2025年高考數(shù)學(xué)考前沖刺（1）倒計時16-20天（原卷版）

第一輯解三角形（解答題）………01立體幾何（解答題）………07概率統(tǒng)計（解答題）……………………18導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）…………………32圓錐曲線（解答題）………43解三角形（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1513（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；已知兩角的正、余弦，求和、差角的正弦；三角形面積公式及其應(yīng)用2024年新高考II卷1513（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．輔助角公式；正弦定理解三角形；正弦定理邊角互化的應(yīng)用2023年新高考I卷1712（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．用和、差角的正弦公式化簡、求值；正弦定理解三角形；三角形面積公式及其應(yīng)用2023年新高考II卷1712（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．三角形面積公式及其應(yīng)用；余弦定理解三角形；數(shù)量積的運算律2022年新高考I卷1812（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．正弦定理邊角互化的應(yīng)用；基本不等式求和的最小值2022年新高考II卷1812（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；三角形面積公式及其應(yīng)用近三年新高考數(shù)學(xué)中，三角形相關(guān)解答題考查情況總結(jié)如下：考點方面：主要涉及正弦定理、余弦定理用于解三角形；三角函數(shù)的和差角公式、輔助角公式等進(jìn)行化簡與求值；三角形面積公式及其應(yīng)用；還涉及到三角恒等變換，如二倍角公式等。其中正弦定理、余弦定理及三角形面積公式是高頻考點。題目設(shè)置方面：通常設(shè)置兩問，第一問多為求角，常通過對已知條件進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)公式求解；第二問常涉及求邊、求三角形面積或周長、求邊上的高等，一般在第一問求出角的基礎(chǔ)上，利用正弦定理、余弦定理及面積公式等進(jìn)一步計算。整體考點穩(wěn)定且具有較強的關(guān)聯(lián)性與系統(tǒng)性。2025年新高考中，解三角形大概率仍會作為重點考查內(nèi)容。以一道解答題（分值約13-15分）呈現(xiàn)。解答題通常設(shè)置兩問，有一定梯度，循序漸進(jìn)引導(dǎo)解題。正弦定理、余弦定理依舊是核心。會給出邊與角的混合條件，要求考生熟練運用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，求解三角形的邊、角、面積等基本量。正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形①②③④應(yīng)用：邊角互化①②③或（舍）三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式角平分線定理（1）在中，為的角平分線，則有（2）（3）（庫斯頓定理）（4）張角定理倍角定理在中,三個內(nèi)角的對邊分別為,(1)如果,則有:(2)如果,則有:(3)如果,則有:倍角定理的逆運用在中,三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為,(1)如果,則有:。(2)如果,則有:。(3)如果,則有:。中線長定理為的中線,則中線定理:證明:在和中,用余弦定理有:典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．典例6（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【名校預(yù)測·第一題】（2025屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三3月綜合自主測試數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知.(1)求角的大??；(2)已知.求的面積.【名校預(yù)測·第二題】（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題）記的內(nèi)角，，的對邊分別，，，已知．(1)求；(2)設(shè)是邊中點，若，求．【名校預(yù)測·第三題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且(1)求B；(2)若，D為AC邊上的一點，且，，求AC的最大值．【名校預(yù)測·第四題】（山東省實驗中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍.【名校預(yù)測·第五題】（2025屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三4月綜合自主測試數(shù)學(xué)試題）在中，角的對邊分別為，若．(1)求；(2)若，證明：是直角三角形．(3)若是銳角三角形，，求面積的取值范圍．【名師押題·第一題】在中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，且，求的最小值.【名師押題·第二題】已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若，求周長的最大值．【名師押題·第三題】在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若.（i）求；（ii）過邊上一點作的垂線，垂足分別為，求的最小值.【名師押題·第四題】記的內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)證明：；(2)若平分交于點，且，求的最大值.【名師押題·第五題】在中，，，分別是內(nèi)角，，的對邊，．(1)求角的大小；(2)設(shè)為邊上一點，若，且，求面積的最小值．立體幾何（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1715（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．證明線面平行；由二面角大小求線段長度或距離；證明面面垂直2024年新高考II卷1715（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．線面垂直證明線線垂直；面面角的向量求法；證明線面垂直；求平面的法向量2023年新高考I卷1812（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．空間位置關(guān)系的向量證明；面面角的向量求法；已知面面角求其他量2023年新高考II卷2012（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．線面垂直證明線線垂直；面面角的向量求法；證明線面垂直2022年新高考I卷1912（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．求點面距離；面面角的向量求法2022年新高考II卷2012（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．證明線面平行；面面角的向量求法近三年新高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題考查情況總結(jié)?空間位置關(guān)系證明：頻繁考查線面平行、線面垂直、面面垂直的證明。如通過線線平行證明線面平行，利用線線垂直證明線面垂直進(jìn)而證明面面垂直。?空間角計算：二面角的向量求法是重點，常給出相關(guān)幾何條件，要求考生建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的正弦值或余弦值。也涉及線面角相關(guān)計算。?距離與線段長度求解：包括求點到平面的距離、由二面角大小求線段長度等。常借助等體積法或向量法求解點面距離，根據(jù)幾何關(guān)系和空間向量運算求線段長度。?題目設(shè)置方面?通常設(shè)置兩問，第一問多為空間位置關(guān)系的證明，如證明線面平行或垂直等，考查對相關(guān)判定定理的理解和運用；第二問多為空間角的計算或線段長度、距離的求解，在第一問的基礎(chǔ)上，要求考生熟練運用空間向量方法或幾何方法進(jìn)行計算，綜合性較強。整體考點穩(wěn)定，注重對空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力的考查。題型與分值：預(yù)計2025年新高考中，立體幾何仍會以一道解答題（分值約13-15分）的形式出現(xiàn)，設(shè)置兩問，有一定難度梯度，循序漸進(jìn)引導(dǎo)解題。?考查方向?空間位置關(guān)系：線面平行、線面垂直、面面垂直的證明依然是重點內(nèi)容?？赡軙o出更復(fù)雜的幾何圖形，如組合體（棱柱與棱錐組合等），要求考生從復(fù)雜圖形中準(zhǔn)確找出線線、線面、面面關(guān)系，運用判定定理進(jìn)行證明。?空間角計算：二面角的向量求法仍是核心考點，可能會結(jié)合實際應(yīng)用背景（如建筑設(shè)計中的角度問題）或與其他知識（如三角函數(shù)）綜合考查。也可能出現(xiàn)線面角、異面直線所成角的計算，考查考生建立空間直角坐標(biāo)系、準(zhǔn)確計算向量坐標(biāo)和運用向量公式的能力。?距離與體積：點到平面的距離、幾何體的體積計算可能會有所涉及?？赡苄枰忌`活運用等體積法、向量法等方法求解距離，根據(jù)幾何圖形的特征計算體積，考查運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想。?創(chuàng)新題型：可能會出現(xiàn)一些創(chuàng)新題型，如開放性問題（給出部分條件，讓考生補充條件并證明相關(guān)結(jié)論）、探究性問題（探究幾何圖形中某些元素的變化對空間位置關(guān)系或空間角的影響），考查考生的創(chuàng)新思維和綜合運用知識的能力。1.空間中的平行關(guān)系線線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則線面平行線面平行的性質(zhì)定理若線面平行，經(jīng)過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行面面平行的判定定理判定定理1：一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行判定定理2：一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別于另一個平面內(nèi)兩條相交直線平行，則面面平行面面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行2.空間中的垂直關(guān)系線線垂直線面垂直的判定定理一直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則線面垂直線面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線性質(zhì)定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行面面垂直的判定定理一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直（或：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則面面垂直）面面垂直的性質(zhì)定理兩平面垂直，其中一個平面內(nèi)有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面3.異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）4.直線與平面所成角，(為平面的法向量).5.二面角的平面角（，為平面，的法向量）.6.點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．典例6（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【名校預(yù)測·第一題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，三棱錐中，，．異面直線和所成角的余弦值為，點是線段上的一個動點．(1)證明：平面平面；(2)若二面角的正弦值為，求．【名校預(yù)測·第二題】（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題）在平行四邊形中（如圖1），，為的中點，將等邊沿折起，連接，且（如圖2）．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)點在線段上，且滿足，求平面與平面所成角的余弦值．【名校預(yù)測·第三題】（遼寧省東北育才中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷）如圖①，在矩形中，，，M為的中點，將沿折起，使A到處，平面平面，連接，（如圖②）．

(1)證明：平面；(2)已知Q是線段上的動點，且，直線與平面所成角的正弦值為，求．【名校預(yù)測·第四題】（安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷）如圖，在四棱錐中，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.(1)若，平面與平面是否互相垂直？如果垂直,請證明；如果不垂直，請說明理由.(2)若底面為正方形，當(dāng)平面與平面夾角為時，求的值.【名校預(yù)測·第五題】（陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三第八次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）如圖，在四棱錐中，平面，，，，M為棱的中點.(1)證明：平面.(2)已知.（i）求平面與平面夾角的余弦值.（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【名師押題·第一題】如圖，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，點在線段上.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求.【名師押題·第二題】如圖，在等腰梯形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，沿線段EF將四邊形AEFD翻折到四邊形MEFN的位置，連接MB，NC.已知，，，P為射線FN上一點.(1)若，證明：平面BCNM.(2)若直線FN與平面CEP所成角的正弦值為，求PF.【名師押題·第三題】在平面四邊形中，，，如圖1所示.現(xiàn)將圖1中的沿折起，使點到達(dá)點的位置，且平面平面，如圖2所示.

(1)求證：；(2)若，二面角的大小為，求的值.【名師押題·第四題】如圖，在正方形中，，分別為中點，四邊形也是正方形，經(jīng)過點的直線與平面的夾角為且，現(xiàn)將正方形沿直線平移至得到四棱臺．

(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值；(3)若平面平面，求四棱臺的體積．【名師押題·第五題】如圖，長方體中，，，，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點．

(1)過點C，E，F(xiàn)的平面截該長方體所得的截面多邊形記為S，求S的周長；(2)設(shè)T為線段上一點，當(dāng)平面平面時，求平面TCF與平面CEF夾角的余弦值．概率統(tǒng)計（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考II卷1817（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？獨立事件的乘法公式；求離散型隨機變量的均值；利用對立事件的概率公式求概率2023年新高考I卷2112（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．求離散型隨機變量的均值；利用全概率公式求概率；等比數(shù)列的簡單應(yīng)用2023年新高考II卷1912（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．頻率分布直方圖的實際應(yīng)用；總體百分位數(shù)的估計2022年新高考I卷2012（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828獨立性檢驗解決實際問題；計算條件概率2022年新高考II卷1912（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.頻率分布直方圖的實際應(yīng)用；由頻率分布直方圖估計平均數(shù)；利用對立事件的概率公式求概率；計算條件概率近三年新高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計解答題考查情況總結(jié)?考點方面?概率計算：常考查獨立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，以及利用對立事件求概率。如通過分析投籃、抽簽等事件的獨立性或互斥性來計算相應(yīng)概率。?離散型隨機變量：涉及離散型隨機變量的分布列、期望和方差的求解。要求考生確定隨機變量的可能取值，計算每個取值的概率，進(jìn)而求出期望和方差。?統(tǒng)計圖表應(yīng)用：對頻率分布直方圖的考查較多，包括根據(jù)頻率分布直方圖計算頻率、平均數(shù)、中位數(shù)等數(shù)字特征，以及利用頻率估計概率解決實際問題。?題目設(shè)置方面?通常設(shè)置多問，第一問可能是概率計算，如計算某一事件發(fā)生的概率；后續(xù)問題逐漸深入，可能涉及到隨機變量的分析、統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用或統(tǒng)計方法的運用等。整體考點豐富多樣，注重考查考生對概率統(tǒng)計知識的綜合運用能力以及數(shù)據(jù)分析能力。題型與分值：預(yù)計2025年新高考中，概率統(tǒng)計仍會以一道解答題（分值約15-17分）的形式呈現(xiàn)，題目設(shè)置多問，具有一定的梯度，從基礎(chǔ)概念考查逐步過渡到綜合應(yīng)用。概率模型：繼續(xù)考查常見的概率模型，如獨立重復(fù)試驗、古典概型等?？赡軙Y(jié)合實際生活背景，如體育比賽、抽獎活動等，構(gòu)建更復(fù)雜的概率問題（條件概率、全概率），要求考生準(zhǔn)確判斷概率模型并運用相應(yīng)公式計算概率。隨機變量與分布：離散型隨機變量的分布列、期望和方差依舊是重點?？赡軙霈F(xiàn)新的隨機變量類型或更復(fù)雜的取值情況，考查考生對隨機變量概念的深刻理解和計算能力。也可能與其他知識（如函數(shù)、不等式）綜合，求期望或方差的最值。?統(tǒng)計圖表與數(shù)據(jù)分析：頻率分布直方圖的應(yīng)用仍會是考點。除了計算數(shù)字特征外，可能會要求考生根據(jù)圖表進(jìn)行數(shù)據(jù)的進(jìn)一步分析和推斷，如估計總體參數(shù)、進(jìn)行假設(shè)檢驗等，突出對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查。實際應(yīng)用與創(chuàng)新：概率統(tǒng)計與實際生活的聯(lián)系會更加緊密，可能會出現(xiàn)一些跨學(xué)科或創(chuàng)新性的題目，如在醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域中運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題，考查考生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力。等可能性事件的概率.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．個互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率7.離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)（1）;（2）.8.數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）.（2）若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.10.方差11.標(biāo)準(zhǔn)差=.12.方差的性質(zhì)(1)；(2）若～，則.(3)若服從幾何分布,且，則.13.方差與期望的關(guān)系.14.正態(tài)分布密度函數(shù)，式中的實數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.15.對于，取值小于x的概率..16.條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．17.條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡18.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.19.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有20.數(shù)字樣本特征眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果為奇數(shù)個，中位數(shù)為中間數(shù)；若為偶數(shù)個，中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)：，反映樣本的平均水平方差：反映樣本的波動程度，穩(wěn)定程度和離散程度；越大，樣本波動越大，越不穩(wěn)定；越小，樣本波動越小，越穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差：，標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的算術(shù)平方根，數(shù)學(xué)意義和方差一樣極差：等于樣本的最大值最小值21.求隨機變量X的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進(jìn)行檢驗.還可判斷隨機變量滿足常見分布列：兩點分布，二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布.（1）已知隨機變量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知隨機變量的期望、方差，求的期望與方差，利用期望和方差的性質(zhì)（，）進(jìn)行計算；（3）若能分析出所給的隨機變量服從常用的分布（如：兩點分布、二項分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式進(jìn)行計算，若～,則，.22.求解概率最大問題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造出不等關(guān)系，結(jié)合組合數(shù)公式求解結(jié)果典例1（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？典例2（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．典例3（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．典例4（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828典例5（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【名校預(yù)測·第一題】（安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷）在一個不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個小球，其中有m個白球，m個黑球，2個黑白相間的球，且從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為．(1)從盒子中隨機摸出1個球，求在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率；(2)從盒子中1次隨機取出1個球，取出后不放回，共取2次，設(shè)取出的黑球數(shù)量為X，求X的分布列與期望．【名校預(yù)測·第二題】（陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三第八次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）投擲均勻的骰子，每次擲得的點數(shù)為1或2時得1分，擲得的點數(shù)為3，4，5，6時得2分．獨立地重復(fù)擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分．(1)設(shè)投擲2次骰子，最終得分為，求隨機變量的分布列與期望；(2)若投擲次骰子，記合計得分恰為分的概率為，求；(3)設(shè)最終得分為分的概率為，求數(shù)列的通項公式．【名校預(yù)測·第三題】（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)市場上治療某種疾病的藥品有兩種，其治愈率與患者占比如表所示，為試驗一種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此藥給100個病人服用．設(shè)藥的治愈率為，且每位病人是否被治愈相互獨立．ABC（新藥）治愈率患者占比(1)記100個病人中恰有80人被治愈的概率為，求的最大值點；(2)設(shè)用新藥的患者占比為（藥品減少的患者占比，均為新藥增加占比的一半，，以（1）問中確定的作為的值，從已經(jīng)用藥的患者中隨機抽取一名患者，求該患者痊愈的概率（結(jié)果用表示）(3)按照市場預(yù)測，使用新藥的患者占比能達(dá)到以上，不足的概率為，不低于且不超過的概率為，超過的概率為，某藥企計劃引入藥品的生產(chǎn)線，但生產(chǎn)線運行的條數(shù)受患者占比的影響，關(guān)系如下表：患者占比最多投入生產(chǎn)線條數(shù)123若某條生產(chǎn)線運行，年利潤為1000萬，若某條生產(chǎn)線未運行，年虧損300萬，欲使該藥企生產(chǎn)藥品的年總利潤均值最大，應(yīng)引入幾條生產(chǎn)線？【名校預(yù)測·第四題】（山東省實驗中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題）某工廠在改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)后，針對新舊兩種技術(shù)所生產(chǎn)的電子元件實施質(zhì)量檢測，現(xiàn)從每種技術(shù)生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取容量為40的樣本進(jìn)行電壓測試.已知標(biāo)準(zhǔn)電壓為3.7V，誤差絕對值不超過0.1V的電子元件為優(yōu)品，超過0.1V的電子元件為良品.(1)已知舊技術(shù)生產(chǎn)的40個樣本電子元件的電壓測量值近似服從正態(tài)分布的近似值為樣本均值3.7，的近似值為樣本標(biāo)準(zhǔn)差0.09.假設(shè)該工廠前期運用舊技術(shù)已生產(chǎn)電子元件40000個，試估算舊技術(shù)生產(chǎn)的電子元件電壓測量值高于3.88V的有多少個？(2)從新技術(shù)生產(chǎn)的40個樣本電子元件中隨機選取一個是優(yōu)品的概率為.請補全以下列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為電子元件的優(yōu)良情況與新舊技術(shù)有關(guān)？優(yōu)品良品合計舊技術(shù)新技術(shù)合計16附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，..0.1000.0500.0250.0052.7063.8415.0247.879【名校預(yù)測·第五題】（遼寧省東北育才中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾科夫而得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)．已知有A，B兩個盒子，各裝有1個黑球、1個黃球和1個紅球，現(xiàn)從A，B兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后，記A盒子中紅球的個數(shù)為，恰有1個紅球的概率為，恰有2個紅球的概率為．(1)求，的值；(2)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(3)求的數(shù)學(xué)期望．【名校預(yù)測·第六題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題（難度系數(shù)較低的類問題以及難度系數(shù)較高的類問題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題．甲遇到每類問題的概率均為，甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記2分，否則記0分，總得分記為X分，甲回答每個問題相互獨立．(1)當(dāng)進(jìn)行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(2)設(shè)甲在每輪游戲中均回答正確且累計得分為n分的概率為．（ⅰ）證明：為等比數(shù)列．（ⅱ）求的最大值以及對應(yīng)n的值．【名師押題·第一題】某運動員為了解自己的運動技能水平，記錄了自己1000次訓(xùn)練情況并將成績（滿分100分）統(tǒng)計如下表所示.成績區(qū)間頻數(shù)100200300240160(1)求上表中成績的平均值及上四分位數(shù)（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值為代表）；(2)該運動員用分層抽樣的方式從的訓(xùn)練成績中隨機抽取了6次成績，再從這6次成績中隨機選2次，設(shè)成績落在區(qū)間的次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)對這1000次訓(xùn)練記錄分析后，發(fā)現(xiàn)某項動作可以優(yōu)化.優(yōu)化成功后，原低于80分的成績可以提高10分，原高于80分的無影響，優(yōu)化失敗則原成績會降低10分，已知該運動員優(yōu)化動作成功的概率為．在一次資格賽中，入圍的成績標(biāo)準(zhǔn)是80分.用樣本估計總體的方法，求使得入圍的可能性變大時p的取值范圍.【名師押題·第二題】某校組織“一帶一路”答題抽獎活動，凡答對一道題目可抽獎一次.設(shè)置甲、乙、丙三個抽獎箱，每次從其中一個抽獎箱中抽取一張獎券.已知甲箱每次抽取中獎的概率為，乙箱和丙箱每次抽取中獎的概率均為，中獎與否互不影響.(1)已知一位同學(xué)答對了三道題目，有兩種抽獎方案供選擇：方案一：從甲、乙、丙中各抽取一次，中獎三次獲得價值50元的學(xué)習(xí)用品，中獎兩次獲得價值30元的學(xué)習(xí)用品，其他情況沒有獎勵.方案二：從甲中抽取三次，中獎三次獲得價值70元的學(xué)習(xí)用品，中獎兩次獲得價值40元的學(xué)習(xí)用品，其他情況沒有獎勵；通過計算獲得學(xué)習(xí)用品價值的期望，判斷該同學(xué)選擇哪個方案比較合適？(2)若一位同學(xué)答對了一道題目.他等可能的選擇甲、乙、丙三個抽獎箱中的一個抽獎.已知該同學(xué)抽取中獎，求該同學(xué)選擇乙抽獎箱的概率.【名師押題·第三題】為測試某人工智能機器人在動態(tài)環(huán)境中執(zhí)行路徑規(guī)劃的能力，命令該人工智能機器人在動態(tài)環(huán)境中執(zhí)行路徑規(guī)劃任務(wù)，任務(wù)規(guī)則如下：該機器人需要依次通過5個關(guān)鍵區(qū)域，成功通過3個區(qū)域即認(rèn)為其完成任務(wù)，每個區(qū)域存在動態(tài)障礙物，機器人成功通過一個區(qū)域的概率為，被障礙物阻擋的概率為．每成功通過一個區(qū)域得6分，每被障礙物阻擋一次扣3分，每個區(qū)域的測試結(jié)果相互獨立，若機器人累計成功通過3個區(qū)域，任務(wù)提前結(jié)束，若機器人被障礙物阻擋的次數(shù)達(dá)到3次，則任務(wù)無法完成，任務(wù)結(jié)束．(1)若任務(wù)在過第4個區(qū)域后終止且人工智能機器人完成任務(wù)，求此事件的概率；(2)記任務(wù)結(jié)束時該人工智能機器人的總得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【名師押題·第四題】一電動玩具汽車需放入電池才能啟動.現(xiàn)抽屜中備有6塊規(guī)格相同的電池，其中3塊為一次性電池，另外3塊為可反復(fù)使用的充電電池.每次使用時隨機取一塊電池，若取出的是一次性電池，則使用后作廢品回收，若取出的是可充電電池，則使用后充滿電再放回抽屜.(1)在已知第2次取出一次性電池的條件下，求第1次取出的是可充電電池的概率；(2)設(shè)X，Y是離散型隨機變量，X在給定事件條件下的期望定義為，其中為X的所有可能取值的集合，表示事件“”與“”均發(fā)生的概率.設(shè)X表示玩具汽車前4次使用中取出一次性電池的塊數(shù)，Y表示前2次使用中取出可充電電池的塊數(shù)，求；(3)若已用完一塊一次性電池后，記剩下電池再使用次后，所有一次性電池恰好全部用完的概率為，求數(shù)列的通項公式.【名師押題·第五題】某科技公司招聘技術(shù)崗位人員一名.經(jīng)初選，現(xiàn)有來自國內(nèi)三所高校的10名應(yīng)屆畢業(yè)生進(jìn)入后面試環(huán)節(jié).其中校和校各4名，校2名，10名面試者隨機抽取1，2，3，...10號的面試序號.(1)若來自校的4名畢業(yè)生的面試序號分別為，且，來自校的4名畢業(yè)生的面試序號分別為，且，來自校的2名畢業(yè)生的面試序號分別為，，且.（i）求概率；（ii）記隨機變量，求的均值.(2)經(jīng)面試，第位面試者的面試得分為，且他們的面試得分各不相等，公司最終錄用得分最高者.為提高今后面試效率，現(xiàn)人事部門設(shè)計了以下面試錄用新規(guī)則：，且，集合中的最小元素為，最終錄用第位面試者.如果以新規(guī)則面試這10名畢業(yè)生，證明：面試得分第一?二（按得分從高到低排）的兩名畢業(yè)生之一被錄用的概率不小于0.59.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1817（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．判斷或證明函數(shù)的對稱性；利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題；簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2024年新高考II卷1615（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．求在曲線上一點處的切線方程（斜率）；根據(jù)極值求參數(shù)2023年新高考I卷1912（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題；含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2023年新高考II卷2212（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題；根據(jù)極值點求參數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2022年新高考I卷2212（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根；由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）2022年新高考II卷2212（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題；含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間近三年新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解答題考查情況總結(jié)?考點方面?函數(shù)性質(zhì)研究：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值是核心考點。常通過求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求解極值點和最值點。?不等式相關(guān)問題：包括利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立或存在性問題，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解；還會考查根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍。?函數(shù)的切線與對稱性：求曲線在某點處的切線方程，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義；判斷或證明函數(shù)的對稱性，如中心對稱等，考查對函數(shù)性質(zhì)的深入理解。?含參函數(shù)分析：對于含參數(shù)的函數(shù)，常需進(jìn)行分類討論，分析參數(shù)對函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)的影響。?題目設(shè)置方面?通常設(shè)置多問，第一問相對基礎(chǔ)，多為求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、討論函數(shù)單調(diào)性等；后續(xù)問題逐漸深入，可能涉及到利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍等，綜合性強，對考生的邏輯推理、運算求解以及數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)要求較高。題型與分值：預(yù)計2025年新高考中，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用仍會以一道解答題（分值約15-17分）的形式出現(xiàn)，題目設(shè)置2-3問，具有一定的難度梯度。?函數(shù)性質(zhì)綜合考查：繼續(xù)圍繞函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值展開，可能會出現(xiàn)更復(fù)雜的函數(shù)形式，如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)等，考查考生對導(dǎo)數(shù)工具的熟練運用以及對函數(shù)性質(zhì)的綜合分析能力。?不等式證明與參數(shù)問題：不等式的證明和根據(jù)不等式恒成立或有解求參數(shù)范圍仍是重點?？赡軙Y(jié)合一些高等數(shù)學(xué)的思想方法，如放縮法等，增加證明的難度；參數(shù)問題會更加注重對參數(shù)取值范圍的精確討論和求解。?創(chuàng)新題型與跨模塊綜合：可能會出現(xiàn)一些創(chuàng)新題型，如函數(shù)的零點個數(shù)探究、函數(shù)圖象的交點問題等；也可能與其他知識模塊（如數(shù)列、解析幾何）進(jìn)行綜合，考查考生的綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維。?實際應(yīng)用背景：導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用可能會有所體現(xiàn)，如最優(yōu)化問題（成本最小化、利潤最大化等），將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解最值，考查考生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用意識。恒成立問題常見類型假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，（1）的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）能成立（有解）問題常見類型假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，（1）若的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比），則只需要②，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比），則只需要端點效應(yīng)的類型1.如果函數(shù)在區(qū)間上,恒成立,則或.2.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或,則或.洛必達(dá)法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型極值點偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點.如二次函數(shù)的頂點就是極值點，若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點偏移：若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點左偏；若，則稱為極值點右偏.如函數(shù)的極值點剛好在方程的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.極值點偏移問題的一般題設(shè)形式1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.極值點偏移的判定定理對于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏.證明：（1）因為對于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（小）值點，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）對數(shù)平均不等式兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．只證：當(dāng)時，．不失一般性，可設(shè)．證明如下：（I）先證：……①不等式①（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立；（II）再證：……②不等式②（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對，都有對數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．運用判定定理判定極值點偏移的方法（1）求出函數(shù)的極值點；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關(guān)系.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得．拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，在滿足定理條件的曲線上至少存在一點P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線．需要注意的地方（逆命題不成立）

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于

切線斜率,如fx=x3在拉格朗日公式還有下面幾種等價形式，，．注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數(shù)．顯然，當(dāng)時，．典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．典例6（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【名校預(yù)測·第一題】（2025·湖南長郡中學(xué)模擬）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍．【名校預(yù)測·第二題】（2025·湖南雅禮中學(xué)模擬）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明：．(2)當(dāng)時，證明：．【名校預(yù)測·第三題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是函數(shù)的極值點，求證：．【名校預(yù)測·第四題】（陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三第八次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個極值點，且，求a的取值范圍．【名校預(yù)測·第五題】（安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)當(dāng)時，，求的取值范圍．【名校預(yù)測·第六題】（遼寧省東北育才中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明：在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)，時，求的零點；(3)當(dāng)，時，若在上有2個零點，求b的取值范圍．【名師押題·第一題】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.【名師押題·第二題】已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，求證．【名師押題·第三題】已知函數(shù)．(1)若，求的極值；(2)若，討論的單調(diào)性．【名師押題·第四題】已知函數(shù).(1)當(dāng)時，若不等式恒成立，求的取值范圍；(2)若有兩個零點，，且.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【名師押題·第五題】已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的圖象不在直線的上方，求實數(shù)的值；(3)若，討論函數(shù)的零點個數(shù).圓錐曲線（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1615（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．求橢圓的離心率或離心率的取值范圍；根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)；根據(jù)橢圓過的點求標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓中三角形（四邊形）的面積2024年新高考II卷1917（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列；求直線與雙曲線的交點坐標(biāo)；向量夾角的坐標(biāo)表示2023年新高考I卷2212（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．求平面軌跡方程；求直線與拋物線相交所得弦的弦長；由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）；基本（均值）不等式的應(yīng)用2023年新高考II卷2112（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.直線的點斜式方程及辨析；根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線中的動點在定直線上問題2022年新高考I卷2112（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題；根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)2022年新高考II卷2112（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程；根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)；求雙曲線中的弦長；由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、斜率求參數(shù)近三年新高考數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題考查情況總結(jié)?考點方面?曲線方程與性質(zhì)：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，離心率、漸近線等幾何性質(zhì)的考查是核心。如根據(jù)已知點坐標(biāo)求橢圓離心率，由雙曲線焦點和離心率求標(biāo)準(zhǔn)方程。?直線與曲線的位置關(guān)系：?？疾橹本€與圓錐曲線相交的弦長、面積計算，利用韋達(dá)定理處理交點坐標(biāo)關(guān)系。例如通過直線與橢圓相交求三角形面積，或根據(jù)直線與雙曲線相交的條件求參數(shù)。?綜合應(yīng)用與證明：涉及數(shù)列與圓錐曲線的綜合（如證明數(shù)列是等比數(shù)列），以及點在定直線上的證明等。還包括軌跡方程的求解，如根據(jù)幾何條件求拋物線的軌跡方程。?題目設(shè)置方面?通常設(shè)置兩問或多問，第一問相對基礎(chǔ)，多為求曲線方程、離心率等基本量；第二問深入考查直線與圓錐曲線的綜合問題，如面積、定點定值、參數(shù)范圍等，對運算求解和邏輯推理能力要求較高，且可能與其他知識模塊（如數(shù)列）綜合，體現(xiàn)較強的綜合性。題型與分值：預(yù)計2025年新高考中，圓錐曲線仍會以一道解答題（分值約15-17分）的形式出現(xiàn)，題目設(shè)置2-3問，具有一定的難度梯度。?考查方向?曲線方程與性質(zhì)：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)依然是考查重點?？赡軙o出更隱蔽的條件，如通過曲線的幾何特征（焦點、頂點、漸近線關(guān)系等）求方程，或結(jié)合離心率的取值范圍考查對性質(zhì)的深入理解。?直線與曲線的綜合：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系仍是核心考點?？赡軙霈F(xiàn)面積的最值、弦長的定值、定點問題等，計算量較大，需要熟練運用韋達(dá)定理、設(shè)而不求等技巧。也可能與向量結(jié)合，通過向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算。?創(chuàng)新與綜合題型：可能會出現(xiàn)條件開放型題目，如給定多個條件選擇合適的條件進(jìn)行證明（類似2022年新高考Ⅱ卷）；或與數(shù)列、函數(shù)等知識綜合，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。還可能涉及一些實際背景的問題，如軌跡在實際場景中的應(yīng)用。?計算與推理能力：圓錐曲線解答題對計算能力和邏輯推理能力要求較高。2025年可