專題13配湊法-教師版

專題13配湊法考向考向一解決最值問題【方法儲備】用基本不等式求最值時需要注意三個條件：一正、二定、三相等，“一正”不滿足時，需提負(fù)號或分類討論，“二定”不滿足時，需變形，“三相等”不滿足時，可利用函數(shù)單調(diào)性.答題思路1：“配系數(shù)”使和式為定值系數(shù)配湊法大多用于形如ab的積的形式，通過系數(shù)配湊，使ab=1kkab,且答題思路2：“配項(xiàng)”使積式為定值（1）拆項(xiàng)配湊法大多用于形如a+b的和的形式，通過拆項(xiàng)，使a+b=a（2）添項(xiàng)配湊大多用于形如1a+1b的形式，若a+b為定值k，通過添加項(xiàng)（3）有關(guān)分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮拆項(xiàng)，變?yōu)楹偷男问?，然后配湊定積.【典例精講】例1.(2023·浙江省·聯(lián)考題)若實(shí)數(shù)m>0，n>0，滿足2m+n=1，以下選項(xiàng)中正確的有(

)A.mn的最小值為18 B.nm+1n的最小值為1+22

C.3解：因?yàn)?m+n=1，4m2+n2=2m+n2?4mn，

又因?yàn)?m+n?22mn，即mn?18，

當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=12時等號成立，故A錯誤；

得到4m2+n22?(2m+n2)2=14，即4m2+n2?12，

當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=12【拓展提升】練11(2023·天津市·月考試卷)已知實(shí)數(shù)a>b>0，當(dāng)2a+b+1a?b+4a+2b取得最小值時，則ab的值為解：根據(jù)題意可得，2a+b+1a?b因

a>b>0

，所以

a?b>0

，

a+2b>0

，所以

a?b+即

2a+b+1a?b當(dāng)且僅當(dāng)

a?b=1a?b此時

a?b=1a+2b=2

，解得

a=43b=13故答案為：

4.練12(2023·天津市·期末考試)已知a>0，b>0，且1a+2+2b=23，則2a+b的最小值為

．

解：因?yàn)閍>0，b>0，且1a+2=32(4+ba+2+4(a+2)b)?4≥32(4+2ba+2?4a+8b)?4=8練13(2023·山東省濟(jì)寧市·模擬題)已知函數(shù)y=ax?1(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線mx+2ny=8(m>0,n>0)上，則8mn?32m的最小值是

．

解：函數(shù)y=ax?1(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)A1,1，

因?yàn)辄c(diǎn)A在直線mx+2ny=8(m>0,n>0)上，

所以m+2n=8，所以2n=8?m，

由m>02n=8?m>0，得0<m<8，

則8mn?32m=16m(8?m)?32m

=32?3(8?m)2m(8?m)=3m+8?2m2+16m，

令t=3m+8，則考向二考向二解決化簡求值問題【方法儲備】配湊法解決化簡求值問題的常用策略：1.把結(jié)論變形，湊出題設(shè)形式，以方便利用已知條件2.把題設(shè)變形，湊出結(jié)論形式，以從中推出結(jié)論3.把題設(shè)先變形，再把結(jié)論變形，湊出變形后的題設(shè)形式【典例精講】例2.(2023·四川省·月考)已知sin(x+π6)=7210,x∈(π2,π)．解：(1)∵x∈(π2,π)，所以x+π6∈(=7210=2sin(x+π6【拓展提升】練21(2023·陜西省·聯(lián)考)sin10°sin50°sin70°=

．解：sin10°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=8sin20°cos20°cos40°cos80°8sin20練22(2023·湖北省·月考)已知x+x?1=4，(0<x<1)，則x2?A.6 B.6 C.?42 D.解：∵x+x?1=4，(0<x<1)，則x<x?x?1=?x?x?12=?x+練23(2023·湖北省·聯(lián)考)若(2x+1)8=aA.56 B.448 C.?56 D.?448解：(2x+1)8=[2(x+1)?1]8，

故系數(shù)a3=23×(?1考向三構(gòu)造數(shù)列【方法儲備】考向三構(gòu)造數(shù)列應(yīng)用配湊法構(gòu)造數(shù)列的常見類型：1.對于形如an+1=kan+b的數(shù)列，配湊成a2.對于形如an+1=kan+bn+m的數(shù)列，配湊成a3.對于形如an+1=kan+kn的數(shù)列，配湊成a4.對于形如an+1=kan+bn的數(shù)列，配湊成an+1bn+1=k注意：1.k,b,m等都是常數(shù),但是注意k不能為1,k為1的時候就會變?yōu)榈炔顢?shù)列或者累加法求解;2.待定系數(shù)法求出之后,為了避免出錯,盡量把以什么為首項(xiàng),什么為公差或公比寫出來;3.還有一些不常見的構(gòu)造數(shù)列,碰到的話要大膽猜測,仔細(xì)驗(yàn)證.【典例精講】例3.(2023·江蘇省·模擬)已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列an滿足an+12an2+4naA.64 B.60 C.48 D.32解：由題意得，n+1an+1=2an2+4nan+n2an2=(nan)2+4?nan+2，∴n+1an+1+2=(nan+2)2．【拓展提升】練31(2023·福建省·模擬)（多選）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=A.數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列 B.數(shù)列{a解：an=an?1+2an?2，an+an?1=2an?1+2an?2=2(an?1+an?2)(n≥3)，

因?yàn)閍1=a2=1，所以a3=a1+2a2=3，a3+a2=4=2(a2+aS20=a1+a2+…+a練32(2023·山東省·聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an=2an?1