《數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念》名師課件

名師課件3.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念名師：羅靜知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測自然數(shù)→分數(shù)→負數(shù)→整數(shù)→有理數(shù)→無理數(shù)→實數(shù)對因生產(chǎn)和科學發(fā)展的需要而逐步擴充數(shù)集的過程進行概括：知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測探究一：數(shù)系的擴充重點知識★對于實系數(shù)一元二次方程

沒有實數(shù)根.我們能否將實數(shù)集進行擴充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？對因生產(chǎn)和科學發(fā)展的需要而逐步擴充數(shù)集的過程進行概括自然數(shù)→分數(shù)→負數(shù)→整數(shù)→有理數(shù)→無理數(shù)→實數(shù)●活動一回顧舊知，回顧數(shù)集的擴充過程知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測對于實系數(shù)一元二次方程沒有實數(shù)根，我們能否將實數(shù)集進行擴充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？最根本的問題是要解決－1的開平方問題.即一個什么樣的數(shù)，它的平方會等于－1.我們引入一個新數(shù)i，它的平方等于－1.●活動二類比舊知，探究數(shù)系的擴充.我們說，實系數(shù)一元二次方程沒有實數(shù)根.實際上，就是在實數(shù)范圍內(nèi)，沒有一個實數(shù)的平方會等于負數(shù).解決這一問題，其本質(zhì)就是解決一個什么問題呢？知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測把實數(shù)和新引進的數(shù)i像實數(shù)那樣進行運算，并希望運算時有關的運算律仍成立，你得到什么樣的數(shù)？根據(jù)前面討論結(jié)果，我們引入一個新數(shù)i，i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：①虛數(shù)單位i的平方等于-1，即；②i的周期性：，,,；③實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍然成立.●活動三類比探究，研究新數(shù)i的運算性質(zhì)有了前面的討論，引入新數(shù)i，可以說是水到渠成的事.這樣，就可以解決前面提出的問題（-1可以開平方，而且-1的平方根是±i）.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測重點、難點知識★▲探究二：復數(shù)的概念

根據(jù)虛數(shù)單位i的第③條性質(zhì)，i可以與實數(shù)b相乘，再與實數(shù)a相加.由于滿足乘法交換律及加法交換律，從而可以把結(jié)果寫成a+bi這樣，數(shù)的范圍又擴充了，出現(xiàn)了形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)，我們把它們叫做復數(shù).復數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi，(其中a，b∈R)，這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式，其中a、b分別叫做復數(shù)z的實部與虛部.當且僅當b=0時,它是實數(shù);當且僅當a=0且b=0時,它是實數(shù)0;當b≠0時,叫做虛數(shù);當a=0且b≠0時,叫做純虛數(shù).●活動一理解概念，復數(shù)的代數(shù)形式怎樣表示一個復數(shù)？對于復數(shù)a＋bi(a，b∈R):知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測復數(shù)m＋ni的實部、虛部一定是m、n嗎？●活動二剖析概念不一定，只有當m∈R，n∈R，則m、n才是該復數(shù)的實部、虛部.a=c且b=d，即實部與虛部分別相等時，這兩個復數(shù)相等.如果兩個復數(shù)不全是實數(shù)，那么它們不能比較大小.對于復數(shù)a+bi和c+di(a,b,c,d∈R)，你認為滿足什么條件時，這兩個復數(shù)相等？任意兩個實數(shù)可以比較大小，復數(shù)呢？知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系是怎樣的？純虛數(shù)集復數(shù)集實數(shù)集虛數(shù)集復數(shù)z＝a＋bi，(其中a，b∈R)包括：●活動三完善知識體系知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測例1實數(shù)m取什么值時z=(m+1)+(m-1)i是（1）實數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)?點撥：本題是對實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)概念的考查.因為m∈R,所以(m-1)∈R，(m+1)∈R，由z=a+bi是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件可以確定m的值.(1)當m-1=0，即m=1時，復數(shù)z是實數(shù)；●活動四復數(shù)基本概念、復數(shù)的代數(shù)形式、復數(shù)充要條件的應用詳解：(2)當m-1≠0即m≠1時，復數(shù)z是虛數(shù)；(3)當m+1=0，

m-1≠0即m=-1時，復數(shù)z是純虛數(shù).知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測點撥：本題考查復數(shù)相等的充要條件.對于復數(shù)a+bi和c+di(a,b,c,d∈R)當且僅當a=c且b=d，即實部與虛部分別相等時，這兩個復數(shù)相等.例2已知

＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值.詳解：由復數(shù)相等的定義得

，解得：x＝3（負值舍），

所以x＝3為所求.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測∴z1＜z2時，實數(shù)m的取值為m＝1.點撥：本題考查對復數(shù)概念的理解.如果兩個復數(shù)不全是實數(shù)，那么它們不能比較大小.例3設z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1＜z2，求實數(shù)m的取值范圍.詳解：由于z1＜z2，m∈R，∴z1∈R且z2∈R，當z1∈R時，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.當z2∈R時，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，∴當m＝1時，符合題意，此時z1＝2，z2＝6，滿足z1＜z2.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測重點、難點知識★▲探究三：復數(shù)的幾何意義這里面體現(xiàn)的是“數(shù)”、“形”互換的思想.任何一個復數(shù)z=a+bi,都可以由一個有序?qū)崝?shù)對（a，b）唯一確定.因為有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標系中的點一一對應，所以復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應.復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應復平面內(nèi)的點Z(a，b).●活動一類比實數(shù)的幾何意義，探究復數(shù)的幾何意義若把a,b看成有序?qū)崝?shù)對（a，b），則（a，b）與復數(shù)a+bi是怎樣的對應關系？有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標系中的點是怎樣的對應關系？（一一對應關系）實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示：知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測●活動一類比實數(shù)的幾何意義，探究復數(shù)的幾何意義如圖：復數(shù)z=a+bi可以用點Z（a,b）（復數(shù)的幾何形式）來表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.yxabz=a+biO

顯然，實軸上的點都表示實數(shù)，虛軸上的點（除了原點）都表示純虛數(shù).知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(2)由位于直線y=x上，得，即.例4實數(shù)m取什么值時，復平面內(nèi)表示復數(shù)的點，(1)位于第四象限(2)位于y=x上？(1)由位于第四象限，得解得詳解：點撥：本題考查復數(shù)的幾何意義即復數(shù)z=a+bi與點Z（a,b）一一對應.復數(shù)z=a+bi表示的點坐標為，分別由條件求解即可得.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測復數(shù)的向量形式.以原點O為始點的向量，規(guī)定：相等的向量表示同一個復數(shù).復平面內(nèi)的點Z（a，b）一一對應復數(shù)z=a+bi●活動二類比探究復數(shù)的另外一個幾何意義除了用平面里的點表示復數(shù)，還可以用什么表示復數(shù)？還可以用向量！設復平面內(nèi)的點Z（相對于原點來說）也可以由向量唯一確定.反之，也成立.因此，復數(shù)z=a+bi與也是一一對應的（實數(shù)0與零向量對應），這是復數(shù)的另一種幾何意義.復數(shù)z，點Z(a,b)，三者關系如下：向量的模叫做復數(shù)的模,記作或.由模的定義知:利用復數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復平面內(nèi)對應的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z＝3＋ai知z對應的點在直線x＝3上，所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合.由圖可知：●活動三探究復數(shù)的模的幾何意義例5已知復數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4，求實數(shù)a的取值范圍.詳解：方法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|2＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴方法二：點撥：本題考查復數(shù)的幾何意義即復數(shù)的模及考查數(shù)形結(jié)合思想.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(1)方法一：|z|＝2說明復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z到原點的距離為2，這樣的點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.例6設z∈C，在復平面內(nèi)對應點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.詳解：方法二：設z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故點Z對應的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測點撥：解決復數(shù)的模的幾何意義的問題，應把握兩個關鍵點：1.|z|表示點Z到原點的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形；2.利用復數(shù)的模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決例6設z∈C，在復平面內(nèi)對應點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.詳解：(2)不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2及該圓內(nèi)部所有點的集合.不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1及該圓外部所有點的集合.這兩個集合的交集，就是滿足條件1≤|z|≤2的點的集合.

如圖中的陰影部分，所求點的集合是以O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界.知識梳理知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(4)復數(shù)的模復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應的向量為OZ，則OZ的模叫做復數(shù)z的模，記作|z|，且|z|＝.(1)復數(shù)的分類：復數(shù)z=a＋bi，a，b∈R)(2)復數(shù)相等的充要條件設a，b，c，d都是實數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.(3)復數(shù)與點、向量間的對應①復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應復平面內(nèi)的點Z(a，b)；②復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應平面向量OZ＝(a，b).重難點突破知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測（2）對于復數(shù)相等的問題.必須保證實部和虛部都分別