對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)

§2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（一）¤知識(shí)要點(diǎn)：1.定般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)（logarithm）.記作，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)2.我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)（commonlogarithm），并把常用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記為lgN在科學(xué)技術(shù)中常使用以無(wú)理數(shù)e=2.71828……為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)，并把自然對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lnN3.根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得到對(duì)數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系：當(dāng)時(shí)，.4.負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)；，，¤例題精講：【例1】將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）ln100=4.606.【例2】計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）.第14練§2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（一）※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．對(duì)應(yīng)的指數(shù)式是（）.A.B.C.D.2．下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是（）.A.B.C.D.3．設(shè)，則x的值等于（）.A.10B.0.01C.100D.10004．設(shè)，則底數(shù)x的值等于（）.A.2B.C.4D.5．已知，那么等于（）.A.B.C.D.6．若，則x=；若，則x=.7．計(jì)算：=；=.※能力提高8．求下列各式的值：（1）；（2）.9．求下列各式中x的取值范圍：（1）；（2）.※探究創(chuàng)新10．（1）設(shè)，，求的值.（2）設(shè),，且，求a的值.第15講§2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（二）¤知識(shí)要點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：，，，其中，.三條法則是有力的解題工具，能化簡(jiǎn)與求值復(fù)雜的對(duì)數(shù)式.2.對(duì)數(shù)的換底公式.如果令b=N，則得到了對(duì)數(shù)的倒數(shù)公式.同樣，也可以推導(dǎo)出一些對(duì)數(shù)恒等式，如，，等.¤例題精講：【例2】若，則=.【例4】（1）化簡(jiǎn)：；（2）設(shè)，求實(shí)數(shù)m的值.第15練§2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（二）※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．（）等于（）.A.1 B.－1 C.2 D.－22．（a≠0）化簡(jiǎn)得結(jié)果是（）.A.－aB.a2C.｜a｜D.a3．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）.A.B.1C.2D.4．已知,則的值等于（）.A.1B.2C.8D.125．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）.A.1B.C.2D.36．計(jì)算＝.7．若3a＝2，則log38－2log36＝.第16講§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（一）¤知識(shí)要點(diǎn)：1.定義：一般地，當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithmicfunction).自變量是x；函數(shù)的定義域是（0，+∞）.2.由與的圖象，可以歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域?yàn)?，值域?yàn)镽；當(dāng)時(shí)，，即圖象過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)，在上遞增.¤例題精講：【例1】比較大小：（1），，；（2），，.【例2】求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）.【例4】求不等式中x的取值范圍.第16練§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（一）※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列各式錯(cuò)誤的是（）.A.B.C.D..xy11oxxy11oxyo11oyx11oyx11ABCD3．下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x是同一個(gè)函數(shù)（）A.B.y=C.D.y=4．函數(shù)的定義域是（）.A.B.C.D.5．若，那么滿足的條件是（）.A.B.C.D.6．函數(shù)的定義域?yàn)?（用區(qū)間表示）7．比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小：；.※能力提高8．求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）.9．已知函數(shù)，，求：（1）的值域；（2）的最大值及相應(yīng)x的值.第17講§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（二）¤知識(shí)要點(diǎn)：1.當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí),可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新函數(shù)的自變量,而把這個(gè)函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量.我們稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)為反函數(shù)（inversefunction）.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).2.函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，口訣是“同增異減”，即兩個(gè)函數(shù)同增或同減，復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)一增一減，則復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).研究復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：（i）求定義域；（ii）拆分函數(shù)；（iii）分別求的單調(diào)性；（iv）按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.¤例題精講：【例1】討論函數(shù)的單調(diào)性.【例2】（05年山東卷.文2）下列大小關(guān)系正確的是（）.A.B.C.D.第17練§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（二）※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．函數(shù)的圖象關(guān)于（）.A.y軸對(duì)稱(chēng)B.x軸對(duì)稱(chēng)C.原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.直線y＝x對(duì)稱(chēng)2．函數(shù)的值域是（）.A.RB.C.D.3．（07年全國(guó)卷.文理8）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則（）.0xC1C20xC1C2C4C31y4．圖中的曲線是的圖象，已知的值為，，，，則相應(yīng)曲線的依次為（）.A.，，，B.，，，C.，，，D.，，，5．下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）.A.B.C.D.6．函數(shù)是函數(shù).（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）7．函數(shù)的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則a的值為.※能力提高8．已知，討論的單調(diào)性.第18講§2.3冪函數(shù)¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過(guò)實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的圖像，了解它們的變化情況.知識(shí)要點(diǎn)：1.冪函數(shù)的基本形式是，其中是自變量，是常數(shù).要求掌握，，，，這五個(gè)常用冪函數(shù)的圖象.2.觀察出冪函數(shù)的共性，總結(jié)如下：（1）當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)定點(diǎn)；在上是增函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)定點(diǎn)；在上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖象向上及向右都與坐標(biāo)軸無(wú)限趨近.3.冪函數(shù)的圖象，在第一象限內(nèi)，直線的右側(cè)，圖象由下至上，指數(shù)由小到大.軸和直線之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大.¤例題精講：【例1】已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，試討論其單調(diào)性.解：設(shè)，代入點(diǎn)，得，解得，所以，在R上單調(diào)遞增.【例2】已知冪函數(shù)與的圖象都與、軸都沒(méi)有公共點(diǎn)，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求的值．解：∵冪函數(shù)圖象與、軸都沒(méi)有公共點(diǎn)，∴，解得.又∵的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴為偶數(shù)，即得.【例3】?jī)绾瘮?shù)與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則（）.A．B．C．D．解：由冪函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的分布規(guī)律，觀察第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，圖象由下至上，依次是，，，，，所以有.選B.點(diǎn)評(píng)：觀察第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，結(jié)合所記憶的分布規(guī)律.注意比較兩個(gè)隱含的圖象與.【例4】本市某區(qū)大力開(kāi)展民心工程，近幾年來(lái)對(duì)全區(qū)的老房子進(jìn)行平改坡（“平改坡”是指在建筑結(jié)構(gòu)許可條件下，將多層住宅平屋面改建成坡屋頂，并對(duì)外墻面進(jìn)行整修粉飾，達(dá)到改善住宅性能和建筑物外觀視覺(jué)效果的房屋修繕行為），且每年平改坡面積的百分比相等.若改造到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間需10年.已知到今年為止，平改坡剩余面積為原來(lái)的.（1）求每年平改坡的百分比；（2）問(wèn)到今年為止，該平改坡工程已進(jìn)行了多少年？（3）若通過(guò)技術(shù)創(chuàng)新，至少保留的老房子開(kāi)辟新的改造途徑.今后最多還需平改坡多少年？解：（1）設(shè)每年平改坡的百分比為，則，即，解得.（2）設(shè)到今年為止，該工程已經(jīng)進(jìn)行了n年，則，即，解得n=5.所以，到今年為止，該工程已經(jīng)進(jìn)行了5年.（3）設(shè)今后最多還需平改坡m年，則，即，解得m=15.所以，今后最多還需平改坡15年.點(diǎn)評(píng)：以房屋改造為背景，從中抽象出函數(shù)模型，結(jié)合兩組改造數(shù)據(jù)及要求，通過(guò)三個(gè)等式求得具有實(shí)際意義的底數(shù)或指數(shù).體現(xiàn)了代入法、方程思想等數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用.第18練§2.3冪函數(shù)※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．如果冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值等于（）.A.16B.2C.D.2．下列函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）.A.B.C.D.3．設(shè)，，c，則（）.A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c4．如圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象.已知分別取，四個(gè)值，與曲線、、、相應(yīng)的依次為（）.A．B.C.D.5．下列冪函數(shù)中過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)的偶函數(shù)是（）.A.B.C.D.6．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為.7．比較下列各組數(shù)的大?。海?；.※能力提高8．冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求函數(shù)解析式.9．1992年底世界人口達(dá)到54.8億，若人口的平均增長(zhǎng)率為x%，2008年底世界人口數(shù)為y（億）.（1）寫(xiě)出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口數(shù)；（2）求2008年底的世界人口數(shù)y與x的函數(shù)解析式.如果要使2008年的人口數(shù)不超過(guò)66.8億，試求人口的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)控制在多少以?xún)?nèi)？※探究創(chuàng)新10．請(qǐng)把相應(yīng)的冪函數(shù)圖象代號(hào)填入表格.①；②；③；④；函數(shù)代號(hào)①②③④⑤⑥⑦⑧圖象代號(hào)⑤；⑥；⑦；⑧.第19講第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）復(fù)習(xí)¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)、圖象及運(yùn)算性質(zhì).突出聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力.通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)的研究，加深對(duì)函數(shù)概念的理解.¤例題精講：【例1】若，則.證明：.∴.（注：此性質(zhì)為函數(shù)的凹凸性）【例2】已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性；（2）若，求a，b的值.解：（1）定義域?yàn)镽，，故是奇函數(shù).（2）由，則.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3.由得a=1，b=1.【例3】（01天津卷.19）設(shè)a＞0，是R上的偶函數(shù).（1）求a的值；（2）證明在上是增函數(shù)．解：（1）∵是R上的偶函數(shù)，∴.∴.ex－e-x不可能恒為“0”，∴當(dāng)－a＝0時(shí)等式恒成立，∴a＝1．（2）在上任取x1＜x2，∵e＞1，x1＜x2，∴，∴＞1，＜0，∴，∴是在上的增函數(shù)．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的基礎(chǔ)知識(shí)．此題中的函數(shù)，也可以看成指數(shù)函數(shù)與的復(fù)合，可以進(jìn)一步變式探討的單調(diào)性.【例4】已知1992年底世界人口達(dá)到54.8億.（1）若人口的平均增長(zhǎng)率為1.2%，寫(xiě)出經(jīng)過(guò)t年后的世界人口數(shù)y（億）與t的函數(shù)解析式；（2）若人口的平均增長(zhǎng)率為x%，寫(xiě)出2010年底世界人口數(shù)為y（億）與x的函數(shù)解析式.如果要使2010年的人口數(shù)不超過(guò)66.8億，試求人口的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)控制在多少以?xún)?nèi)？解：（1）經(jīng)過(guò)t年后的世界人口數(shù)為.（2）2010年底的世界人口數(shù)y與x的函數(shù)解析式為.由66.8，解得.所以，人口的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)控制在1.1%以?xún)?nèi).點(diǎn)評(píng)：解應(yīng)用題應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)知識(shí)解決，然后回到實(shí)際問(wèn)題，給出答案.此題由增長(zhǎng)率的知識(shí)，可以得到指數(shù)型或冪型函數(shù)，并得到關(guān)于增長(zhǎng)率的簡(jiǎn)單不等式，解決實(shí)際中增長(zhǎng)率控制問(wèn)題.第19練第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）復(fù)習(xí)※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．（06年全國(guó)卷II.文2理1）已知集合，則（）.A.B.C.D.2．（08年北京卷.文2）若，則（）.A. B.C. D.3.（05年福建卷）函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）.A.B.C.D.4．（06年廣東卷）函數(shù)的定義域是（）.A.B.C.D.5．（06年陜西卷）設(shè)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，其反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，