一元n次方程的韋達定理證明

一元n次方程的韋達定理證明一、一元n次方程韋達定理的基礎(chǔ)一元n次方程是數(shù)學(xué)中很重要的方程形式，像一元二次方程我們比較熟悉。一元n次方程的一般形式是\(a_{n}x^{n}a_{n1}x^{n1}\cdotsa_{1}xa_{0}=0\)，這里\(a_{n}\neq0\)。韋達定理在解決一元n次方程的根與系數(shù)關(guān)系上有著獨特的意義。對于一元二次方程\(ax^{2}bxc=0\)，它的韋達定理我們可能比較熟悉，兩根之和\(x_{1}x_{2}=\frac{a}\)，兩根之積\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)。那對于一元n次方程的韋達定理是怎么回事呢？我們要從根的概念說起，方程的根就是使得方程成立的未知數(shù)的值。在一元n次方程中，根的情況比較復(fù)雜，但是韋達定理能很好地揭示根與系數(shù)的關(guān)系。二、一元n次方程韋達定理的表述設(shè)一元n次方程\(a_{n}x^{n}a_{n1}x^{n1}\cdotsa_{1}xa_{0}=0\)的\(n\)個根為\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)。韋達定理表述為：\(x_{1}x_{2}\cdotsx_{n}=\frac{a_{n1}}{a_{n}}\)；\(x_{1}x_{2}x_{1}x_{3}\cdotsx_{n1}x_{n}=\frac{a_{n2}}{a_{n}}\)；\(x_{1}x_{2}x_{3}x_{1}x_{2}x_{4}\cdotsx_{n2}x_{n1}x_{n}=\frac{a_{n3}}{a_{n}}\)等等。這些式子看起來很復(fù)雜，但是它們有著深刻的內(nèi)涵。通過這些式子，我們可以根據(jù)方程的系數(shù)直接得到根之間的一些關(guān)系，而不需要先求出根的具體值。這在很多數(shù)學(xué)問題中是非常方便的，比如在一些關(guān)于方程根的存在性、根的范圍等問題的討論中。三、韋達定理的證明思路要證明一元n次方程的韋達定理，我們可以從方程的因式分解形式入手。如果\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)是方程\(a_{n}x^{n}a_{n1}x^{n1}\cdotsa_{1}xa_{0}=0\)的根，那么這個方程可以寫成\(a_{n}(xx_{1})(xx_{2})\cdots(xx_{n})=0\)。然后我們將這個式子展開。展開后的式子中，\(x^{n}\)的系數(shù)是\(a_{n}\)，\(x^{n1}\)的系數(shù)是\(a_{n}(x_{1}x_{2}\cdotsx_{n})\)，\(x^{n2}\)的系數(shù)是\(a_{n}(x_{1}x_{2}x_{1}x_{3}\cdotsx_{n1}x_{n})\)等等。對比原方程\(a_{n}x^{n}a_{n1}x^{n1}\cdotsa_{1}xa_{0}=0\)中各項的系數(shù)，我們就可以得到韋達定理中的各個式子。例如，對于\(x^{n1}\)的系數(shù)，在\(a_{n}(xx_{1})(xx_{2})\cdots(xx_{n})\)展開式中\(zhòng)(x^{n1}\)的系數(shù)為\(a_{n}(x_{1}x_{2}\cdotsx_{n})\)，而原方程中\(zhòng)(x^{n1}\)的系數(shù)是\(a_{n1}\)，所以\(x_{1}x_{2}\cdotsx_{n}=\frac{a_{n1}}{a_{n}}\)。四、韋達定理證明的具體展開我們來具體展開\(a_{n}(xx_{1})(xx_{2})\cdots(xx_{n})\)。先看兩個因式相乘\((xx_{1})(xx_{2})=x^{2}(x_{1}x_{2})xx_{1}x_{2}\)。當(dāng)有三個因式相乘\((xx_{1})(xx_{2})(xx_{3})=x^{3}(x_{1}x_{2}x_{3})x^{2}(x_{1}x_{2}x_{1}x_{3}x_{2}x_{3})xx_{1}x_{2}x_{3}\)。按照這樣的規(guī)律，當(dāng)有\(zhòng)(n\)個因式相乘時，展開式中\(zhòng)(x^{n1}\)的系數(shù)是\((x_{1}x_{2}\cdotsx_{n})\)乘以\(a_{n}\)，就像前面說的，和原方程中\(zhòng)(x^{n1}\)的系數(shù)\(a_{n1}\)對比，得到\(x_{1}x_{2}\cdotsx_{n}=\frac{a_{n1}}{a_{n}}\)。對于\(x^{n2}\)的系數(shù)，在\(n\)個因式相乘的展開式中，它是由從\(n\)個根中選兩個根的乘積之和，再乘以\(a_{n}\)得到的。這個系數(shù)和原方程中\(zhòng)(x^{n2}\)的系數(shù)\(a_{n2}\)相等，從而得到\(x_{1}x_{2}x_{1}x_{3}\cdotsx_{n1}x_{n}=\frac{a_{n2}}{a_{n}}\)。依此類推，我們可以完成韋達定理的證明。五、韋達定理的意義與應(yīng)用韋達定理在數(shù)學(xué)中有很多意義。它在代數(shù)領(lǐng)域是一個很重要的工具。在解決一些關(guān)于方程根的組合問題時非常方便。比如已知一個一元n次方程的系數(shù)，我們可以通過韋達定理快速得到根之間的一些關(guān)系，而不需要去求解方程的根。在實際的數(shù)學(xué)解題中，有時候我們不需要知道根的確切值，只需要知道根之間的關(guān)系，韋達定理就可以派上用場。在數(shù)學(xué)競賽中，韋達定理也經(jīng)常被用到。例如有這樣的問題，已知一個方程的根滿足某些關(guān)系，求方程的系數(shù)或者其他相關(guān)量。通過韋