第8節(jié)　二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第8節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布INNOVATIVEDESIGN1.理解二項分布、超幾何分布的概念,能解決一些簡單的實際問題.

2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念,并進行簡單應(yīng)用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時對點精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.n重伯努利試驗

將一個伯努利試驗(____________________的試驗)獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.2.二項分布 (1)概念:在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=______________,k=0,1, 2,…,n,稱隨機變量X服從二項分布,記作___________. (2)期望與方差:E(X)=______,D(X)=_________.只包含兩個可能結(jié)果

X~B(n,p)npnp(1-p)

正態(tài)密度曲線x=μx=μ1⑤在參數(shù)σ取固定值時,正態(tài)曲線的位置由μ確定,且隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖1所示.σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”:σ越大,曲線越“胖”;σ越小,曲線越“瘦”,如圖2所示.

X~N(μ,σ2)μσ2常用結(jié)論與微點提醒1.兩點分布是當(dāng)n=1的二項分布,二項分布中的每次試驗的結(jié)果都服從兩點分布.2.當(dāng)X~B(n,p)時,且P給定:若(n+1)p是整數(shù),則k=(n+1)p或k=(n+1)p-1時,P(X=k)取得最大值.若(n+1)p非正整數(shù),則k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整數(shù))時,P(X=k)取得最大值.注:若均值為正整數(shù),則當(dāng)隨機變量k=np時,概率最大.3.若X~N(μ,σ2),則P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X>μ+a).√

√√×B

C

考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一

二項分布例1

(2025·福州模擬)電子商務(wù)在我國發(fā)展迅猛,網(wǎng)上購物已經(jīng)成為很多人的選擇.某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動,在網(wǎng)頁的界面上打出廣告:高級口香糖10元錢三瓶,有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味).小王點擊進入網(wǎng)頁一看,只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起,看不見具體口味,由購買者隨機點擊進行選擇(各種口味的高級口香糖均超過三瓶,且各種口味的瓶數(shù)相同,每點擊選擇一瓶后,網(wǎng)頁自動補充相應(yīng)的口香糖). (1)小王花10元錢買三瓶,請問小王收到貨的組合方式共有多少種?

(2)小王花10元錢買三瓶,由小王隨機點擊三瓶,請列出有小王喜歡的草莓味口香糖的瓶數(shù)ξ的分布列,并計算其數(shù)學(xué)期望和方差.

所以ξ的分布列為ξ0123P

思維建模判斷某隨機變量服從二項分布的關(guān)鍵點(1)在每一次試驗中,事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中,試驗的結(jié)果只有兩個,即發(fā)生與不發(fā)生.(4)隨機變量是n重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù).ABC

(2)(2025·長沙調(diào)研)某綜藝節(jié)目中,有一個盲擰魔方游戲,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況,某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調(diào)查;得到的情況如表所示:C用時/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]男性人數(shù)1522149女性人數(shù)511177以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率,代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率,每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試,其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是(

)A.2 B.3 C.4 D.5

考點二

超幾何分布例2

(2025·杭州調(diào)研)某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人模型,它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進行對話.聊天機器人模型的開發(fā)主要采用RLHF(人類反饋強化學(xué)習(xí))技術(shù),在測試它時,如果輸入的問題沒有語法錯誤,則它的回答被采納的概率為90%,當(dāng)出現(xiàn)語法錯誤時,它的回答被采納的概率為50%. (1)在某次測試中輸入了7個問題,聊天機器人模型的回答有5個被采納,現(xiàn)從這7個問題中抽取4個,以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;

ξ234P

(2)設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為p,若聊天機器人模型的回答被采納的概率為80%,求p的值.解

記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A,記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B,記“回答被采納”為事件C,由已知得,P(C)=0.8,P(C|A)=0.9,P(C|B)=0.5,P(B)=p,P(A)=1-p,∵P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.9(1-p)+0.5p=0.9-0.4p,∴0.9-0.4p=0.8,解得p=0.25.思維建模1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象的個數(shù);(3)從中抽取若干個個體,考查某類個體數(shù)X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質(zhì)是古典概型.

則隨機變量X的分布列為X0123P

考點三

正態(tài)分布

BC解析

由題意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.841

3,所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.841

3=0.158

7<0.2,所以A錯誤,B正確;因為Y~N(2.1,0.12),P(Y<2.2)≈0.841

3,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.841

3-0.5=0.341

3,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.341

3+0.5=0.841

3>0.8,所以C正確,D錯誤.(2)(2025·北京海淀區(qū)模擬)某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件,其質(zhì)量指標(biāo)介于(49.6,50.4)的為優(yōu)品,技術(shù)改造前,該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N(50,0.16);技術(shù)改造后,該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N(50,0.04).那么,該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差約為

.(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|<σ)≈0.682

7,P(|X-μ|<2σ)≈0.954

5,P(|X-μ|<3σ)≈0.997

3)

0.271

8解析

記技術(shù)改造前,該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)的均值為μ1,標(biāo)準差為σ1,技術(shù)改造后,該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)的均值為μ2,標(biāo)準差為σ2,由題知μ1=μ2=50,σ1=0.4,σ2=0.2,(49.6,50.4)=(μ1-σ1,μ1+σ1)=(μ2-2σ2,μ2+2σ2),所以技術(shù)改造前的優(yōu)品率約為0.682

7,技術(shù)改造后的優(yōu)品率約為0.954

5,優(yōu)品率之差約為0.954

5-0.682

7=0.271

8.思維建模解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(1)對稱軸為x=μ.(2)標(biāo)準差為σ.(3)分布區(qū)間.由μ,σ利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值,使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間,從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.訓(xùn)練3

(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中不正確的是(

) A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.σ越小,該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C.σ越小,該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D.σ越小,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等D

解析

對于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,所以測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大,故A正確;

對于B,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確;

對于C,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;

對于D,因為該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯誤.(2)(2025·東北四市調(diào)研)已知隨機變量X~N(4,42).若P(X<3)=0.3,則P(3<X<5)=

;若Y=2X+1,則Y的方差為

.

0.464解析

因為隨機變量X~N(4,42),所以P(X<3)=P(X>5)=0.3,所以P(3<X<5)=1-P(X<3)-P(X>5)=0.4,由題意可得D(X)=16.因為Y=2X+1,所以D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=64.微點突破二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系1.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布,學(xué)生對這兩種模型的定義不能很好地理解,一遇到“取”或“摸”的題型,就認為是超幾何分布,事實上,超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系,但也有明顯的區(qū)別.2.超幾何分布的抽取是不放回抽取,各次抽取不獨立,二項分布的抽取是有放回抽取,各次抽取相互獨立.當(dāng)超幾何分布所對應(yīng)的總體數(shù)量很大時可以近似地看作二項分布.一、以總體個數(shù)有限與無限區(qū)分兩種分布例1

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為[490,495],

(495,500],…,(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如圖).(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量;解

質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3,所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3=12(件).

X012P

Y012P二、以放回與不放回抽樣區(qū)分兩種分布例2

(多選)某工廠進行產(chǎn)品質(zhì)量抽測,兩位員工隨機從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品,已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品,員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件產(chǎn)品,員工B從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機抽取3件產(chǎn)品.設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X,員工B抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為Y,k=0,1,2,3.則下列判斷正確的是(

) A.隨機變量X服從二項分布 B.隨機變量Y服從超幾何分布 C.P(X=k)<P(Y=k) D.E(X)=E(Y)ABD

課時對點精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN

B2.(2025·唐山模擬)某地區(qū)5

000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X(單位:分)服從正態(tài)分布X~N(90,σ2),且成績在[90,100]的學(xué)生人數(shù)約為1

800,則估計成績在100分以上的學(xué)生人數(shù)為(

) A.200 B.700 C.1

400 D.2

500

解析

因為5

000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布X~N(90,σ2),

所以成績在90分以上(包括90分)的學(xué)生人數(shù)約為2

500,

又數(shù)學(xué)成績在[90,100]的學(xué)生人數(shù)約為1

800,

所以估計成績在100分以上的學(xué)生人數(shù)為2

500-1

800=700.B

B

C

D

A7.若隨機變量X~N(1,σ2),且正態(tài)分布N(1,σ2)

的正態(tài)密度曲線如圖所示,則下列