【寒假培優(yōu)】小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)思維奧數(shù)寒假講義-第7講 進(jìn)制

第7講進(jìn)制

【知識(shí)梳理】

一、數(shù)的進(jìn)制

1.十進(jìn)制：

我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一二在實(shí)際生活,中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，

還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。

2.二進(jìn)制：

在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)

字。和晨二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、2\2\2\……,二進(jìn)制數(shù)也可以寫(xiě)做展開(kāi)式的形

式,例如10011()在二進(jìn)制中表示為：(100110)F1X25+0X24+0X23+1X22+1X2J+0X2%

二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一

得零，一一得一。

注意：對(duì)于任意自然數(shù)〃，我們有〃

3.k進(jìn)制：

一般地，對(duì)于A進(jìn)位制，每個(gè)數(shù)是由0,1,2,,(k-D共女個(gè)數(shù)碼組成，且

“逢〃進(jìn)一”.內(nèi)女＞1)進(jìn)位制計(jì)數(shù)單位是40,",k\.如二進(jìn)位制的計(jì)數(shù)單位是

2°,21,22,,八進(jìn)位制的計(jì)數(shù)單位是8°,8),82,?

4.〃進(jìn)位制數(shù)可以寫(xiě)成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和的形式

4［傳入=/X&"+冊(cè)TX+…+%X左+他

十進(jìn)制表示形式：N=a?\0"+1(T-?+/10°；

二進(jìn)制表示形式：N=%2〃+q-2"T++%2°；

為了區(qū)別各進(jìn)位制中的數(shù)，在給出數(shù)的右下方寫(xiě)上3表示是攵進(jìn)位制的數(shù)

如：(352%,(IO1。％,(3145)12,分別表示八進(jìn)位制，二進(jìn)位制，十二進(jìn)位制中的數(shù).

5.k進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣

先乘除，后加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。

二、進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換：

一般地，十進(jìn)制整數(shù)化為攵進(jìn)制數(shù)的方法是：除以左取余數(shù)，一直除到被除數(shù)小于左為

止，余數(shù)由下到上按從左到右順序排列即為k進(jìn)制數(shù).反過(guò)來(lái)，出進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的

?般方法是：首先將我進(jìn)制數(shù)按&的次幕形式展開(kāi)，然后按十進(jìn)制數(shù)相加即可得結(jié)果.

如圖所示:

八進(jìn)制

M：橫:泉AM甚

刈他期如1困

按權(quán)相加法

額:BCW楨:m法

按權(quán)相加微

加融齷I率?世

H：酎四軸

65432I<>

(1101011)2=1X2+1X2+0X2+1X2+0X2+1X2+0X2=107

蟒習(xí)2.

同學(xué)們請(qǐng)將(11010101)2,(4203%,(7236)8化為十進(jìn)制數(shù),看誰(shuí)算的又快又準(zhǔn)。

【答案】213,553,3742

765432

【解析】(H0I0101)2=1X2+IX2+0X2+1X24-0X2+1X2+0X2'+1x2°

=128+64+16+4+1=213

32

(4203)5=4X5+2X5+0X5'+3X50=500+50+3=553

32

(7236)8=7X8+2X8+3X8'+6X8°=3584+128+24+6=3742

J

二進(jìn)制數(shù)10101011110011010101101轉(zhuǎn)化為8進(jìn)制數(shù)是多少?

【答案】(25363255、

【解析】根據(jù)二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法推導(dǎo)出二人對(duì)照表：

八進(jìn)制數(shù)01234567

二進(jìn)制數(shù)0000010100111C0101110111

從后往前取三合一進(jìn)行求解，可以得知(10101011110011010101IO)=(25363255)§

另：也可以先將二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制，再將十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制。

將二進(jìn)制數(shù)11101轉(zhuǎn)換為五進(jìn)制數(shù)。

【答案】(IN),

4320

【解析】(11101)2=1X2+1X2+1X2+0X2'+1X2=(29)I0；

(29)10=(104)5

現(xiàn)有1克，2克，4克，8克，16克的跌碼各1枚，在天平上能稱多少種不同重量的物

體？

【答案】31

【解析】因?yàn)殪畲a的克數(shù)恰好是1,2,4,8,16,而二進(jìn)位制數(shù)從右往左數(shù)各位數(shù)字分別

表示：1,2,2z=4,23=8,24=16,在祛碼盤(pán)上放1克磋碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第一位（從右

數(shù)）是1,放2克祛碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第二位是1,……,放16克祛碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)

第五位是1,不放祛碼就認(rèn)為相應(yīng)位數(shù)是零，這樣所表示的數(shù)中最小的是1,最大的是

4320

（11111）2=24-2+2+2'+2=31,這就是說(shuō)1至31的每個(gè)整數(shù)（克）均能稱出。所以共

可以稱出31種不同重量的物體。

（蟒習(xí)4）

古代英國(guó)的一位商人有一個(gè)15磅的祛碼，由于跌落在地碎成4塊，后來(lái)，稱得每

塊碎片的重量都是整磅數(shù)，而且可以用這4塊來(lái)稱從I至15磅之間的任意整數(shù)磅的重物

（祛碼只能放在天平的一邊）。那么這4塊祛碼碎片各

重，，，。

【答案】1,2,4,8

【解析】因?yàn)槎M(jìn)制數(shù)可以表達(dá)所有的自然數(shù)，而且表達(dá)形式是唯一的，例如：9=1+8,

31=1+2+4+8+16……所以只要準(zhǔn)備質(zhì)量為1,2,4,8的二進(jìn)制數(shù)祛碼即可。

【能力提升】

若（1030）“=140,則〃=.

【答案】5

【解析】若（1030）〃=140,則/+3〃=140,經(jīng)試驗(yàn)可得〃=5.

【課后鞏固】

1.跟著老師一起將十進(jìn)制制35轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制、四進(jìn)制、八進(jìn)制。

【答案】(35)10=(100011)2=(203)4=(43)8

【解析】(35)|0=(100011)2=(203)4=(43)8

2.將25轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制和七進(jìn)制。

【答案】(25)IO=(11001)2=(34)7

【解析】(25)10=(11001)2=(34)7

3.請(qǐng)將下面的二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制。

(110011)2=()10(1000010)2=()10

【答案】(110011%=51；(1000010)2=66

5432

【解析】(110011)2=1X2+1X2+0X2+0X2+1X2'+lx2°=51；

6

(1000010)2=lx24-lx2'=(66)10

4.二進(jìn)制數(shù)10101轉(zhuǎn)化為8進(jìn)制數(shù)是多少?

【答案】(10101)2=(21)10=(25)8

42

【解析】(10101)2=1X24-1X24-1X2°=(21)10；(21)10=(25)8

5.把二進(jìn)制(110%轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)。

【答案】(110)2=(6)10

【解析】(110)2=(6)10

6.把十進(jìn)制38改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。

【答案】(38)IO=(100I10)

【解析】(38)lo=(lOOllO)

7.若(1030)n=140,則「=_______.

【答案】5

【解析】若。("⑴”二】40,則/+3〃=140,經(jīng)試驗(yàn)可得〃=5.

8.計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量的基本單位是字節(jié)，用B表示，一般用KB、MB、GB作為存儲(chǔ)容量的

單位，它們之間的關(guān)系是1KB=2,OB,1MB=2,0KB,lGB=2i°MB.小明新買(mǎi)了一個(gè)朋△播

放器，存儲(chǔ)容量為256UB,它相當(dāng)于____Bo

［答案】256MB=256x210KB=256x2,(,x2,0B=256x22(,B

【解析】256MB=256x210KB=256x2,0x2,0B=256x220B

9(54%表示n進(jìn)制數(shù)，若(54)n=(64)m求n.

【答案】12

【解析】若^^/(⑨兒，則(54%=5n+4=64,n=12

10.如果只許在天平的一邊放祛碼，要稱量100g以內(nèi)的各種整數(shù)克數(shù)，至少需要多少個(gè)祛

碼？

【答案】至少需要：1,2,4.8,16,32.64這七種重量的硅碼即可

【解析】至少需要：1，2,4,8,16,32,64這七種重量的跌碼即可

【小測(cè)驗(yàn)】

1.二進(jìn)制的1000001相當(dāng)于十進(jìn)制的

A.62B.63C.64D.65

【答案】I)

2.十進(jìn)制的100相當(dāng)于二進(jìn)制的

A.1000000B.1100000C.1100100D.1101000

【答案】C

3