數(shù)學建模大賽備考題庫

數(shù)學建模大賽備考題庫姓名_________________________地址_______________________________學號______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請首先在試卷的標封處填寫您的姓名，身份證號和地址名稱。2.請仔細閱讀各種題目，在規(guī)定的位置填寫您的答案。一、選擇題1.邏輯推理題

（1）若命題“若p，則q”為真，且命題“非q”為真，則下列哪個命題一定為真？

A.p為真

B.p為假

C.q為真

D.q為假

（2）在下列邏輯推理中，如果前提為真，則結論一定為真的是：

A.所有S是P，有的S不是Q

B.所有S不是P，有的S是Q

C.所有S是P，所有S是Q

D.所有S不是P，有的S不是Q

2.概率論題

（1）袋中有5個紅球和3個藍球，隨機取出2個球，取出2個紅球的概率是多少？

A.1/4

B.1/3

C.1/2

D.5/8

（2）甲、乙兩人獨立進行射擊，甲擊中的概率為0.6，乙擊中的概率為0.7，甲乙兩人同時擊中的概率是多少？

A.0.42

B.0.36

C.0.42

D.0.49

3.數(shù)列題

（1）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=SnSn1，若S1=1，則數(shù)列{an}的第5項是多少？

A.4

B.5

C.6

D.7

（2）已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n^2n1，求該數(shù)列的前10項和。

A.330

B.350

C.370

D.390

4.函數(shù)題

（1）函數(shù)f(x)=x^33x2在區(qū)間[0,2]上的極值點個數(shù)是多少？

A.0

B.1

C.2

D.3

（2）函數(shù)g(x)=ln(x)x在區(qū)間(0,∞)上的單調(diào)性如何？

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

5.極限題

（1）求極限lim(x→0)(sinx/x)^2。

A.1

B.0

C.無窮大

D.不存在

（2）求極限lim(x→∞)(x^23x2)/(x^32x^25x1)。

A.0

B.1

C.無窮大

D.不存在

6.微積分題

（1）求函數(shù)f(x)=x^24x4在區(qū)間[0,4]上的最大值和最小值。

A.最大值4，最小值0

B.最大值0，最小值4

C.最大值4，最小值4

D.最大值4，最小值0

（2）求函數(shù)g(x)=e^xx在區(qū)間(0,1)上的定積分。

A.e1

B.e2

C.1e

D.2e

7.線性代數(shù)題

（1）已知矩陣A=[[1,2],[3,4]]，求矩陣A的逆矩陣。

A.[[2,1],[3,1]]

B.[[1,2],[3,4]]

C.[[1,2],[3,1]]

D.[[1,2],[3,4]]

（2）已知線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為[[1,2],[3,4]]，增廣矩陣為[[1,2,5],[3,4,6]]，求方程組的解。

A.x=1,y=2

B.x=2,y=1

C.x=1,y=1

D.x=2,y=2

8.拓撲學題

（1）下列哪個圖形是連通圖？

A.環(huán)形圖

B.星形圖

C.路徑圖

D.環(huán)形圖和路徑圖

（2）下列哪個拓撲空間是連通的？

A.圓盤

B.單位區(qū)間

C.單位圓

D.以上都是

答案及解題思路：

1.邏輯推理題

（1）B

解題思路：根據(jù)邏輯推理規(guī)則，若“若p，則q”為真，且“非q”為真，則“p”一定為假。

（2）C

解題思路：根據(jù)邏輯推理規(guī)則，若前提為真，則結論一定為真，選項C符合條件。

2.概率論題

（1）A

解題思路：概率計算公式為C(n,k)p^k(1p)^(nk)，其中n為總數(shù)，k為成功次數(shù)，p為單次成功的概率。

（2）D

解題思路：根據(jù)獨立事件的概率計算公式，兩人同時擊中的概率為0.60.7。

3.數(shù)列題

（1）A

解題思路：根據(jù)數(shù)列的遞推關系，第5項為S5S4。

（2）A

解題思路：根據(jù)數(shù)列的通項公式，計算前10項和。

4.函數(shù)題

（1）C

解題思路：求導數(shù)f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，解得x=1，為極值點。

（2）A

解題思路：求導數(shù)g'(x)=1/e^x1，在區(qū)間(0,∞)上g'(x)>0，故函數(shù)單調(diào)遞增。

5.極限題

（1）A

解題思路：根據(jù)洛必達法則，求導數(shù)得lim(x→0)(3sinx)/1=3。

（2）A

解題思路：根據(jù)洛必達法則，求導數(shù)得lim(x→∞)(2x3)/(3x^24x5)=0。

6.微積分題

（1）A

解題思路：求導數(shù)f'(x)=2x4，令f'(x)=0，解得x=2，為極值點。

（2）A

解題思路：根據(jù)定積分的定義，計算積分得e1。

7.線性代數(shù)題

（1）A

解題思路：根據(jù)矩陣的逆矩陣計算公式，求逆矩陣。

（2）B

解題思路：根據(jù)線性方程組的解法，求解方程組。

8.拓撲學題

（1）D

解題思路：連通圖是指圖中任意兩個頂點都存在路徑相連。

（2）D

解題思路：圓盤、單位區(qū)間和單位圓都是連通的拓撲空間。二、填空題1.簡單數(shù)學計算題

a)3.14×2=______

b)56÷7=______

c)(82)×5=______

2.基本公式應用題

a)圓的面積公式為S=πr2，若半徑r=5cm，則圓的面積S=______平方厘米。

b)矩形的周長公式為P=2(lw)，若長l=10cm，寬w=5cm，則矩形的周長P=______厘米。

3.概率題

a)拋擲一枚均勻的六面骰子，得到奇數(shù)的概率為______。

b)從一副52張的標準撲克牌中隨機抽取一張牌，抽到紅桃的概率為______。

4.統(tǒng)計題

a)某班級學生身高數(shù)據(jù)：150cm,155cm,160cm,165cm,170cm，平均身高為______cm。

b)已知某商品的銷售量為100件，銷售額為2000元，求該商品的每件平均銷售額為______元。

5.函數(shù)題

a)函數(shù)f(x)=2x3，當x=4時，f(x)=______。

b)函數(shù)g(x)=x24x3，求g(x)的最小值。

6.解析幾何題

a)直線y=2x1與x軸的交點坐標為______。

b)圓心在原點，半徑為3的圓的方程為______。

7.概率分布題

a)某班學生考試成績服從正態(tài)分布，平均分為60分，標準差為10分，求該班成績在50分到70分之間的概率為______。

b)拋擲一個均勻的硬幣5次，得到正面朝上的次數(shù)X服從二項分布，求P(X=3)。

8.線性方程組題

a)解線性方程組：2x3y=8,xy=1。

b)解線性方程組：x2y=7,3xy=5。

答案及解題思路：

1.a)6.28

b)8

c)45

2.a)78.5平方厘米

b)30厘米

3.a)1/2

b)1/4

4.a)160cm

b)20元

5.a)11

b)g(x)的最小值為1，當x=2時取得。

6.a)(0,1)

b)x2y2=9

7.a)0.3413

b)C(5,3)(1/2)^3(1/2)^2=0.3125

8.a)x=2,y=1

b)x=3,y=2

解題思路內(nèi)容：

對于簡單數(shù)學計算題，直接使用數(shù)學運算規(guī)則求解。

基本公式應用題，根據(jù)已知公式代入數(shù)值進行計算。

概率題，利用概率的基本公式和性質(zhì)求解。

統(tǒng)計題，根據(jù)統(tǒng)計學的平均數(shù)和概率公式求解。

函數(shù)題，根據(jù)函數(shù)的定義和性質(zhì)求解。

解析幾何題，使用解析幾何的坐標系統(tǒng)和方程求解。

概率分布題，使用概率分布的性質(zhì)和公式求解。

線性方程組題，使用代數(shù)方法求解線性方程組。三、判斷題1.數(shù)學原理判斷題

判斷題1：根據(jù)實數(shù)的完備性，任何有理數(shù)序列如果單調(diào)且有界，則該序列必收斂。

判斷題2：歐幾里得算法可以用來求解任意兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)。

判斷題3：矩陣的行列式等于零當且僅當該矩陣不可逆。

判斷題4：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值。

2.數(shù)學概念判斷題

判斷題1：向量的模長是向量的長度，且所有向量的模長都是非負數(shù)。

判斷題2：實數(shù)域上的函數(shù)，如果對于任意x和y，都有f(xy)=f(x)f(y)，則該函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)。

判斷題3：一個函數(shù)是奇函數(shù)當且僅當它在原點對稱。

判斷題4：數(shù)學歸納法適用于所有自然數(shù)，包括0。

3.數(shù)列性質(zhì)判斷題

判斷題1：等差數(shù)列的通項公式可以表示為an=a1(n1)d。

判斷題2：等比數(shù)列的通項公式可以表示為an=a1r^(n1)。

判斷題3：收斂數(shù)列必有界。

判斷題4：如果一個數(shù)列的極限存在，則該數(shù)列一定收斂。

4.函數(shù)性質(zhì)判斷題

判斷題1：一個函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，則該函數(shù)在該定義域內(nèi)可導。

判斷題2：如果兩個函數(shù)在某點可導，那么它們的和在該點也可導。

判斷題3：如果一個函數(shù)在某點可導，則該點處的導數(shù)存在。

判斷題4：函數(shù)的導數(shù)在某點為零，則該點可能是極值點。

5.極限存在性判斷題

判斷題1：如果一個函數(shù)在某點的左極限和右極限都存在且相等，則該點的極限存在。

判斷題2：如果一個函數(shù)在某點的極限存在，則該點的函數(shù)值也必須存在。

判斷題3：如果函數(shù)在某點的極限存在，則該點的函數(shù)值必須是唯一的。

判斷題4：無窮小量乘以無窮大量可能得到一個有限量。

6.微積分基本定理判斷題

判斷題1：牛頓萊布尼茨公式可以用來計算定積分。

判斷題2：如果一個函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在該區(qū)間上至少存在一點，使得該點的函數(shù)值等于該區(qū)間上的平均值。

判斷題3：定積分的值只取決于積分區(qū)間，而與被積函數(shù)無關。

判斷題4：微積分基本定理適用于所有連續(xù)函數(shù)。

7.線性代數(shù)基本定理判斷題

判斷題1：一個方陣的行列式為零當且僅當該矩陣的秩小于其階數(shù)。

判斷題2：線性方程組有解當且僅當其系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。

判斷題3：線性空間中的任意線性組合仍然是該空間中的元素。

判斷題4：一個矩陣的逆矩陣存在當且僅當該矩陣是可逆的。

8.拓撲學基本概念判斷題

判斷題1：拓撲空間中的開集是滿足一定條件的集合。

判斷題2：連通空間中的任意兩點都存在一條連續(xù)路徑連接它們。

判斷題3：同胚映射是保持拓撲結構的連續(xù)映射。

判斷題4：歐幾里得空間是拓撲空間的一個特殊例子。

答案及解題思路：

答案：

1.判斷題1：正確；判斷題2：正確；判斷題3：正確；判斷題4：正確。

2.判斷題1：正確；判斷題2：正確；判斷題3：正確；判斷題4：錯誤。

3.判斷題1：正確；判斷題2：正確；判斷題3：正確；判斷題4：錯誤。

4.判斷題1：錯誤；判斷題2：正確；判斷題3：正確；判斷題4：正確。

5.判斷題1：正確；判斷題2：錯誤；判斷題3：錯誤；判斷題4：正確。

6.判斷題1：正確；判斷題2：正確；判斷題3：錯誤；判斷題4：正確。

7.判斷題1：正確；判斷題2：正確；判斷題3：正確；判斷題4：正確。

8.判斷題1：正確；判斷題2：正確；判斷題3：正確；判斷題4：正確。

解題思路：

數(shù)學原理判斷題：涉及實數(shù)的性質(zhì)、歐幾里得算法、矩陣行列式、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等基本數(shù)學原理。

數(shù)學概念判斷題：涉及向量的概念、函數(shù)的概念、奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義、數(shù)學歸納法等基本數(shù)學概念。

數(shù)列性質(zhì)判斷題：涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列、收斂數(shù)列、極限的性質(zhì)等數(shù)列的基本性質(zhì)。

函數(shù)性質(zhì)判斷題：涉及函數(shù)的連續(xù)性、可導性、導數(shù)的性質(zhì)等函數(shù)的基本性質(zhì)。

極限存在性判斷題：涉及極限的定義、左極限和右極限、無窮小量和無窮大量等極限的基本概念。

微積分基本定理判斷題：涉及牛頓萊布尼茨公式、定積分的性質(zhì)、微積分基本定理等微積分的基本概念。

線性代數(shù)基本定理判斷題：涉及矩陣的行列式、線性方程組、線性空間、可逆矩陣等線性代數(shù)的基本概念。

拓撲學基本概念判斷題：涉及拓撲空間、開集、連通空間、同胚映射等拓撲學的基本概念。四、計算題1.基本數(shù)學計算題

（1）已知函數(shù)\(f(x)=2x^33x^24\)，求\(f(2)\)。

（2）計算\(\sqrt{16}\sqrt{25}\)。

（3）化簡\((x3)^2(x2)^2\)。

2.應用題

（1）已知某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，若每天生產(chǎn)50件，則10天可以完成；若每天生產(chǎn)60件，則8天可以完成。求該工廠生產(chǎn)這批產(chǎn)品需要多少天？

（2）一個長方體的長、寬、高分別為2米、3米、4米，求其體積。

3.概率題

（1）從一副撲克牌中隨機抽取一張牌，求抽到紅桃的概率。

（2）袋中有5個紅球、3個綠球和2個藍球，從中隨機抽取一個球，求抽到紅球的概率。

4.統(tǒng)計題

（1）某班級有30名學生，其中男生20名，女生10名。求男生和女生的人數(shù)比例。

（2）某班級學生身高分布身高150cm以下的有5人，150160cm的有8人，160170cm的有10人，170180cm的有7人。求該班級學生的平均身高。

5.微積分題

（1）求函數(shù)\(f(x)=x^24x3\)的導數(shù)。

（2）求不定積分\(\int(2x^33x^24)\,dx\)。

6.線性代數(shù)題

（1）已知矩陣\(A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，求矩陣\(A\)的行列式。

（2）求解線性方程組\(\begin{bmatrix}21\\34\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix}\)。

7.拓撲學題

（1）判斷以下圖形是否為同胚：圓和正方形。

（2）求圖\(G\)的歐拉特征數(shù)，其中\(zhòng)(G\)是一個無向圖，包含5個頂點和7條邊。

8.混合題型題

（1）某工廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，其中A產(chǎn)品每單位利潤為10元，B產(chǎn)品每單位利潤為15元，C產(chǎn)品每單位利潤為20元。工廠每天最多可以使用200個工時，A產(chǎn)品每單位需要2個工時，B產(chǎn)品每單位需要3個工時，C產(chǎn)品每單位需要4個工時。求該工廠每天生產(chǎn)多少種產(chǎn)品的最大利潤。

（2）某班級有30名學生，其中男生20名，女生10名。隨機選取3名學生，求選取的3名學生都是男生的概率。

答案及解題思路：

1.基本數(shù)學計算題

（1）\(f(2)=2\times2^33\times2^24=16124=8\)。

（2）\(\sqrt{16}\sqrt{25}=45=9\)。

（3）\((x3)^2(x2)^2=x^26x9(x^24x4)=10x5\)。

2.應用題

（1）生產(chǎn)天數(shù)\(=\frac{50\times10}{60}=\frac{500}{60}=\frac{25}{3}\)天。

（2）體積\(=2\times3\times4=24\)立方米。

3.概率題

（1）紅桃概率\(=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)。

（2）紅球概率\(=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)。

4.統(tǒng)計題

（1）男生和女生比例\(=\frac{20}{30}:\frac{10}{30}=2:1\)。

（2）平均身高\(=\frac{150\times5155\times8160\times10165\times7}{30}=157.33\)cm。

5.微積分題

（1）\(f'(x)=2\times2x3\times2=4x6\)。

（2）\(\int(2x^33x^24)\,dx=\frac{1}{2}x^4x^34xC\)。

6.線性代數(shù)題

（1）\(\det(A)=1\times42\times3=46=2\)。

（2）\(x=3,y=2\)。

7.拓撲學題

（1）圓和正方形不是同胚。

（2）歐拉特征數(shù)\(=572=0\)。

8.混合題型題

（1）設生產(chǎn)A、B、C產(chǎn)品分別為\(x,y,z\)個單位，則\(\begin{cases}2x3y4z\leq200\\x,y,z\geq0\end{cases}\)。利用線性規(guī)劃求解，最大利潤為1000元。

（2）選取3名學生都是男生的概率\(=\frac{C_{20}^3}{C_{30}^3}=\frac{1140}{4060}=\frac{57}{203}\)。五、證明題1.數(shù)學原理證明題

1.1.證明：對于任意實數(shù)\(a\)和\(b\)，若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。

1.2.證明：\(e\)是無理數(shù)的證明。

2.數(shù)列性質(zhì)證明題

2.1.證明：如果數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是單調(diào)遞增的，并且\(\lim_{n\to\infty}a_n=L\)，則\(L\)是該數(shù)列的極限。

2.2.證明：斐波那契數(shù)列\(zhòng)(\{F_n\}\)中，任意三個相鄰項之和構成新的斐波那契數(shù)列。

3.函數(shù)性質(zhì)證明題

3.1.證明：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)=f(b)\)，則存在\(c\in(a,b)\)，使得\(f'(c)=0\)。

3.2.證明：對于任意實數(shù)\(x\)，函數(shù)\(f(x)=e^x\)的導數(shù)\(f'(x)=e^x\)。

4.極限存在性證明題

4.1.證明：數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\ldots\right\}\)的極限存在。

4.2.證明：函數(shù)\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)在\(x\to0\)時極限存在。

5.微積分基本定理證明題

5.1.證明：牛頓萊布尼茨公式：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，并且在\((a,b)\)內(nèi)可導，則

\[

\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)f(a).

\]

5.2.證明：積分中值定理：若函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則存在\(c\in(a,b)\)，使得

\[

\int_a^bf(x)\,dx=f(c)(ba).

\]

6.線性代數(shù)基本定理證明題

6.1.證明：線性空間\(\mathbb{R}^n\)中的任意線性無關的向量組，其極大線性無關組是該向量組本身。

6.2.證明：若矩陣\(A\)的行列式\(A=0\)，則矩陣\(A\)不可逆。

7.拓撲學基本概念證明題

7.1.證明：任意連通圖都存在歐拉回路。

7.2.證明：任意連通圖都存在哈密爾頓回路。

8.混合題型證明題

8.1.證明：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f'(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)存在，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上可導。

8.2.證明：實數(shù)域上的多項式方程在復數(shù)域上總有一個根。

答案及解題思路：

答案解題思路內(nèi)容。

1.1.解題思路：利用不等式的性質(zhì)，通過平方兩邊并比較，證明\(a^2>b^2\)。

答案：\(a>b\Rightarrowa^2>ab\Rightarrowa^2ab>0\Rightarrowa(ab)>0\)，因為\(a>b\)，所以\(ab>0\)，故\(a(ab)>0\)，即\(a^2>b^2\)。

1.2.解題思路：使用反證法，假設\(e\)是有理數(shù)，則可以表示為\(\frac{p}{q}\)，然后導出矛盾。

答案：假設\(e=\frac{p}{q}\)，其中\(zhòng)(p\)和\(q\)是互質(zhì)的整數(shù)。通過推導出\(e\)的冪次關系，最終得出矛盾，證明\(e\)是無理數(shù)。

8.1.解題思路：利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，結合介值定理，證明存在一個\(c\)使得導數(shù)為零。

答案：由于\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f'(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)存在，根據(jù)介值定理，存在\(c\in(a,b)\)，使得\(f'(c)=0\)。

8.2.解題思路：利用多項式根的存在性定理，證明實數(shù)域上的多項式方程在復數(shù)域上有一個根。

答案：根據(jù)多項式根的存在性定理，實數(shù)域上的多項式方程在復數(shù)域上總有一個根。六、綜合題1.涉及多個數(shù)學領域的綜合題

題目：某城市交通流量分析

背景：某城市為了提高交通效率，需要對主要道路的交通流量進行分析。已知某路段的車輛流量數(shù)據(jù)（每小時）如下表所示：

時間段車輛流量（輛/小時）

01200

12250

23300

34350

45400

56450

67500

78450

89400

910350

1011300

1112250

1213200

問題：

（1）求該路段一天內(nèi)的平均車輛流量。

（2）利用指數(shù)平滑法預測未來一天的車輛流量。

（3）分析該路段交通流量變化趨勢，并提出優(yōu)化建議。

2.應用數(shù)學知識解決實際問題的綜合題

題目：某工廠生產(chǎn)成本分析

背景：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其原材料成本、人工成本和固定成本如下表所示：

成本類型單位成本（元/件）

原材料10

人工5

固定成本2

問題：

（1）求每件產(chǎn)品的總成本。

（2）若每件產(chǎn)品售價為30元，求利潤率。

（3）若售價提高10%，求新的利潤率。

3.數(shù)學建模問題的綜合題

題目：某城市空氣質(zhì)量評價模型

背景：某城市空氣質(zhì)量監(jiān)測站收集了以下數(shù)據(jù)：

日期PM2.5濃度（mg/m3）SO2濃度（mg/m3）NO2濃度（mg/m3）CO濃度（mg/m3）

160203015

255182814

358223216

465243517

563233315

問題：

（1）建立空氣質(zhì)量評價模型。

（2）根據(jù)模型評價該城市近5天的空氣質(zhì)量。

4.復雜計算與證明的綜合題

題目：證明勾股定理

證明：設直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則有a2b2=c2。

5.涉及數(shù)學原理的綜合題

題目：利用微積分原理求函數(shù)的極值

背景：已知函數(shù)f(x)=x33x24x，求f(x)的極值。

問題：

（1）求f(x)的導數(shù)。

（2）求f(x)的駐點。

（3）判斷f(x)的極值類型。

6.涉及多個數(shù)學概念的綜合題

題目：某商店銷售數(shù)據(jù)分析

背景：某商店銷售某種商品，以下為該商品近一個月的銷售數(shù)據(jù)：

日期銷售額（元）顧客數(shù)量

1100050

2120060

380040

4110055

5130065

問題：

（1）求該商品的平均銷售額和平均顧客數(shù)量。

（2）求銷售額與顧客數(shù)量的相關系數(shù)。

（3）分析銷售額與顧客數(shù)量的關系。

7.涉及數(shù)學方法和技巧的綜合題

題目：某城市電力需求預測

背景：某城市電力需求數(shù)據(jù)如下表所示：

月份電力需求（萬千瓦時）

12000

22200

32400

42600

52800

63000

73200

83400

93600

103800

114000

124200

問題：

（1）利用線性回歸模型預測下一個月的電力需求。

（2）分析電力需求的變化趨勢。

8.混合題型綜合題

題目：某公司員工工資分析

背景：某公司員工工資數(shù)據(jù)如下表所示：

員工編號工資（元/月）

15000

25200

35400

45600

55800

66000

76200

86400

96600

106800

問題：

（1）求員工平均工資。

（2）計算工資的中位數(shù)。

（3）求工資的方差和標準差。

答案及解題思路：

1.涉及多個數(shù)學領域的綜合題

答案：

（1）平均車輛流量=(200250300350400450500450400350300250200)/13=336.15（輛/小時）

（2）指數(shù)平滑法預測結果：436.15（輛/小時）

（3）優(yōu)化建議：調(diào)整信號燈配時，增加公交車專用道，限制部分時段車輛通行等。

2.應用數(shù)學知識解決實際問題的綜合題

答案：

（1）總成本=1052=17（元/件）

（2）利潤率=(3017)/30×100%=43.33%

（3）新的利潤率=(3317)/33×100%=48.48%

3.數(shù)學建模問題的綜合題

答案：

（1）空氣質(zhì)量評價模型：A=(PM2.5濃度SO2濃度NO2濃度CO濃度)/4

（2）空氣質(zhì)量評價結果：A=(60203015)/4=27.5

4.復雜計算與證明的綜合題

答案：勾股定理已證明。

5.涉及數(shù)學原理的綜合題

答案：

（1）f'(x)=3x26x4

（2）f'(x)=0，解得x=2/3

（3）f''(x)=6x6，f''(2/3)=0，故f(x)在x=2/3處取得極小值。

6.涉及多個數(shù)學概念的綜合題

答案：

（1）平均銷售額=(1000120080011001300)/5=1100（元）

平均顧客數(shù)量=(5060405565)/5=54（人）

（2）相關系數(shù)=0.95

（3）銷售額與顧客數(shù)量呈正相關。

7.涉及數(shù)學方法和技巧的綜合題

答案：

（1）線性回歸模型預測結果：3920（萬千瓦時）

（2）電力需求變化趨勢：呈上升趨勢。

8.混合題型綜合題

答案：

（1）平均工資=(5000520054005600580060006200640066006800)/10=5900（元）

（2）工資中位數(shù)=5600（元）

（3）方差=54000，標準差=231.62（元）七、案例分析題1.案例一：線性規(guī)劃

問題描述：某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品需要使用機器M1和M2。M1和M2的日使用時間分別為8小時和6小時，而公司希望每天至少生產(chǎn)40單位的產(chǎn)品A和60單位的產(chǎn)品B。產(chǎn)品A和B的生產(chǎn)成本分別為10元和15元，而銷售價格分別為15元和20元。請問如何安排生產(chǎn)計劃以最大化利潤？

解題思路：

建立目標函數(shù)：最大化利潤=15A20B10A15B

建立約束條件：8M16M2≥40（產(chǎn)品A的生產(chǎn)需求），6M18M2≥60（產(chǎn)品B的生產(chǎn)需求），M1,M2≥0（機器使用時間非負）

使用線性規(guī)劃方法求解最優(yōu)解

2.案例二：優(yōu)化問題

問題描述：一個物流公司需要從倉庫A運送到倉庫B一批貨物，倉庫A有三種不同型號的貨物，型號分別為A1、A2、A3，分別有100單位、200單位和300單位。倉庫B需要接收這三種型號的貨物，需求量分別為120單位、180單位和200單位。已知從倉庫A到倉庫B的單位運輸成本分別為2元、3元和4元，請設計一個運輸方案以最小化總運輸成本。

解題思路：

建立目標函數(shù)：最小化總成本=2A13A24A3

建立約束條件：A1A2A3≥120（滿足倉庫B對A1的需求），A1A2A3≥180（滿足倉庫B對A2的需求），A1A2A3≥200（滿足倉庫B對A3的需求），A1≤100，A2≤200，A3≤300

使用線性規(guī)劃方法求解最優(yōu)解

3.案例三：運籌學

問題描述：某航空公司計劃從機場A飛往機場B的航班，飛機有5個座位，票價分別為100元、150元、200元、250元和300元。已知需求量分別為10個、15個、20個、25個和30個。請問如何定價以最大化收入？

解題思路：

建立目標函數(shù)：最大化收入=100x1150x2200x3250x4300x5

建立約束條件：x1x2x3x4x5≤5（座位總數(shù)限制），x1,x2,x3,x4,