福建省廈門(mén)市2025屆高三第四次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)福建省廈門(mén)市2025屆高三第四次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．復(fù)數(shù)z=12?iA．?15 B．15 C．2．已知雙曲線C的頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，若△A1AA．2 B．3 C．2 D．53．在1+2xn的展開(kāi)式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則A．10 B．40 C．80 D．1204．以邊長(zhǎng)為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（

）A．π B．π2 C．π3 5．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，A．4 B．6 C．8 D．126．廈門(mén)某會(huì)場(chǎng)座位共有20排，第一排有15個(gè)座位，從第二排起，每一排都比前一排多兩個(gè)座位．現(xiàn)有一個(gè)200人的代表團(tuán)來(lái)該會(huì)場(chǎng)參加會(huì)議，主辦方需預(yù)留前n排座位給該代表團(tuán)，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．107．已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2A．12 B．π2 C．1 8．已知集合A=xe2x<ax，A．?∞,2 B．?∞,2二、多選題9．甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場(chǎng)比賽的得分如圖所示，則（

）

A．甲得分的極差大于乙得分的極差B．甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)C．甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)D．甲得分的方差大于乙得分的方差10．如圖，一個(gè)漏斗的上面部分可視為長(zhǎng)方體ABCD?A′B′CA．A′O⊥ABC．平面AA′P⊥平面BDP11．已知an是首項(xiàng)為a1，公比為q的遞增等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn．若對(duì)任意的n∈N*，總存在A．?12n不是“可分等比數(shù)列” C．若an是“可分等比數(shù)列”，則m=n D．若三、填空題12．已知函數(shù)fx=?x2,13．A,B,C,D四個(gè)人排成一排，當(dāng)A,14．已知直線l：y?2=0與圓O：x2+y2=4相切于點(diǎn)T，A是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足PO四、解答題15．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量m=sin(1)求A；(2)若a=2，求16．已知函數(shù)fx=1(1)討論fx(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明：17．如圖，在多面體ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，平面CD(1)證明：DF//平面(2)若直線EF與底面ABCD的交點(diǎn)為G，直線AG上是否存在點(diǎn)N，使得平面E18．已知橢圓E：x2a2+y(1)求E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)T3,0且不垂直于y軸的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，直線AF與E交于點(diǎn)（i）證明：△F（ii）若點(diǎn)M是△ABC19．在一個(gè)不透明的口袋中裝有大小、形狀完全相同的n個(gè)小球，將它們分別編號(hào)為1,2,3,(1)求PX2=(2)求EX(3)證明：EX附：①若隨機(jī)變量X的可能取值為1,2②若隨機(jī)變量X=i=答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《福建省廈門(mén)市2025屆高三第四次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BACDCCBBBCBCD題號(hào)11答案ACD1．B【分析】用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出z=【詳解】z=12?i故選：B.2．A【分析】不妨設(shè)雙曲線方程為x2a2?y【詳解】不妨設(shè)雙曲線方程為x2不妨取A1?a,0因?yàn)椤鰽1A2B所以∠A1BA2=π雙曲線C的離心率e=故選：A3．C【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)的和為32求出n的值，再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)即可求得.【詳解】依題意，2n=32則二項(xiàng)式1+2x取r=3，即得x3故選：C.4．D【分析】由題可得旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)幾何體為兩個(gè)同底的圓錐，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得相應(yīng)體積.【詳解】如圖，正三角形繞AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個(gè)同底的圓錐，圓錐的底面半徑為r=OC=故選：D.5．C【分析】將AC用A【詳解】由題可知DC=1因AD則A故選：C.6．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算判斷即可.【詳解】由題知,前n排座位數(shù)依次構(gòu)成以15為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故前n排座位數(shù)之和15n解得：n≥9，故故選：C.7．B【分析】利用f0=12可求得φ；作出二面角的平面角，結(jié)合余弦定理和勾股定理可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得【詳解】∵f0=sinφ記點(diǎn)0,?12為∵A′O⊥OB，DO∴A′D∵CD//x軸，∴CD⊥OD∴CD⊥平面A′OD，又∴CD=∴fx的最小正周期T=故選：B.8．B【分析】先解一元二次不等式求出集合B，然后由A∩B=?可得在x∈(0,1【詳解】由x2?x<0所以B=因?yàn)锳=xe所以當(dāng)x∈(0,1令f(x)=e當(dāng)0<x<14時(shí)，f所以f(x)在0所以f(所以a≤2e，即a故選：B9．BC【分析】將甲乙得分由低到高排列，再按照極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義計(jì)算即可.【詳解】甲5場(chǎng)比賽得分由低到高分別為15,乙5場(chǎng)比賽得分由低到高分別為4,則甲的極差為30?15=故甲得分的極差小于乙得分的極差，故A錯(cuò)誤；甲的平均數(shù)15+16+則甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)，故B正確；甲的中位數(shù)為18，乙的中位數(shù)為16，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故C正確；甲的方差15?乙的方差4?故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．BCD【分析】分別利用線面、面位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)結(jié)合題設(shè)條件逐項(xiàng)分析即可判斷.【詳解】對(duì)于A，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，由正四棱錐性質(zhì)可得PO⊥因?yàn)锳′A⊥面ABC又AO不與AB垂直，故A'對(duì)于B，由題PO//AA所以A′O//AP,所以A′O/對(duì)于C，因?yàn)镻O//CC'//A平面AA′P即為平面CC′A′A，因?yàn)樗訟'A⊥BD所以BD⊥平面CC′A所以平面BDP⊥平面CC′對(duì)于D，由C可知CC′與A′P都在平面CC故選：BCD.11．ACD【分析】對(duì)于A，取n=2，則不存在m∈N*，使得an≤【詳解】對(duì)于A，若an=?因?yàn)閍n<0又因?yàn)閍2所以不存在正整數(shù)m，使得a2所以?1對(duì)于B，若an=3所以S1=32<所以不存在正整數(shù)m，使得a2≤S對(duì)于C，若a1<0，則有Sn≤a1因?yàn)閍n是遞增等比數(shù)列，所以q>1因?yàn)閍n≤Sm<下證：對(duì)任意n∈N?，當(dāng)且僅當(dāng)m反證法：假設(shè)存在正整數(shù)n，使得當(dāng)m≤n?取滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)n0，此時(shí)有m≤n0?則an0?1≤Sn所以對(duì)任意n∈N*，當(dāng)且僅當(dāng)m對(duì)于D，下證：q≥由上可知m=n，即an≤S①當(dāng)q≥2時(shí)，因?yàn)閝n②當(dāng)1<q<當(dāng)n>lo綜上，q≥故選：ACD.12．8【分析】求出f(a)=3【詳解】f(所以f(因?yàn)閤≤0時(shí)，所以a>0，f(故答案為：813．18【分析】采用插空法和捆綁法直接求解即可.【詳解】當(dāng)A，B不相鄰時(shí)，采用插空法，先排其余兩人再讓A，B插空，共有A2當(dāng)A，B相鄰時(shí)，將A,B看作一個(gè)整體，并且A在相當(dāng)于3個(gè)人排隊(duì)，則不同的排法有A3所以共有12+故答案為：18.14．33/【分析】設(shè)Px,y，由題意可得y?2=PA=【詳解】設(shè)Px,y直線l：y?2=0與圓O：x2+以P為圓心，PA為半徑的圓恰與l則可得y?2=PA從而可設(shè)Px0,則sin∠由于x0216+4所以sin∠PTO=故答案為：33【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系、距離公式，確定點(diǎn)P的軌跡方程，根據(jù)軌跡方程確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合不等式或者函數(shù)求解最值即可.15．(1)π(2)6【分析】（1）由m⊥n，得∴a（2）由余弦定理得4=b2【詳解】（1）.∵m⊥n∴a根據(jù)正弦定理∴sin∵sinC≠∴2sinA∵0<A<π∴A（2）由余弦定理a2得4=根據(jù)基本不等式，bc≤b則b+c≤所以當(dāng)b=16．(1)當(dāng)a≤0時(shí)，fx在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)a>(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出f′x，分a≤（2）轉(zhuǎn)化為證明fxmin≥lna【詳解】（1）fx的定義域?yàn)閤|x當(dāng)a≤0時(shí)，f′當(dāng)a>0時(shí)，令f′所以x>a時(shí)f′0<x<a時(shí)綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，fx當(dāng)a>0時(shí)，fx在a（2）由（1）a>0時(shí)，fx在a所以fx要證明fx≥ln即證明12a2令gag′令ha=a所以ha在a∈0,+因?yàn)間′所以當(dāng)0<a<1時(shí)當(dāng)a>1時(shí)g′可得ga即fx17．(1)證明見(jiàn)詳解(2)否存在點(diǎn)N，使得平面EBN與平面E【分析】（1）證明平面ABE//平面CD（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面EBN與平面【詳解】（1）取CD中點(diǎn)M，連接F因?yàn)椤鰿DF又因?yàn)槠矫鍯DF⊥平面ABCD，平面所以FM⊥平面因?yàn)锳E⊥平面AB又因?yàn)镕M?平面CDF,AE因?yàn)樗倪呅蜛BCD又因?yàn)锳B?平面CDF,CD又因?yàn)锳B∩AE=A,AB因?yàn)镈F?平面CDF，所以（2）因?yàn)锳E//FM延長(zhǎng)EF交AM的延長(zhǎng)線于AM?平面ABCD以A為原點(diǎn)，AB,AB2DC=2設(shè)平面ECD的法向量為則n1?DC=0n設(shè)AN=λ設(shè)平面EBN的法向量為則n2?令z2=2則cosn解得λ=故AN18．(1)x(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）9【分析】（1）依題意求出a、c，即可求出b，從而得解；（2）（i）設(shè)直線AB的方程為x=my+3，Ax1,（ii）設(shè)AB的中點(diǎn)為Nx0,y0，求出【詳解】（1）依題意可得e=ca=3所以橢圓方程為x2（2）（i）設(shè)直線AB的方程為x=my+由x23+所以Δ=12m所以y1+y若BF⊥x軸，由x=1x23+y2所以AF、B所以kAF+又my所以kAF+又因?yàn)锽、C均在橢圓上，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知FB=F（ii）設(shè)AB的中點(diǎn)為Nx0,y所以N9所以AB的垂直平分線為y令y=0可得x=所以△AMC令t=m>3，設(shè)所以f′所以當(dāng)3<t<322時(shí)所以ft在3,3所以當(dāng)t=322時(shí)所以△AMC19．(1)PX2(2)E(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）理解X2=4（2）根據(jù)題意求出PX（3）求出Pξi=k