2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題型模型方與技巧專題06反比例函數(shù)模型與選填壓軸(原卷版+解析)

/2025屆中考復(fù)習(xí)專題：反比例函數(shù)?？级?jí)結(jié)論與選填壓軸總覽總覽題型解讀【題型1】|k|模型 13【題型2】面積模型 16【題型3】垂直模型 21【題型4】反比例函數(shù)圖像性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算綜合 25【題型5】反比例函數(shù)中的平移問題 28【題型6】比例端點(diǎn)模型 30【題型7】反比例函數(shù)中的設(shè)而不求法 35【題型8】反比例函數(shù)與相似相似三角形結(jié)合 39【題型9】反比例函數(shù)的找規(guī)律問題 46【題型10】矩形模型（平行，比例性質(zhì)） 50【題型11】等線段模型 53【題型12】等角模型 58【題型13】反比例函數(shù)與與幾何綜合 60【模型1】|k|模型結(jié)論1：S矩形＝|k|：結(jié)論2：S三角形＝|k|【模型2】四類面積模型類型一結(jié)論：證明：,,類型二結(jié)論：①AO＝BO，AB關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，②S△ABC＝4|k|類型三結(jié)論：①ABCD為平行四邊形，②S四邊形ABCD＝4S△AOB類型四結(jié)論：S四邊形ABOC＝k2－k1【模型3】垂直模型結(jié)論：證明：作BC⊥x軸，AD⊥x軸，則△BCO∽△ODA，∴【模型4】比例端點(diǎn)模型出現(xiàn)比例端點(diǎn)時(shí)可以考慮作垂線構(gòu)造相似或設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)來轉(zhuǎn)化結(jié)論：證明：過點(diǎn)D作DE⊥x軸，，【模型5】矩形模型（平行性質(zhì)和比例性質(zhì)）一、比例性質(zhì)如圖，A，B是反比例函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，過A、B作x軸、y軸垂線段線段比（共線的線段之比為定值）證明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴證明二：∵結(jié)論：二、平行性質(zhì)如圖1、圖2、圖3，點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，連接AB、CD，則AB∥CD．yyODBxAC圖1yODAxBC圖2圖3OxABDCy下面以圖1為例來證明（圖2、圖3證法類似）：法一：面積法（等積變形）如圖，易知S△ACE＝S△ADE，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形同底等高，故ED∥CA由平行關(guān)系還可以得出其它性質(zhì)：，(平行線分線段成比例)補(bǔ)充簡(jiǎn)證證明一：由比例性質(zhì)可知，，根據(jù)相似可知AB∥CD∥GF證明二：∴∴，同理可證CD∥GF方法二：連接OA、OB，延長(zhǎng)CA、DB交于點(diǎn)EyyODBxEAC則OC＝DE，OD＝CE由k的幾何意義可知S△AOC＝S△BOD，又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD方法三：延長(zhǎng)CA、DB交于點(diǎn)EyyODBxEAC設(shè)則又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD補(bǔ)充拓展：矩形模型中的翻折如圖，矩形OABC頂點(diǎn)A，C分別位于x軸，y軸正半軸，反比例函數(shù)在第一象限圖象交矩形OABC兩邊于D，E點(diǎn)，將△BED沿ED翻折，若B點(diǎn)剛好落在x軸上的點(diǎn)F處，則EO＝EF【模型6】等線段模型如圖1、圖2，點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，直線AB交y軸于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，則AC＝BD．xxyBACDO圖1xyBACDO圖2證明：作AE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F由平行性質(zhì)可知AB∥EF∴四邊形CEFB和四邊形AEFD均為平行四邊形∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BDxyxyBACDOFExyBACDOFE【模型7】等角模型模型一：如圖，點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，直線OB交反比例函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)C，直線AC交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，直線AB交x軸于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)G，則∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．AABOxCyDFEG證明：作CN∥x軸，AN∥y軸，BM⊥AN于MAABOxCyMNDFEG則∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM設(shè)A（a，），B（b，），則C（－b，－）∴CN＝a＋b，AN＝＋，BM＝b－a，AM＝－，∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG∴AE＝AG∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF模型二：如圖，平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A，B位于反比例函數(shù)在第一象限的圖象上，C，D分別位于x軸正半軸和y軸正半軸上，則必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4證明1：延長(zhǎng)直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn).取AB中點(diǎn)G，連GO交DC于H.由反比例函數(shù)圖象基本結(jié)論知，G也是EF中點(diǎn)?！唷?＝∠5＝∠2，∴H為DC中點(diǎn)，∴GO∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，進(jìn)而可知∠3＝∠7＝∠4證明2：延長(zhǎng)直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。過C點(diǎn)作y軸平行線，交AB于I，構(gòu)平行四邊形EDCI∴EI＝DC＝AB，即EA＝IB，又由基本結(jié)論知EA＝BF∴IB＝BF，∴∠2＝∠5＝∠1，同理可證∠3＝∠4模型三：如圖，平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A，B位于反比例函數(shù)在第一象限的圖象上，C，D分別位于y軸負(fù)半軸和x軸負(fù)半軸上，則必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4證明1：延長(zhǎng)直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。取AB中點(diǎn)G，連GO并延長(zhǎng)交DC于H。由反比例函數(shù)圖象基本結(jié)論知，G也是EF中點(diǎn)。∴∠1＝∠5＝∠7＝∠6，∴H為DC中點(diǎn)，∴GH∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，進(jìn)而可推∠3＝∠4證明2：延長(zhǎng)直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。過C作x軸垂線，交直線AB于I，構(gòu)平行四邊形DCIF∴FI＝DC＝AB，又由基本結(jié)論知AE＝BF，∴BE＝BI∴∠1＝∠5＝∠2，進(jìn)而可推∠3＝∠4【反比例函數(shù)中的其它八類模型】反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論一:如圖,A、B反比例函數(shù)y=k1x第一象限圖象上任意兩點(diǎn).射線OA、OB分別交反比例函數(shù)y=k2x圖象于C反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論二:如圖,A為反比例函數(shù)y=k1x第一象限圖象上任意一點(diǎn)過A做x軸垂線和y軸垂線,兩線交反比例函數(shù)y=k2x圖象于B、C反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論三:如圖,A、B是反比例函數(shù)y=kx第一象限圖象上兩點(diǎn),并滿足OA 反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論四:如圖,A是反比例函數(shù)y=kx第一象限圖象上任意一點(diǎn),連OA,過A作x軸(或y軸)垂線段垂足B,過B作OA平行線交第一象限雙曲線于C,則反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論五:如圖,A是反比例函數(shù)y=kx第一象限圖象上任意一點(diǎn),連OA,以A為圓心,AO為半徑畫圓交x軸(或y軸)于B則直線AB 反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論六:等腰△OAB中AO=AB,B在x軸正半軸上.反比例函數(shù)y=kx圖象分別交AO、AB于 反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論七:條件同結(jié)論七,延長(zhǎng)CO至E使OE=OC,則反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論八:A為反比例函數(shù)y=k1x第一象限圖象上任意一點(diǎn),連OA以A為圓心,AO為半徑畫圓,交x軸(或y軸)于D線段AD交反比例函數(shù)y=k2xk2<k1題型題型匯編知識(shí)梳理與常考題型【題型1】|k|模型【例題1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，過點(diǎn)A作軸，交y軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)于點(diǎn)B．若，則k的值為（

）A．6 B． C． D．3【例題2】如圖是反比例函數(shù)和在第一象限的圖象，直線軸，并分別交兩條曲線于兩點(diǎn)，若，則的值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【例題3】（2024·安徽安慶·三模）已知反比例與的圖像如圖所示，為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，分別交反比例函數(shù)與的圖像于點(diǎn)，，點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的上方）在軸上，且，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】如圖，過軸正半軸上的任意一點(diǎn)，作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的任意一點(diǎn)，連接、，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．8【鞏固練習(xí)2】（2023年遼寧省丹東市中考）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)C，延長(zhǎng)至點(diǎn)B，使，點(diǎn)D是y軸上任意一點(diǎn)，連接，，若的面積是6，則．【鞏固練習(xí)3】（2022年湖南省郴州市中考）如圖，在函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)的圖像于點(diǎn)B，連接OA，OB，則的面積是（

）A．3 B．5 C．6 D．10【鞏固練習(xí)4】如圖，直線與反比例函數(shù)、的圖象分別交于B、C兩點(diǎn)，A為y軸上任意一點(diǎn)，的面積為3，則k的值為．【鞏固練習(xí)5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖像的一支上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖像的一支上，點(diǎn)C，D在x軸上，若四邊形是面積為9的正方形，則實(shí)數(shù)k的值為．

【題型2】面積模型【例題1】（2024·山東聊城·二模）如圖，點(diǎn)A，B在雙曲線第一象限的分支上，若A，B的縱坐標(biāo)分別是4和2，連接OA，OB，的面積是6，則k的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【例題2】（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點(diǎn)在軸上，若點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【例題3】（山東省日照市中考）如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)B，連接OM，ON．若四邊形OMBN的面積為3，則k1-k2=（

）A．3 B．-3 C． D．【鞏固練習(xí)1】如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有兩點(diǎn)A，B，它們的橫坐標(biāo)分別是2，6，則△AOB的面積是．【鞏固練習(xí)2】（2024·江蘇南京·三模）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，線段交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若的面積等于1，則的值等于．【鞏固練習(xí)3】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和(其中)在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)P在上，軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)B，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)4】（廣西·統(tǒng)考中考）如圖，過的圖象上點(diǎn)A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點(diǎn)，以，為鄰邊的矩形被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【鞏固練習(xí)5】（2023湖北黃石市中考）如圖，點(diǎn)和在反比例函數(shù)的圖象上，其中．過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，則的面積為；若的面積為，則．

【鞏固練習(xí)6】?jī)蓚€(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化；③與始終相等；④當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)一定是的中點(diǎn)．其中，正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【鞏固練習(xí)7】（2023年湖南省湘西中考）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，且軸，軸于點(diǎn)C，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【鞏固練習(xí)8】（江蘇省南京市中考）如圖，正比例函數(shù)與函數(shù)的圖像交于A，B兩點(diǎn)，軸，軸，則．【題型3】垂直模型 【例題1】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)O作的垂線與反比例的圖象交于點(diǎn)B，則的值為（

）A． B． C． D．【例題2】（2024·福建莆田·一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在反比例的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】已知點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)（x＞0），（x＞0）的圖象上且OA⊥OB，則tanB為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是0,3，．，，則函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為．【鞏固練習(xí)3】如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于B、A兩點(diǎn)，則∠OAB大小的變化趨勢(shì)為（

）A．逐漸變小 B．逐漸變大 C．時(shí)大時(shí)小 D．保持不變【鞏固練習(xí)4】如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且OA⊥OB，cosA＝，則k的值為（

）A．－12 B．－16 C．－6 D．－18【鞏固練習(xí)5】如圖，已知A是雙曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，交雙曲線于點(diǎn)B，若，則的值為（）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)6】（2023·福建·統(tǒng)考中考）如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)和的圖象的四個(gè)分支上，則實(shí)數(shù)的值為（）

A． B． C． D．3【鞏固練習(xí)7】（2023·四川達(dá)州·中考）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為．

【鞏固練習(xí)8】如圖，點(diǎn)A是雙曲線y＝上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)B，將線段AB繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC，點(diǎn)C在雙曲線y＝上的運(yùn)動(dòng)，則k＝．

【鞏固練習(xí)9】如圖，點(diǎn)A是雙曲線在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一個(gè)分支于點(diǎn)B，以AB為底作等腰且，點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C始終在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則．【鞏固練習(xí)10】如圖，的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，，，當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式為．【題型4】反比例函數(shù)圖像性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算綜合【例題1】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)與反比例函在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．【例題2】（2024·新疆·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，結(jié)合圖象判斷下列結(jié)論：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；點(diǎn)是的中點(diǎn)；在的圖象上任取點(diǎn)Px1,y1和點(diǎn)Qx2,y2，如果，那么；．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【例題3】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且垂直于x軸的直線l與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，所得的直線經(jīng)過第一、二、四象限，則的取值范圍是（

）A．或 B．且C．或 D．或【鞏固練習(xí)1】（2024·貴州遵義·二模）已知函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，．若點(diǎn)在軸下方且時(shí)，則下列正確的是（）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·河北唐山·三模）已知反比例函數(shù)．（1）若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為；（2）若反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，且，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的值為．【鞏固練習(xí)3】已知P、Q兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)和的圖象上，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的值為．【鞏固練習(xí)4】（2024·浙江杭州·二模）借助描點(diǎn)法可以幫助我們探索函數(shù)的性質(zhì)，某小組在研究了函數(shù)與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究函數(shù)的性質(zhì)，以下結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，存在最小值；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；③當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是；④若點(diǎn)在的圖像上，則點(diǎn)也必定在的圖像上．其中正確結(jié)論的序號(hào)有．【鞏固練習(xí)5】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（

）①；②；③；④若均在反比例函數(shù)上且，則且

A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④【鞏固練習(xí)6】（2024·湖北·二模）平移是初中學(xué)習(xí)過的重要初等變換，如：拋物線向右平移兩個(gè)單位可以得到拋物線．依據(jù)這個(gè)規(guī)律，則方程的根的個(gè)數(shù)共有（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【題型5】反比例函數(shù)中的平移問題【例題1】（2024·江蘇無錫·中考真題）在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時(shí)，小明先將直角邊長(zhǎng)為5個(gè)單位長(zhǎng)度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中，使其兩條直角邊分別落在軸負(fù)半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，小明發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)恰好都落在函數(shù)的圖象上，則的值為．【例題2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)，均落在坐標(biāo)軸上且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將向上平移得到，若點(diǎn)、恰好都在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是．【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東廣州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將菱形向右平移個(gè)單位，使點(diǎn)剛好落在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·福建廈門·二模）如圖，將一塊等腰直角三角板放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直角頂點(diǎn)C?2,0，點(diǎn)在第二象限．將沿軸正方向平移后得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在雙曲線上，則平移的距離等于（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【鞏固練習(xí)3】（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，已知，以線段為邊，在第一象限內(nèi)作正方形，點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖象上，將正方形沿x軸負(fù)方向平移d個(gè)單位長(zhǎng)度，使點(diǎn)D恰好落在函數(shù)的圖象上的點(diǎn)處，d的值為．【題型6】比例端點(diǎn)模型【例題1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)B作軸，垂足為D，交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，則的面積是（

）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【例題2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)D，與邊交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（

）A． B． C． D．【例題3】（浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，邊AB在軸上，邊AC交軸于點(diǎn)E．反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)C，與邊BC交于點(diǎn)D．若，，，則$$=．【例題4】（2024·廣東深圳·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，E為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，E．若正方形的面積為10，則k的值是．

【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)分別在軸、軸上，對(duì)角線軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對(duì)角線的交點(diǎn)．若點(diǎn)、，則反比例函數(shù)的解析式為．【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B均在函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)D，交線段于點(diǎn)C．若點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，的面積為，則k的值為（

）A．2 B． C． D．4【鞏固練習(xí)3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，邊與x軸交于點(diǎn)C，且，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，若，則．【鞏固練習(xí)3】如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在x軸正半軸上，直線交y軸于點(diǎn)B，若，的面積為3，則k的值為．【鞏固練習(xí)4】如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．若的面積為7，則的值為．【鞏固練習(xí)5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，梯形OACB的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA邊在y軸正半軸上，OB邊在x軸正半軸上，且OA∥BC，雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)，若S梯形OACB=4，則雙曲線y=的k值為（）A．5 B．4 C．3 D．2【鞏固練習(xí)6】（廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，雙曲線經(jīng)過Rt△BOC斜邊上的點(diǎn)A，且滿足，與BC交于點(diǎn)D，S△BOD=21，求k=．【鞏固練習(xí)7】如圖，Rt△BOC的一條直角邊在x軸正半軸上，雙曲線過的斜邊的中點(diǎn)，與另一直角邊相交于點(diǎn)，若的面積是6，則k的值是．【鞏固練習(xí)8】如圖，雙曲線經(jīng)過斜邊上的點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)，的面積為，則．【鞏固練習(xí)9】如圖，已知三角形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，頂點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，邊與軸交于點(diǎn)，，邊與軸交于點(diǎn)，，若面積為，則．

【鞏固練習(xí)10】如圖，矩形的頂點(diǎn)，分別在軸、軸的正半軸上，它的對(duì)角線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，且，若矩形的面積為，則的值是．【鞏固練習(xí)11】如圖，Rt△BOC的一條直角邊在x軸正半軸上，雙曲線過的斜邊的中點(diǎn)，與另一直角邊相交于點(diǎn)，若的面積是6，則k的值是．【鞏固練習(xí)12】（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在軸，軸的正半軸上，點(diǎn)在第一象限，反比例函數(shù)的圖象交矩形的對(duì)角線于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，．若，，則．

【鞏固練習(xí)13】如圖，已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過點(diǎn)C的雙曲線交OB于點(diǎn)D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面積等于6，則k的值為．【題型7】反比例函數(shù)中的設(shè)而不求法【例題1】如圖，點(diǎn)A，B是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．若的面積為3，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，則k的值為．【例題2】（深圳市一模）如圖，A、B是函數(shù)y＝上兩點(diǎn)，P為一動(dòng)點(diǎn)，作軸，軸．若，則S△ABP＝（）A．3.6 B．4.8 C．5.4 D．6【例題3】（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形中，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B及的中點(diǎn)M，軸，AB與y軸交于點(diǎn)N．則的值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（湖北武漢·中考真題）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸與點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC＝2AB，點(diǎn)E在線段AC上，且AE＝3EC，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若△ADE的面積為3，則k的值為．【鞏固練習(xí)2】如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸正半軸上，連接交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，為的平分線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，若，的面積為8，則的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【鞏固練習(xí)3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)D，分別與對(duì)角線AC，邊BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，AF．若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，的面積為1，則k的值為（

）A． B． C．2 D．3【鞏固練習(xí)4】（2022·遼寧鞍山·真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)．在中，，邊在軸上，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．若，則的值為．【鞏固練習(xí)5】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，位于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)A及的中點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為．【鞏固練習(xí)6】（四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B在x軸正半軸上，邊，分別交的數(shù)，的圖象于點(diǎn)M，N．連接，若軸，則的面積為．【題型8】反比例函數(shù)與相似相似三角形結(jié)合【例題1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，連接AO并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)B，點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，且，連接，若的面積是6，則k的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例題2】（2024·廣東深圳·二模）如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線分別與x軸、y軸交于C，D兩點(diǎn)．當(dāng)，時(shí)，則．【例題3】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，，且y軸平分，則．【例題4】（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，直線與，軸分別相交于點(diǎn)，．若這兩個(gè)正方形的面積之和是，且．則的值是（

）A．5 B．1 C．3 D．2【鞏固練習(xí)1】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，且．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)交線段于點(diǎn)，則四邊形的面積是．【鞏固練習(xí)2】（江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，直線AB交y軸于點(diǎn)C，若＝，△AOB的面積為6，則k的值為．【鞏固練習(xí)3】（2024·廣東深圳·三模）如圖，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，的兩條外角平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D，連結(jié)，則點(diǎn)P坐標(biāo)為，．【鞏固練習(xí)4】(深圳統(tǒng)考真題)如圖，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，作Rt△ABC，點(diǎn)D是斜邊AC的中點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E，若△BCE的面積為7，則k的值為．【鞏固練習(xí)5】（徐州·統(tǒng)考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸的正半軸上．△AOB的兩條外角平分線交于點(diǎn)P，P在反比例函數(shù)的圖像上．PA的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)C，PB的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)D，連接CD．若，則k的值為．【鞏固練習(xí)6】（2024·廣東深圳·三模）如圖，在中，，在軸上，平分，平分，與相交于點(diǎn)，且，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為．【鞏固練習(xí)7】如圖，已知雙曲線y＝（x＜0）和y＝（x＞0），與直線交于點(diǎn)A，將直線OA向下平移與雙曲線y＝，與y軸分別交于點(diǎn)，與雙曲線y＝交于點(diǎn)，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，則k的值為．【鞏固練習(xí)8】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，連接.若，的面積是，則的值為.

【鞏固練習(xí)9】（2023·江蘇泰州·一模）如圖，在中，，在軸上，平分，平分，與相交于點(diǎn)，且，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為．【鞏固練習(xí)10】諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)是有關(guān)于“復(fù)雜系統(tǒng)的理解”，我們可以用動(dòng)力系統(tǒng)的方法來研究復(fù)雜系統(tǒng)．已知直線，雙曲線，點(diǎn)A1（1，－1），我們從A1點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造無窮點(diǎn)列A2（x2，y2），A3（x3，y3）…構(gòu)造規(guī)則為：若點(diǎn)An（xn，yn）在直線上，那么下一個(gè)點(diǎn)An＋1（xn＋1，yn＋1）就在雙曲線上，且xn＋1＝xn；若點(diǎn)An（xn，yn）在雙曲線上，那么下一個(gè)點(diǎn)An＋1（xn＋1，yn＋1）就在直線上，且yn＋1＝y(tǒng)n，根據(jù)規(guī)則，點(diǎn)A3的坐標(biāo)為．無限進(jìn)行下去，無限接近的點(diǎn)的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)11】（江蘇鎮(zhèn)江·中考）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)_________，_________；(2)連接并延長(zhǎng)，與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)12】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，．

(1)______，______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．(2)點(diǎn)P在x軸上，若以B，O，P為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)13】（2023·山東泰安·中考）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，作軸，垂足為點(diǎn)，．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在第二象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍；（3）點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，且，求點(diǎn)坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)14】（2023·四川成都·中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，過點(diǎn)B作AB的垂線l．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)C在直線l上，且的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫，使它與位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．【題型9】反比例函數(shù)的找規(guī)律問題【例題1】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作交x軸于點(diǎn)B，作交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)作交x軸于點(diǎn)，再作交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，依次進(jìn)行下去，……，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為【例題2】（2024·山東青島·中考真題）如圖，點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為．過點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，…，過點(diǎn)作于點(diǎn)．記的面積為的面積為的面積為．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，______，______，______（用含n的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)時(shí)，______（用含n的代數(shù)式表示）．【鞏固練習(xí)1】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有等點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，則．

【鞏固練習(xí)2】如圖，點(diǎn)加在x軸上，且，分別過點(diǎn)作y軸的平行線與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)，分別過點(diǎn)作x軸的平行線，分別于y軸交于點(diǎn)，連接，那么圖中從左到右第2022個(gè)陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】如圖，，，，…是分別以，，，…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)，，，…均在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（

）A． B．900 C． D．【鞏固練習(xí)4】滑草是同學(xué)們喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，滑道兩邊形如兩條雙曲線．如圖，點(diǎn)、、……在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、、，一反比例函數(shù)的圖象上，……軸，已知點(diǎn)、……的橫坐標(biāo)分別為1、2……，令四邊形、…的面積分別為、……，若，則k的值為．【鞏固練習(xí)5】如圖，已知等邊的頂點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為；在的右側(cè)作等邊，頂點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上；在的右側(cè)作等邊，頂點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上；…以此類推，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【鞏固練習(xí)6】如圖，線段端點(diǎn)、端點(diǎn)，曲線是雙曲線的一部分，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．由點(diǎn)開始，不斷重復(fù)曲線“”，形成一組波浪線．已知點(diǎn)，均在該組波浪線上，分別過點(diǎn)、向軸作垂線段，垂足分別為和，則四邊形的面積為．【鞏固練習(xí)7】如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作交x軸于點(diǎn)B，作交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)作交x軸于點(diǎn)，再作交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，依次進(jìn)行下去，……，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

【題型10】矩形模型（平行，比例性質(zhì)）【例題1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊、分別在軸、軸的正半軸上，反比例函數(shù)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，且的面積是12，則的值為．

【例題2】如圖，已知雙曲線經(jīng)過矩形邊的中點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且四邊形的面積為3，則．【鞏固練習(xí)1】（2023年黑龍江省綏化市中考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，平行于x軸，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)都是3，，點(diǎn)D在上，且其橫坐標(biāo)為1，若反比例函數(shù)（）的圖像經(jīng)過點(diǎn)B，D，則k的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．【鞏固練習(xí)2】（2023年遼寧省本溪市、鐵嶺市、遼陽市中考）如圖，矩形的邊平行于軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)角線的延長(zhǎng)線經(jīng)過原點(diǎn)，且，若矩形的面積是8，則的值為．

【鞏固練習(xí)3】（2023年浙江省紹興市中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（為大于0的常數(shù)，）圖象上的兩點(diǎn)，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是．【鞏固練習(xí)4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸正半軸上，OA＝6，OC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)圖象與AB邊交于點(diǎn)Q，若將△BPQ沿PQ折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在對(duì)角線AC上，則k的值是___________．OOACxyBDPQ【答案】12【鞏固練習(xí)5】如圖，直線y＝－3x＋4與雙曲線y＝EQ\F(k,x)交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，連接CD，若四邊形ACDB的面積為10，則k的值為___________．xxyOABCD【鞏固練習(xí)6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)的圖象分別與邊AB、BC交于點(diǎn)E、F，將△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B恰好落在x軸上點(diǎn)D處，則△BEF的面積為___________．xxODABCEFy【鞏固練習(xí)7】如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，將沿對(duì)折后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，則的值為．【鞏固練習(xí)8】如圖，矩形的頂點(diǎn)，分別在軸，軸正半軸上，反比例函數(shù)的圖象分別與矩形兩邊，交于點(diǎn)，，沿直線將翻折得到，且點(diǎn)恰好落在直線上．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的有．（僅填代號(hào)即可）【題型11】等線段模型【例題1】（2024·四川樂山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與雙曲線在第一象限交于、兩點(diǎn)，且，則（

）

A． B． C． D．【例題2】（2024·浙江寧波·一模）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，連結(jié)和，交y軸于點(diǎn)E，且，若，的面積為6，則k的值為．【鞏固練習(xí)1】如圖，已知函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)、，與雙曲線交于點(diǎn)、，若，則的值為．【鞏固練習(xí)2】（2023年遼寧省錦州市中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．若的面積是6，則k的值為．

【鞏固練習(xí)3】如圖，直線y＝2x與雙曲線y＝EQ\F(k,x)交于A、B兩點(diǎn)，AC⊥AB交雙曲線于點(diǎn)C，連接BC，則sin∠ABC的值是___________．OOxyABC【鞏固練習(xí)4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝EQ\F(3,2)x與雙曲線y＝EQ\F(6,x)相交于A，B兩點(diǎn)，C是第一象限內(nèi)雙曲線上一點(diǎn)，連接CA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)P，連接BP，BC．若△PBC的面積是20，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為___________．OOxACPyB【鞏固練習(xí)5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝mx與雙曲線y＝EQ\F(k,x)（k＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，直線y＝EQ\F(1,2)mx＋n經(jīng)過點(diǎn)B，與雙曲線交于另一點(diǎn)C，若△ABC的面積為6，則k的值為___________．yyxOABC【鞏固練習(xí)6】如圖，直線l與反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)的圖象在第二象限交于B，C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A，連接OC，∠ACO的角平分線交x軸于點(diǎn)D．若AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，△COD的面積為6，則k的值為_________．yylxODABC【鞏固練習(xí)7】如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝EQ\F(m,x)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C（－eq\r(,3)，0），連接BO并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)y＝EQ\F(m,x)的圖象于點(diǎn)D，若∠BAD＝120°，△ABD的面積為2eq\r(,3)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為___________．xxOyDACB【鞏固練習(xí)8】（湖北隨州·中考）如圖，直線與雙曲線在第一象限內(nèi)交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，若的面積為3，則的值為．【鞏固練習(xí)9】（貴州畢節(jié)·中考）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，且，連接OA．已知的面積為12，則k的值為．【鞏固練習(xí)10】如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y＝（x＞0）交于C、D兩點(diǎn)，且∠AOC＝∠ADO，則k的值為．【鞏固練習(xí)11】（宿遷市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖像上，延長(zhǎng)AB交軸于C點(diǎn)，若△AOC的面積是12，且點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，則=．【鞏固練習(xí)12】如圖，A，B是反比例函數(shù)(k≠0)圖象上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線段AB交y軸于點(diǎn)C，且B為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，E為線段OD的三等分點(diǎn)，且OE＜DE．連接AE，BE．若S△ABE＝7，則k的值為．【題型12】等角模型【例題1】如圖，直線y＝kx與反比例函數(shù)y＝EQ\F(m,x)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，直線BD交反比例函數(shù)y＝EQ\F(m,x)的圖象于另一點(diǎn)C，則EQ\F(CA,CB)的值為___________．xxyOBCAD【例題2】如圖，直線y＝2x與雙曲線y＝eq\f(k,x)交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥AB交y軸于點(diǎn)C，連接BC并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)D，連接AD，則EQ\F(AD,BD)的值為__________．xxyOBACD【例題3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，□ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)y＝EQ\F(k,x)的圖象上，若AB＝2AD，OA＝2，□ABCD的面積為8，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為___________．xxOByACD【鞏固練習(xí)1】（湖北武漢·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝2AB，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1，0)，(0，2)，C，D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值等于．【鞏固練習(xí)2】如圖，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)、在y軸、x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D在第一象限內(nèi)，且；若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，則k的值是．【鞏固練習(xí)3】如圖，平行四邊形的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，頂點(diǎn)，在雙曲線上，邊交軸于點(diǎn)，且四邊形的面積是面積的5倍，則．【題型13】反比例函數(shù)與與幾何綜合【例題1】（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則【例題2】（2024·四川廣元·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，，若則稱點(diǎn)A和點(diǎn)B互為“等距點(diǎn)”.已知點(diǎn)M是以O(shè)為圓心，為半徑的圓上一點(diǎn)，若反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M的等距點(diǎn)N，則k的取值范圍是．【例題3】（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，正方形與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，上的點(diǎn)滿足．若的面積為，則實(shí)數(shù)的值為．【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為），交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②的面積等于四邊形的面積；③的最小值是；④．其中正確的結(jié)論有．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【鞏固練習(xí)2】（2024·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)、是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，且．連接、，若，則的值為；【鞏固練習(xí)3】（2024·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，將直線向下平移b個(gè)單位后雙曲線交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，M是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，連接、，若以M為位似中心的與位似，位似比為，則b的值為．

【鞏固練習(xí)4】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A、C恰好落在雙曲線上，且點(diǎn)O在上，交x軸于點(diǎn)E．當(dāng)平分時(shí)，正方形的面積為．【鞏固練習(xí)5】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，邊與軸交于點(diǎn)，連接，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，及邊上一點(diǎn)，，若，則的值為．

【鞏固練習(xí)6】（2024·廣東深圳·三模）如圖，雙曲線與直線相交于兩點(diǎn)，C為y軸上一點(diǎn)，與雙曲線相交于點(diǎn)D，

若的面積為30，，則k的值為

【鞏固練習(xí)7】（浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖像經(jīng)過點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式是，則圖像經(jīng)過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式是．【鞏固練習(xí)8】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．點(diǎn)的坐標(biāo)為．連接．若，則的值為．

【鞏固練習(xí)9】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于x軸，以為對(duì)稱軸作的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與線段相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)O、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C、A．若點(diǎn)A為的中點(diǎn)，且，則k的值為．

【鞏固練習(xí)10】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考）如圖，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D，E在函數(shù)圖象上，軸，軸，連接．若，的面積為9，四邊形的面積為14，則的值為，a的值為．

【鞏固練習(xí)11】（2023·陜西·統(tǒng)考中考）如圖，在矩形和正方形中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點(diǎn)D在邊上，，．若點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是．【鞏固練習(xí)12】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考）如圖，在中，，頂點(diǎn)C，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點(diǎn)A在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作軸，垂足為點(diǎn)F．若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，則k的值為．

2025屆中考復(fù)習(xí)專題：反比例函數(shù)?？级?jí)結(jié)論與選填壓軸總覽總覽題型解讀【題型1】|k|模型 13【題型2】面積模型 20【題型3】垂直模型 30【題型4】反比例函數(shù)圖像性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算綜合 43【題型5】反比例函數(shù)中的平移問題 52【題型6】比例端點(diǎn)模型 58【題型7】反比例函數(shù)中的設(shè)而不求法 76【題型8】反比例函數(shù)與相似相似三角形結(jié)合 86【題型9】反比例函數(shù)的找規(guī)律問題 112【題型10】矩形模型（平行，比例性質(zhì)） 124【題型11】等線段模型 134【題型12】等角模型 149【題型13】反比例函數(shù)與與幾何綜合 155【模型1】|k|模型結(jié)論1：S矩形＝|k|：結(jié)論2：S三角形＝|k|【模型2】四類面積模型類型一結(jié)論：證明：,,．類型二結(jié)論：①AO＝BO，AB關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，②S△ABC＝4|k|類型三結(jié)論：①ABCD為平行四邊形，②S四邊形ABCD＝4S△AOB類型四結(jié)論：S四邊形ABOC＝k2－k1【模型3】垂直模型結(jié)論：證明：作BC⊥x軸，AD⊥x軸，則△BCO∽△ODA，∴【模型4】比例端點(diǎn)模型出現(xiàn)比例端點(diǎn)時(shí)可以考慮作垂線構(gòu)造相似或設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)來轉(zhuǎn)化結(jié)論：證明：過點(diǎn)D作DE⊥x軸，，【模型5】矩形模型（平行性質(zhì)和比例性質(zhì)）一、比例性質(zhì)如圖，A，B是反比例函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，過A、B作x軸、y軸垂線段線段比（共線的線段之比為定值）證明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴證明二：∵結(jié)論：二、平行性質(zhì)如圖1、圖2、圖3，點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，連接AB、CD，則AB∥CD．yyODBxAC圖1yODAxBC圖2圖3OxABDCy下面以圖1為例來證明（圖2、圖3證法類似）：法一：面積法（等積變形）如圖，易知S△ACE＝S△ADE，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形同底等高，故ED∥CA由平行關(guān)系還可以得出其它性質(zhì)：，(平行線分線段成比例)補(bǔ)充簡(jiǎn)證證明一：由比例性質(zhì)可知，，根據(jù)相似可知AB∥CD∥GF證明二：∴∴，同理可證CD∥GF方法二：連接OA、OB，延長(zhǎng)CA、DB交于點(diǎn)EyyODBxEAC則OC＝DE，OD＝CE由k的幾何意義可知S△AOC＝S△BOD，又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD方法三：延長(zhǎng)CA、DB交于點(diǎn)EyyODBxEAC設(shè)則又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD補(bǔ)充拓展：矩形模型中的翻折如圖，矩形OABC頂點(diǎn)A，C分別位于x軸，y軸正半軸，反比例函數(shù)在第一象限圖象交矩形OABC兩邊于D，E點(diǎn)，將△BED沿ED翻折，若B點(diǎn)剛好落在x軸上的點(diǎn)F處，則EO＝EF【模型6】等線段模型如圖1、圖2，點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，直線AB交y軸于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，則AC＝BD．xxyBACDO圖1xyBACDO圖2證明：作AE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F由平行性質(zhì)可知AB∥EF∴四邊形CEFB和四邊形AEFD均為平行四邊形∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BDxyxyBACDOFExyBACDOFE【模型7】等角模型模型一：如圖，點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，直線OB交反比例函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)C，直線AC交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，直線AB交x軸于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)G，則∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．AABOxCyDFEG證明：作CN∥x軸，AN∥y軸，BM⊥AN于MAABOxCyMNDFEG則∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM設(shè)A（a，），B（b，），則C（－b，－）∴CN＝a＋b，AN＝＋，BM＝b－a，AM＝－，∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG∴AE＝AG∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF模型二：如圖，平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A，B位于反比例函數(shù)在第一象限的圖象上，C，D分別位于x軸正半軸和y軸正半軸上，則必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4證明1：延長(zhǎng)直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn).取AB中點(diǎn)G，連GO交DC于H.由反比例函數(shù)圖象基本結(jié)論知，G也是EF中點(diǎn)?！唷?＝∠5＝∠2，∴H為DC中點(diǎn)，∴GO∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，進(jìn)而可知∠3＝∠7＝∠4證明2：延長(zhǎng)直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。過C點(diǎn)作y軸平行線，交AB于I，構(gòu)平行四邊形EDCI∴EI＝DC＝AB，即EA＝IB，又由基本結(jié)論知EA＝BF∴IB＝BF，∴∠2＝∠5＝∠1，同理可證∠3＝∠4模型三：如圖，平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A，B位于反比例函數(shù)在第一象限的圖象上，C，D分別位于y軸負(fù)半軸和x軸負(fù)半軸上，則必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4證明1：延長(zhǎng)直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。取AB中點(diǎn)G，連GO并延長(zhǎng)交DC于H。由反比例函數(shù)圖象基本結(jié)論知，G也是EF中點(diǎn)。∴∠1＝∠5＝∠7＝∠6，∴H為DC中點(diǎn)，∴GH∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，進(jìn)而可推∠3＝∠4證明2：延長(zhǎng)直線AB，分別交y軸、x軸于E，F(xiàn)。過C作x軸垂線，交直線AB于I，構(gòu)平行四邊形DCIF∴FI＝DC＝AB，又由基本結(jié)論知AE＝BF，∴BE＝BI∴∠1＝∠5＝∠2，進(jìn)而可推∠3＝∠4【反比例函數(shù)中的其它八類模型】反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論一:如圖,A、B反比例函數(shù)y=k1x第一象限圖象上任意兩點(diǎn).射線OA、OB分別交反比例函數(shù)y=k2x圖象于C反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論二:如圖,A為反比例函數(shù)y=k1x第一象限圖象上任意一點(diǎn)過A做x軸垂線和y軸垂線,兩線交反比例函數(shù)y=k2x圖象于B、C反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論三:如圖,A、B是反比例函數(shù)y=kx第一象限圖象上兩點(diǎn),并滿足OA 反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論四:如圖,A是反比例函數(shù)y=kx第一象限圖象上任意一點(diǎn),連OA,過A作x軸(或y軸)垂線段垂足B,過B作OA平行線交第一象限雙曲線于C,則反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論五:如圖,A是反比例函數(shù)y=kx第一象限圖象上任意一點(diǎn),連OA,以A為圓心,AO為半徑畫圓交x軸(或y軸)于B則直線AB 反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論六:等腰△OAB中AO=AB,B在x軸正半軸上.反比例函數(shù)y=kx圖象分別交AO、AB 反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論七:條件同結(jié)論七,延長(zhǎng)CO至E使OE=OC,則反比例函數(shù)圖象其他幾何結(jié)論八:A為反比例函數(shù)y=k1x第一象限圖象上任意一點(diǎn),連OA以A為圓心,AO為半徑畫圓,交x軸(或y軸)于D線段AD交反比例函數(shù)y=k2xk2<k1題型題型匯編知識(shí)梳理與?？碱}型【題型1】|k|模型【例題1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，過點(diǎn)A作軸，交y軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)于點(diǎn)B．若，則k的值為（

）A．6 B． C． D．3【答案】D【分析】本題考查反比例函數(shù)值的幾何意義，連接，易得，根據(jù)同高三角形的面積比等底邊比，求出的面積，即可得出k的值．【詳解】解：連接，∵軸，∴軸，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，∴，∵，∴，∴，∴【例題2】如圖是反比例函數(shù)和在第一象限的圖象，直線軸，并分別交兩條曲線于兩點(diǎn)，若，則的值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【詳解】解：如圖是反比例函數(shù)和在第一象限的圖象，∵直線軸，設(shè)點(diǎn)B（a，b），點(diǎn)A為（m，n），∴，，∵，∴，∴【例題3】（2024·安徽安慶·三模）已知反比例與的圖像如圖所示，為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，分別交反比例函數(shù)與的圖像于點(diǎn)，，點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的上方）在軸上，且，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，理解反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得，，再根據(jù)同底等高的三角形面積相等，得到，由平行四邊形的面積公式進(jìn)而求出答案【詳解】解：連接、、，軸，，四邊形為平行四邊形，，軸，，由反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得，，，，【鞏固練習(xí)1】如圖，過軸正半軸上的任意一點(diǎn)，作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的任意一點(diǎn)，連接、，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【詳解】解：如圖，連接OA，OB，∵△AOB與△ACB同底等高，∴S△AOB=S△ACB，∵AB∥x軸，∴AB⊥y軸，∵A、B分別在反比例函數(shù)y=-（x＜0）和y=（x＞0）的圖象上，∴S△AOP=3，S△BOP=1，∴S△ABC=S△AOB=S△AOP+S△BOP=3+1=4【鞏固練習(xí)2】（2023年遼寧省丹東市中考）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)C，延長(zhǎng)至點(diǎn)B，使，點(diǎn)D是y軸上任意一點(diǎn)，連接，，若的面積是6，則．【答案】【詳解】解：如圖，連結(jié)、，

∵軸，∴．∴．∵，∵，∴，∵圖象位于第一象限，則，∴．【鞏固練習(xí)3】（2022年湖南省郴州市中考）如圖，在函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)的圖像于點(diǎn)B，連接OA，OB，則的面積是（

）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】B【詳解】解：如圖，作AD⊥x軸，BC⊥x軸，∵，∴∵∴【鞏固練習(xí)4】如圖，直線與反比例函數(shù)、的圖象分別交于B、C兩點(diǎn)，A為y軸上任意一點(diǎn)，的面積為3，則k的值為．【答案】5【詳解】解：由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)（t，），點(diǎn)B的坐標(biāo)（t，），∴，∵的面積為3，∴，解得【鞏固練習(xí)5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖像的一支上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖像的一支上，點(diǎn)C，D在x軸上，若四邊形是面積為9的正方形，則實(shí)數(shù)k的值為．

【答案】【詳解】解：如圖：

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖像的一支上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖像的一支上，∴∵四邊形是面積為9的正方形，∴，即，解得：【題型2】面積模型【例題1】（2024·山東聊城·二模）如圖，點(diǎn)A，B在雙曲線第一象限的分支上，若A，B的縱坐標(biāo)分別是4和2，連接OA，OB，的面積是6，則k的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，設(shè)與的交點(diǎn)為F，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，得到，用k表示梯形的面積計(jì)算即可．本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，梯形的面積公式，等積變形，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，設(shè)與的交點(diǎn)為F，根據(jù)題意，得，∴，∴，∴，∴，∵A，B的縱坐標(biāo)分別是4和2，∴，，∵的面積是6，則k的值是∴，解得，故選B．【例題2】（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點(diǎn)在軸上，若點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形面積可求出，繼而可得點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出k值即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)，∵，∴，∵是平行四邊形，∴，∴，∴，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，∴．【例題3】（山東省日照市中考）如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)B，連接OM，ON．若四邊形OMBN的面積為3，則k1-k2=（

）A．3 B．-3 C． D．【答案】B【詳解】解：∵點(diǎn)M、N均是反比例函數(shù)（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象上，∴，∵矩形OABC的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象上，∴S矩形OABC=k2，∴S四邊形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，∴k2-k1=3，∴k1-k2=-3【鞏固練習(xí)1】如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有兩點(diǎn)A，B，它們的橫坐標(biāo)分別是2，6，則△AOB的面積是．【答案】8【詳解】解：根據(jù)題意可得A(2，3)，B(6，1)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，則AC=3，BD=1，OC=2，OD=6，DC=4∴=2×3÷2+(3+1)×4÷2－6×1÷2=3+8－3=8【鞏固練習(xí)2】（2024·江蘇南京·三模）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，線段交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若的面積等于1，則的值等于．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象，熟練知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．可求，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到，則．【詳解】解：∵，∴∵，∴，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到，而反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限，∴【鞏固練習(xí)3】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和(其中)在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)P在上，軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)B，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】主要考查了反比例函數(shù)主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，四邊形的面積為矩形的面積減去三角形與三角形的面積，根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，其面積為．【詳解】解：根據(jù)題意可得四邊形的面積，由反比例函數(shù)中的幾何意義，可知其面積為．【鞏固練習(xí)4】（廣西·統(tǒng)考中考）如圖，過的圖象上點(diǎn)A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點(diǎn)，以，為鄰邊的矩形被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】設(shè)，則，，∵點(diǎn)A在的圖象上則，同理∵B，D兩點(diǎn)在的圖象上，則故，又∵，即，故，∴【鞏固練習(xí)5】（2023湖北黃石市中考）如圖，點(diǎn)和在反比例函數(shù)的圖象上，其中．過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，則的面積為；若的面積為，則．

【答案】2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)，得出，根據(jù)三角形面積公式，即可求出的面積；過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，根據(jù)，，得出，進(jìn)而得出，根據(jù)梯形面積公式，列出方程，化簡(jiǎn)得，令，則，求出x的值，根據(jù)，得出，即，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，則，解得：（舍），，∵，∴，即，∴，故答案為：，2．

【鞏固練習(xí)6】?jī)蓚€(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化；③與始終相等；④當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)一定是的中點(diǎn)．其中，正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：∵點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸，∴，，∴，結(jié)論①正確；∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸，∴，∴，即四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化，結(jié)論②正確；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，與的關(guān)系無法確定，結(jié)論③錯(cuò)誤；如圖，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，即，，∴點(diǎn)一定是的中點(diǎn)，結(jié)論④正確；綜上，正確的結(jié)論有3個(gè)【鞏固練習(xí)7】（2023年湖南省湘西中考）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，且軸，軸于點(diǎn)C，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，

∵軸，∴軸，∵點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，∴，∵軸于點(diǎn)C，軸，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，∴，∴四邊形的面積等于【鞏固練習(xí)8】（江蘇省南京市中考）如圖，正比例函數(shù)與函數(shù)的圖像交于A，B兩點(diǎn)，軸，軸，則．【答案】12【詳解】解：設(shè)A（t，）,∵正比例函數(shù)與函數(shù)的圖像交于A，B兩點(diǎn)，∴B（-t，-）,∵軸，軸，∴C（t，-）,∴【題型3】垂直模型 【例題1】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)O作的垂線與反比例的圖象交于點(diǎn)B，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（負(fù)值舍去）【例題2】（2024·福建莆田·一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在反比例的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、反比例函數(shù)k的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．過A、B作軸于E，軸于F，利用三角函數(shù)、勾股定理解可得，結(jié)合矩形的性質(zhì)可得，再證，推出，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，如圖：過A、B作軸于E，軸于F，∵且，∴，∴，∴，,解得：，∵反比例函數(shù)在第二象限，∴，∴．【鞏固練習(xí)1】已知點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)（x＞0），（x＞0）的圖象上且OA⊥OB，則tanB為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)線段所在的直線的解析式為：，線段所在的直線的解析式為：，則，，，整理得：，【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是0,3，．，，則函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為．【答案】4【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)建直角三角形，利用等腰直角三角形求出點(diǎn)C坐標(biāo)；作于點(diǎn)D，利用等腰直角三角形求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再求出k的值即可．【詳解】解：作于點(diǎn)D，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是0,3，∴，∵，∴，∴設(shè)，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，∴，∵，∴，解得，或（舍去），點(diǎn)C坐標(biāo)為，∴k的值為4，故答案為：4．【鞏固練習(xí)3】如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于B、A兩點(diǎn)，則∠OAB大小的變化趨勢(shì)為（

）A．逐漸變小 B．逐漸變大 C．時(shí)大時(shí)小 D．保持不變【答案】D【詳解】解：分別過B和A作BE⊥x軸于點(diǎn)E，AF⊥x軸于點(diǎn)F，則△BEO∽△OFA，∴，設(shè)點(diǎn)B為（a，），A為（b，），則OE=-a，EB=，OF=b，AF=，可代入比例式求得，即，根據(jù)勾股定理可得：OB=，OA=，∴tan∠OAB===∴∠OAB大小是一個(gè)定值，因此∠OAB的大小保持不變．故選：D【鞏固練習(xí)4】如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且OA⊥OB，cosA＝，則k的值為（

）A．－12 B．－16 C．－6 D．－18【答案】D【詳解】解：過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M，∵cosA＝，∴，設(shè)，，，∴，∵OA⊥OB，∴∠BMO＝∠ANO＝∠AOB＝90°，∴∠MBO+∠BOM＝90°，∠MOB+∠AON＝90°，∴∠MBO＝∠AON，∴△MBO∽△NOA，∴，設(shè)A（x，），ON＝x，AN＝，∴OM＝，BM＝3x，即B的坐標(biāo)是（﹣，3x），把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y＝得，，解得，k＝﹣18，故選：D．【鞏固練習(xí)5】如圖，已知A是雙曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，交雙曲線于點(diǎn)B，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：點(diǎn)在雙曲線上一點(diǎn)，設(shè)，，軸，在雙曲線上，設(shè)，，，，，，，，，【鞏固練習(xí)6】（2023·福建·統(tǒng)考中考）如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)和的圖象的四個(gè)分支上，則實(shí)數(shù)的值為（）

A． B． C． D．3【答案】A【詳解】解：如圖所示，連接正方形的對(duì)角線，過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，點(diǎn)在上，

∵，，∴．∴．∴．∵點(diǎn)在第二象限，∴【鞏固練習(xí)7】（2023·四川達(dá)州·中考）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為．

【答案】【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作軸交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，連接，

∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，∴聯(lián)立，即，∴解得，∴，，∴，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為【鞏固練習(xí)8】如圖，點(diǎn)A是雙曲線y＝上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)B，將線段AB繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC，點(diǎn)C在雙曲線y＝上的運(yùn)動(dòng)，則k＝．

【答案】﹣9．【詳解】解：∵雙曲線y＝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴OA＝OB．連接OC，AC，如圖所示．∵將線段AB繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC，∴△ABC是等邊三角形，OA＝OB，∴OC⊥AB，∠BAC＝60°，∴tan∠OAC＝＝，∴OC＝OA．過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，∴△AEO∽△OFC．∴．∵OC＝OA，∴OF＝AE，F(xiàn)C＝EO．設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)A在第一象限，∴AE＝a，OE＝b．∴OF＝AE＝a，F(xiàn)C＝EO＝b．∵點(diǎn)A在雙曲線y＝上，∴ab＝3．∴FC?OF＝b?a＝3ab＝9，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），∵點(diǎn)C在第四象限，∴FC＝x，OF＝﹣y．∴FC?OF＝x?（﹣y）＝﹣xy＝9．∴xy＝﹣9．∵點(diǎn)C在雙曲線y＝上，∴k＝xy＝﹣9【鞏固練習(xí)9】如圖，點(diǎn)A是雙曲線在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一個(gè)分支于點(diǎn)B，以AB為底作等腰且，點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C始終在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則．【答案】【詳解】解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C始終在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，連接并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)，以為底作等腰，且，，，則，，，又，，，，點(diǎn)是雙曲線在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，即，【鞏固練習(xí)10】如圖，的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，，，當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)