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文檔簡介
第38頁(共38頁)2025年高考數(shù)學復習新題速遞之空間向量及其運算(2025年4月)一.選擇題(共8小題)1.(2025?齊齊哈爾二模)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,設AB→=a→,AC→=b→,A.a(chǎn)→+b→+c→ B.122.(2025?北京校級模擬)在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點P滿足DP→=λDD1→+μDA→,λ∈[0,1],μ∈[0,A.3 B.1+2 C.2 D.3.(2025?武漢模擬)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為4,側(cè)棱長為2,點M在平面B1BCC1上(不含三棱柱的頂點),若MA1⊥MB,則CM的最小值為()A.3-2 B.23-2 C.4.(2025春?鹽城月考)在正三棱錐P﹣ABC中,PA=AB=4,點D是棱PC的中點,AE→=2EBA.-203 B.﹣9 C.-2835.(2025春?鹽城月考)已知兩平面的法向量分別為m→=(0,A.45° B.135° C.45°或135° D.90°6.(2025春?鹽城月考)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E為棱A1C1上點并且A1E→=2EC1→.設A.23a→+b→+13c→ 7.(2024秋?龍馬潭區(qū)校級期末)已知|a→|=4,空間向量e→為單位向量,?aA.2 B.﹣2 C.-12 D8.(2024秋?桂林期末)若a→=(1,-2A.(2,﹣4,2) B.(﹣2,4,﹣2) C.(2,0,2) D.(﹣2,﹣1,﹣3)二.多選題(共4小題)(多選)9.(2025?池州模擬)在三棱錐A﹣BCD中,給定下列四個條件:①AB→②AB③AB→④AB→下列組合條件中,一定能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐的有()A.①② B.①③ C.②④ D.③④(多選)10.(2025春?成都校級月考)關于空間向量,以下說法正確的是()A.若對空間中任意一點O,有OP→=12OA→+13OBB.已知兩個向量a→=(1,m,3),b→C.若a→⊥b→,且a→=(x1,y1,z1),b→=(xD.a(chǎn)→=(0,1,1),b(多選)11.(2025春?鹽城月考)下列說法正確的是()A.若A,B,C,D是空間任意四點,則有AB→B.單位正交基底中的基向量模為1,且互相垂直 C.將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點,則它們的終點軌跡是一個圓 D.若空間向量a→,b→(多選)12.(2025?江蘇模擬)已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,點P滿足AP→=xAB→+yAD→+zA.當x=y(tǒng),y≠0,z≠0時,B1B∥平面ACP B.當x=y(tǒng)=z,z≠0時,異面直線AP與BC所成的角為45° C.當x+y=1,z=0時,D1P⊥A1C1 D.當x+y+z=1時,線段AP的長度最小值為3三.填空題(共4小題)13.(2025?浦東新區(qū)模擬)已知a→、b→、c→為空間中三個單位向量,且a→?b→=b→?c→14.(2025春?上海校級月考)a→=(-2,1,0),b→=(1,015.(2025春?普陀區(qū)校級月考)已知x∈R,空間向量a→=(3,1,2),b→=(1,1,-1),c→=(5,x,0)16.(2025?上海校級模擬)已知點A(0,1,2)、B(1,3,6)、C(﹣1,2,4),則AB→在AC→方向上的投影為四.解答題(共4小題)17.(2025春?上海校級月考)在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°.記向量AB→=a→,向量(1)取B1C1的中點M,用向量a→,b→,c→(2)求|AM18.(2025春?濱??h校級月考)如圖,在六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六邊形,設AB→=a→,AF→=b→,AA1→=(1)A1(2)|A19.(2025春?鹽城月考)已知空間中三點A(2,0,﹣2),B(1,﹣1,3),C(3,0,1),設a→=AB(1)若向量a→+kb→(2)若|c→|=3,且c20.(2025春?長寧區(qū)校級月考)如圖,平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,已知AB=AD=AA1=2,且∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°.(1)用AB→,AD→,AA1→表示AC(2)求異面直線AC與BD1所成角的大?。?/p>
2025年高考數(shù)學復習新題速遞之空間向量及其運算(2025年4月)參考答案與試題解析一.選擇題(共8小題)題號12345678答案CDDAABAA二.多選題(共4小題)題號9101112答案ACDBCABDACD一.選擇題(共8小題)1.(2025?齊齊哈爾二模)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,設AB→=a→,AC→=b→,A.a(chǎn)→+b→+c→ B.12【考點】空間向量及其線性運算.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應用;邏輯思維;運算求解.【答案】C【分析】由空間向量的線性運算法則即可求解.【解答】解:三棱柱ABC﹣A1B1C1中,設AB→=a→,AC→=b連接AN,如圖,因為N為BC的中點,所以A1故選:C.【點評】本題考查的知識點:向量的線性運算,主要考查學生的運算能力,屬于中檔題.2.(2025?北京校級模擬)在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點P滿足DP→=λDD1→+μDA→,λ∈[0,1],μ∈[0,A.3 B.1+2 C.2 D.【考點】空間向量及其線性運算.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;解三角形;空間向量及應用;邏輯思維;運算求解.【答案】D【分析】直接利用向量的線性運算,當λ+μ=1時,點P的軌跡為線段AD1,將等腰直角三角形DAD1旋轉(zhuǎn)與平面D1ABC1共面,由余弦定理可求解.【解答】解:棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點P滿足DP→=λDD1→+μDA→,λ∈[0,1],如圖所示,當λ+μ=1時,點P的軌跡為線段AD1,將等腰直角三角形三角形DAD1旋轉(zhuǎn)至與平面D1ABC1共面,可知PD+PB≥BD,當且僅當B,P,D三點共線取最小值,由余弦定理可得BD=故選:D.【點評】本題考查的知識點:向量的線性運算,余弦定理的應用,主要考查學生的運算能力,屬于中檔題.3.(2025?武漢模擬)已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為4,側(cè)棱長為2,點M在平面B1BCC1上(不含三棱柱的頂點),若MA1⊥MB,則CM的最小值為()A.3-2 B.23-2 C.【考點】空間向量的數(shù)量積運算;棱柱的結(jié)構(gòu)特征.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間位置關系與距離;運算求解.【答案】D【分析】根據(jù)空間線面的位置關系即可求解.【解答】解:由題意知,點M在以線段A1B為直徑的球與平面B1BCC1的交線上,如圖,取A1B的中點D,過點D作DE⊥平面B1BCC1,垂足為E,∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為4,∴A1到平面B1BCC1的距離為23,則DE又側(cè)棱長為2,∴A1可得點M在以E為圓心,以(5故CM的最小值為CE-故選:D.【點評】本題考查空間線面的位置關系,考查空間想象能力與思維能力,考查運算求解能力,是中檔題.4.(2025春?鹽城月考)在正三棱錐P﹣ABC中,PA=AB=4,點D是棱PC的中點,AE→=2EBA.-203 B.﹣9 C.-283【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;空間向量及應用;運算求解.【答案】A【分析】根據(jù)空間向量線性運算,用AB→,AC【解答】解:根據(jù)題意可作圖,因為AE→=2EB因為點D是棱PC的中點,所以AD→則PE→由題意,△PAB,△ABC,△PAC都是等邊三角形,PA=AB=4,所以AB→故PE→故選:A.【點評】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運算,是基礎題.5.(2025春?鹽城月考)已知兩平面的法向量分別為m→=(0,A.45° B.135° C.45°或135° D.90°【考點】空間向量的夾角與距離求解公式.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應用;邏輯思維;運算求解.【答案】A【分析】通過向量夾角公式求出兩平面法向量的夾角,再根據(jù)兩平面夾角與法向量夾角的關系求出兩平面的夾角.【解答】解:由已知條件得:m→?n→=0×0+1×(-1)+0×1=-1所以|cos所以兩平面的夾角為45°.故選:A.【點評】本題考查的知識點:向量的坐標運算,向量的夾角運算,主要考查學生的運算能力,屬于中檔題.6.(2025春?鹽城月考)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E為棱A1C1上點并且A1E→=2EC1→.設A.23a→+b→+13c→ 【考點】空間向量及其線性運算.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應用;邏輯思維;運算求解.【答案】B【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則,將BE→轉(zhuǎn)化為BB1→+B1E→,再結(jié)合已知條件將B【解答】解:在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BE→故選:B.【點評】本題考查的知識點:向量的線性運算,主要考查學生的運算能力,屬于中檔題.7.(2024秋?龍馬潭區(qū)校級期末)已知|a→|=4,空間向量e→為單位向量,?aA.2 B.﹣2 C.-12 D【考點】空間向量的投影向量與投影.【專題】對應思想;定義法;空間向量及應用;運算求解.【答案】A【分析】由空間向量a→在向量e→方向上的投影數(shù)量為【解答】解:已知|a→|=4,|則空間向量a→在向量e→方向上的投影數(shù)量為故所求投影向量的模長為2.故選:A.【點評】本題考查向量在向量上投影的定義,是基礎題.8.(2024秋?桂林期末)若a→=(1,-2A.(2,﹣4,2) B.(﹣2,4,﹣2) C.(2,0,2) D.(﹣2,﹣1,﹣3)【考點】空間向量的加減運算.【專題】整體思想;綜合法;空間向量及應用;運算求解.【答案】A【分析】應用空間向量減法運算律計算即可.【解答】解:a→故選:A.【點評】本題主要考查了空間向量的坐標運算,屬于基礎題.二.多選題(共4小題)(多選)9.(2025?池州模擬)在三棱錐A﹣BCD中,給定下列四個條件:①AB→②AB③AB→④AB→下列組合條件中,一定能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐的有()A.①② B.①③ C.②④ D.③④【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應用;運算求解.【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算即可判定各選項.【解答】解:由①﹣②得AB→2=所以cos∠BAC=cos∠CAD=cos∠DAB,所以|BC所以由①②一定能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐,選項A正確;由①得AD→化簡即為③,所以由①③未必能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐,選項B不正確;由④﹣②得DB→2=由向量的投影可知|AB所以由②④一定能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐,選項C正確;由③+④得AB→由選項C可知,選項D正確.故選:ACD.【點評】本題考查空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算,屬中檔題.(多選)10.(2025春?成都校級月考)關于空間向量,以下說法正確的是()A.若對空間中任意一點O,有OP→=12OA→+13OBB.已知兩個向量a→=(1,m,3),b→C.若a→⊥b→,且a→=(x1,y1,z1),b→=(xD.a(chǎn)→=(0,1,1),b【考點】空間向量的數(shù)量積運算;空間向量的投影向量與投影;空間向量的共線與共面.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應用;運算求解.【答案】BC【分析】利用空間中四點共面的推論可判斷A選項;利用空間向量共線的坐標表示可判斷B選項;利用空間向量垂直的坐標表示可判斷C選項;利用投影向量的定義可判斷D選項.【解答】解:對于A,若P、A、B、C四點共面,則存在λ、μ∈R,使得AP→即OP→所以OP→=(1-λ-μ)OA→+λOB→+μ因為對空間中任意一點O,有OP→但12+13+14≠1,故P、A、對于B,已知兩個向量a→=(1,由a→∥b→故mn=﹣3,故B正確;對于C,a→=(x若a→⊥b→,則對于D,若a→=(0,則a→在be→=|a故選:BC.【點評】本題考空間向量基本定理、空間向量共線定理及空間向量數(shù)量積的運算,屬中檔題.(多選)11.(2025春?鹽城月考)下列說法正確的是()A.若A,B,C,D是空間任意四點,則有AB→B.單位正交基底中的基向量模為1,且互相垂直 C.將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點,則它們的終點軌跡是一個圓 D.若空間向量a→,b→【考點】空間向量的共線與共面;平面向量的相等向量.【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;空間向量及應用;運算求解.【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的加法計算判斷A,再根據(jù)基底定義判斷B,根據(jù)單位向量判斷C,應用向量相等判斷D.【解答】解:若A,B,C,D是空間任意四點,則有AB→+BC單位正交基底中的基向量模為1,且互相垂直,B正確;空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點,則它們的終點構(gòu)成一個球面,故C錯誤;a→=b→,故選:ABD.【點評】本題主要考查向量的概念,屬于基礎題.(多選)12.(2025?江蘇模擬)已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,點P滿足AP→=xAB→+yAD→+zA.當x=y(tǒng),y≠0,z≠0時,B1B∥平面ACP B.當x=y(tǒng)=z,z≠0時,異面直線AP與BC所成的角為45° C.當x+y=1,z=0時,D1P⊥A1C1 D.當x+y+z=1時,線段AP的長度最小值為3【考點】空間向量的數(shù)量積運算;異面直線及其所成的角;直線與平面平行.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應用;運算求解.【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標系,得到點的坐標,A選項由空間向量證明線面平行;B選項由空間向量的夾角公式求得線線角;C選項由空間向量的數(shù)量積為0證明線線垂直;D選項由基本不等式求得AP→的模長的【解答】解:在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),因為AP→=xAB→+yAD→A選項:AP→=(x所以AP→?BD→=-又BB1→=(0,0,1),則BB選項:設x=y(tǒng)=z=a≠0,則AP→=(a設異面直線AP與BC所成的角為α,則cosα=|AP→?BC→C選項:設x=a,則P(a,1﹣a,0),即D1P→則D1P→?A1C1→=a-D選項:|AP因為x+y+z=1,則x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1,則1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤x2+y2+z2+x2+y2+x2+z2+y2+z2=3(x2+y2+z2),即x2+y2+z2所以|AP→|=故選:ACD.【點評】本題考查立體幾何中的線線關系和線面關系,考查利用空間向量求解幾何問題,屬中檔題.三.填空題(共4小題)13.(2025?浦東新區(qū)模擬)已知a→、b→、c→為空間中三個單位向量,且a→?b→=b→?c→【考點】空間向量的夾角與距離求解公式;空間向量線性運算的坐標表示.【專題】整體思想;綜合法;空間向量及應用;運算求解.【答案】arccos2【分析】由題意可設a→=(1,0,0),b→=(0,1,【解答】解:可設a→=(1,則p→因為|p→-所以(x兩式相減可得:x=y(tǒng),再代入第一個式子,可得:2設向量p→與向量c→夾角為因為p→?c→=z,|p→|=x所以cosθ=p易知對于y=-74x2+此時1-24即cosθ的最大值為24,x再由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知θ的最小值為arccos2故答案為:arccos2【點評】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運算,考查了空間向量的模長公式,屬于中檔題.14.(2025春?上海校級月考)a→=(-2,1,0),b→=(1,0,1),則向量a【考點】空間向量的投影向量與投影.【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;空間向量及應用;運算求解.【答案】(﹣1,0,﹣1).【分析】由投影向量計算公式即可直接求解.【解答】解:因為a→=(-2,所以a→在b→上的投影向量為故答案為:(﹣1,0,﹣1).【點評】本題考查空間向量的投影向量,屬于基礎題.15.(2025春?普陀區(qū)校級月考)已知x∈R,空間向量a→=(3,1,2),b→=(1,1,-1),c→=(5,x,0)【考點】空間向量的共線與共面.【專題】整體思想;綜合法;空間向量及應用;運算求解.【答案】3.【分析】設c→=λ【解答】解:因為a→,b→,c→共面,所以存在λ,u∈R又因為a→=(3,1,2),b→所以(5,x,0)=λ(3,1,2)+u(1,1,﹣1)=(3λ+u,λ+u,2λ﹣u),即5=3λ+u所以x=3.故答案為:3.【點評】本題主要考查了空間向量的坐標運算,屬于基礎題.16.(2025?上海校級模擬)已知點A(0,1,2)、B(1,3,6)、C(﹣1,2,4),則AB→在AC→方向上的投影為(-32,32【考點】空間向量的投影向量與投影.【專題】整體思想;綜合法;空間向量及應用;運算求解.【答案】(-32,32【分析】由點A,B,C的坐標可得AB→,AC【解答】解:A(0,1,2)、B(1,3,6)、C(﹣1,2,4),可得AB→=(1,2,4),AC→=(﹣1,AB→?AC→=1×(﹣1)+2×1+4×2=9,|AC→故AB→在AC→方向上的投影為AB→?AC→|AC→|?AC→故答案為:(-32,32【點評】本題考查一個向量在另一個向量上的投影向量的求法,屬于基礎題.四.解答題(共4小題)17.(2025春?上海校級月考)在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°.記向量AB→=a→,向量(1)取B1C1的中點M,用向量a→,b→,c→(2)求|AM【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應用;邏輯思維;運算求解.【答案】(1)AM→=a→+【分析】(1)根據(jù)空間向量的線性運算計算即可;(2)根據(jù)空間向量的數(shù)量積和模長公式計算即可.【解答】解:(1)在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°.記向量AB→=a→,向量故:AM→(2)因為AB=AD=AA1=1,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,所以a→?b所以AM=1所以|AM【點評】本題考查的知識點:向量的線性運算,向量的模,主要考查學生的運算能力,屬于中檔題.18.(2025春?濱??h校級月考)如圖,在六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六邊形,設AB→=a→,AF→=b→,AA1→=(1)A1(2)|A【考點】空間向量的數(shù)量積運算;空間向量基底表示空間向量.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間位置關系與距離;運算求解.【答案】(1)23;(2)7.【分析】(1)根據(jù)正六邊形與六棱柱的幾何性質(zhì),利用向量的線性運算,用統(tǒng)一基底表示向量,結(jié)合數(shù)量積的定義以及運算律求解.(2)利用統(tǒng)一基底表示向量,結(jié)合數(shù)量積的定義以及運算律,可得答案.【解答】解:(1)根據(jù)題意可知,底面ABCDEF為正六邊形,連接對角線且交點記為O,如圖:由題意,AB→=a→,則A=2ABA1由|a→|=|可得a→a→b→所以A=4|=16+8+25﹣12﹣8﹣6=23;(2)由(1)知AE因此|=4+16+25﹣8+4+8=49,所以|A【點評】本題考查平面向量的線性運算及數(shù)量積運算,屬中檔題.19.(2025春?鹽城月考)已知空間中三點A(2,0,﹣2),B(1,﹣1,3),C(3,0,1),設a→=AB(1)若向量a→+kb→(2)若|c→|=3,且c【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應用;邏輯思維;運算求解.【答案】(1)-75;(2)c→【分析】(1)根據(jù)題意,由空間向量垂直的坐標表示,代入計算,即可得到結(jié)果;(2)根據(jù)題意,設c→【解答】解:(1)由題意可得,a→=AB則a→由向量a→+kb→即(k﹣1)+3(5+3k)=0,解得k=(2)設c→=(x0,y0則x02+y0即c→=(2,【點評】本題考查的知識點:向量共線和向量垂直的充要條件,主要考查學生的運算能力,屬于中檔題.20.(2025春?長寧區(qū)校級月考)如圖,平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,已知AB=AD=AA1=2,且∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°.(1)用AB→,AD→,AA1→表示AC(2)求異面直線AC與BD1所成角的大小.【考點】空間向量的數(shù)量積運算;異面直線及其所成的角;空間向量的數(shù)乘及線性運算.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應用;運算求解.【答案】(1)AC→=AB→+(2)arccos6【分析】(1)由向量的線性運算,及模長公式即可求解;(2)由異面直線夾角的向量法求解即可;【解答】解:(1)平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=2,且∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,可得AB→AB→?AD→=2×2×cos60°=2,同理可得AB→?AAAC→=AB所以|B可得|B(2)由(1)可得:AC→2=(AB→+AD→)2=AB→2+AD→2+2所以|AC所以AC→所以cos<AC→,設異面直線AC與BD1所成角為θ,所以cosθ=|cos<AC→,BD→所以θ=【點評】本題考查向量的運算性質(zhì)的應用,屬于基礎題.
考點卡片1.平面向量的相等向量【知識點的認識】相等向量的定義:長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量.共線向量的定義:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量也叫做共線向量.規(guī)定:零向量與任一向量平行.注意:相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等.表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上,向量可以平移.【解題方法點撥】平行向量與相等向量的關系:(1)平行向量只要求方向相同或相反即可,用有向線段表示平行向量時,向量所在的直線重合或平行;(2)平行向量要求兩個向量均為非零向量,規(guī)定:零向量與任一向量平行.相等向量則沒有這個限制,零向量與零向量相等.(3)借助相等向量,可以把一組平行向量移動到同一直線上.因此,平行向量也叫做共線向量.(4)平行向量不一定是相等向量,但相等向量一定是平行向量.【命題方向】了解向量的實際背景,掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念,理解向量的幾何表示.命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn),難度不大,有時候會與向量的坐標運算等其它知識結(jié)合考察.如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB→=2DC→,點E寫出與AE→解:∵在等腰梯形ABCD中,AB→=2DC→,點E∴與AE→相等的向量為EB→和2.棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認識】1.棱柱:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.棱柱用表示底面各頂點的字母來表示(例:ABCD﹣A′B′C′D′).2.認識棱柱底面:棱柱中兩個互相平行的面,叫做棱柱的底面.側(cè)面:棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面.側(cè)棱:棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱.頂點:棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點.高:棱中兩個底面之間的距離.3.棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征,可知棱柱有以下性質(zhì):(1)側(cè)面都是平行四邊形(2)兩底面是全等多邊形(3)平行于底面的截面和底面全等;對角面是平行四邊形(4)長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和.4.棱柱的分類(1)根據(jù)底面形狀的不同,可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱….(2)根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面,可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱;其中在直棱柱中,若底面為正多邊形,則稱其為正棱柱.5.棱柱的體積公式設棱柱的底面積為S,高為h,V棱柱=S×h.3.異面直線及其所成的角【知識點的認識】1、異面直線所成的角:直線a,b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點O,作直線a′,b′,并使a′∥a,b′∥b.我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.異面直線所成的角的范圍:θ∈(0,π2].當θ=902、求異面直線所成的角的方法:求異面直線的夾角關鍵在于平移直線,常用相似比,中位線,梯形兩底,平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線.3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識:4.直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.用符號表示為:若a?α,b?α,a∥b,則a∥α.2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是:對于平面外的一條直線,只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行,就可判定這條直線必和這個平面平行.即由線線平行得到線面平行.1、直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行.用符號表示為:若a∥α,a?β,α∩β=b,則a∥b.2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是:已知線面平行,過已知直線作一平面和已知平面相交,其交線必和已知直線平行.即由線面平行?線線平行.由線面平行?線線平行,并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行.正確的結(jié)論是:a∥α,若b?α,則b與a的關系是:異面或平行.即平面α內(nèi)的直線分成兩大類,一類與a平行有無數(shù)條,另一類與a異面,也有無數(shù)條.5.空間向量及其線性運算【知識點的認識】1.空間向量:在空間內(nèi),我們把具有大小和方向的量叫做向量,用有向線段表示.2.向量的模:向量的大小叫向量的長度或模.記為|AB→|,|a特別地:①規(guī)定長度為0的向量為零向量,記作0→②模為1的向量叫做單位向量;3.相等的向量:兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量.4.負向量:兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量.如a→的相反向量記為-5.平行的向量:兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量.6.注意:①零向量的方向是任意的,規(guī)定0→②單位向量不一定相等,但單位向量的模一定相等且為1;③方向相同且模相等的向量稱為相等向量,因此,在空間,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量;④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量;⑤一般來說,向量不能比較大?。?.加減法的定義:空間任意兩個向量都是共面的,它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法.空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則.2.加法運算律:空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律.(1)交換律:a(2)結(jié)合律:(a3.推廣:(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量:A1(求空間若干向量之和時,可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形,則它們的和為:零向量A11.空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當λ>0時,λa→與②當λ<0時,λa→與③當λ=0時,λa④|λa→|=|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2.運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律.(1)分配律:①λ②(λ+μ)a(2)結(jié)合律:λ注意:實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算,但不能進行加減運算,如λ±6.空間向量的加減運算【知識點的認識】1.空間向量:在空間內(nèi),我們把具有大小和方向的量叫做向量,用有向線段表示.2.向量的模:向量的大小叫向量的長度或模.記為|AB→|,|a特別地:①規(guī)定長度為0的向量為零向量,記作0→②模為1的向量叫做單位向量;3.相等的向量:兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量.4.負向量:兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量.如a→的相反向量記為-5.平行的向量:兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量.6.注意:①零向量的方向是任意的,規(guī)定0→②單位向量不一定相等,但單位向量的模一定相等且為1;③方向相同且模相等的向量稱為相等向量,因此,在空間,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量;④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量;⑤一般來說,向量不能比較大?。?.加減法的定義:空間任意兩個向量都是共面的,它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法.空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則.2.加法運算律:空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律.(1)交換律:a(2)結(jié)合律:(a3.推廣:(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量:A1(求空間若干向量之和時,可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形,則它們的和為:零向量A1【解題方法點撥】﹣逐分量運算:按照向量的分量進行加減運算.【命題方向】﹣向量運算:考查如何進行空間向量的加法和減法運算.7.空間向量的數(shù)乘及線性運算【知識點的認識】1.空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當λ>0時,λa→與②當λ<0時,λa→與③當λ=0時,λa④|λa→|=|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2.運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律.(1)分配律:①λ②(λ+μ)a(2)結(jié)合律:λ注意:實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算,但不能進行加減運算,如λ±【解題方法點撥】﹣標量運算:進行數(shù)乘運算時,將標量與向量分量相乘.﹣線性組合:應用線性組合公式,計算向量的線性組合結(jié)果.【命題方向】﹣向量數(shù)乘和線性運算:考查如何進行空間向量的數(shù)乘和線性組合運算.8.空間向量的共線與共面【知識點的認識】1.定義(1)共線向量與平面向量一樣,如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量,記作a→∥b(2)共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量.2.定理(1)共線向量定理對于空間任意兩個向量a→、b→(b→≠0),a→(2)共面向量定理如果兩個向量a→、b→不共線,則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x【解題方法點撥】空間向量共線問題:(1)判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)λ,使a→=λb→(2)a→∥b→表示空間向量共面問題:(1)利用向量法證明點共面、線共面問題,關鍵是熟練地進行向量表示,恰當應用向量共面的充要條件,解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化.(2)空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使MP→=xMA→+yMB→證明三個向量共面的常用方法:(1)設法證明其中一個向量可表示成另兩個向量的線性組合;(2)尋找平面α,證明這些向量與平面α平行.【命題方向】1,考查空間向量共線問題例:若a→=(2x,1,3),b→=(1,﹣2y,9),如果A.x=1,y=1B.x=12,y=-12C.x=16,y=-分析:利用共線向量的條件b→=λa→解答:∵a→=(2x,1,3)與b→=(1,﹣2故有2x∴x=16,y故選C.點評:本題考查共線向量的知識,考查學生計算能力,是基礎題.2.考查空間向量共面問題例:已知A、B、C三點不共線,O是平面ABC外的任一點,下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是()A.OM→=OA→+OB→+OC→B分析:根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?OB解答:由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面,可以判斷A、B、C都是錯誤的,則D正確.故選D.點評:本題考查共線向量與共面向量,考查學生應用基礎知識的能力.是基礎題.9.空間向量的數(shù)量積運算【知識點的認識】1.空間向量的夾角已知兩個非零向量a→、b→,在空間中任取一點O,作OA→=a→,OB→=b→,則∠2.空間向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個非零向量a→、b→,則|a→||b→|cos<a→,b→>叫做向量a→與b→的數(shù)量積,記作a→?b→(2)幾何意義:a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積,或b→的長度|b→|與3.空間向量的數(shù)量積運算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律.(1)交換律:(λa→)?b→=λa(2)分配律:a→4.數(shù)量積的理解(1)書寫向量的數(shù)量積時,只能用符號a→?b→(2)兩向量的數(shù)量積,其結(jié)果是個實數(shù),而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積,其符號由夾角的余弦值決定.(3)當a→≠0→時,由a→?b→=0不能推出【解題方法點撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法:利用數(shù)量積求兩點間的距離:利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離,可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題,其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量,將此向量表示為幾個已知向量的和的形式,求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關系:(1)向量垂直只對非零向量有意義,在證明或判斷a→⊥b→時,須指明(2)證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直,將兩個方向向量表示為幾個已知向量a→,b→,c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點間的距離、證明垂直關系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運算法則的應用,任何有關數(shù)量積計算問題都離不開運算律的運用.例:已知2a→+b→=(2,﹣4,1),且b→=(0,2,﹣1),則分析:通過2a→+b→=(2,﹣4,1),且b→=(0解答:∵2a→+b→=(2,﹣4,1),且b→=∴a→=(1,﹣3,∴a→?b→=1×
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