2025年中考數(shù)學(xué)考前高頻考點(diǎn)沖關(guān)：二次函數(shù)綜合題

2025中考數(shù)學(xué)考前高頻考點(diǎn)沖關(guān)：二次函數(shù)綜合題一．選擇題（共10小題）1．如圖，拋物線(xiàn)y=x2-2x與直線(xiàn)y=3相交于點(diǎn)A、B，P是x軸上一點(diǎn)，若PA+PB最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（-1，0）B．（0，0）C．（1，0）D．（3，0）2．拋物線(xiàn)y=?23x2+2bx與x軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)是點(diǎn)O和點(diǎn)A，頂點(diǎn)B在直線(xiàn)A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形3．下列圖形中，陰影部分面積為1的是（）A．B．C．D．4．如圖，已知⊙P的半徑為3，圓心P在拋物線(xiàn)y=12x2上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心PA．（6，3）B．（3，3）C．（6，3）或（-6，3）D．（3，3）或（-3，3）5．如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)．若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，且以A、C、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+m的圖象經(jīng)過(guò)邊長(zhǎng)為2的正方形ABOC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，則m的值為（）A．2B．22C．1D．27．在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=2x+3與拋物線(xiàn)y=x2+3x+7的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況是（）A．有兩個(gè)公共點(diǎn)B．有且只有一個(gè)公共點(diǎn)C．沒(méi)有公共點(diǎn)D．公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)法求出來(lái)8．已知二次函數(shù)y=（x-a）（x-b）-12（a＜b），且x1、x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）-12=0的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)a、b、x1、xA．a(chǎn)＜x1＜b＜x2B．a(chǎn)＜x1＜x2＜bC．x1＜a＜x2＜bD．x1＜a＜b＜x29．如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-1，0），A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有以下結(jié)論：

①拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=32；

②拋物線(xiàn)的最大值為98；

③∠ACB=90°；

④OP的最小值為45A．①②④B．①②C．①②③D．①③④10．如圖，直線(xiàn)y=12x+2與y軸交于點(diǎn)A，與直線(xiàn)y=-12x交于點(diǎn)B，以AB為邊向右作菱形ABCD，點(diǎn)C恰與原點(diǎn)O重合，拋物線(xiàn)y=（x-h）2+k的頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=-12x上移動(dòng)．若拋物線(xiàn)與菱形的邊A．-2≤?≤B．-2≤h≤1C．-1≤?≤D．-1≤?≤二．填空題（共5小題）11．“GGB”是一款數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，用“GGB”繪制的函數(shù)y=-x2（x-4）和y=-x+4的圖象如圖所示．若x=a,x=b分別為方程-x2（x-4）=-1和-x+4=-1的一個(gè)解，則根據(jù)圖象可知a______b.（填“＞”、“=”或“＜”）．12．如圖，已知拋物線(xiàn)y=x2?23x，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為23，頂點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上滑動(dòng)，且BC邊始終平行水平方向，當(dāng)△ABC在滑動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)13．如圖，已知⊙P的半徑為1，圓心P在拋物線(xiàn)y=14x2上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心14．如圖，以扇形AOB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，半徑OB所在的直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），∠AOB=45°．現(xiàn)從?2，?32，?1，?12，0，12中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a,則a的值既使得拋物線(xiàn)y=115．定義[a,b,c]為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m,1-m,-1-m]的函數(shù)的一些結(jié)論：

①當(dāng)m=-3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（13，83）；

②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線(xiàn)段長(zhǎng)度大于32；

③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＞14時(shí)，y隨x的增大而減?。?/p>

④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)x三．解答題（共6小題）16．已知二次函數(shù)y=-x2-2x+c（c為常數(shù)）．

（I）若該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍；

（Ⅱ）若該二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），求一元二次方程-x2-2x+c=0的解；

（Ⅲ）在自變量x的值滿(mǎn)足-3≤x≤2的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為-5，求c值．17．定義：如果把一條拋物線(xiàn)繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的拋物線(xiàn)我們稱(chēng)為原拋物線(xiàn)的“孿生拋物線(xiàn)”．

（1）求拋物線(xiàn)y=x2-2x的“孿生拋物線(xiàn)”的表達(dá)式；

（2）若拋物線(xiàn)y=x2-2x+c的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，其“孿生拋物線(xiàn)”與y軸交于點(diǎn)C′，請(qǐng)判斷△DCC′的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）已知拋物線(xiàn)y=x2-2x-3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，那么是否在其“孿生拋物線(xiàn)”上存在點(diǎn)P，在y軸上存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．18．如圖1，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，3），B（4，3）兩點(diǎn)，作BC⊥x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）連接AD，交直線(xiàn)OB于點(diǎn)E，作EF⊥x軸，若EF=EB，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，已知直線(xiàn)PA，PB與x軸分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，1OM19．若直線(xiàn)l：y=kx+b與函數(shù)M的圖象存在至少一個(gè)交點(diǎn)，則稱(chēng)該函數(shù)M是直線(xiàn)l：y=kx+b的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，它們的交點(diǎn)叫做“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）．

（1）若直線(xiàn)l1為：y=-2x+3，它的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”M的圖象也是一條直線(xiàn)：y=3x-2，求“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）若直線(xiàn)l2：y=mx+n,它的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”M為：y=kx，且“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”只有一個(gè)恰好是點(diǎn)A，求m和n的值．

（3）若拋物線(xiàn)M：y=ax2+bx+c（a≠0），滿(mǎn)足：對(duì)于拋物線(xiàn)M上的任意兩點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），當(dāng)（x1-1）（x2-1）＞0時(shí)，y1≠y2始終成立．且拋物線(xiàn)M是直線(xiàn)l3：y=ax+d的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”也是點(diǎn)A和另一點(diǎn)B，若以AB為直徑的圓恰好與x軸相切，求a20．如圖所示，拋物線(xiàn)C1：y=x2+bx+5與x軸交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在N的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)A，拋物線(xiàn)C2也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且其頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（3，-4）．

（1）求拋物線(xiàn)C2的解析式；

（2）若C1與C2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，直接寫(xiě)出b的值，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)B在拋物線(xiàn)C2上，且橫坐標(biāo)為6，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

①求出直線(xiàn)l的解析式；

②平移直線(xiàn)l得到l′，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線(xiàn)AE，AF與x軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P，Q21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），OC=4OA，連接BC．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1，P為線(xiàn)段OC上一點(diǎn)，連接AC，BP，當(dāng)∠BPO+∠ACO=90°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)M、N在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3），點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m+1．過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)交線(xiàn)段BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線(xiàn)交線(xiàn)段BC于點(diǎn)H，連接MN．當(dāng)四邊形MNHD的面積最大時(shí)，求證：四邊形MNHD是平行四邊形．

?2025中考數(shù)學(xué)考前高頻考點(diǎn)沖關(guān)：二次函數(shù)綜合題

(參考答案)一．選擇題（共10小題）1、C?2、A?3、A?4、C?5、C?6、D?7、C?8、D?9、D?10、A?二．填空題（共5小題）11、＜；?12、（23-6，0），（23+6，0），（23，-6）；?13、（-2，1），（2，1）；?14、13；?15、①②④；三．解答題（共6小題）16、解：（I）∵二次函數(shù)y=-x2-2x+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，

∴Δ＞0，即4+4c＞0，

解得c＞-1；

（Ⅱ）∵y=-x2-2x+c=-（x+1）2+1+c,

∴二次函數(shù)y=-x2-2x+c的圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1，

∵（1，0）關(guān)于直線(xiàn)x=-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（-3，0），

∴一元二次方程-x2-2x+c=0的解為x1=1，x2=-3；

（Ⅲ）∵二次函數(shù)y=-x2-2x+c的圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，且2-（-1）＞（-1）-（-3），

∴當(dāng)x=2時(shí)，二次函數(shù)y=-x2-2x+c取最小值-5，

∴-4-4+c=-5，

解得c=3，

∴c的值為3．17、解：（1）拋物線(xiàn)y=x2-2x化為頂點(diǎn)式為y=（x-1）2-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），

由于拋物線(xiàn)y=x2-2x繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，只是開(kāi)口方向相反，

則所得拋物線(xiàn)解析式為y=-（x-1）2-1=-x2+2x-2．

（2）△DCC'是等腰直角三角形，理由如下：

∵拋物線(xiàn)y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，

∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為D的坐標(biāo)為（1，c-1），與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），

∴其“孿生拋物線(xiàn)”的解析式為y=-（x-1）2+c-1，與y軸的交點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（0，c-2），

∴CC'=c-（c-2）=2，

∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，

∴∠CDC'=90°，

由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知DC=DC′，

∴△DCC'是等腰直角三角形．

（3）∵拋物線(xiàn)y=x2-2x-3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，

令x=0，y=-3，令y=0時(shí)，y=x2-2x-3，解得x1=-1，x2=3，

∴C（0，-3），A（3，0），

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴其“孿生拋物線(xiàn)”的解析式為y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5，

若AC為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，則點(diǎn)P在y軸右側(cè)，則AP∥CQ且AP=CQ，

∵點(diǎn)C和點(diǎn)Q在y軸上，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，

把x=3代入“孿生拋物線(xiàn)”的解析式y(tǒng)=-32+2×3-5=-9+6-5=-8，

∴P1（3，-8），

若AC為平行四邊形的邊，點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則AQ∥CP且AQ=CP，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-3，

把x=-3代入“孿生拋物線(xiàn)”的解析式y(tǒng)=-9-6-5=-20，

∴P2（-3，-20）．

∴原拋物線(xiàn)的“孿生拋物線(xiàn)”上存在點(diǎn)P1（3，-8），P2（-3，-20），在y軸上存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．18、解：（1）拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，3），B（4，3）兩點(diǎn)，

∴{c=342+4b+3=3，

解得：{b=?4c=3，

∴該拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2-4x+3；

（2）∵B（4，3），

設(shè)直線(xiàn)OB的解析式為y=kx,

∴3=4k,

解得：k=34，

∴直線(xiàn)OB的解析式為y=34x，

設(shè)E（m,34m），

∵EF=EB，

∴（34m）2=（m?4）2+（34m?3）2，

解得：m=52或m=10（舍去），

∴E（52，158）；

（3）1OM+1CN是定值，該定值為43，理由如下．

令y=x2-4x+3=0，

解得x1=1，x2=3，即拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)是：（1，0）和（3，0），

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t,t2-4t+3），則1＜t＜3，

設(shè)直線(xiàn)AP的解析式是：y=k2x+b2，

將點(diǎn)A、P代入得：{b2=3k2t+b2=t2?4t+3，

解得：{k2=t?4b3=3，

∴直線(xiàn)AP的解析式是：y=（t-4）x+3，

令y=（t-4）x+3=0，

解得：x=34?t19、解：（1）聯(lián)立{y=?2x+3y=3x?2，

解得：{x=1y=1，

∴D（1，1）；

（2）∵直線(xiàn)l2的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”M為y=kx且“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”只有一個(gè)恰好是點(diǎn)A，

∴{1=k11=m+n，

∴k=1，n=1-m,

聯(lián)立{y=mx+1?my=1x，

得mx2+（1-m）x-1=0，

當(dāng)m=0時(shí)，

∴n=1-0=1，

當(dāng)m≠0時(shí)，

∴Δ=（1-m）2+4m=0，

∴m=-1；

∴n=1-（-1）=2，

綜上可知：m=0，n=1或m=-1，n=2；

（3）∵當(dāng)（x1-1）（x2-1）＞0時(shí)，y1≠y2始終成立，

∴拋物線(xiàn)M的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，即?b2a=1，

∴b=-2a,

∵關(guān)聯(lián)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），

∴a+b+c=1，a+d=1，

∴c=1+a,d=1-a,

∵拋物線(xiàn)M解析式為y=ax2-2ax+1+a,直線(xiàn)l3解析式為y=ax+1-a,

聯(lián)立y=ax2-2ax+1+a=ax+1-a,

整理得ax2-3ax+2a=0，

∵a≠0，

∴解得：x1=1，x2=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1+a），

設(shè)圓的半徑為r,

∵以AB為直徑的圓，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），

∴20、解：（1）由題意，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-4），

設(shè)拋物線(xiàn)C2的解析式為y=a（x-3）2-4，

將A（0，5）的坐標(biāo)代入，

得5=a（0-3）2-4，

解得a=1，

∴拋物線(xiàn)C2的解析式為y=（x-3）2-4；

（2）∵C1與C2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，拋物線(xiàn)C2的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3，

∴拋物線(xiàn)C1的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-3，

∴?b2×1=?3，

∴b=6；

∴拋物線(xiàn)C1：y=x2+6x+5，

當(dāng)y=0時(shí)，0=x2+6x+5，

解得x1=-5，x2=-1，

∵點(diǎn)M為拋物線(xiàn)與x軸的左交點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-5，0）；

（3）①點(diǎn)B在拋物線(xiàn)C2上，且橫坐標(biāo)為6，

∴當(dāng)x=6時(shí)，y=（6-3）2-4=5，

即B（6，5），

設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=kx+g,

將B（6，5）代入，得5=6k+g,

即g=5-6k,

∴直線(xiàn)l的解析式為y=kx-6k+5，

∵過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴kx-6k+5=（x-3）2-4，

即x2-（k+6）x+6k=0，

當(dāng)Δ=[-（k+6）]2-4×1×6k=0，

解得k=6，

∴直線(xiàn)l的解析式為y=6x-31；

②設(shè)直線(xiàn)l′的解析式為y=6x+n,

由題意得（x-3）2-4=6x+n,

整理得，x2-12x+5-n=0，

∵直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，

設(shè)E（xe，xe2?6xe+5），F(xiàn)（xf，xf2?6xf+5），

∴xe+xf=12，

設(shè)直線(xiàn)AE為y=k1x+b1，

代入（0，5）和（xe，xe2?6xe+5），

得{b1=5k1xe+b1=xe2?6xe+5，

∴{k1=xe?6b1=5，