期中典例專練12長(zhǎng)方體和正方體應(yīng)用題綜合“拓展版”-五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題北師大版

20232024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列期中典例專練12：長(zhǎng)方體和正方體應(yīng)用題綜合“拓展版”1．把一個(gè)長(zhǎng)方體切割成4份后，每份都是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體。原來(lái)的長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和可能是多少？【答案】或【分析】原來(lái)長(zhǎng)方體的形狀有以下兩種可能，根據(jù)下圖分別進(jìn)行計(jì)算即可。【詳解】＝25×4＝100（cm）＝30×4＝120（cm）答：原來(lái)的長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和可能是或。【點(diǎn)睛】本題考查正方體、長(zhǎng)方體的特征，解答本題的關(guān)鍵是掌握正方體、長(zhǎng)方體的特征。2．捆這個(gè)盒子需要多長(zhǎng)的彩帶？（接口處需要18厘米）【答案】338厘米【分析】所需彩帶的長(zhǎng)度等于兩個(gè)60厘米＋兩個(gè)40厘米＋4個(gè)30厘米＋接口處用的18厘米，由此列式解答?！驹斀狻?0×2＋40×2＋30×4＋18＝120＋80＋120＋18＝338（厘米）答：捆這個(gè)盒子需要338厘米長(zhǎng)的彩帶?！军c(diǎn)睛】理清是如何捆扎的是解答本題的關(guān)鍵，注意不要忘記加接頭處用的彩帶。3．一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高增加4厘米，那么就變成一個(gè)正方體，這時(shí)表面積比原來(lái)增加128平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？【答案】256平方厘米【分析】由長(zhǎng)方體的高增加4厘米后變成了正方體可知，原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬相等。（如下圖）表面積比原來(lái)增加128平方厘米，增加部分的面積實(shí)際上就是4個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形的面積和。用128÷4先求出增加的1個(gè)面的面積；再用增加的1個(gè)面的面積÷4求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)（或?qū)挘?；再用長(zhǎng)方體的長(zhǎng)（或?qū)挘p去4厘米求出原來(lái)長(zhǎng)方體的高；最后根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積求出原長(zhǎng)方體的表面積?！驹斀狻块L(zhǎng)（或?qū)挘?28÷4÷4＝32÷4＝8（厘米）高：8－4＝4（厘米）表面積：（8×8＋8×4＋8×4）×2＝（64＋32＋32）×2＝128×2＝256（平方厘米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是256平方厘米?！军c(diǎn)睛】一個(gè)長(zhǎng)方體高增加一段，增加的表面積是增加的那部分前、后、左、右4個(gè)側(cè)面的面積和。4．為美化教室，學(xué)校決定要粉刷教室的四壁和天花板。每間教室長(zhǎng)9米，寬8米，高3.8米，門(mén)窗面積總計(jì)26平方米。一間教室要粉刷的面積是多少平方米？【答案】175.2平方米【分析】根據(jù)題意，粉刷教室的四壁和天花板，即粉刷的是長(zhǎng)方體的上面、前后面、左右面共5個(gè)面；根據(jù)“長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高×2＋寬×高×2”求出這5個(gè)面的面積之和，再減去門(mén)窗的面積，就是需粉刷的面積。【詳解】9×8＋9×3.8×2＋8×3.8×2＝72＋68.4＋60.8＝140.4＋60.8＝201.2（平方米）201.2－26＝175.2（平方米）答：一間教室要粉刷的面積是175.2平方米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是先弄清長(zhǎng)方體缺少哪個(gè)面，需要求哪幾個(gè)面的面積，然后靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體的表面積公式解答。5．學(xué)校改造擴(kuò)建，會(huì)議室四周墻壁進(jìn)行粉刷，會(huì)議室長(zhǎng)14米，寬12米，高3.5米，除去門(mén)窗的面積12平方米，如果每平方米需要花5元涂料費(fèi)，那么粉刷這個(gè)會(huì)議室需要花費(fèi)多少元錢(qián)涂料費(fèi)？【答案】1690元【分析】由于會(huì)議室的地面不需要粉刷，所以只粉刷4面墻壁和頂棚，一共5個(gè)面，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積的計(jì)算方法，求出這5個(gè)面的總面積減去門(mén)窗的面積，就是實(shí)際粉刷的面積，然后用實(shí)際粉刷面積乘每平方米需要涂料的錢(qián)數(shù)即可?！驹斀狻浚?4×12＋14×3.5×2＋12×3.5×2－12）×5＝（168＋98＋84－12）×5＝338×5＝1690（元）答：粉刷這個(gè)教室需要花費(fèi)1690元?！军c(diǎn)睛】這是一道長(zhǎng)方體表面積的實(shí)際應(yīng)用，在計(jì)算時(shí)要分清需要計(jì)算幾個(gè)長(zhǎng)方形面的面積，缺少的是哪一個(gè)面的面積，從而列式解答即可。6．一盒明信片的形狀是長(zhǎng)12厘米、寬8厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體，現(xiàn)在把3盒這樣的明信片包裝在一起成為一個(gè)長(zhǎng)方體的禮品盒，怎樣包裝最節(jié)省包裝紙？至少需要多少平方厘米的包裝紙？（接口處不計(jì)）【答案】將3個(gè)最大的面長(zhǎng)12厘米，寬8厘米重合，拼成一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，高9厘米的長(zhǎng)方體最節(jié)省包裝紙；552平方厘米【分析】要想包裝最節(jié)省包裝紙，大長(zhǎng)方體的表面積最小，即把明信片的最大的面重合在一起，組合后的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬不變，高是原來(lái)小長(zhǎng)方體高的3倍，即：大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12厘米，寬是8厘米，高是3×3＝9厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式，求出大長(zhǎng)方體的表面積，即可解答。【詳解】將3個(gè)最大的面長(zhǎng)12厘米，寬8厘米重合，拼成一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，高3×3＝9厘米的長(zhǎng)方體最節(jié)省包裝紙。（12×8＋8×9＋12×9）×2＝（96＋72＋108）×2＝276×2＝552（平方厘米）答：至少需要552平方厘米的包裝紙。【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是按什么樣的方法組成的長(zhǎng)方體的表面積最小，以及長(zhǎng)方體表面積公式的應(yīng)用，熟記公式。7．一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)是20厘米，它的截面是1正方形，如果長(zhǎng)減少5厘米，表面積就減少40平方厘米，求原長(zhǎng)方體的表面積？【答案】168平方厘米【分析】根據(jù)題意，如果長(zhǎng)減少5厘米，表面積就減少40平方厘米，表面積減少的只是4個(gè)側(cè)面的面積，又知底面是一個(gè)正方形，由此可知，減少的4個(gè)側(cè)面是完全相同的長(zhǎng)方形，用減少的面積除以4求出減少的一個(gè)面的面積，面積除以長(zhǎng)（5厘米），即可求出原來(lái)長(zhǎng)方體的截面邊長(zhǎng)，然后根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式解答即可。【詳解】原來(lái)長(zhǎng)方體的截面邊長(zhǎng)是：40÷4÷5＝10÷5＝2（厘米）（20×2＋20×2＋2×2）×2＝（40＋40＋4）×2＝84×2＝168（平方厘米）答：原長(zhǎng)方體的表面積是168平方厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要依據(jù)長(zhǎng)方體的側(cè)面積公式、正方形的周長(zhǎng)和面積公式以及長(zhǎng)方體的表面積公式。8．把一塊石頭浸沒(méi)在棱長(zhǎng)為30厘米的正方體水槽中，水面上升了2厘米（水未溢出）。這塊石頭的體積是多少立方厘米？【答案】1800立方厘米【分析】由題意可知，這塊石頭的體積等于上升部分水的體積，上升部分水的體積＝容器的底面積×放入石頭后上升部分水的高度，據(jù)此解答。【詳解】30×30×2＝900×2＝1800（立方厘米）答：這塊石頭的體積是1800立方厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查計(jì)算不規(guī)則物體的體積，把不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化為上升部分水的體積是解答題目的關(guān)鍵。9．一種面包的形狀是近似的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)20厘米，寬和高都是8厘米，媽媽從面包上切下一部分當(dāng)早餐，剩下的正好是一個(gè)正方體，切下部分的體積是多少立方厘米？【答案】768立方厘米【分析】根據(jù)題意可知，剩下的正好是一個(gè)正方體，說(shuō)明切下的是一個(gè)以8厘米為寬和高，以（20－8）厘米為長(zhǎng)的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，把具體數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可?！驹斀狻?×8×（20－8）＝64×12＝768（立方厘米）答：切下部分的體積是768立方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的體積，明確切下部分的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是多少是解題的關(guān)鍵。10．張叔叔搬了新家，他買(mǎi)回3個(gè)長(zhǎng)方體的柜子。（1）B柜里最多能裝多少個(gè)棱長(zhǎng)是3dm的正方體小盒子？（忽略柜子厚度）（2）張叔叔把3個(gè)柜子DIY組合成自己設(shè)計(jì)的樣式。（房間的層高是3.1m，張叔叔身高1.75m，柜子可以改變方向。）他想把柜子組合起來(lái)后，在露出的能看見(jiàn)的面上貼喜歡的貼紙，怎樣設(shè)計(jì)組合方式及擺放地方才能最省貼紙呢？請(qǐng)?jiān)谧鲌D區(qū)畫(huà)出簡(jiǎn)單示意圖。這樣設(shè)計(jì)最少需要買(mǎi)多大的貼紙？【答案】（1）12個(gè)；（2）見(jiàn)解析。【分析】（1）先求長(zhǎng)、寬、高中各有幾個(gè)3dm，再相乘。（2）根據(jù)設(shè)計(jì)圖求表面積就是最少需要的貼紙面積?！驹斀狻浚?）10÷3＝3（個(gè)）……1（dm）6÷3＝2（個(gè)）6÷3＝2（個(gè)）3×2×2＝12（個(gè)）答：B柜里最多能裝12個(gè)棱長(zhǎng)是3dm的正方體小盒子。（2）如圖：前面和后面：（20×6＋10×6＋3×6）×2＝（120＋60＋18）×2＝198×2＝396（dm2）上面和下面：20×2×2＝80（dm2）左面和右面：6×（6＋6）×2＝6×12×2＝144（dm2）396＋80＋144＝620（dm2）答：至少需要買(mǎi)620dm2的貼紙?！军c(diǎn)睛】掌握正方體和長(zhǎng)方體表面積和體積公式是解題關(guān)鍵。11．有一個(gè)完全封閉的長(zhǎng)方體容器，里面的長(zhǎng)是20厘米，寬是16厘米，平放時(shí)里面裝了7厘米深的水。現(xiàn)在把這個(gè)容器豎起來(lái)放置，如圖。

（1）這時(shí)水的高度是多少？（2）這時(shí)水與容器的接觸面積有多大？【答案】（1）14厘米（2）888平方厘米【分析】（1）根據(jù)體積的意義可知，這個(gè)完全封閉的長(zhǎng)方體容器無(wú)論橫放、還是豎放，容器內(nèi)水的體積不變，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式V＝Sh，那么h＝V÷S，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）這時(shí)水和容器接觸部分的接觸面積相當(dāng)于一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體表面積，長(zhǎng)是10厘米，寬是16厘米，高是14厘米，根據(jù)無(wú)蓋長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻浚?）20×16×7÷（10×16）＝320×7÷160＝2240÷160＝14（厘米）答：這時(shí)水的高度是14厘米。（2）10×16＋10×14×2＋16×14×2＝160＋280＋448＝888（平方厘米）答：這時(shí)水與容器的接觸面積有888平方厘米。【點(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體的體積公式、表面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。12．如圖所示，將一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬4厘米，高8厘米的一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，從中間挖去一個(gè)棱長(zhǎng)4厘米的小正方體后放在桌面上，求它的表面積和體積。（長(zhǎng)方體與桌面的接觸面不算）

【答案】336平方厘米；320立方厘米【分析】這個(gè)木塊的表面積相當(dāng)于原長(zhǎng)方體木塊的表面積加2個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形面積，再減一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬4厘米的長(zhǎng)方形面積。根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算公式“S＝2（ah＋bh＋ab）、正方形的面積計(jì)算公式“S＝a2”、長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式“S＝ab”即可求出它的表面積。根據(jù)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式“V＝abh”、正方體的體積計(jì)算公式“V＝a3”分別計(jì)算出這個(gè)長(zhǎng)方體木塊的體積、挖去小正方體的體積，再把二者相減就是它的體積?！驹斀狻浚?2×8＋4×8＋12×4）×2＋4×4×2－12×4＝（96＋32＋48）×2＋16×2－48＝176×2＋16×2－48＝352＋32－48＝384－48＝336（厘米）12×4×8－43＝48×8－64＝384－64＝320（立方厘米）答：它的表面積是336平方厘米，體積是320立方厘米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查了長(zhǎng)方體體積的計(jì)算、長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算、正方體體積的計(jì)算。記住并會(huì)靈活運(yùn)用相關(guān)計(jì)算公式是關(guān)鍵。13．一個(gè)長(zhǎng)方體玻璃容器，從里面量長(zhǎng)為3分米，寬為2分米，向容器中倒入7.8升水。這時(shí)這個(gè)長(zhǎng)方體玻璃容器里的水的高度是多少分米？【答案】1.3分米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，即h＝V÷a÷b，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻?.8升＝7.8立方分米7.8÷3÷2＝2.6÷2＝1.3（分米）答：這時(shí)這個(gè)長(zhǎng)方體玻璃容器里的水的高度是1.3分米?！军c(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的體積，靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積公式是解題的關(guān)鍵。14．王叔叔有一張長(zhǎng)60厘米、寬40厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，他想在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的小正方形（如圖），然后焊接成一個(gè)無(wú)蓋的鐵皮盒子。（1）你來(lái)幫王叔叔算一算。這個(gè)盒子的容積是多少立方分米？（鐵皮厚度忽略不計(jì)）（2）如果把這個(gè)盒子里裝滿水，再把棱長(zhǎng)為4cm的正方體鐵塊沉入水中，則流出來(lái)的水的體積是多少立方厘米？【答案】（1）7.5立方分米（2）64立方厘米【分析】（1）這個(gè)無(wú)蓋的鐵皮盒子是長(zhǎng)方體，長(zhǎng)為（60－5×2）厘米，寬為（40－5×2）cm，高為5cm，根據(jù)長(zhǎng)方體的容積（體積）＝長(zhǎng)×寬×高，將數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意，流出來(lái)的水＝正方體鐵塊的體積，根據(jù)正方體的體積＝a3，將數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可；【詳解】（1）（60－5×2）×（40－5×2）×5＝50×30×5＝1500×5＝7500（立方厘米）7500立方厘米＝7.5立方分米答：這個(gè)盒子的容積是7.5立方分米。（2）4×4×4＝16×4＝64（立方厘米）答：流出來(lái)的水的體積是64立方厘米?！军c(diǎn)睛】此題考查了長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖和容積計(jì)算以及正方體的體積計(jì)算，關(guān)鍵理解題目掌握公式。15．如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)為25厘米的正方體密閉容器內(nèi)裝有一些水，在容器的底部粘著一個(gè)底面積為125平方厘米的長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊，容器內(nèi)水面高度恰好與鐵塊的上表面持平。把容器倒置過(guò)來(lái)后，仍有一部分鐵塊在水面以下，此時(shí)水面的高度為15厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊的高度是多少厘米？【答案】17厘米【分析】由題意可知，水的體積不變，設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊的高度是厘米。左圖中水面高度恰好與鐵塊的上表面持平，則水面高度是厘米，水的體積為（25×25×－125）立方厘米；右圖中鐵塊在水下的高度為[－（25－15）]厘米，水的體積為25×25×15立方厘米減去125×[－（25－15）]立方厘米，據(jù)此列方程解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這個(gè)長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊的高度是厘米。25×25×－125＝25×25×15－125×[－（25－15）]625－125＝9375－125×[－10]500＝9375－125＋1250500＝10625－125500＋125＝10625－125＋125625＝10625625÷625＝10625÷625＝17答：這個(gè)長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊的高度是17厘米。【點(diǎn)睛】本題考查列方程解決問(wèn)題，抓住水的體積不變得出等量關(guān)系，按等量關(guān)系列出方程。16．在一個(gè)長(zhǎng)8分米、寬5分米、高3分米的玻璃魚(yú)缸中注滿水，然后把兩根長(zhǎng)2分米、寬1分米、高4分米的石柱立著放入魚(yú)缸中，魚(yú)缸溢出的水的體積是多少？【答案】12立方分米【分析】根據(jù)題意，溢出水的體積就是石柱浸入水的體積，石柱浸入水的高為3分米，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式V＝abh解答?！驹斀狻?×1×3×2＝12（立方分米）答：魚(yú)缸溢出的水的體積是12立方分米?！军c(diǎn)睛】此題解答的關(guān)鍵在于明白石柱浸入水的高度，運(yùn)用體積公式解決問(wèn)題。17．一個(gè)長(zhǎng)方體（如下圖），如果高增加8厘米，就變成了棱長(zhǎng)是30厘米的正方體。這時(shí)它的表面積和體積分別增加了多少？【答案】960平方厘米；7200立方厘米【分析】根據(jù)題意，一個(gè)長(zhǎng)方體的高增加8厘米，就變成了棱長(zhǎng)是30厘米的正方體，根據(jù)正方體的