陜西省西安市高新第一中學(xué)2025-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

陜西省西安市高新第一中學(xué)2025-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高二〔1〕班一、選擇題〔每題5分，共20分〕要求：在以下各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1.知曉函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，那么f(x)的圖像大致為〔〕A.圖像開口向上，有3個(gè)零點(diǎn)B.圖像開口向下，有1個(gè)零點(diǎn)C.圖像開口向上，有1個(gè)零點(diǎn)D.圖像開口向下，有3個(gè)零點(diǎn)2.知曉等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+a3+a5=6，a2+a4+a6=9，那么數(shù)列{an}的公差d為〔〕A.1B.2C.3D.43.知曉復(fù)數(shù)z=a+bi〔a，b∈R〕，假設(shè)|z-1|=|z+1|，那么復(fù)數(shù)z的實(shí)部a等于〔〕A.0B.1C.-1D.24.知曉函數(shù)f(x)=x^2-2ax+b，假設(shè)f(1)=0，f(2)=0，那么f(x)的圖像大致為〔〕A.圖像開口向上，有2個(gè)零點(diǎn)B.圖像開口向下，有1個(gè)零點(diǎn)C.圖像開口向上，有1個(gè)零點(diǎn)D.圖像開口向下，有3個(gè)零點(diǎn)5.知曉等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，q=2，那么數(shù)列{an}的第5項(xiàng)an等于〔〕A.16B.32C.64D.1286.知曉復(fù)數(shù)z=a+bi〔a，b∈R〕，假設(shè)arg(z)=π/2，那么復(fù)數(shù)z的虛部b等于〔〕A.0B.1C.-1D.2二、填空題〔每題5分，共20分〕要求：直接寫出答案。1.知曉等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=3，那么數(shù)列{an}的第10項(xiàng)an等于__________。2.知曉復(fù)數(shù)z=1+i，那么|z|^2=__________。3.知曉函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，那么f(1)+f(2)+f(3)=__________。4.知曉等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公比q=2，那么數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5=__________。5.知曉復(fù)數(shù)z=1-i，那么arg(z)=__________。6.知曉函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，那么f'(x)=__________。三、解答題〔每題10分，共20分〕要求：解答以下各題。1.知曉函數(shù)f(x)=(x-1)^2+2，求f(x)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。2.知曉等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3，公差d=2，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S10。四、證明題〔每題10分，共20分〕要求：證明以下各題。1.證明：假設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0，公差d>0，那么該數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)。2.證明：假設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0，公比q>1，那么該數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)。五、計(jì)算題〔每題10分，共20分〕要求：計(jì)算以下各題。1.計(jì)算定積分I=∫(0to1)(3x^2-2x+1)dx。2.計(jì)算二項(xiàng)式展開式(2x+3)^4中x^3的系數(shù)。六、應(yīng)用題〔每題10分，共20分〕要求：根據(jù)以下條件解答問題。1.一輛汽車以60千米/小時(shí)的速度行駛，剎車后每秒減速2千米/小時(shí)。求汽車從剎車到停止所需的時(shí)間。2.一個(gè)圓錐的底面半徑為r，高為h，且底面周長為C。求圓錐的體積V。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：f(x)=x^3-3x+1，求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(x)在x=-1時(shí)取得極大值，在x=1時(shí)取得極小值，因此圖像開口向上，有1個(gè)零點(diǎn)。2.B解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，a3=a1+2d，a5=a1+4d，a2=a1+d，a4=a1+3d，a6=a1+5d，代入a1+a3+a5=6和a2+a4+a6=9，解得d=2。3.A解析：由復(fù)數(shù)的模長性質(zhì)，|z-1|=|z+1|，即|z|^2-2|z|+1=|z|^2+2|z|+1，解得|z|=0，因此a=0。4.A解析：f(x)=x^2-2ax+b，f(1)=0，f(2)=0，代入得a=1，b=1，因此f(x)=(x-1)^2+1，圖像開口向上，有2個(gè)零點(diǎn)。5.B解析：an=a1*q^(n-1)，代入a1=1，q=2，n=5，得an=2^4=16。6.C解析：由arg(z)=π/2，可知z在復(fù)平面上位于虛軸正半軸，因此b=|z|=1。二、填空題1.31解析：an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得an=2+(10-1)*3=31。2.2解析：|z|^2=(1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2。3.6解析：f(x)=x^2-4x+3，f(1)=1-4+3=0，f(2)=4-8+3=-1，f(3)=9-12+3=0，因此f(1)+f(2)+f(3)=0+(-1)+0=-1。4.31解析：S5=a1*(1-q^5)/(1-q)，代入a1=1，q=2，得S5=1*(1-2^5)/(1-2)=31。5.π/2解析：由arg(z)=π/2，可知復(fù)數(shù)z位于虛軸正半軸，因此arg(z)=π/2。6.3x^2-3解析：f(x)=x^3-3x+1，求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-3。三、解答題1.解析：f(x)=(x-1)^2+2，求導(dǎo)得f'(x)=2(x-1)，令f'(x)=0得x=1，f(1)=2，因此極值點(diǎn)為x=1，對(duì)應(yīng)的極值為2。2.解析：an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，得an=3+(10-1)*2=21，S10=n/2*(a1+an)=10/2*(3+21)=120。四、證明題1.解析：假設(shè)存在某項(xiàng)an≤0，那么a1+(n-1)d≤0，與首項(xiàng)a1>0矛盾，因此數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)。2.解析：假設(shè)存在某項(xiàng)an≤0，那么a1*q^(n-1)≤0，與首項(xiàng)a1>0矛盾，因此數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)。五、計(jì)算題1.解析：I=∫(0to1)(3x^2-2x+1)dx=[x^3-x^2+x]from0to1=(1-1+1)-(0-0+0)=1。2.解析：展開式(2x+3)^4=16x^4+96x^3+216x^2+216x+81，x^3的系數(shù)為96。六、應(yīng)用題1.解析：設(shè)汽車從剎車到停止所需的時(shí)間為t秒，根據(jù)題意有60-2t=0，解得t=30秒。2.解析：圓錐的體積V=(1/3)πr^2h，底面周長C=2πr，得r=C/(2π)，代入體積公式得V=(1/3)π(C^2/(4π^2))(h)=C^2h/(12π)。本次試卷答案如下：四、證明題1.解析：假設(shè)存在某項(xiàng)an≤0，那么a1+(n-1)d≤0。由于首項(xiàng)a1>0，且公差d>0，這意味著隨著n的增加，an應(yīng)該逐漸增大。因此，不可能存在an≤0的情況，這與假設(shè)矛盾。因此，數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)。2.解析：假設(shè)存在某項(xiàng)an≤0，那么a1*q^(n-1)≤0。由于首項(xiàng)a1>0，且公比q>1，這意味著隨著n的增加，q^(n-1)會(huì)變得越來越大，因此an也應(yīng)該逐漸增大。這與an≤0矛盾，因此數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)。五、計(jì)算題1.解析：計(jì)算定積分I=∫(0to1)(3x^2-2x+1)dx，首先對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行積分：I=∫(3x^2-2x+1)dx=∫3x^2dx-∫2xdx+∫1dx=x^3-x^2+x+C然后計(jì)算定積分的值，代入上限和下限：I=[x^3-x^2+x]from0to1=(1^3-1^2+1)-(0^3-0^2+0)=1-1+1=1。2.解析：計(jì)算二項(xiàng)式展開式(2x+3)^4中x^3的系數(shù)，使用二項(xiàng)式定理：(2x+3)^4=∑(k=0to4)C(4,k)*(2x)^k*3^(4-k)其中C(4,k)是組合數(shù)，表示從4個(gè)不同元素中選擇k個(gè)元素的組合數(shù)。要找到x^3的系數(shù)，我們需要k=3，因?yàn)?2x)^3將產(chǎn)生x^3項(xiàng)：C(4,3)*(2x)^3*3^(4-3)=4*8x^3*3=96x^3因此，x^3的系數(shù)是96。六、應(yīng)用題1.解析：汽車以60千米/小時(shí)的速度行駛，剎車后每秒減速2千米/小時(shí)。設(shè)汽車從剎車到停止所需的時(shí)間為t秒，那么汽車在t秒后的速度為60-2t千米/小時(shí)。由于汽車最終停止，其速度為0，我們可以建立以下方程：60-2t=0解得t=30秒。因此，汽車從剎車到停止所需的時(shí)間是30秒。2.解析：圓錐的底面周長C=2πr，其中r是底面半徑。由C=2πr，可以解出r：r=C/(2π)圓錐的體積V=(1/3)πr^2h，其中h是圓錐的高。由于題目沒有給出h的具體值，我們可以用C來表示h，因?yàn)榈酌嬷荛LC與高h(yuǎn)成正比。設(shè)圓錐的高為h，那么有：h