0?+5(2)?352．計算：(1)0??2+?7(3)?0.5?537?1+33．計算：(1)25.3+?7.3+?13.7??7.3(3)?47++3【題型10】有理數(shù)乘除法運算

例題：計算：?3÷?134×0.75÷(3)?72×鞏固訓練1．計算：(1)?3÷?1342．計算：?81÷23．計算：(1)?81÷94×4【題型11】有理數(shù)的乘方例題：下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．?22和?22 B．C．?2和?2 D．?22

鞏固訓練1．下列各式中，不相等的是（）A．?23和?23 B．?32和32 C．?32和2．下列各組數(shù)中，相等的一組是（

）A．??2與+?2 B．+C．?23與?23 D．3．計算?23A．?6 B．6 C．?8 D．84.下列各組數(shù)種，值相等的是（

）A．?23與?23 B．23與32 C．?22【題型12】有理數(shù)混合運算

例題：（1）?37+56?43÷(?2)2?3（6）?5

鞏固訓練1．計算：(1)?12022+?23×5?2．計算：(1)6+?5+4+?5；3．計算：(1)?32×(?19【題型13】算“24”點

例題：小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取，最大值是多少？(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)從中取出4張卡片，用學過的運算方法，使結果為24．寫出運算式子．（寫出一種運算式）．鞏固訓練1．小亮和同伴玩“24點”游戲，游戲規(guī)則是從一組卡片中任意抽取4張，根據(jù)卡片上的數(shù)進行混合運算（每張卡片必須用一次且只能用一次，可以加括號），使得運算結果為24或?24．小亮抽到的4張卡片上的數(shù)分別是2，?6，12，13，請幫助小亮列出一個結果為24或?24的算式．2．有一種“二十四點”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的四個自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只用一次，可以加括號）進行有理數(shù)混合運算，使其結果等于24．現(xiàn)有四個有理數(shù)1，?2，2，3，請仿照“二十四點”游戲規(guī)則寫出一個算式：，使其結果等于24．3．根據(jù)“二十四點”游戲規(guī)則，3，4，?6，10每個數(shù)都必須用且只能用一次，用有理數(shù)的運算符號（+或?或×或÷或乘方）連接，運算符號不一定全用，便其結果等于24，算式為．4．有一種“二十四點”的游戲（即算24游戲），其游戲規(guī)則是這樣的：任取四個1至13之間的自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只能用一次），使其結果等于24．例如對1，2，3，4，可作如下運算：1+2+3×4=24．在我們學過負數(shù)以后這個游戲仍可以玩．現(xiàn)給出3，?5，6【題型14】科學計數(shù)法和近似數(shù)的表示

例題：“村超”出圈帶動“村經(jīng)濟”，“村BA”的賽事同樣火熱，在“村BA”賽事期間，臺江縣接待游客181900人次，其中181900用科學記數(shù)法表示應為（

）A．0.1819×106 C．1.819×105 例題：用四舍五入按要求對0.07056取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到十分位） B．0.07（精確到0.01）C．0.070（精確到千分位） D．0.0706（精確到0.0001）鞏固訓練1．我國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米，將數(shù)字21500000用科學記數(shù)法表示為（）A．2.15×107 B．0.215×108 C．2．世界文化遺產(chǎn)長城總長約為6700000米，將6700000用科學記數(shù)法可表示為（

）A．6.7×105 B．6.7×106 C．3．南寧市2023年全年糧食總產(chǎn)量約為2130000噸，其中數(shù)據(jù)2130000用科學記數(shù)法表示為（

）A．0.213×107 B．2.13×106 C．4．小星用天平稱得一個罐頭的質(zhì)量為2.046kg，用四舍五入法將2.046精確到0.01的近似值為（

A．2 B．2.0 C．2.04 D．2.055．8.0648保留一位小數(shù)是()，精確到百分位約是()．【題型15】有理數(shù)實際應用

例題：出租車司機李師傅某天上午營運時從公司出發(fā)，在東西走向的大街上進行，如果規(guī)定向東為正，向西為負，他這天上午所接八位乘客的行車里程（單位：km）如下：?3,+9,+10,?6,?12,2,8,?10．(1)將最后一位乘客送到目的地時，李師傅在什么位置？(2)若汽車耗油量為每千米0.07升，這天上午李師傅接送乘客，出租車共耗油多少升？(3)若出租車起步價為10元，起步里程為3km（包括3鞏固訓練1．2021年第17號臺風獅子山給防城港市造成嚴重影響．救援隊駕著沖鋒舟沿一條東西方向的河流營救災民，早晨從A地出發(fā)，晚上最后到達B地，約定向東為正方向，當天航行次記錄如下（單位：千米）：16,?6,15,?9,12,?4,13,?5，問：(1)B地在A地的東面，還是西面？與A地相距多少千米？(2)若沖鋒舟每千米耗油0.5升，油箱容量為35升，求途中至少需要補充多少升油？2．為了增強學生身體素質(zhì)，激發(fā)學生體育鍛煉熱情，某校七年級8班學生在體育課上進行了一次跳繩比賽．以1分鐘跳180個作為標準，超過的部分記為正數(shù)，不足的部分記為負數(shù)．某小組10名同學1分鐘跳繩個數(shù)記錄如下：+2，?5，+3