高中數(shù)學(xué) 高三 01推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)案

推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法——：考綱要求:1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理．3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．4.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．5.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．6.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．7.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．高考經(jīng)典例題一、歸納推理例1.在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立，在四邊形ABCD中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立，在五邊形ABCDE中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，猜想在n邊形A1A2…An解：根據(jù)已知特殊的數(shù)值：eq\f(9,π)，eq\f(16,2π)，eq\f(25,3π)，…，總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律：eq\f(n2,（n－2）π)(n≥3)．∴在n邊形A1A2…An中：eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,（n－2）π)(n≥3).[規(guī)律總結(jié)](1)對(duì)于一些與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題，經(jīng)常利用歸納推理、歸納猜想得出結(jié)論．(2)歸納推理的一般步驟：①通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題．二、類比推理例2.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空間，類比平面幾何定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A－BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則________．”[思路點(diǎn)撥]①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象；②三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐的各面的面積是類比對(duì)象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象；⑤三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對(duì)象．[解析]設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c.∵三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩垂直，∴AB、AC、AD兩兩垂直．∴Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)＝eq\f(1,4)a2b2＋eq\f(1,4)a2c2＋eq\f(1,4)b2c2.作BE⊥DC于E，連接AE，則CD⊥AE.在Rt△CAD中，AE＝eq\f(bc,\r(b2＋c2)).在Rt△BAE中，BE＝eq\r(a2＋\f(b2c2,b2＋c2))＝eq\f(\r(a2b2＋a2c2＋b2c2),\r(b2＋c2)).∴S△BCD＝eq\f(1,2)DC·BE＝eq\f(1,2)eq\r(b2＋c2)·eq\f(\r(a2b2＋a2c2＋b2c2),\r(b2＋c2)).∴Seq\o\al(2,△BCD)＝eq\f(1,4)(a2b2＋b2c2＋a2c2)．即Seq\o\al(2,△BCD)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB).[規(guī)律總結(jié)](1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為：①找出兩類事物之間的相似性或一致性；②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)．(2)類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象．平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論．一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比如表所示：三、綜合法例3.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．[思路點(diǎn)撥]要證明三角形ABC為正三角形，可證三條邊相等或三個(gè)角相等．[證明]由A、B、C成等差數(shù)列，有2B＝A＋C.①因?yàn)锳、B、C為△ABC的內(nèi)角，所以A＋B＋C＝π.②由①②得，B＝eq\f(π,3).③由a、b、c成等比數(shù)列，有b2＝ac.④由余弦定理及③可得，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④得，a2＋c2－ac＝ac.即(a－c)2＝0，因此a＝c.從而有A＝C.⑤由②③⑤得，A＝B＝C＝eq\f(π,3).所以△ABC為等邊三角形．[規(guī)律總結(jié)]綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)中用得最多的一種證明方法，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，它是從題設(shè)條件和已知定義、定理、公理、法則等出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理得出結(jié)論的直接證明方法．[變式探究]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2＋eq\f(y2,2)＝1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為－eq\r(2)的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足.證明：(1)F(0，1)，l的方程為y＝－eq\r(2)x＋1，代入x2＋eq\f(y2,2)＝1并化簡(jiǎn)得4x2－2eq\r(2)x－1＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，則x1＝eq\f(\r(2)－\r(6),4)，x2＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，x1＋x2＝eq\f(\r(2),2)，y1＋y2＝－eq\r(2)(x1＋x2)＋2＝1，由題意得x3＝－(x1＋x2)＝－eq\f(\r(2),2)，y3＝－(y1＋y2)＝－1.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－1))，經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)P的坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－1))滿足方程x2＋eq\f(y2,2)＝1，故點(diǎn)P在橢圓C上．(2)由Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－1))和題設(shè)知，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，所以，PQ的垂直平分線l1的方程為y＝－eq\f(\r(2),2)x.①設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(1,2)))，AB的垂直平分線l2的方程為y＝eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(1,4).②由①、②得l1、l2的交點(diǎn)為Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),8)，\f(1,8))).|NP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),8)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,8)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(11),8)，|AB|＝eq\r(1＋（－\r(2)）2)·|x2－x1|＝eq\f(3\r(2),2)，|AM|＝eq\f(3\r(2),4)，|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)＋\f(\r(2),8)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,8)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(3),8)，|NA|＝eq\r(|AM|2＋|MN|2)＝eq\f(3\r(11),8)，故|NP|＝|NA|.又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，由此知A、P、B、Q四點(diǎn)在以N為圓心，NA為半徑的圓上.四、分析法例4已知a>b>0，求證：eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b).[思路點(diǎn)撥]從已知到結(jié)論，方向不夠明確，因而采用分析法探明解題途徑是必要的．[證明]要證eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b)，只需證eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,2)<eq\f(（a－b）2,8b)，只需證eq\f(（a－b）2,4a)<(eq\r(a)－eq\r(b))2<eq\f(（a－b）2,4b)，[變式探究]已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).證明：要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，即證eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即證a2＋c2－b2＝ac，即證cosB＝eq\f(1,2)，∵0°<B<180°，∴只需證B＝60°，∵A、B、C成等差數(shù)列，∴B＝60°成立．因此原結(jié)論成立.五、反證法例5.若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y(tǒng)2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6)，求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于0.[思路點(diǎn)撥]本小題主要是考查反證法，首先正確地作出反設(shè)(否定結(jié)論)：“a、b、c都不大于0”，即是“a≤0，b≤0，c≤0”．[證明]假設(shè)a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋eq\f(π,2)＋y2－2z＋eq\f(π,3)＋z2－2x＋eq\f(π,6)＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，∵π－3>0，且無(wú)論x、y、z為何實(shí)數(shù)，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，∴a＋b＋c>0.這與a＋b＋c≤0矛盾．因此，a、b、c中至少有一個(gè)大于0.[規(guī)律總結(jié)]正確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是正確運(yùn)用反證法的前提，要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”，另外，需注意作出的反設(shè)必須包括與結(jié)論相反的所有情況，也只有證明了與結(jié)論相反的所有情況都不成立，才能保證原來(lái)的結(jié)論一定成立．六、數(shù)學(xué)歸納法例6.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，(n∈N*其中λ>0)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式，并加以證明．解：(1)a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式an＝(n－1)λn＋2n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2，等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即ak＝(k－1)λk＋2k，那么ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立，根據(jù)①和②可知，等式對(duì)任何n∈N*都成立.思想方法導(dǎo)悟1.歸納猜想是一種重要的思維方法，但結(jié)果的正確性還需進(jìn)一步證明，一般地，考查的個(gè)體越多，歸納的結(jié)論可靠性越大．在歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要認(rèn)真觀察數(shù)列中各項(xiàng)數(shù)字間的規(guī)律，分析每一項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系．2.類比的關(guān)鍵是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性(相似性)確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚，平面幾何中的有關(guān)定義、定理、性質(zhì)、公式可以類