新疆哈密地區(qū)第二中高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年第二學(xué)期高二（18屆）數(shù)學(xué)學(xué)科期末考試試卷一、選擇題（共12小題,每小題5分，共60分）1、已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A。第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2、若集合，，則()A。B。C.D。3、中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難,此日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān)，要見此日行數(shù)里，請公仔仔細(xì)算相還”，其意思為:“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，請問第二天走了（）A。96里B。48里C。192里D。24里4、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）AB。C.D.5、已知，滿足則的最大值為（)A。3B。4C.6D。76、從5名學(xué)生中選出4名分別參加A,B，C,D四科競賽,其中甲不能參加C，D兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A。24B。48C.72D。1207、某班數(shù)學(xué)課代表給全班同學(xué)出了一道證明題，以下四人中只有一人說了真話，只有一人會證明此題。甲：我不會證明.乙：丙會證明。丙:丁會證明。丁:我不會證明。根據(jù)以上條件，可以判定會證明此題的人是（）A。甲B。乙C。丙D.丁8、某程序框圖如圖所示，運(yùn)行該程序時(shí)，輸出的S值是()A．44B．70C．102D．1409、已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線與的一條漸近線平行，交另一條漸近線于點(diǎn)，則（）A。B。C。D.10、已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A.B.C.D.11、已知函數(shù),則(）A。當(dāng)，有極大值為B.當(dāng),有極小值為C.當(dāng)，有極大值為0D.當(dāng),有極小值為012、如圖,△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，則·等于()A. B。C．2 D．3二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分)13、已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，則．14、函數(shù)的值域是．15、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和,滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和．16、若經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的直線與圓相切,則直線的斜率為．二、解答題（17題10分,其它各題每題12分,共70分）17、已知的內(nèi)角的對邊分別為，．(1)若，求；（2）若，，求．18、2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易數(shù)據(jù)顯示，天貓?jiān)┊?dāng)天全天的成交金額為315.5億元.為了了解網(wǎng)購者一次性購物情況，某統(tǒng)計(jì)部門隨機(jī)抽查了1月1日100名網(wǎng)購者的網(wǎng)購情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，已知網(wǎng)購金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0。4.(=1\＊ROMANI)先求出的值，再將如圖4所示的頻率分布直方圖繪制完整；（=2\*ROMANII）對這100名網(wǎng)購者進(jìn)一步調(diào)查顯示：購物金額在2000元以上的購物者中網(wǎng)齡3年以上的有35人，購物金額在2000元以下（含2000元）的購物者中網(wǎng)齡不足3年的有20人，請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表,并據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)？參考數(shù)據(jù):參考公式:，其中.19、如圖，已知四棱錐的底面為菱形，，,.(Ⅰ）線段AB上是否存在點(diǎn)M，使AB平面PCM？并給出證明。（Ⅱ）求二面角的余弦值。20、已知點(diǎn),橢圓E：的離心率為，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn),直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1）求橢圓E的方程；(2）設(shè)過點(diǎn)A的直線與橢圓E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程．21、已知函數(shù)f(x）=mex﹣lnx﹣1．（1）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）當(dāng)m≥1時(shí),證明:f（x）＞1．選做題：請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做則按所做的第一題記分．22、在直角坐標(biāo)系中,已知曲線（為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線,曲線.(1）求曲線與的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2）設(shè)點(diǎn),分別為曲線，上的動點(diǎn)，求的最小值.23、已知；（1）判斷的大小;（2）若，求證：中至少有一個(gè)的值小于2．參考答案一、單項(xiàng)選擇1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】A4、【答案】A5、【答案】D6、【答案】C【解析】∵從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B,C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽,∴可分為以下幾步：（1）先從5人中選出4人，分為兩種情況:有甲參加和無甲參加。有甲參加時(shí),選法有：＝4種；無甲參加時(shí),選法有：＝1種.（2）安排科目有甲參加時(shí)，先排甲，再排其它人。排法有:＝12種。無甲參加時(shí)，排法有＝24種.綜上，4×12+1×24=72.∴不同的參賽方案種數(shù)為727、【答案】A【解析】若丙說了真話，則甲必是假話,矛盾；若丁說了真話，則甲說的是假話，甲就是會證明的那個(gè)人，符合題意;以此類推。易得出答案：A。8、【答案】C【解析】解:模擬執(zhí)行程序框圖，可得K=1，S=0S=2，K=4不滿足條件S＞100,S=10,K=7不滿足條件S＞100,S=24,K=10不滿足條件S＞100,S=44，K=13不滿足條件S＞100，S=70，K=16不滿足條件S＞100，S=102，K=19滿足條件S＞100，退出循環(huán)，輸出S的值為102．故選：C．9、【答案】A【解析】由雙曲線,可得故,漸近線方程為不妨設(shè)的方程為代入方程解得。故選B．10、【答案】C【解析】過作，連接，由于,故平面,所以所求直線與平面所成的角為，設(shè)棱長為,則,故，.11、【答案】D【解析】依題意，原函數(shù)類似于二次函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，相當(dāng)于兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)圖像類似二次函數(shù)圖像，開口向上，且,故當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值為。12、【答案】B【解析】·＝·(－)＝·－·,因?yàn)镺A＝OB，所以在上的投影為||，所以·＝||·|｜＝2,同理·＝|｜·|｜＝，故·＝－2＝.二、填空題13、【答案】14、【答案】15、【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為、，根據(jù)題意建立方程組，解之得，數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的通項(xiàng)公式，則16、【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，,即，直線與圓相切，，解得,故答案為.三、解答題17、【答案】(1）；（2）。(1）由已知，結(jié)合正弦定理得：，于是或（舍）．因?yàn)?所以，，．（2）由題意及余弦定理可知，由(1)得即，聯(lián)立解得，．所以，。18、【答案】（=1\＊ROMANI)因?yàn)榫W(wǎng)購金額在2000元以上(不含2000元）的頻率為0.4，所以網(wǎng)購金額在的頻率為，即，且，從而，，相應(yīng)的頻率分布直方圖如圖3所示：（=2\＊ROMANII）相應(yīng)的列聯(lián)表為：由公式，因?yàn)?，所以?jù)此列聯(lián)表判斷，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0。025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)。19、【答案】試題解析:（Ⅰ）當(dāng)m是AB的中點(diǎn)時(shí)，AB⊥平面PCM∵AP=PB∴AB⊥PM又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°∴△ABC是正三角形∴AB⊥CM又PM∩CM=M∴AB⊥平面PCM(Ⅱ）（Ⅱ)由，，易求得，，∴，以為坐標(biāo)原點(diǎn),以，，分別為軸,軸，軸建立空間直坐標(biāo)系，則，，，,∴，,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，∴,∴，，∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,,∴，∴,，∴∴,∵二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.20、【答案】解：（1）．(2）由題可知，直線的斜率存在，故設(shè):,,．將代人中整理得當(dāng)即時(shí)，,．從而．點(diǎn)O到直線PQ的距離，所以的面積，設(shè)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，且滿足．所以，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的方程為或．21、【答案】（1）解：當(dāng)m=1時(shí)，f(x）=ex﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1)=e﹣1，f’（1)=e﹣1．…所以曲線y=f(x）在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程為y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1)x．…（2）證法一：當(dāng)m≥1時(shí)，f(x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．要證明f（x）＞1，只需證明ex﹣lnx﹣2＞0．…以下給出三種思路證明ex﹣lnx﹣2＞0．思路1：設(shè)g（x）=ex﹣lnx﹣2，則．設(shè)，則，所以函數(shù)h(x）=在（0,+∞)上單調(diào)遞增．…因?yàn)?，g’（1）=e﹣1＞0,所以函數(shù)在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)x0，且．…因?yàn)間'(x0）=0時(shí)，所以,即lnx0=﹣x0．…當(dāng)x∈（0，x0)時(shí),g'(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，+∞）時(shí),g’（x）＞0．所以當(dāng)x=x0時(shí),g（x）取得最小值g(x0）．…故．綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）＞1．…思路2:先證明ex≥x+1（x∈R）．…設(shè)h（x）=ex﹣x﹣1，則h’（x）=ex﹣1．因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，h’（x）＞0,所以當(dāng)x＜0時(shí),函數(shù)h(x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．所以h（x）≥h(0）=0．所以ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號)．…所以要證明ex﹣lnx﹣2＞0，只需證明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．…下面證明x﹣lnx﹣1≥0．設(shè)p（x）=x﹣lnx﹣1,則．當(dāng)0＜x＜1時(shí),p'（x)＜0，當(dāng)x＞1時(shí),p’（x）＞0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)p（x)單調(diào)遞減,當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)p（x)單調(diào)遞增．所以p（x）≥p（1）=0．所以x﹣lnx﹣1≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號）．…由于取等號的條件不同，所以ex﹣lnx﹣2＞0．綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí),f(x)＞1．…（若考生先放縮lnx，或ex、lnx同時(shí)放縮，請參考此思路給分!）思路3：先證明ex﹣lnx＞2．因?yàn)榍€y=ex與曲線y=lnx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，設(shè)直線x=t（t＞0）與曲線y=ex，y=lnx分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A，B到直線y=x的距離分別為d1，d2,則．其中，（t＞0）．①設(shè)h（t)=et﹣t（t＞0），則h'(t）=et﹣1．因?yàn)閠＞0,所以h’（t）=et﹣1＞0．所以h（t)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則h（t）＞h（0）=1．所以．②設(shè)g（t）=t﹣lnt（t＞0），則．因?yàn)楫?dāng)0＜t＜1時(shí),g’（t)＜0；當(dāng)t＞1時(shí)，g’（t）＞0，所以當(dāng)0＜t＜1時(shí),g（t）=t﹣lnt單調(diào)遞減；當(dāng)t＞1時(shí)，g(t）=t﹣lnt單調(diào)遞增．所以g（t）≥g(1)=1．所以．所以．綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）＞1．…證法二:因?yàn)閒(x)=mex﹣lnx﹣1，要證明f（x）＞1，只需證明mex﹣lnx﹣2＞0．…以下給出兩種思路證明mex﹣lnx﹣2＞0．思路1:設(shè)g(x)=mex﹣lnx﹣2，則．設(shè)，則．所以函數(shù)h（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…因?yàn)椋琯’（1）=me﹣1＞0,所以函數(shù)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn)x0，且．…因?yàn)間’（x0）=0，所以，即lnx0=﹣x0﹣lnm．…當(dāng)x∈（0，x0)時(shí)，g’（x）＜0;當(dāng)x∈（x0，+∞)時(shí)，g'(x)＞0．所以當(dāng)x=x0時(shí)，g（x）取得最小值g（x0）．…故．綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f(x)＞1．…思路2：先證明ex≥x+1（x∈R)，且lnx≤x+1(x＞0)．…設(shè)F(x)=ex﹣x﹣1,則F’（x）=ex﹣1．因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí),F’（x）＜0;當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)’（x）＞0，所以F（x）在(﹣∞，0）上單調(diào)遞減,在（0，+∞）上單調(diào)遞增．所以當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號）．…由ex≥x+1（x∈R)，得ex﹣1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號）．…再證明mex﹣lnx﹣2＞0．因?yàn)閤