2025年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ卷）（全解全析）

2025年高考第一次模擬考試高三數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ卷）·全解全析注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則以下命題為真命題的是（

）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．的虛部為C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】D【詳解】，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，的虛部是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，D選項(xiàng)正確.故選：D3．已知平面向量的夾角為，且，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由可得，化簡得，解得或（舍去），則，因?yàn)椋?，所以，又，所以．故選：D.4．托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的問題中得到了一個(gè)公式：．這個(gè)定理在實(shí)際生活中有著重要的應(yīng)用價(jià)值．假設(shè)某種疾病在所有人群中的感染率是，醫(yī)院現(xiàn)有的技術(shù)對于該疾病檢測準(zhǔn)確率為，即已知患病情況下，的可能性可以檢查出陽性，正常人的可能性檢查為正常．如果從人群中隨機(jī)抽一個(gè)人去檢測，經(jīng)計(jì)算檢測結(jié)果為陽性的全概率為0.01098，請你用這個(gè)公式估計(jì)在醫(yī)院給出的檢測結(jié)果為陽性的條件下這個(gè)人得病的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記一個(gè)人得病為事件A，檢測結(jié)果為陽性為事件B，得，從而計(jì)算求出得到答案.【詳解】記一個(gè)人得病為事件A，檢測結(jié)果為陽性為事件B，則，，，所以，所以在醫(yī)院給出的檢測結(jié)果為陽性的條件下這個(gè)人得病的概率為，故選：C．5．已知角滿足：，則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，，，故選：B．6．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，對稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，所以要想函數(shù)在上為減函數(shù)，只需函數(shù)在上為增函數(shù)，且在上恒成立，所以，且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.7．已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，且直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，過作于，易知，所以為的中位線，又圖中雙曲線的漸近線方程為，則，，則為線段的中點(diǎn)，所以為等腰三角形，即，又，即，，即，，解得.故選：B.8．已知函數(shù)，，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由函數(shù)，得當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為.當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減.又，，，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為【答案】ABC【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以和為關(guān)于的方程的兩根且，所以，所以，所以，故A正確；又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，所以的最大值為，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為，故C正確；因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，所以的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10．已知點(diǎn)，，拋物線的焦點(diǎn)為是上的動點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在動點(diǎn)的軌跡上B．周長的最小值為C．當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4D．面積的最大值為【答案】BCD【詳解】由題可知F1,0，設(shè)點(diǎn)Mx,y，則，.，，化簡得，即，則動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓.對于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)不在動點(diǎn)的軌跡上，故A錯(cuò)誤；對于B，拋物線的準(zhǔn)線方程為，如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即.又，所以周長的最小值為，故B正確；對于C，如圖，當(dāng)與圓相切且點(diǎn)在軸上方時(shí)，最小.連接，所以.，，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故C正確；對于D，因?yàn)?，為定值，所以若的面積取得最大值，則只需要?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)即可.直線，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，故D正確.故選：BCD.11．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別為棱，，的中點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上（包含端點(diǎn)）運(yùn)動，則（

）A．直線與直線所成角的余弦值為B．存在點(diǎn)，使得直線平面C．點(diǎn)在運(yùn)動的過程中，三棱錐的體積不變D．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【詳解】對于A，如圖①，取的中點(diǎn)，連接，由三棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角.由是的中點(diǎn)，，得，是以為斜邊的直角三角形，又，所以是等腰直角三角形，所以，所以，又，，所以在中，由余弦定理的推論得，故直線與直線所成角的余弦值為，故A正確；對于B，如圖②，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的重心，即，連接交于點(diǎn)，連接，若存在點(diǎn)，使得直線平面，則由線面平行的性質(zhì)定理得，因?yàn)辄c(diǎn)分別為線段，的中點(diǎn)，所以，，由知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，這與矛盾，故假設(shè)不成立，即不存在點(diǎn)，使得直線平面，故B錯(cuò)誤；對于C，，又，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離不變，為定值，即是定值，故C正確；對于D，如圖③，，則，即，即，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，是等腰直角三角形，把三棱錐補(bǔ)形為棱長為2的正方體，則線段為三棱錐外接球的直徑，即外接球半徑，外接球的表面積，故D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．某批零件的尺寸服從正態(tài)分布，且滿足，零件的尺寸與8的誤差不超過4即合格，從這批產(chǎn)品中抽取件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，則的最小值為．【答案】4【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，，所以，所以，所以，所以，即每個(gè)零件合格的概率為．因?yàn)楹细窳慵簧儆?件的對立事件是合格零件件數(shù)為0或1，且合格零件件數(shù)為0或1的概率為，所以，即．令，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，而，，所以不等式的解集為，所以的最小值為4．故答案為：4.13．函數(shù)的最小值為．【答案】-1【詳解】令，則

，當(dāng)時(shí)，，即的最小值為本題正確結(jié)果：14．已知函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則的最大值為.【答案】【詳解】，定義域?yàn)?，且，故y=f(x)是奇函數(shù)；又，且，，故恒成立，故y=f(x)在上單調(diào)遞增；，即，也即，故，也即在恒成立；令，則；令，則，故在單調(diào)遞增；又，故存在，使得，即；則當(dāng)，，故，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)，，故，此時(shí)單調(diào)遞增；故時(shí)，取得最小值，又滿足：，兩邊取對數(shù)可得，也即；故的最小值.故，則的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）在中，角的對邊分別為，，且．(1)當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)為等腰三角形或直角三角形．(2)．【詳解】（1）由正弦定理得，，所以，............................................................（2分）即，又，B∈0,π，，所以或．............................................................（3分）若，則，與矛盾，所以，此時(shí)或．............................................................（5分）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即為等腰三角形或直角三角形．............................................................（6分）（2）由（1）得，所以或．............................................................（7分）當(dāng)時(shí)，，而為銳角三角形，所以，，，即．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為鈍角，不符合題意．............................................................（9分）由余弦定理的推論得，由正弦定理得．............................................................（11分）因?yàn)?，所以，所以，即，所以的取值范圍?1,1．............................................................（13分）16．（15分）如圖，三棱柱中，，，，，.(1)求證：平面；(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）在中，由余弦定理，可得，則，化簡得，解得，.........................................................（3分）則有，所以，又，平面ABC，所以平面ABC，又平面ABC，所以，............................................................（5分）又，，平面，平面，所以平面.............................................................（7分）（2）由（1）易知，AC，BC兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，，，..............................（8分）設(shè)平面的法向量為n1=則，可得，所以，令，則，，............................................................（10分）設(shè)平面的法向量為，則,可得,令，則，，故，............................................................（12分）設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，......................................................（14分）則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.............................................................（15分）17．已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；(2)；(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?...............................（1分）則，令，則，............................................................（2分）令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最小值，即，所以，所以在上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間．............................................................（5分）（2）因?yàn)?，，所以要使?dāng)時(shí)，，必須滿足，即．............................................................（6分）下面證明滿足題意：①當(dāng)時(shí)，由，．令，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即；............................................................（8分）②當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不恒成立．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．............................................................（10分）（3）由（2）知，當(dāng)，時(shí)，，即，所以．............................................................（1分）令，則，，所以............................................................（13分）令，則，所以，即．............................................................（15分）18．高血壓（也稱血壓升高），是血液在流動時(shí)對血管壁造成的壓力值持續(xù)高于正常范圍的現(xiàn)象，典型癥狀包括頭痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鳴等．最新的調(diào)查顯示，中國成人高血壓的患病率為，大概每三位成人中就有一位是高血壓患者．改善生活方式和藥物治療是最常用的治療方式，同時(shí)適當(dāng)鍛煉可以使血壓水平下降，高血壓發(fā)病率降低，控制高血壓的發(fā)展．(1)某社區(qū)為鼓勵(lì)和引導(dǎo)轄區(qū)居民積極參加體育健身活動，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，開展“低碳萬步走，健康在腳下”徒步走活動．下表為開展活動后近5個(gè)季度社區(qū)高血壓患者的血壓情況統(tǒng)計(jì)．季度12345血壓明顯降低（或治愈）人數(shù)320270210150100若血壓明顯降低（或治愈）人數(shù)與季度變量（季度變量依次為）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測第6季度血壓明顯降低（或治愈）的大約有多少人？(2)社區(qū)將參加徒步走活動的隊(duì)員分成了甲、乙、丙三組進(jìn)行挑戰(zhàn)賽，其規(guī)則：挑戰(zhàn)權(quán)在任何一組，該組都可向另外兩組發(fā)起挑戰(zhàn)，首先由甲組先發(fā)起挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)乙組、丙組的概率均為，若甲組挑戰(zhàn)乙組，則下次挑戰(zhàn)權(quán)在乙組．若挑戰(zhàn)權(quán)在乙組，則挑戰(zhàn)甲組、丙組的概率分別為，；若挑戰(zhàn)權(quán)在丙組，則挑戰(zhàn)甲組、乙組的概率分別為，．（?。┙?jīng)過3次挑戰(zhàn)，求挑戰(zhàn)權(quán)在乙組的次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)，使得當(dāng)時(shí)，（是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，稱為數(shù)列的聚點(diǎn)．經(jīng)過次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權(quán)在甲組的概率為，證明數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，并求出聚點(diǎn)的值．附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】(1)42人；(2)（?。┓植剂幸娊馕?，（ⅱ）證明見解析，．【詳解】（1）由已知可得，．............................................................（2分）又因?yàn)?，?...........................................................（3分）所以，所以，所以，............................................................（5分）當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測第6季度血壓明顯降低（或治愈）的大約有42人．............................................................（6分）（2）（ⅰ）由題知的所有可能取值為0，1，2，；；，所以的分布列為012所以．............................................................（10分）（ⅱ）設(shè)經(jīng)過次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權(quán)在乙、丙組的概率分別為，，則當(dāng)時(shí)，，，，由后兩個(gè)等式相加，得．

①因?yàn)?，所以，，代入①式得?...........................................................（12分）即，所以．因?yàn)?，，所以，所以?...........................................................（14分）所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，............................................................（15分）所以由，得，即，所以對任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)（表示不超過的最大整數(shù)），使得當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，聚點(diǎn)的值為．............................................................（17分）19．在平面直角坐標(biāo)系中，若，兩點(diǎn)在直線的同一側(cè)，則稱，為“-同域點(diǎn)”；若，兩點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，則稱，為“-異域點(diǎn)”.已知：拋物線：，：.(1)若點(diǎn)2,0，為“-異域點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)已知過0,1的直線與拋物線交于Ax1,y（Ⅰ）若，為“-同域點(diǎn)”，比較與0的大小關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）直線的斜率為，過原點(diǎn)作斜率為的直線，，，點(diǎn)，到直線的距離分別記為，，若，求點(diǎn)，為“-同域點(diǎn)”的概率.【答案】(1)；(2)（Ⅰ），理由見解析；（Ⅱ）【詳解】（1）：，要使點(diǎn)2,0，為“-異域點(diǎn)”，則2,0應(yīng)