微專題01：數(shù)與式的運(yùn)算-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)

PAGE1微專題01：數(shù)與式的運(yùn)算一、單選題1．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）則下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的加減乘除運(yùn)算法則，根據(jù)二次根式的加減乘除運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、與的被開方數(shù)不同，不能合并，故本選項(xiàng)的運(yùn)算錯(cuò)誤；B、，故本選項(xiàng)的運(yùn)算錯(cuò)誤；C、與的被開方數(shù)不同，不能合并，故本選項(xiàng)的運(yùn)算錯(cuò)誤；D、，故本選項(xiàng)的計(jì)算正確．故選：D2．（2025·廣東陽江·模擬預(yù)測(cè)）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

D.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：C．3．（2025·廣東揭陽·一模）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了積的乘方，同底數(shù)冪相乘，同底數(shù)冪相除，異分母分式的減法，合并同類項(xiàng)，據(jù)此相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)不符合題意；B、不是同類項(xiàng)，不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；C、，故該選項(xiàng)符合題意；D、，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C4．（2025·廣東佛山·一模）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則（

）A．2 B． C．0 D．【答案】A【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出、的值．根據(jù)的范圍，求出的范圍，從而確定、的值，代入所求式子計(jì)算即可．【詳解】解：的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，，故選：A．5．（2024·廣東汕頭·二模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的加減運(yùn)算法則．分母相同，分母不變，分子相加減，再約分即可．【詳解】解：．故選：A．6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）有理數(shù)大小比較的歷史可以追溯到古希臘和古印度時(shí)期．下列各組有理數(shù)大小比較，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，先化簡(jiǎn)各個(gè)數(shù)字，再比較大小即可．【詳解】A.，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B.，，則，說法正確；C.，則，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D.，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．7．（2024·廣東揭陽·模擬預(yù)測(cè)）在下列算式中，運(yùn)算結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算，合并同類項(xiàng)，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，合并同類項(xiàng)和完全平方公式，一一計(jì)算判斷即可．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．8．（2024·廣東東莞·二模）如果關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則代數(shù)式的值為（

）A． B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解題的關(guān)鍵是熟記把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．【詳解】解：將代入原方程得：，∴，∴，故選：D．二、填空題9．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若，且，則．【答案】2【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先根據(jù)異分母分式相減得出，再把代入中化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】解：∵∴∴，∵，∴，故答案為：210．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)，由題意可得，從而可得，結(jié)合題意得出，求解即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴．∴．又，∴．∴．∴．∴或．∵，，∴．∴的最小值為．答案為：．11．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）黃金分割是公認(rèn)為最能引起美感的比例，被廣泛應(yīng)用于藝術(shù)、建筑、設(shè)計(jì)等領(lǐng)域．黃金分割點(diǎn)比例計(jì)算公式為，其中介于整數(shù)和之間，則的值是．【答案】【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，利用夾逼法可得，即得，進(jìn)而得，據(jù)此即可求解，掌握夾逼法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：．12．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若，則以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是．【答案】等腰直角三角形【分析】本題考查非負(fù)性，勾股定理的逆定理，根據(jù)非負(fù)性，求出的值，再利用勾股定理逆定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是等腰直角三角形；故答案為：等腰直角三角形．13．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）．【答案】【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．14．（2024·廣東汕頭·二模）若規(guī)定符號(hào)的意義是：，則當(dāng)時(shí)，值為．【答案】6【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，然后把代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，原式，故答案為：6．三、解答題15．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是方程的根．【答案】【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值及解一元二次方程，熟練掌握分式運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先運(yùn)用分式的加減法乘除法將化簡(jiǎn)，再根據(jù)一元二次方程根的定義得到a的式子，整體代入即可求值．【詳解】解：原式，解方程，得，∵

，∴

不合題意，舍去，∴把代入得，原式=．16．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：（2）解不等式組【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，零指數(shù)冪，解一元一次不等式組；（1）先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，再計(jì)算乘法和去絕對(duì)值，最后計(jì)算加減法即可；（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】解：（1）；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為。17．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了分式的加減乘除混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算．（1）原式利用零指數(shù)冪，絕對(duì)值的代數(shù)意義，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值；（2）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：從，0，1，2中選一個(gè)合適的數(shù)，代入求值．【答案】（1）；（2），當(dāng)時(shí)，原式【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，特殊角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，最后計(jì)算加減法即可；（2）先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)，最后根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代值計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2），∵分式有意義，∴，∴且且，∴當(dāng)時(shí)，原式．19．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）（1）化簡(jiǎn)：；（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，利用異分母分式減法運(yùn)算法則，通分化為同分母的分式再計(jì)算，再將除法化為乘法，然后對(duì)分式分子分母因式分解化簡(jiǎn)即可得到答案；（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，利用異分母分式減法運(yùn)算法則，通分化為同分母的分式再計(jì)算，再將除法化為乘法，然后對(duì)分式分子分母因式分解化簡(jiǎn)后，再由整式乘法運(yùn)算求解即可得到答案．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，涉及異分母分式減法運(yùn)算、通分、分式乘除運(yùn)算、因式分解及整式乘法運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．20．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、運(yùn)算法則、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論．【發(fā)現(xiàn)問題】小明在計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)m、n，它們的乘積與較大數(shù)的和一定為較大數(shù)的平方．（1）舉例驗(yàn)證：當(dāng)則（2）推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：設(shè)，m、n是連續(xù)的正整數(shù)，∴；∵，∴．∴一定是正數(shù)n的平方數(shù)．【類比猜想】小紅同學(xué)提出：任意兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方．請(qǐng)你舉例驗(yàn)證及推理證明；【深入思考】若（m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，求證：p一定是偶數(shù)．【答案】見解析【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式化簡(jiǎn)；類比猜想：參考發(fā)現(xiàn)問題的舉例和推理過程計(jì)算即可；深入思考：由m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，，可得，，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：類比猜想：（1）舉例驗(yàn)證：當(dāng)則（2）推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：設(shè)，m、n是連續(xù)的正整數(shù)，∴；∵，∴．∴一定是正數(shù)的平方數(shù)．深入思考：∵m，n為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，，∴，∴，∴，∴p一定是偶數(shù)．21．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：；（2）已知，求代數(shù)式的值．【答案】（1）5；（2）2【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)、分式的化簡(jiǎn)求值等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則以及整體思想成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)特殊角三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，然后合并同類二次根式即；（2）先根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將變形整體代入化簡(jiǎn)好的分式中計(jì)算即可．【詳解】解：．（2），由可得，將代入原式可得，原式．22．（2024·廣東云浮·一模）（1）計(jì)算：（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，以及一元一次不等式組的解法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵．（1）先化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再計(jì)算加減運(yùn)算即可；（2）先分別求解兩個(gè)一元一次不等式的解集，然后再求兩個(gè)解集的公共解集即可；【詳解】解：（1）；（2）由，得，解得；由得，解得，不等式組的解集為．23．（2024·廣東肇慶·一模）【發(fā)現(xiàn)問題】由得，；如果兩個(gè)正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．【提出問題】若，，利用配方能否求出的最小值呢？【分析問題】例如：已知，求式子的最小值．解：令，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，式子有最小值，最小值為4．【解決問題】請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問題：（1）__________（用“”“”“”填空）；當(dāng)，式子的最小值為__________；【能力提升】（2）用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻（墻長(zhǎng)20米），問這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（3）如圖，四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，、的面積分別是8和14，求四邊形面積的最小值．【答案】（1），2；（2）當(dāng)長(zhǎng)、寬分別為8米，4米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米；（3）四邊形面積的最小值為【分析】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了等高三角形的在面積計(jì)算中的應(yīng)用．（1）當(dāng)時(shí)，按照公式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）來計(jì)算即可；當(dāng)時(shí)，，，則也可以按公式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）來計(jì)算；（2）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形花園靠墻的一邊的長(zhǎng)為