《復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算》名師課件

名師課件

3.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算名師：羅靜知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測復(fù)數(shù)通常用小寫字母z表示，即z＝a＋bi(a,b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.兩個復(fù)數(shù)相等，即實(shí)部和虛部分別相等即a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R)的模為知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測探究一：復(fù)數(shù)的加減法●活動一

怎樣計算復(fù)數(shù)的加法與減法?設(shè),是任意兩個復(fù)數(shù)，那么（1）復(fù)數(shù)與的和的定義：●活動二

從復(fù)數(shù)的加法和減法法則我們可以得到一個怎樣的結(jié)論事實(shí)上，兩個復(fù)數(shù)相加（減）就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加（減）.（2）復(fù)數(shù)與的差的定義：知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測●活動三

復(fù)數(shù)的和與差還是一個復(fù)數(shù)嗎？顯然，復(fù)數(shù)的和與差仍然是一個唯一確定的復(fù)數(shù).●活動四

我們以前學(xué)過的運(yùn)算律還能在復(fù)數(shù)中使用嗎？對任意（1）交換律：（2）結(jié)合律：知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測●活動五

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義是什么？（1）復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2）復(fù)數(shù)（3）復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義，即為向量的合成與分解：平行四邊形法則，可簡化成三角形法則，如圖，表示復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量，表示復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量，即表示復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量，表示復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量.注：兩個復(fù)數(shù)的差表示與連接兩個終點(diǎn)且指向被減數(shù)的向量對應(yīng).知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測探究二：復(fù)數(shù)的乘除法●活動一

復(fù)數(shù)的乘法怎么算？復(fù)數(shù)的乘法是否有似曾相識的感覺？設(shè)=a＋bi，=c＋di（a,b,c,d∈R）是任意兩個復(fù)數(shù)，則=(a＋bi)(c＋di)=_________________.

從上面可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把實(shí)部與虛部分別合并.兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù).知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測●活動二

復(fù)數(shù)的乘法是否也滿足運(yùn)算律呢？對任意（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測●活動三

復(fù)數(shù)的除法又該如何計算呢？設(shè)=a＋bi,=c＋di（a,b,c,d∈R，且c＋di≠0），則幾個運(yùn)算性質(zhì)：①i的冪的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).②(1±i)2＝±2i，③設(shè),則ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測●活動四

什么叫做共軛數(shù)？

一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).通常記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù)有如下性質(zhì)：①②③④⑤知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測例1計算下列各題：(1)(2)(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋1＋2i＝10－3i，求z.詳解：（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.

（4）z＋1＋2i＝10－3i，∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i.點(diǎn)拔：復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加減.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測例2設(shè)及分別與復(fù)數(shù)z1＝5＋3i及復(fù)數(shù)z2＝4＋i對應(yīng)，試計算z1＋z2，并在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)z1＋z2所對應(yīng)的向量.【思路探究】利用加法法則求z1＋z2詳解：∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，，∵，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，與復(fù)數(shù)z1＋z2對應(yīng)，∴＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量如圖所示.∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測點(diǎn)拔：1.根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2.利用向量進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算時，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.3.復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題提供了可能.變式：在題設(shè)不變的情況下，計算z1－z2，并在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)z1－z2所對應(yīng)的向量.解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.復(fù)數(shù)z1－z2所對應(yīng)的向量為知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測例3（1）設(shè)z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.（2）已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值.（1）設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).詳解：由題意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，∴2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2.∴|z1－z2|＝知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測（2）已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值.【思路探究】利用復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，以及數(shù)形結(jié)合的思想解題.解法一：設(shè)w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(－4,5)為圓心，1為半徑的圓.如圖(1)所示，∴|w|max＝，|w|min＝知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測解法二：由條件知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(－1,1)為圓心，1為半徑的圓，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(3，－4)的距離，在圓上與(3，－4)距離最大的點(diǎn)為A，距離最小的點(diǎn)為B，如圖(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝＋1，|z－3＋4i|min＝點(diǎn)拔：|z1－z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1，z2對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測例4（1）計算（2）計算：（3）若復(fù)數(shù)，求1＋z＋z2＋…＋z2013的值.（1）分析：先計算再乘方，且將的分母實(shí)數(shù)化后再合并.詳解：又解：知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測（2）【思路探究】將式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?、變形，使之出現(xiàn)in的形式，然后再根據(jù)in的值的特點(diǎn)計算求解.詳解：知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(3)而所以點(diǎn)拔：1.要熟記in的取值的周期性，要注意根據(jù)式子的特點(diǎn)創(chuàng)造條件使之與in聯(lián)系起來以便計算求值.2.如果涉及數(shù)列求和問題，應(yīng)先利用數(shù)列方法求和后再求解.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測例5已知z∈C，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，求z.詳解：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi(a，b∈R)，

由題意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，則有解得所以z＝－1或z＝－1＋3i.點(diǎn)拔：1.是共軛復(fù)數(shù)的常用性質(zhì).2.實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z∈R?z＝利用此性質(zhì)可以證明一個復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).3.若z≠0且z＋＝0，則z為純虛數(shù)，利用此性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)是純虛數(shù).知識梳理知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測1.兩個復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律.4.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算時，通常先將除法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡后可得，類似于以前學(xué)習(xí)的分母有理化.重難點(diǎn)突破知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測（1）復(fù)數(shù)的加減法，可模仿多項(xiàng)式的加減法法則計算，實(shí)質(zhì)上是合并同類項(xiàng)，不必死記公式.（2）復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)分別對應(yīng)于向量，那么，以為兩邊作平行四邊形，對角線OS表示的向量就是的和所對應(yīng)的向量.復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個復(fù)數(shù)的差與連接這兩個向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng).（3）復(fù)數(shù)的乘法，也可按照多項(xiàng)式的乘法法法則計算，實(shí)質(zhì)上也是