2025屆咸寧市重點(diǎn)中學(xué)八下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆咸寧市重點(diǎn)中學(xué)八下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖所示,四邊形的對(duì)角線和相交于點(diǎn),下列判斷正確的是（）A．若，則是平行四邊形B．若，則是平行四邊形C．若，，則是平行四邊形D．若，，則是平行四邊形2．下面是某八年級(jí)（2）班第1組女生的體重（單位：kg）：35，36，42，42，68，40，38，這7個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．68 B．43 C．42 D．403．如圖，在菱形ABCD中,AB=16,∠B=60°,P是AB上一點(diǎn)，BP=10,Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將四邊形APQD沿宜線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'.當(dāng)CA'的長(zhǎng)度最小時(shí)，則CQA．10 B．12 C．13 D．144．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠DBC的度數(shù)是（）A．36° B．45° C．54° D．72°5．某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價(jià)依次是5元、3元、2元、1元．某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是（）A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元6．如圖，線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，1），把線段AB平移到CD位置，若線段CD兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（1，a），D（b，4），則a+b的值為（）A．7 B．6 C．5 D．47．若＝x﹣5，則x的取值范圍是（）A．x＜5 B．x≤5 C．x≥5 D．x＞58．若解方程會(huì)產(chǎn)生增根，則m等于()A．－10 B．－10或－3 C．－3 D．－10或－49．下列說法正確的是（）A．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是菱形B．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形D．對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形10．已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，－2），則正比例函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．11．一個(gè)盒子中裝有20顆藍(lán)色幸運(yùn)星，若干顆紅色幸運(yùn)星和15顆黃色幸運(yùn)星，小明通過多次摸取幸運(yùn)星試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸取到紅色幸運(yùn)星的頻率穩(wěn)定在0.5左右，若小明在盒子中隨機(jī)摸取一顆幸運(yùn)星，則摸到黃色幸運(yùn)星的可能性約為（）A． B． C． D．12．在以x為自變量，y為函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=5πx中，常量為（）A．5 B．π C．5π D．πx二、填空題（每題4分，共24分）13．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是__________．14．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，將沿直線AB翻折得到，連接OC，那么線段OC的長(zhǎng)為______．15．正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,5),則k=__________16．如圖，在的兩邊上分別截取、，使；分別以點(diǎn)、為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接、.若，四邊形的面積為.則的長(zhǎng)為______.17．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE=5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長(zhǎng)為，則△CEF的周長(zhǎng)為______．18．在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，過點(diǎn)F作FE⊥BC于點(diǎn)F交BD于點(diǎn)E，連接CE，若∠BDC＝34°，則∠ECA＝_____°．三、解答題（共78分）19．（8分）某人購(gòu)進(jìn)一批瓊中綠橙到市場(chǎng)上零售，已知賣出的綠橙數(shù)量x(千克)與售價(jià)y(元)的關(guān)系如下表：數(shù)量x(千克)12345…售價(jià)y(元)2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…(1)寫出售價(jià)y(元)與綠橙數(shù)量x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)這個(gè)人若賣出50千克的綠橙，售價(jià)為多少元？20．（8分）我們定義：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊相等，且它們的夾角互補(bǔ)，我們就把其中一個(gè)三角形叫做另一個(gè)三角形的“夾補(bǔ)三角形”，同時(shí)把第三邊的中線叫做“夾補(bǔ)中線．例如：圖1中，△ABC與△ADE的對(duì)應(yīng)邊AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE邊的中線，則△ADE就是△ABC的“夾補(bǔ)三角形”，AF叫做△ABC的“夾補(bǔ)中線”．特例感知：（1）如圖2、圖3中，△ABC與△ADE是一對(duì)“夾補(bǔ)三角形”，AF是△ABC的“夾補(bǔ)中線”；①當(dāng)△ABC是一個(gè)等邊三角形時(shí)，AF與BC的數(shù)量關(guān)系是：；②如圖3當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，∠BAC＝90°，BC＝a時(shí)，則AF的長(zhǎng)是；猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AF與BC的關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△PAD是等邊三角形，求證：△PCD是△PBA的“夾補(bǔ)三角形”，并求出它們的“夾補(bǔ)中線”的長(zhǎng)．21．（8分）如圖，矩形OABC中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，矩形OABC沿直線BD折疊，使得點(diǎn)C落在對(duì)角線OB上的點(diǎn)E處，折痕與OC交于點(diǎn)D．（1）求直線OB的解析式及線段OE的長(zhǎng)；（2）求直線BD的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸，垂足為點(diǎn)N，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中是否存在以P、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（10分）近年來霧霾天氣給人們的生活帶來很大影響，空氣質(zhì)量問題倍受人們關(guān)注，某單位計(jì)劃在室內(nèi)安裝空氣凈化裝置，需購(gòu)進(jìn)A，B兩種設(shè)備，每臺(tái)B種設(shè)備價(jià)格比每臺(tái)A種設(shè)備價(jià)格多700元，花3000元購(gòu)買A種設(shè)備和花7200元購(gòu)買B種設(shè)備的數(shù)量相同．（1）求A種、B種設(shè)備每臺(tái)各多少元？（2）根據(jù)單位實(shí)際情況，需購(gòu)進(jìn)A，B兩種設(shè)備共20臺(tái)，總費(fèi)用不高于17000元，求A種設(shè)備至少要購(gòu)買多少臺(tái)？23．（10分）我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．（發(fā)現(xiàn)與證明）?ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．結(jié)論1：△AB′C與?ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形；結(jié)論2：B′D∥AC…（應(yīng)用與探究）在?ABCD中，已知BC=2，∠B=45°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．若以A、C、D、B′為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求AC的長(zhǎng)．(要求畫出圖形)24．（10分）某校八年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了一次視力調(diào)查，繪制出頻數(shù)分布表和頻數(shù)直方圖的一部分如下：請(qǐng)根據(jù)圖表信息完成下列各題：（1）在頻數(shù)分布表中，的值為，的值是；（2）將頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整；（3）小芳同學(xué)說“我的視力是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)”，你覺得小芳同學(xué)的視力應(yīng)在哪個(gè)范圍內(nèi)？（1）若視力在不小于1．9的均屬正常，請(qǐng)你求出視力正常的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比．25．（12分）已知三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足，求的值．26．已知四邊形是菱形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)分別在上，與相交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：四邊形是菱形；(2)如圖2，連接，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出面積相等的四邊形

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】

若AO=OC，BO=OD，則四邊形的對(duì)角線互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定定理可知，該四邊形是平行四邊形．【詳解】∵AO=OC，BO=OD，∴四邊形的對(duì)角線互相平分所以D能判定ABCD是平行四邊形.故選D.【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的判定，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.2、D【解析】

把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，然后按照中位數(shù)的定義求解．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：35，36，38，1，42，42，68，

則中位數(shù)為：1．

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)的定義，將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)．3、D【解析】

由A′P=6可知點(diǎn)A′在以P為圓心以PA′為半徑的弧上，故此當(dāng)C，P，A′在一條直線上時(shí)，CA′有最小值，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，先求得BH、HC的長(zhǎng)，則可得到PH的長(zhǎng)，然后再求得PC的長(zhǎng)，最后依據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證明△CQP為等腰三角形，則可得到QC的長(zhǎng)．【詳解】由A′P=6可知點(diǎn)A′在以P為圓心以PA′為半徑的弧上，故此當(dāng)C，P，A′在一條直線上時(shí)，CA′有最小值，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H．在Rt△BCH中，∠B=60°，BC=16，則BH=12BC=8，CH=162-∴PH=1．在Rt△CPH中，依據(jù)勾股定理可知：PC=(83)由翻折的性質(zhì)可知：∠APQ=∠A′PQ．∵DC∥AB，∴∠CQP=∠APQ．∴∠CQP=∠CPQ．∴QC=CP=2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是兩點(diǎn)之間線段最短、菱形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)、等腰三角形的判定，判斷出CA′取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵．4、A【解析】

由已知條件開始，通過線段相等，得到角相等，再由三角形內(nèi)角和求出各個(gè)角的大?。驹斀狻拷猓涸O(shè)∠A＝x°，∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x°，在△ABC中x＋2x＋2x＝180，解得：x＝36，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴∠DBC＝36°，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，得到各角之間的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．5、C【解析】

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計(jì)算可得．【詳解】解：這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是（元），故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義．6、B【解析】

根據(jù)平移的性質(zhì)分別求出a、b的值，計(jì)算即可．【詳解】解：點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，則線段AB先向右平移2個(gè)單位，∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，即b=3，同理，a=3，∴a+b=3+3=6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化-平移，掌握平移變換與坐標(biāo)變化之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7、C【解析】

因?yàn)?-a（a≤0），由此性質(zhì)求得答案即可．【詳解】∵=x-1，∴1-x≤0∴x≥1．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的性質(zhì)：=a（a≥0），=-a（a≤0）．8、D【解析】

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】去分母得：2x-2-5x-5=m，即-3x-7=m，

由分式方程有增根，得到（x+1）（x-1）=0，即x=1或x=-1，

把x=1代入整式方程得：m=-10，把x=-1代入整式方程得：m=-4，

故選：D．【點(diǎn)睛】考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．9、D【解析】

分別根據(jù)菱形、正方形、平行四邊形和矩形的判定逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，更不一定是菱形，故A不正確；對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形，但不一定是正方形，故B不正確；對(duì)角線互相垂直的四邊形，其對(duì)角線不一定會(huì)平分，故不一定是平行四邊形，故C不正確；對(duì)角線互相平分說明四邊形為平行四邊形，又對(duì)角線相等，可知其為矩形，故D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】考查平行四邊形及特殊平行四邊形的判定，掌握平行四邊形及特殊平行四邊形的對(duì)角線所滿足的條件是解題的關(guān)鍵．10、B【解析】

利用待定系數(shù)法把（1，-2）代入正比例函數(shù)y=kx中計(jì)算出k即可得到解析式．【詳解】根據(jù)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將（1，－2）代入，得：，∴正比例函數(shù)的解析式為.故選B.11、C【解析】

設(shè)袋中紅色幸運(yùn)星有x個(gè)，根據(jù)“摸取到紅色幸運(yùn)星的頻率穩(wěn)定在0.5左右”列出關(guān)于x的方程，解之可得袋中紅色幸運(yùn)星的個(gè)數(shù)，再根據(jù)頻率的定義求解可得．【詳解】解：設(shè)袋中紅色幸運(yùn)星有x個(gè)，根據(jù)題意，得：，解得：x＝35，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝35是原分式方程的解，則袋中紅色幸運(yùn)星的個(gè)數(shù)為35個(gè)，若小明在盒子中隨機(jī)摸取一顆幸運(yùn)星，則摸到黃色幸運(yùn)星的頻率為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了頻率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是設(shè)出求出紅色幸運(yùn)星的個(gè)數(shù)并熟記公式．12、C【解析】

根據(jù)常量的定義解答即可，常量是指在某一個(gè)變化過程中，固定不變的量．【詳解】在以x為自變量，y為函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=5πx中，常量為5π，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了變量關(guān)系中的常量的定義，熟記常量定義是解題的關(guān)鍵，注意π是常量．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【解析】

因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故，代入求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得：解得：m=1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，掌握根的判別式與方程的根的關(guān)系是關(guān)鍵.14、.【解析】

利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，易得線段AB的長(zhǎng)度，然后利用面積法求得OD的長(zhǎng)度，結(jié)合翻折圖形性質(zhì)得到．【詳解】解：如圖，設(shè)直線OC與直線AB的交點(diǎn)為點(diǎn)D，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，、，，，，將沿直線AB翻折得到，，，．故答案是：．【點(diǎn)睛】考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，此題將求線段OC的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)換為求直角三角形AOB斜邊上高的問題，降低了題目的難度．15、-1.【解析】

把點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【詳解】∵正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，1)，∴1=-k，解得k=-1，故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，此類題目需靈活運(yùn)用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，利用方程解決問題．16、1【解析】

根據(jù)作法判定出四邊形OACB是菱形，再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：根據(jù)作圖，AC=BC=OA，

∵OA=OB，

∴OA=OB=BC=AC，

∴四邊形OACB是菱形，

∵AB=2cm，四邊形OACB的面積為1cm2，

∴AB?OC=×2×OC=1，

解得OC=1cm．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半的性質(zhì)，判定出四邊形OACB是菱形是解題的關(guān)鍵．17、18【解析】是的中位線,.,.由勾股定理得.是的中線,.∴△CEF的周長(zhǎng)為6.5+6.5+5=1818、1．【解析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可求出∠DBC和∠BCA度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知∠ECB＝∠EBC，從而得出∠ECA＝∠BCA﹣∠ECB度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC＝34°．∠BCA＝∠DCO＝90°﹣34°＝56°．∵EF垂直平分BC，∴∠ECF＝∠DBC＝34°．∴∠ECA＝56°﹣34°＝1°．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用上述知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)論證是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、(1)y=2.1x；(2)這個(gè)人若賣出50千克的綠橙，售價(jià)為1元．【解析】

（1）根據(jù)表中所給信息，判斷出y與x的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）把x=50代入函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】(1)設(shè)售價(jià)為y(元)與綠橙數(shù)量x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由已知得，，解得k=2.1，b=0；∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2.1x；(2)當(dāng)x=50時(shí)，y=2.1×50=1．答：這個(gè)人若賣出50千克的綠橙，售價(jià)為1元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意可以列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并且可以求在x一定時(shí)的函數(shù)值．20、（1）AF＝BC；a；（2）猜想：AF＝BC，（3）【解析】

（1）①先判斷出AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，進(jìn)而判斷出∠ADE＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②先判斷出△ABC≌△ADE，利用直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△AEG≌△ACB，得出EG＝BC，再判斷出DF＝EF，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出四邊形PHCD是矩形，進(jìn)而判斷出∠DPC＝30°，再判斷出PB＝PC，進(jìn)而求出∠APB＝150°，即可利用“夾補(bǔ)三角形”即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵△ABC與△ADE是一對(duì)“夾補(bǔ)三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，∴∠ADE＝30°，∵AF是“夾補(bǔ)中線”，∴DF＝EF，∴AF⊥DE，在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，故答案為：AF＝BC；②當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，∠BAC＝90°，∵∠DAE＝90°＝∠BAC，易證，△ABC≌△ADE，∴DE＝BC，∵AF是“夾補(bǔ)中線”，∴DF＝EF，∴AF＝DE＝BC＝a，故答案為a；（2）解：猜想：AF＝BC，理由：如圖1，延長(zhǎng)DA到G，使AG＝AD，連EG∵△ABC與△ADE是一對(duì)“夾補(bǔ)三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，∴△AEG≌△ACB，∴EG＝BC，∵AF是“夾補(bǔ)中線”，∴DF＝EF，∴AF＝EG，∴AF＝BC；（3）證明：如圖4，∵△PAD是等邊三角形，∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，∵∠ADC＝150°，∴∠PDC＝90°，作PH⊥BC于H，∵∠BCD＝90°∴四邊形PHCD是矩形，∴CH＝PD＝3，∴BH＝6﹣3＝3＝CH，∴PC＝PB，在Rt△PCD中，tan∠DPC＝，∴∠DPC＝30°∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，∴∠APB+∠CPD＝180°，∵DP＝AP，PC＝PB，∴△PCD是△PBA的“夾補(bǔ)三角形”，由（2）知，CD＝，∴△PAB的“夾補(bǔ)中線”＝．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，新定義的理解和掌握，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．21、（1），OE=4；（2），；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或【解析】

利用待定系數(shù)法求出k，再利用勾股定理求出OB，由折疊求出，即可得出結(jié)論；利用勾股定理求出點(diǎn)D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，最后用三角形的面積公式求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；分兩種情況，利用菱形的性質(zhì)求出點(diǎn)N坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入直線BD解析式中，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)直線OB的解析式為，將點(diǎn)代入中，得，，直線OB的解析式為，四邊形OABC是矩形，且，，，，，根據(jù)勾股定理得，，由折疊知，，；設(shè)，，由折疊知，，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，，，，，設(shè)直線BD的解析式為，，∴6k`+5=8∴K`=直線BD的解析式為，由知，直線OB的解析式為，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)的面積得，，，；由知，，以P、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，當(dāng)OE是菱形的邊時(shí)，，或，Ⅰ、當(dāng)時(shí)，軸，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)M是直線BD：上，，Ⅱ、當(dāng)時(shí)，軸，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M是直線BD：上，，當(dāng)OE是菱形的對(duì)角線時(shí)，記對(duì)角線的交點(diǎn)為，，由知，，，由知，直線OB的解析式為，點(diǎn)過直線PN，直線PN的解析式為，令，，，，軸，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M是直線BD：上，，當(dāng)ON為對(duì)角線時(shí)，ON與EP互相平分，點(diǎn)，；即：點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形的面積公式，勾股定理，求出點(diǎn)D坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．22、（1）每臺(tái)A種設(shè)備500元，每臺(tái)B種設(shè)備1元；（2）A種設(shè)備至少要購(gòu)買2臺(tái)．【解析】

（1）設(shè)每臺(tái)A種設(shè)備x元，則每臺(tái)B種設(shè)備（x＋700）元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合花3000元購(gòu)買A種設(shè)備和花7200元購(gòu)買B種設(shè)備的數(shù)量相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買A種設(shè)備m臺(tái)，則購(gòu)買B種設(shè)備（20?m）臺(tái)，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合總費(fèi)用不高于17000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，取其內(nèi)的最小正整數(shù)即可．【詳解】（1）設(shè)每臺(tái)A種設(shè)備x元，則每臺(tái)B種設(shè)備（x+700）元，根據(jù)題意得：，解得：x＝500，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝500是原方程的解，∴x+700＝1．答：每臺(tái)A種設(shè)備500元，每臺(tái)B種設(shè)備1元；（2）設(shè)購(gòu)買A種設(shè)備m臺(tái)，則購(gòu)買B種設(shè)備（20﹣m）臺(tái)，根據(jù)題意得：500m+1（20﹣m）≤17000，解得：m≥2．答：A種設(shè)備至少要購(gòu)買2臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．23、[發(fā)現(xiàn)與證明]：證明見解析；[應(yīng)用與探究]：AC的長(zhǎng)為或1．【解析】

[發(fā)現(xiàn)與證明]由平行四邊形的性質(zhì)得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性質(zhì)得出∠ACB=∠ACB′，證出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，證出∠CB′D=∠B′DA=(180°-∠B′ED)，由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；[應(yīng)用與探究]：分兩種情況：①由正方形的性質(zhì)得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函數(shù)即可求出AC；②由正方形的性質(zhì)和已知條件得出AC=BC=1．【詳解】解：[發(fā)現(xiàn)與證明]：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∵△ABC≌△AB′C，∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，∴∠EAC=∠ACB′，∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形；∴DE=B′E，∴∠CB′D=∠B′DA=(180°-∠B′ED)，∵∠AEC=∠B′ED，∴∠ACB′=∠CB′D，∴B′D∥AC；[應(yīng)用與探究]：分兩種情況：①如圖1所示：∵四邊形ACDB′是正方形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=45°，∴AC=BC=；②如圖1所示：AC=BC=1；綜上所述：AC的長(zhǎng)為或1．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、翻折變換、等腰三角形的判定以及平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．24、（1）60，0.2；（2）見解析；（3）在之間；（1）【解析】

（1）用頻數(shù)除以對(duì)應(yīng)的頻率可得調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以0.3即可得a的值，用10除以總?cè)藬?shù)即可得b的值；（2