專題08三角形及全等三角形 (2大模塊知識(shí)梳理+10個(gè)基礎(chǔ)考點(diǎn)+6個(gè)重難點(diǎn)+4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn))(解析版)

Page專題08三角形及全等三角形目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一：三角形知識(shí)模塊二：全等三角形03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點(diǎn)）考點(diǎn)一：三角形的穩(wěn)定性考點(diǎn)二：與五線有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)三：與五線有關(guān)的作圖問題考點(diǎn)四：利用三角形三邊關(guān)系求解考點(diǎn)五：三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的綜合考點(diǎn)六：利用全等三角形的性質(zhì)求解【熱考】考點(diǎn)七：全等三角形證明方法的合理選擇考點(diǎn)八：利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題考點(diǎn)九：利用全等三角形解決實(shí)際問題考點(diǎn)十：全等三角形與相似三角形綜合04破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（5大重難點(diǎn)）重難點(diǎn)一：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-構(gòu)造平行線重難點(diǎn)二：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-構(gòu)造垂線重難點(diǎn)三：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-倍長中線法重難點(diǎn)四：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-截長補(bǔ)短法重難點(diǎn)五：與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-一線三等角【熱考】重難點(diǎn)六：與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-手拉手模型【熱考】05辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（4大易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)三角形的高理解不到位易錯(cuò)點(diǎn)2：與三角形高有關(guān)的分類討論問題易錯(cuò)點(diǎn)3：在等腰三角形中，忽略三邊關(guān)系而致錯(cuò)【失分點(diǎn)】易錯(cuò)點(diǎn)4：未掌握全等三角形的判定定理知識(shí)模塊一：三角形知識(shí)點(diǎn)一：三角形的相關(guān)概念三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號(hào)“Δ”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.【補(bǔ)充】三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后邊的字母為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，字母的順序可以自由安排，即?ABC,?ACB等均為同一個(gè)三角形.三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊確定之后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.【補(bǔ)充】四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.三角形三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形．知識(shí)點(diǎn)二：與三角形的有關(guān)線段（掌握）類型三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語言性質(zhì)∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12用途舉例1）線段垂直．2）角度相等．1）線段相等．2）面積相等．角度相等．類型三角形的中位線三角形的垂直平分線文字語言連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線圖形語言性質(zhì)∵DE是?ABC的中位線∴DE=12∵直線l是AB的垂直平分線∴PA=PB,AC=BC,∠PCA=∠PCB=90°用途舉例1）線段平行．2）線段關(guān)系．1）線段相等．2）角度相等．知識(shí)點(diǎn)三：與三角形有關(guān)的角（掌握）三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個(gè)銳角的度數(shù),可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．知識(shí)模塊二：全等三角形知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形的概念全等圖形的概念：能完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形.特征：①形狀相同.②大小相等.③對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.④周長、面積相等.全等三角形的概念：能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.【補(bǔ)充】1）全等三角形是特殊的全等圖形，同樣的，判斷兩個(gè)三角形是否為全等三角形，主要看這兩個(gè)三角形的形狀和大小是否完全相同，與它們所處的位置無關(guān).2）形狀相同的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，面積相同的兩個(gè)圖形也不一定是全等圖形.全等三角形的表示：全等用符號(hào)“≌”，讀作“全等于”.【補(bǔ)充】書寫三角形全等時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對(duì)應(yīng)位置上.如△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，讀作△ABC全等于△DEF.全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換.常見的全等變換：平移變換、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換，即過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與原圖形是全等圖形.知識(shí)點(diǎn)二：全等三角形的性質(zhì)與判定（貫穿整個(gè)幾何部分）全等三角形的性質(zhì)：1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等．3）全等三角形的周長相等，面積相等（但周長或面積相等的三角形不一定是全等三角形）.全等三角形的判定：1）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；【易錯(cuò)】①只有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，才能判定兩個(gè)三角形全等，“邊邊角”不能判定三角形全等；例:②在書寫過程中，要按照邊角邊對(duì)應(yīng)順序書寫，即對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；4）角角邊定理：有兩角和它們所對(duì)的任意一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；5）斜邊、直角邊：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．【總結(jié)】從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路.考點(diǎn)一：三角形的穩(wěn)定性1．（2023·吉林·中考真題）如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性作答即可．【詳解】解：其數(shù)學(xué)道理是三角形結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形形狀對(duì)結(jié)構(gòu)的影響．2．（2022·廣東·中考真題）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（

）．A．三角形 B．長方形 C．正方形 D．平行四邊形【答案】A【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可直接得出答案．【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，長方形、正方形、平行四邊形不具有穩(wěn)定性，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性、四邊形的不穩(wěn)定性，掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．3．（2024·吉林長春·一模）四邊形結(jié)構(gòu)在生活實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，如圖所示的升降機(jī)，通過控制平行四邊形形狀的升降桿，使升降機(jī)降低或升高，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．平行四邊形的對(duì)邊相等 B．平行四邊形的對(duì)角相等C．四邊形的不穩(wěn)定性 D．四邊形的內(nèi)角和等于360°【答案】C【分析】本題考查了四邊形的不穩(wěn)定性，根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性求解即可．【詳解】解：升降機(jī)降低或升高，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：四邊形的不穩(wěn)定性，故選：C．考點(diǎn)二：與五線有關(guān)的計(jì)算1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD=4，S△ABC=12，則BE的長為（A．1.5 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據(jù)S△ABC=12和AD=4求出BC=6，根據(jù)【詳解】解：∵S△ABC=1∴BC=6∵AE是中線，∴BE=故選：B2．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=22，∠ACB=120°，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)，若DE平分△ABC的周長，則DE的長為（

A．52 B．2+12 C．2【答案】C【分析】延長BC至F，使得CF=CA，連接AF，構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)題意可得DE是△AFB的中位線，即可求解．【詳解】解：如圖，延長BC至F，使得CF=CA，連接AF，∵∠ACB=120°，∴∠FCA=60°,又∵CF=CA，∴△AFC是等邊三角形，∴AF=AC=22∵D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)，DE平分△ABC的周長，∴AC+CE+AD=BE+BD，AD=BD，∴AC+CE=BE，∵AC=CF，∴CF+CE=BE，即EF=EB，∴ED是△ABF的中位線，∴ED=1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形中線的定義，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021·遼寧阜新·中考真題）如圖，直線AB//CD，一塊含有30°角的直角三角尺頂點(diǎn)E位于直線CD上，EG平分∠CEF，則∠1的度數(shù)為°．【答案】60【分析】根據(jù)角平分線的定義可求出∠CEG的度數(shù)，即可得到∠CEF的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】∵一塊含有30°角的直角三角尺頂點(diǎn)E位于直線CD上，∴∠FEG=30°，∵EG平分∠CEF，∴∠CEG=∠FEG=30°，∴∠CEF=∠CEG+∠FEG=60°，∵AB//CD，∴∠1=∠CEF=60°．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．4．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F，作直線EF，再以點(diǎn)A為圓心，以AD的長為半徑作弧交直線EF于點(diǎn)G（點(diǎn)G在正方形ABCD內(nèi)部），連接DG并延長交BC于點(diǎn)K．若BK=2，則正方形ABCD的邊長為（A．2+1 B．52 C．3+5【答案】D【分析】連接AG，設(shè)EF交AB于點(diǎn)H，正方形邊長為2x，由作圖知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，得到AH=BH=x，∠AHG=90°，由勾股定理得到GH=3x，證明AD∥GH∥BC，推出DG=GK，推出GH=x+1，得到3x=x+1【詳解】連接AG，設(shè)EF交AB于點(diǎn)H，正方形邊長為2x，由作圖知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，∴AH=BH=12AB=x∴GH=A∵∠BAD=90°，∴AD∥GH，∵AD∥BC，∴AD∥GH∥BC，∴DGGK∴DG=GK，∵BK=2，∴GH=1∴3x=x+1∴x=3∴2x=3故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合．熟練掌握正方形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．5．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AC=4．若?ABCD的周長為12，則△COE的周長為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線的性質(zhì)．由平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線的性質(zhì)可求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC中點(diǎn)，又∵E是BC中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴OE=12AB∵?ABCD的周長為12，AC=4，∴AB+BC=1∴△COE的周長為OE+CE+OC=1故選：B.考點(diǎn)三：與五線有關(guān)的作圖問題1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：△ABC．(1)尺規(guī)作圖：畫出△ABC的重心G．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，連接AG，BG．已知△ABG的面積等于5cm2，則△ABC的面積是______【答案】(1)見解析(2)15【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，尺規(guī)畫垂線；（1）分別作BC,AC的中線，交點(diǎn)即為所求；（2）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得S△ABGS【詳解】（1）解：如圖所示作法：①作BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D②作AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)F③連接AD、BF相交于點(diǎn)G④標(biāo)出點(diǎn)G，點(diǎn)G即為所求（2）解：∵G是△ABC的重心，∴AG=∴S∵△ABG的面積等于5cm∴S又∵D是BC的中點(diǎn)，∴S故答案為：15．2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的7×5網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖1中，BD平分∠ABC交邊AC于點(diǎn)D，先畫出△ABC的角平分線AE，再在射線BD上畫點(diǎn)F，連接AF，使得AF=1(2)在圖2中，先畫△ABC的高AH，再畫∠AHC的平分線HP．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）利用三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，先找出過點(diǎn)C的角平分線，確定角平分線交點(diǎn)，再找過點(diǎn)A的角平分線AE，利用全等可得BD=AE，即轉(zhuǎn)化為作AF=12AE，作出點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)，可證得點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)、A、B構(gòu)成的三角形是等腰三角形，且BD為其角平分線，利用三線合一可得BD為中線，即可得點(diǎn)F為BD（2）利用兩個(gè)直角三角形全等，其中兩對(duì)應(yīng)邊垂直，則第三邊也對(duì)應(yīng)垂直可得高AH，利用90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，可得點(diǎn)H在以AC為直徑的圓上，設(shè)∠AHC的平分線與此圓的交點(diǎn)即為格點(diǎn)P，則∠APC=90°，證明AP=CP，則△APC為等腰直角三角形，可得∠AHP=∠CHP，即可確定點(diǎn)P位置．【詳解】（1）解：如圖：AE，F(xiàn)點(diǎn)即為所求；理由如下：如圖，利用等腰直角三角形ABC，可作出∠ACB的平分線CO，交BD于點(diǎn)O，由三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，則AO為∠BAC的平分線，延長AO交BC于點(diǎn)E，△ABC的角平分線AE即得；利用對(duì)稱性作點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B再利用對(duì)稱性作點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接AE'交BD由對(duì)稱性得AE=AE利用ASA可證△BCD≌△ACE，∴BD=AE，∴BD=AE利用∠BAC=∠ABC=45°，及BD、AE為角平分線，∴∠EAC=22.5°，∴∠AEC=67.5°，∠E∴∠AE∴AB=BE又∵BD平分∠ABC，∴AF=1∴AF=1則點(diǎn)F即為所求作；（2）解：如圖：HP即為所求，理由如下：如圖，∵BT=AW，CT=QW，∠AWQ=∠BTC，∴Rt△AWQ≌∴∠TBC=∠QAW，而AW⊥BT，即∠AKB=90°，∵∠ANK=∠BNH，∴∠BHN=∠AKN=90°，∴AQ⊥BC，∴AH⊥BC，則AH即為所求作；在過點(diǎn)A、C、H的圓上，∠AHC=90°，∵AP2=5=C∴∠APC=90°，AP=CP，∴∠AHC+∠APC=180°，∴A,H,C,P四點(diǎn)共圓，∵AP=CP，∴∠AHP=∠CHP，∴AP平分∠AHC．【點(diǎn)睛】本題考查利用直尺結(jié)合網(wǎng)格作圖，涉及三角形的角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)即推論，熟練的掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·吉林·模擬預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)G是圖③中邊AC上的任意一點(diǎn)：只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．(1)在圖①中作邊BC上的高AD；(2)在圖②中作△ABC的中位線EF，使點(diǎn)E、F分別在邊AC、AB上；(3)在圖③中△ABC的邊AB上找到一點(diǎn)H，使AH=AG．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)作圖見解析【分析】（1）如圖，取格點(diǎn)K，連接AK交BC于D，則AD為BC上的高；（2）如圖，取格點(diǎn)M,K,Q,N，連接MN，QK，與AC，AB分別交于E,F，連接EF；則EF即為所求，（3）如圖，仿照（1）作AD⊥BC，連接BG交AD于T，連接CT并延長交AB于H，則AH=AG【詳解】（1）解：如圖，取格點(diǎn)K，連接AK交BC于D，則AD為BC上的高；連接KB,KC，∵AB=12+∴AK是BC的垂直平分線，∴AD⊥BC；（2）解：如圖，取格點(diǎn)M,K,Q,N，連接MN，QK，與AC，AB分別交于E,F，連接EF；則EF即為所求，由矩形的性質(zhì)可得：AF=BF，AE=CE，∴EF為三角形ABC的中位線；（3）解：如圖，仿照（1）作AD⊥BC，連接BG交AD于T，連接CT并延長交AB于H，則AH=AG，∵由（1）得：AD是BC的垂直平分線，∴TB=TC，∴∠TBC=∠TCB，∵AB=AC，∴∠HBC=∠GCB，∵BC=CB，∴△HBC≌△GCB，∴HB=GC，∴AH=AG【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，三角形的中位線的定義，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，三角形的高的含義，熟練的利用網(wǎng)格特點(diǎn)作圖是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四：利用三角形三邊關(guān)系求解1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個(gè)三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析判斷．【詳解】A、5+7=12，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；B、7+7=14<15，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；C、6+9=15<16，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、6+8=14>12，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，看能否組成三角形的簡便方法：看較小的兩個(gè)數(shù)的和能否大于第三個(gè)數(shù)．2（2023·山東·中考真題）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．1<AB<7 B．SC．△ABC內(nèi)切圓的半徑r<1 D．當(dāng)AB=7時(shí)，△ABC【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系、三角形面積、內(nèi)切圓半徑的計(jì)算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．【詳解】解：∵BC=3,AC=4，∴4?3<AB<4+3即1<AB<7，故A說法正確；當(dāng)BC⊥AC時(shí)，S△ABC若以BC為底，高≤AC=4，∴S△ABC設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則12∵S△ABC∴r2AB+BC+AC≤6∵1<AB<7，BC=3,AC=4∴8<AB+BC+AC<14，∴r<12當(dāng)AB=7時(shí)，B∴△ABC是直角三角形，故D說法正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形面積，三角形內(nèi)切圓半徑以及勾股定理的逆定理，掌握內(nèi)切圓半徑與圓的面積周長之間的關(guān)系r=2S3．（2023·河北·中考真題）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對(duì)角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三邊關(guān)系求得0<AC<4，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在△ACD中，AD=CD=2，∴2?2<AC<2+2，即0<AC<4，當(dāng)AC=BC=4時(shí)，△ABC為等腰三角形，但不合題意，舍去；若AC=AB=3時(shí)，△ABC為等腰三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．考點(diǎn)五：三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的綜合1．（2024·天津·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)E,F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓的半徑相等）在∠BAC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；畫射線AP，與BC相交于點(diǎn)D，則∠ADC

A．60° B．65° C．70°【答案】B【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質(zhì)，由直角三角形兩銳角互余可求出∠BAC=50°，由作圖得∠BAD=25°，由三角形的外角的性質(zhì)可得∠ADC=65°，故可得答案【詳解】解：∵∠C=90°,∠B=40°，∴∠BAC=90°?∠B=90°?40°=50°，由作圖知，AP平分∠BAC，∴∠BAD=1又∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠ADC=40°+25°=65°,故選：B2．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是邊AB上的高，AE是∠CAB的平分線，則【答案】100°/100度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義．先求出∠ACD=50°，結(jié)合高的定義，得∠DAC=40°，因?yàn)榻瞧椒志€的定義得∠CAE=20°，運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)，即可作答．【詳解】解：∵∠BCD=30°，∴∠ACD=50°，∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=40°，∵AE是∠CAB的平分線，∴∠CAE=1∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=20°+80°=100°．故答案為：100°．3．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D．交AB于點(diǎn)E．連接CE．若CE=CA，∠ACE=40°，則∠B的度數(shù)為．

【答案】35°/35度【分析】先在△ACE中利用等邊對(duì)等角求出∠AEC的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BE=CE，再利用等邊對(duì)等角得出∠B=∠BCE，最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵CE=CA，∠ACE=40°，∴∠A=∠AEC=180°?∠ACE∵DE是BC的垂直平分線，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，又∠AEC=∠B+∠BCE，∴∠B=35°．故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握等腰三角形的等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六：利用全等三角形的性質(zhì)求解1．（2024·四川資陽·中考真題）第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（JCME?14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，則A．55 B．35 C．45【答案】C【分析】設(shè)EF=x，則AH=3x，根據(jù)全等三角形，正方形的性質(zhì)可得AE=4x，再根據(jù)勾股定理可得AB=5x，即可求出sin∠ABE【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)EF=x，則AH=3x，∵△ABE≌△DAH，四邊形EFGH為正方形，∴AH=BE=3x，EF=HE=x，∴AE=4x，∵∠AEB=90°，∴AB=A∴sin∠ABE=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)值的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,4，點(diǎn)D在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與△ABC全等，點(diǎn)D的坐標(biāo)是．【答案】1,4【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，三角形全等的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)D在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與△ABC全等，畫出圖形，結(jié)合圖形的對(duì)稱性可直接得出D1,4【詳解】解：∵點(diǎn)D在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與△ABC全等，∴AD=BC，AC=BD，∴可畫圖形如下，由圖可知點(diǎn)C、D關(guān)于線段AB的垂直平分線x=2對(duì)稱，則D1,4故答案為：1,4．3．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖1，△ABC與△A1B1C1滿足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1CA．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】D【分析】本題考查了新定義，等邊對(duì)等角，根據(jù)“偽全等三角形”的定義可得兩個(gè)三角形的兩邊相等，一個(gè)角相等，且這個(gè)角不是夾角，據(jù)此分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ABE中，∠B=∠B,AB=AB,AD=AE，在△ACE,△ACD中，∠C=∠C,AC=AC,AE=AD，在△ABD,△ACD中，∠B=∠C,AB=AC,AD=AD，在△ACE,△ABE中，∠B=∠C,AE=AE,AC=AB綜上所述，共有4對(duì)“偽全等三角形”，故選：D．考點(diǎn)七：全等三角形證明方法的合理選擇1．（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在BD的延長線上，連接EA、(1)求證：△EAB≌△ECB；(2)若∠AEC=45°，求證：DC=DE．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，理解角與角之間的關(guān)系，熟練找出△EAB和△ECB的全等條件．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明AB=BC，（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，求出∠CED和∠DCE，然后進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，在△EAB和△ECB中，AB=BC∠ABC=∠CBE∴△EAB≌△ECB（SAS）（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BDC=1∵△EAB≌△ECB，∴∠CED=∠AED=1∵∠BDC=∠CED+∠DCE=45°，∴∠DCE=45°?22.5°=22.5°，∴∠CED=∠DCE，∴DC=DE．2．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF．(1)求證：BE∥DF；(2)過點(diǎn)O作OM⊥BD，垂足為O，交DF于點(diǎn)M，若△BFM的周長為12，求四邊形BEDF的周長．【答案】(1)見解析(2)四邊形BEDF的周長為24【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥DC，AB=DC，求得∠BAE=∠DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AEB=∠CFD，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，求得BE=DF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DM=BM，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE與△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDFSAS∴∠AEB=∠CFD，∴∠BEF=∠DFE，∴BE∥DF；（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，∴BE=DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DO=BO，∵OM⊥BD，∴DM=BM，∵△BFM的周長為12，∴BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12，∴BF+DF+BE+DE=2BF+DF∴四邊形BEDF的周長為24.3．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點(diǎn)D，連接CD．(1)求證：∠ABC=2∠ACD；(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）連接OD，根據(jù)題意可得∠ODA=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠AOD=∠ABC，根據(jù)圓周角定理可得∠AOD=2∠ACD，等量代換即可得證；（2）在Rt△ABC中，勾股定理求得AB=10,證明Rt△ODB≌Rt△OCBHL，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OC=r，OA=8?r【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，∵AB為切線，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，∴∠A+∠AOD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°∴∠AOD=∠ABC，∵∠AOD=2∠ACD，∴∠ABC=2∠ACD．（2）解：在Rt△ABC中，AB=∵∠OCB=90°=∠ODB，在Rt△ODB和Rt△OCB中，OD=OC，∴Rt△ODB≌∴BD=BC=6，∴AD=AB?BD=4，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OC=r，OA=8?r，在Rt△AOD中，r解得r=3，∴⊙O半徑的長為3【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)八：利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題1．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分別以頂點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN分別與BC，AC交于點(diǎn)E和點(diǎn)F；以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)H和點(diǎn)G，再分別以點(diǎn)H，點(diǎn)G為圓心，大于12HG的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP①∠C=30°；②AP垂直平分線段BF；③CE=2BE；④S△BEF其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．由作圖可知MN垂直平分線段AC、AE平分∠BAC，進(jìn)而證明∠C=∠EAC=∠BAE=30°可判定①；再說明AB=AF可得AP垂直平分線段BF可判定②；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AC=2AB，AE=2BE可判定③，根據(jù)三角形的面積公式即可判定【詳解】解：由作圖可知MN垂直平分線段AC，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，由作圖可知AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∵∠ABC=90°，∴∠C=∠CAE=∠BAE=30°，故①正確，∴AC=2AB，∵AF=FC，∴AB=AF，∴AP垂直平分線段BF，故②正確，∵AE=2BE，∴EC=2BE，故③正確，∴S△∵AF=FC，∴S△∴S△BEF=1故選：D．2．（2024·北京·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O為對(duì)角線的交點(diǎn).將菱形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到菱形A'B'C'D'，兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為E，F(xiàn)①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；④點(diǎn)O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)菱形ABCD，∠BAD=60°，則∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點(diǎn)A',D',B',C'一定在對(duì)角線AC,BD上，且OD=OD'=OB=OB'，OA=OA'=OC=OC'，繼而得到AD'=C'D，∠D'AH=∠DC'H=30°，結(jié)合∠D'HA=∠DHC'，繼而得到△AD'本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，角的平分線性質(zhì)定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】向兩方分別延長BD，連接OH，根據(jù)菱形ABCD，∠BAD=60°，則∠BAO=∠DAO=30°，∠AOD=∠AOB=90°，∵菱形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到菱形A'∴點(diǎn)A',D',B'∴AD'=∵∠D∴△AD∴D'H=DH，C'∵∠EA∴△A∴DH=BE，∴DH=BE=D∴該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點(diǎn)O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，∴④正確；根據(jù)題意，得∠ED∵∠D'OD=90°∴∠D∴該八邊形各內(nèi)角不相等；∴②錯(cuò)誤，根據(jù)OD=OD∴△D∴∠D∵∠ODH=60°，故OD≠OH，∴點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等錯(cuò)誤∴③錯(cuò)誤，故選B．3．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，△ABC和△ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把△ADE以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M為射線BD、CE的交點(diǎn)．若AB=3，AD=1①BD=CE；②BD⊥CE；③當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時(shí)，MC=3?④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段MB最短時(shí)，△MBC的面積為12其中正確結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】證明△BAD≌△CAE即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明∠DCM∽∠ECA得出MC3=3?12，即可判斷③；以A為圓心，AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A的下方與⊙A相切時(shí)，MB的值最小，可得四邊形AEMD是正方形，在Rt△MBC中【詳解】解：∵△ABC和△ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴BA=CA,DA=EA,∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，故①正確；設(shè)∠ABD=∠ACE=α，∴∠DBC=45°?α,∴∠EMB=∠DBC+∠BCM=∠DBC+∠BCA+∠ACE=45°?α+45°+α=90°，∴BD⊥CE，故②正確；當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時(shí)，如圖所示

∵∠DCM=∠ECA，∠DMC=∠EAC=90°，∴∠DCM∽∠ECA∴MC∵AB=3，AD=1∴CD=AC?AD=3?1∴MC∴MC=3?32④如圖所示，以A為圓心，AD為半徑畫圓，

∵∠BMC=90°，∴當(dāng)CE在⊙A的下方與⊙A相切時(shí)，MB的值最小，∠ADM=∠DAE=∠AEM=90°∴四邊形AEMD是矩形，又AE=AD，∴四邊形AEMD是正方形，∴MD=AE=1，∵BD=EC=A∴MB=BD?MD=2在Rt△MBC中，∴PB取得最小值時(shí)，MC=AB∴S故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九：利用全等三角形解決實(shí)際問題1．（2024·山東·中考真題）【實(shí)踐課題】測量湖邊觀測點(diǎn)A和湖心島上鳥類棲息點(diǎn)P之間的距離【實(shí)踐工具】皮尺、測角儀等測量工具【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)B．測量A，B兩點(diǎn)間的距離以及∠PAB和∠PBA，測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB=60米，∠PAB=79°，∠PBA=64°．畫出示意圖，如圖【問題解決】（1）計(jì)算A，P兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin【交流研討】甲小組回班匯報(bào)后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得A，D，E在同一條直線上，且AD=DE，∠DEF=∠DAP，當(dāng)F，D，P在同一條直線上時(shí)，只需測量EF即可．（2）乙小組的方案用到了________．（填寫正確答案的序號(hào)）①解直角三角形

②三角形全等【教師評(píng)價(jià)】甲、乙兩小組的方案都很好，對(duì)于實(shí)際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況選擇可實(shí)施的方案．【答案】（1）A，P兩點(diǎn)間的距離為89.8米；（2）②【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，靈活應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵；（1）如圖，過B作BH⊥AP于H，先求解AH=AB?cos79°≈60×0.19=11.4，BH=AB?sin79°≈60×0.98=58.8，再求解（2）由全等三角形的判定方法可得△ADP≌△EDFASA，可得AP=EF【詳解】解：如圖，過B作BH⊥AP于H，∵AB=60米，∠PAB=79°，sin79°≈0.98，cos∴AH=AB?cos79BH=AB?sin79∵∠PAB=79°，∠PBA=64°，∴∠APB=180°?79°?64°=37°，∴tan∠APB=∴PH≈58.8∴AP=AH+PH=11.4+78.4=89.8（米）；即A，P兩點(diǎn)間的距離為89.8米；（2）∵AD=DE，∠DEF=∠DAP，當(dāng)F，D，P在同一條直線上時(shí)，∴∠ADP=∠EDF，∴△ADP≌△EFDASA∴AP=EF，∴只需測量EF即可得到AP長度；∴乙小組的方案用到了②；2．（2024·四川宜賓·中考真題）宜賓地標(biāo)廣場位于三江匯合口（如圖1，左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長江）．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個(gè)標(biāo)點(diǎn)C、D，在地標(biāo)廣場上選擇兩個(gè)觀測點(diǎn)A、B（點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如圖2所示，在點(diǎn)A處測得點(diǎn)C在北偏西18.17°方向上，測得點(diǎn)D在北偏東21.34°方向上；在B處測得點(diǎn)C在北偏西21.34°方向上，測得點(diǎn)D在北偏東18.17°方向上，測得AB=100米．求長江口的寬度CD的值（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，【答案】長江口的寬度CD為1200米.【分析】如圖，過C作CH⊥AB于H，過A作AG⊥CD于G，過B作BK⊥CD于K，而AB∥CD，可得四邊形AHCG，ABKG都是矩形，由題意可得：∠CAG=∠DBK=18.17°，∠GAD=∠CBK=21.34°，證明△AGC≌△BKD，可得CG=DK，設(shè)AH=x，【詳解】解：如圖，過C作CH⊥AB于H，過A作AG⊥CD于G，過B作BK⊥CD于K，而AB∥∴四邊形AHCG，ABKG都是矩形，∴GK=AB=100，CG=AH，CH=AG=BK，CH∥∵由題意可得：∠CAG=∠DBK=18.17°，∠GAD=∠CBK=21.34°，∴∠ACH=∠CAG=18.17°，∠BCH=∠CBK=21.34°，∵∠AGC=∠BKD=90°，∴△AGC≌△BKD，∴CG=DK，設(shè)AH=x，CH=y，∴AHCH=xHBCH=x+100∴0.33y+100=0.39y，∴y=5000∴x=0.33×5000∴CG=DK=550，∴CD=550×2+100=1200m∴長江口的寬度CD為1200米.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定于性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.3．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）小亮想測量屋前池塘的寬度，他結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如圖1的測量方案：先在池塘外的空地上任取一點(diǎn)O，連接AO，CO，并分別延長至點(diǎn)B，點(diǎn)D，使OB=OA，OD=OC，連接BD．(1)如圖1，①求證：AC=BD；②若∠A=35°，∠AOC=90°，則(2)如圖2，但在實(shí)際測量中，受地形條件的影響，于是小亮采取以下措施：延長CO至點(diǎn)D，使OC=OD，過點(diǎn)D作AC的平行線DE，延長AO至點(diǎn)F，連接EF，測得∠DEF=120°，∠OFE=90°，DE=5m，EF=9m，請(qǐng)求出池塘寬度【答案】(1)①求證：AC=BD；②55．(2)23【分析】（1）①根據(jù)OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD證明△AOC≌△BODSAS可得證AC=BD；②根據(jù)△AOC≌△BODSAS得到∠D=∠C，結(jié)合∠A=35°，（2）延長OF，DE，二線交于點(diǎn)M，證明△AOC≌△MODSAS本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握三角形全等的判定，靈活解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）①∵OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD∴AC=BD；②根據(jù)△AOC≌△BODSAS∴∠D=∠C，∵∠A=35°，∠AOC=90∴∠C=55°，∴∠D=55°，故答案為：55．（2）延長OF，DE，二線交于點(diǎn)M，∵DE∥AC，∴∠A=∠M，∵∠A=∠M∠AOC=∠MOD∴△AOC≌△MOD∴AC=MD；∵∠DEF=120°，∠OFE=90°，∴∠OFE=90°，∠MEF=60°，∵EF=9m∴EM=EF∵DE=5m∴DM=DE+EM=23m∴AC=23m考點(diǎn)十：全等三角形與相似三角形綜合1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊AD上，DE=2AE,F是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)H在CD邊上，∠EFH=45°，則FH的長為（

）．A．3104 B．352 C．【答案】C【分析】首先過點(diǎn)B作BN∥FH，連接數(shù)ENFN、，延長DC到點(diǎn)G，使CG=AE，連接BG，根據(jù)∠EFH=45°可得∠NBG=45°，利用SAS可證△ABE?△CBG，再利用SAS可證△EBN?△GBN，從而可得EN=NG，利用勾股定理可得DN=CN=32，利用梯形中位線定理可以求出FN=5【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)B作BN∥FH，連接數(shù)EN、FN，延長DC到點(diǎn)G，使CG=AE，連接BG，∵四邊形ABCD是正方形，AB=3，∴AD=CD=BC=AB=3，∠ABC=90°，∵DE=2AE，∴DE=2，AE=1，∴BE=A∵∠EFH=45°，BN∥∴∠EBN=∠EFH=45°，∴∠ABE+∠NBC=45°，在△ABE和△CBG中AE=CG∠A=∠BCG=90°∴△ABE?∴∠ABE=CBG，BE=BG，∴∠GBN=∠CBG+∠NBC=∠ABE+∠NBC=45°，∴∠EBN=∠NBG，在△EBN和△GBN中BE=BG∠EBN=∠NBG∴△EBN?∴EN=NG，設(shè)NC=x，則DN=3?x，EN=NG=x+1，在Rt△EDN中，E∴2解得：x=3∴DN=CN=3∴BN=B∴點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，∴FN是梯形EBCD的中位線，

∴FN=12ED+BC∵FH∥∴∠FHN=∠BNC，又∵∠FNH=∠BCN=90°，∴△FHN∽∴FH∴FH解得：FH=5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、梯形的中位線定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2024·四川·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，連接BD，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，CE交BD于點(diǎn)F，∠1=∠ABC．(1)求證：∠2=∠3；(2)若∠4=45°．①請(qǐng)判斷線段BC，BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若BC=13，AD=5，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)①BC=BD，理由見解析；②EF=【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）由余角的性質(zhì)可得∠1+∠3=90°，∠2+∠ABC=90°，根據(jù)∠1=∠ABC，可得∠2=∠3；（2）①設(shè)∠2=∠3=x，可求∠BFE=90°?x=∠DFC，可求∠BCD=∠BDC=45°+x，根據(jù)等腰三角形的判定可得BC=BD；②由勾股定理可求AB=12，由“AAS”可證△ADB≌△EBC，可得BE=AD=5，通過證明△EFB∽△ADB，可得EFAD【詳解】（1）證明：∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°=∠A，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠ABC=90°，∵∠1=∠ABC，∴∠2=∠3；（2）解：①BC=BD，理由如下：設(shè)∠2=∠3=x，∴∠BFE=90°?x=∠DFC，∵∠4=45°，∴∠CDB=180°?45°?(90°?x)=45°+x，∵∠BCD=∠4+∠2=45°+x，∴∠BCD=∠BDC，∴BC=BD；②∵BC=BD=13，AD=5，∴AB=B∵BC=BD，∠A=∠CEB，∠2=∠3，∴△ADB≌△EBCAAS∴BE=AD=5，∵∠A=∠CEB，∠3=∠3，∴△EFB∽△ADB，∴EFAD∴EF5∴EF=253．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠ABC為銳角，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE,CE，且S△ABE

(1)如圖1，若F是邊BC的中點(diǎn)，連接EF，對(duì)角線AC分別與BE,EF相交于點(diǎn)G,H．①求證：H是AC的中點(diǎn)；②求AG:GH:HC；(2)如圖2，BE的延長線與CD的延長線相交于點(diǎn)M，連接AM,CE的延長線與AM相交于點(diǎn)N．試探究線段AM與線段AN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)①見解析；②AG:GH:HC=2:1:3(2)AM=3AN，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)S△ABE=S△DCE，得出E為AD的中點(diǎn)，證明出△AHE≌△CHF即可；②先證明出（2）連接BD交CN于點(diǎn)F，證明△AEB≌△DEM(AAS)，進(jìn)一步證明出四邊形ABDM為平行四邊形，得出DF為△CMN的中位線，得到DF=12MN【詳解】（1）解：①∵S∴E為AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，∵F是邊BC的中點(diǎn)，∴BF=CF，∴AE=CF，在?ABCD中，AD∥BC∴∠EAH=∠FCH，又∵∠AHE=∠CHF，∴△AHE≌△CHF(AAS∴AH=CH，∴H是AC的中點(diǎn)；②∵AE=BF,AE∥∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴AB∥∴△AGB∽△HGE，∴AB∵△AHE≌△CHF，∴EH=FH，∴AB∴AG=2GH，∴GH=1∴AG:GH:HC=2:1:3；（2）解：線段AM與線段AN之間的數(shù)量關(guān)系為：AM=3AN，理由如下：連接BD交CN于點(diǎn)F，如下圖：

由題意，BE的延長線與CD的延長線相交于點(diǎn)M，連接AM,CE的延長線與AM相交于點(diǎn)N，∵AE=DE,∠AEB=∠DEM，又∵AB∥∴AB∥∴∠ABE=∠DME，∴△AEB≌△DEM(AAS∴AB=DM，∴四邊形ABDM為平行四邊形，∴AM=BD,AB=MD，∵AB=CD，∴DM=CD，∴D為CM的中點(diǎn)，∵DF∥∴CD∴F為CN的中點(diǎn)，∴DF為△CMN的中位線，∴DF=1∵AE=DE,∠AEN=∠DEF,∠NAE=∠FDE，∴△AEN≌△DEF(ASA∴DF=AN，∴DF=AN=1∴MN=2AN，∴AM=AN+MN=3AN，∴AM=3AN．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角線相似的判定及性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形來求解．重難點(diǎn)一：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-構(gòu)造平行線1．（2024葫蘆島市模擬預(yù)測）【問題初探】（1）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AB延長線上的一點(diǎn)，連接EF，交BC于點(diǎn)D，若ED=DF，求證：BE=CF．①如圖2，小樂同學(xué)從中點(diǎn)的角度，給出了如下解題思路：在線段DC上截取DM，使DM=BD，連接FM，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出結(jié)論；②如圖3，小亮同學(xué)從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點(diǎn)E作EM∥AC交CB的延長線于點(diǎn)M，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出了結(jié)論；請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的解題思路，寫出證明過程；【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的做法非常巧妙，為了讓同學(xué)們更好的理解這種轉(zhuǎn)化的思想方法，李老師提出了新的問題，請(qǐng)你解答，如圖4，在△ABC中，點(diǎn)E在線段AB上，D是BC的中點(diǎn)，連接CE，AD，CE與AD相交于點(diǎn)N，若∠EAD+∠ANC=180°，求證：AB=CN；【學(xué)以致用】（3）如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC，點(diǎn)E在線段BA的延長線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作ED∥AF，交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)D，且BD=CD，請(qǐng)直接寫出線段AE，CN和BC【答案】（1）①選擇小樂同學(xué)的做法：證明見解析；②選擇小亮同學(xué)的做法：證明見解析；（2）證明見解析；（3）CN?AE=【分析】（1）①證明△BDE≌△MDFSAS，得出FM=BE，∠E=∠DFM，證明FM∥BE，得出∠ABC=∠FMC，證明∠FMC=∠C，得出FM=FC②證明△MDE≌△CDFAAS，得出CF=EM，根據(jù)等腰三角形的判定證明BE=ME（2）延長AD，取DM=AD，連接CM，證明△ADB≌△CDMSAS，得出AB=CM，∠M=∠BAD，根據(jù)等腰三角形判定得出CM=CN（3）延長ED，使DM=ED，連接CM，證明△CDM≌△BDESAS，得出CM=BE，∠M=∠BED，證明∠CNM=∠M，得出CN=CM，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出AB=12【詳解】（1）證明：∵ED=DF，DM=BD，∠BDE=∠MDF，∴△BDE≌△MDFSAS∴FM=BE，∠E=∠DFM，∴FM∥BE，∴∠ABC=∠FMC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠FMC=∠C，∴FM=FC，∴BE=CF；②∵EM∥AC，∴∠EMB=∠C，∵DE=DF，∠MDE=∠CDF，∴△MDE≌△CDFAAS∴CF=EM，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠MBE=∠ABC，∴∠EMB=∠MBE，∴BE=ME，∴BE=CF；（2）延長AD，取DM=AD，連接CM，如圖所示：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵∠ADB=∠CDM，∴△ADB≌△CDMSAS∴AB=CM，∠M=∠BAD，∵∠EAD+∠ANC=180°，∠ANC+∠CNM=180°，∴∠CNM=∠EAD，∴∠CNM=∠M，∴CM=CN，∴AB=CN；（3）延長ED，使DM=ED，連接CM，如圖所示：∵BD=CD，∠CDM=∠BDE，∴△CDM≌△BDESAS∴CM=BE，∠M=∠BED，∴CM∥BE，∴∠ACM=180°?∠BAC=90°，∵AF平分∠BAC，∴∠CAF=1∵ED∥AF，∴∠CNM=∠CAF=45°，∴∠M=180°?∠CNM?∠ACM=45°，∴∠CNM=∠M，∴CN=CM，∴CN=BE，∵∠ACB=30°，∠BAC=90°，∴AB=1∵BE?AE=AB=1∴CN?AE=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．2．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）【感知】（1）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，且AE=13AC．連結(jié)AD，BE交于點(diǎn)G小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)D作AC的平行線或過E作BC的平行線，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到問題的答案．請(qǐng)你根據(jù)小明的提示（或按自己的思路）寫出求解過程【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，AB=AD，連結(jié)BD，若AE⊥BD，交BD、BC于點(diǎn)E、F．若AD=9，CD=3，AF=8，則AE的長為【拓展提高】（3）如圖③，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AE、AC分別交于點(diǎn)G、M，若CFCD=25，若△BEG的面積為2，則【答案】（1）3（2）7（3）10【分析】（1）過點(diǎn)D作DH∥AC交BE于H，則∠EAG=∠HDG，∠AEG=∠DHG，而BD=CD，所以BHEH=BDCD=1，則BH=EH，所以DH=12CE，由AE=1（2）取BC的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，由AB=AD=9，AE⊥BD于點(diǎn)E，得BE=DE，則EH∥CD，EH=12CD=32（3）設(shè)?ABCD的面積為S，求出S△ABE=14S，S△BFC=15S，過點(diǎn)E作EN∥CD交BF于點(diǎn)N，證明△BNE∽△BFC，得【詳解】解：解：如圖①，過點(diǎn)D作DH∥AC交BE于H，則

圖①∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD=∵DH∥∴△BDH∴BD∴DH=12∵E是AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，且AE=1∴AE=1∴DH=AE，∴△AGE≌∴GH=GE，∴BG?GH=GE+GH，∴BG=3GE，∴BGGE∴BGGE（2）如圖②，取BC的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，則BH=CH，∵AB=AD=9，AE⊥BD于點(diǎn)E，∴BE=DE，∴E為BD的中點(diǎn)，∴EH為△BCD的中位線，∴EH∴△EHF∽∴EFAF∴EF=1∴AE=AF?EF=8?1=7，∴故答案為：7．（3）如圖③，設(shè)?ABCD的面積為S，∴S△ABC∵E原來BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=12BC,連接BD，則S∵CFCD∴S△BFC過點(diǎn)E作EN∥CD交BF于點(diǎn)∴△BNE∽∴BE∴S∴S∵S∴S△NGE又NE=∴NF∵NE∴△NGE∽∴S∴S△ABG∵S△ABG∴251解得：S=48，∴S△ABG∴△ABG的面積為10，故答案為：10【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的“三線合一”、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)二：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-構(gòu)造垂線1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形ABCD先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到四邊形A'B'C'D'A．?1,?2 B．?2,?1 C．2,1 D．1,2【答案】A【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)和平移，全等三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)題意得到平移方式為向右平移3個(gè)單位長度，則可得平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為2,?1；如圖所示，設(shè)E2,?1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，證明△HFO≌△GOEAAS，得到OH=GE=1，HF=OG=2，則F?1,?2，即點(diǎn)A【詳解】解：由題意得，平移前B?3,0∵將正方形ABCD先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，∴平移方式為向右平移3個(gè)單位長度，∴平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為2,?1，如圖所示，設(shè)E2,?1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H∴∠OHF=∠OGE=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EOF=90°，∴∠HOF+∠HFO=∠GOE+∠HOF，∴∠HFO=∠GOE，∴△HFO≌△GOEAAS∴OH=GE，∵E2,?1∴OH=GE=1，∴F?1,?2∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是?1,?2故選：A．2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過小組討論，提出探究問題．如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，延長ED交BA延長線于點(diǎn)F．請(qǐng)你解決下面各組提出的問題：(1)求證：AD=AF；(2)探究DFDE與AD某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ADDC=13時(shí)，DFDE請(qǐng)你繼續(xù)探究：①當(dāng)ADDC=7②當(dāng)ADDC=mn時(shí)，猜想DFDE(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，過點(diǎn)F作FP⊥AC，垂足為點(diǎn)P，連接CF，得到圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使∠ACF=∠ACB時(shí)，若ADDC=mn，直接寫出APAD【答案】(1)見解析(2)①DFDE=7(3)AP【分析】（1）等邊對(duì)等角，得到∠B=∠C，等角的余角的相等，結(jié)合對(duì)頂角相等，得到∠F=∠ADF，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)給定的信息，得到DFDE是AD②猜想DFDE=2mn，作AG⊥EF于點(diǎn)G，證明△AGD∽△CED，得到（3）過點(diǎn)D作DG⊥CF，角平分線的性質(zhì)，得到DG=DE，推出DGDF=n2m，等角的余角相等，得到∠AFP=∠DFG，進(jìn)而得到sin∠AFP=【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥BC，∴∠BEF=∠CED=90°，∴∠F=90°?∠B，∠CDE=90°?∠C，且∠CDE=∠ADF，∴∠F=∠ADF，∴AD=AF；（2）解：①當(dāng)ADDC=13時(shí)，DFDE∴總結(jié)規(guī)律得：DFDE是AD∴當(dāng)ADDC=7②當(dāng)ADDC=m證明：作AG⊥EF于點(diǎn)G，∵DE⊥BC，∴AG∥CE，∴△AGD∽△CED，∵ADDC∴GDDE由（1）知AD=AF，又AG⊥EF，∴DG=FG，即DF=2DG，∴DFDE（3）APAD過點(diǎn)D作DG⊥CF，∵∠ACF=∠ACB，DE⊥CE，∴DG=DE，由（2）知，當(dāng)ADDC=m∴DEDF∴DGDF∵PF⊥AC，∴∠ACF+∠CFP=90°，∵FE⊥BC，∴∠B+∠AFD=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠B=∠ACF，∴∠AFD=∠CFP，∴∠AFD?∠PFD=∠CFP?∠PFD，∴∠AFP=∠DFG，∴sin∠AFP=∴APAF由（1）知AD=AF，∴APAD【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，以CE為邊作矩形CEFG（點(diǎn)D，G在CE的同側(cè)），且CE=2EF，連結(jié)BF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AD邊的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一直線上，求BF的長．(2)如圖2，若∠BCE=30°，設(shè)CE與BF交于點(diǎn)K．求證：BK=FK．(3)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，BF的長是否存在最大（?。┲?？若存在，求出BF的最值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)6(2)見解析(3)存在，最小值1855【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)E在AD的中點(diǎn)時(shí)可得AB=AD=ED=DC=4，則△ABE和△EFD是等腰直角三角形，分別求出BE和EF的長，然后根據(jù)線段的和差即可解答；（2）如圖：過B作BK⊥EC交EC于M，由∠BCE=30°可得BM=12BC=4=AB，即可得到Rt△ABE≌Rt△BKEHL得到∠AEB=∠BEM=∠CBE，推出BC=CE（3）如圖：過點(diǎn)F作AB的垂線，交AB延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，交MF于點(diǎn)P．設(shè)AE=x,BF=y．然后證明△PEF∽△NCE可得PF=2,PE=4?12x，根據(jù)勾股定理可得B【詳解】（1）解：∵矩形ABCD中，AB=4,BC=8，∴AB=CD=4，BC=AD=8，∠A=∠ADC=90°，∵點(diǎn)E在AD的中點(diǎn)∴AB=AE=ED=DC=4，∴BE=CE=42，∠AEB=45°∵點(diǎn)B、E、F在同一直線上，∴∠AEB=∠FED=45°，∵∠F=90°∴ED=4=2∴EF=22∴BF=BE+EF=62（2）證明：如圖：過B作BH⊥EC交EC于H，∵AD∥∴∠BCE=∠CED，∠AEB=∠CBE，∵∠BCE=30°，∴BH=12BC=4=AB∵BE=BE∴Rt△ABE≌∴∠AEB=∠BEH，∴∠AEB=∠BEH=∠CBE，∴BC=CE，∵CE=2EF，∴EF=1∵∠FEC=∠BHE=90°,∠EKF=∠HKB，∴△BHK≌△FEK(AAS)∴BK=FK．（3）解：存在，BF的最小值1855，最大值如圖：過點(diǎn)F作AB的垂線，交AB延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，交MF于點(diǎn)P．則設(shè)AE=x,BF=y．∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是矩形，∴∠FPE=∠ENC=∠FEC=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°,∠PEF+∠NEC=90°，∴∠PFE=∠NEC，∵∠FPE=∠ENC=90°，∴△PEF∽△NCE，∴FEEC=∴PF=2,PE=4?1∴在Rt△BMF中，B即y2=當(dāng)x=85時(shí)，y有最小值為18∵0≤x≤8，∴當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值為229∴在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，BF的長存在最小值1855，最大值【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)三：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-倍長中線法1．（2024·吉林長春·一模）【發(fā)現(xiàn)問題】數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣的一個(gè)問題：如圖①，在△ABC中，AB=6，AC=8，第三邊上的中線AD=x，則x的取值范圍是____．【探究方法】小明同學(xué)通過組內(nèi)合作交流，得到了如下解決方法：（1）如圖②，延長AD至點(diǎn)A'，使得DA'=AD，連結(jié)A'C，根據(jù)“SAS”可以判定△ABD≌__________，得出A'C=AB=6．在△AA'C【活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”，“中線”等條件時(shí)，可以考慮將中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求的問題集中到同一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問題，這種作輔助線的方法叫做“倍長中線”法．【問題解決】（2）如圖③，已知AB=AC，AD=AE，∠BAE+∠CAD=180°，連接BE和CD，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，連接AF．求證：BE=2AF．小明發(fā)現(xiàn)，如圖④，延長AF至點(diǎn)A'，使FA'=AF，連接A'下面是小明的部分證明過程：證明：延長AF至點(diǎn)A'，使FA'∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴CF=DF．∵AF=A'F∴△ACF≌△A∴A'D=AC，∴A'D∥請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．【問題拓展】（3）如圖⑤，在△ABC和△AEF中，AB=AE，AC=AF，∠BAC+∠EAF=180°，點(diǎn)M，N分別是BC和EF的中點(diǎn)．若BC=4，EF=6，則MN的取值范圍是．【答案】（1）△A'CD，1＜x＜7；（2）∵∠BAE+∠CAD=180°，∴∠BAE=∠A'DA，又∵AB=AC，∴A'【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）由“SAS”可證△ABD≌△A'DC（2）由“SAS”可證△ACF≌△A'DF，可得A'D=AC，∠A'（3）由（2）可知BC=2AN，EF=2AM，由三角形的三邊關(guān)系可求解．【詳解】（1）解：如圖②，∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD，又∵AD=A'D∴△ABD≌△A∴A在△AA'C中，A'C=6∴8?6<2x<8+6，∴1<x<7，故答案為：△A'CD（2）證明：如圖④，延長AF至點(diǎn)A'，使FA'∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴CF=DF．∵AF=A'F∴△ACF≌△A∴A'D=AC∴A∴∠A∵∠BAE+∠CAD=180°，∴∠BAE=∠A又∵AB=AC，∴A'∵AD=AE，∴△A∴BE=AA（3）如圖⑤，連接AM，AN，由（2）可知：BC=2AN，EF=2AM，∵BC=4，EF=6，∴AN=2，AM=3，∴AM?AN≤MN≤AM+AN，∴1≤MN≤5，故答案為：1≤MN≤5．重難點(diǎn)四：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-截長補(bǔ)短法1．（2020·湖南湘西·中考真題）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFC≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立．實(shí)際應(yīng)用：210海里．【分析】延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明△BGF≌△BEF，可得GF=EF，即可解題；探究延伸1：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明△BGF≌△BEF，可得GF=EF，即可解題；探究延伸2：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明△BGF≌△BEF，可得GF=EF，即可解題；實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長AE，BF相交于點(diǎn)C，然后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF，將AE和CF的長代入即可．【詳解】解：EF=AE+CF理由：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，在△BCG和△BAE中，BC=BA∠BCG=∠BAE=90°∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF和△BEF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．理由：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，在△BCG和△BAE中，BC=BA∠BCG=∠BAE=90°∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠AB