專題2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（原卷版）

專題2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、考情分析直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見題型,一是根據(jù)直線與圓錐曲線有兩個交點,研究長度、面積、定點、定值等問題,二是判斷直線與圓錐曲線的公共點個數(shù),三是直線與圓錐曲線相切問題,其中第一類問題是高考考查頻率最高的問題.二、解題秘籍(一)根據(jù)直線與圓錐曲線有兩個交點研究圓錐曲線的性質(zhì)1.把直線l：與橢圓C：聯(lián)立,當(dāng)時直線l與橢圓C有2個交點；2.直線l：與雙曲線C：聯(lián)立得,當(dāng)時直線l與雙曲線C有2個交點；當(dāng)時直線l與雙曲線C的左右支各有一個交點；當(dāng)時直線l與雙曲線C的右支有2個交點；3.直線l：與拋物線C：聯(lián)立,得,當(dāng)時直線l與拋物線C有2個交點.【例1】（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓的離心率為,上頂點為D,斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,M為線段AB的中點,當(dāng)點M的坐標(biāo)為時,直線l恰好經(jīng)過D點.(1)求橢圓C的方程：(2)當(dāng)l不過點D時,若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù),求k的取值范圍.【解析】（1）由題意知,離心率,所以,設(shè),兩式相減得,所以；所以直線為,即,所以,橢圓方程為；（2）設(shè)直線為,由得,則,,,所以,解得,,因為l不過D點,則,即則,化簡得,解得,,所以或.【例2】（2023屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于,兩點,且三角形的面積為.(1)求的值；(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0,與交于兩個不同的點,,關(guān)于軸的對稱點為,為的右焦點,若,,三點共線,證明：直線經(jīng)過軸上的一個定點.【解析】（1）雙曲線：的漸近線方程為,不妨設(shè),因為三角形的面積為,所以,所以,又,所以.（2）雙曲線的方程為：,所以右焦點的坐標(biāo)為,若直線與軸交于點,故可設(shè)直線的方程為,設(shè),,則,聯(lián)立,得,且,化簡得且,所以,,因為直線的斜率存在,所以直線的斜率也存在,因為,,三點共線,所以,即,即,所以,因為,所以,所以,所以,化簡得,所以經(jīng)過軸上的定點.【例3】（2023屆福建省漳州市高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測）已知拋物線：,直線過點.(1)若與有且只有一個公共點,求直線的方程；(2)若與交于,兩點,點在線段上,且,求點的軌跡方程.【解析】（1）當(dāng)直線斜率不存在時,其方程為,符合題意；當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線的方程為,由,得.當(dāng)時,直線符合題意；當(dāng)時,令,解得,∴直線的方程為,即.綜上,直線的方程為,或,或.（2）設(shè),,,不妨令,∵直線與拋物線有兩個交點,∴,∴,且,,.由,得,∴,∴,∴.∵,且,∴,且,∴點的軌跡方程為（,且）.(二)根據(jù)直線與圓錐曲線有一個公共點研究圓錐曲線的性質(zhì)1.直線與橢圓有一個公共點,則直線與橢圓相切,可把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,整理成關(guān)于x或y的一元二次方程,由求解；2.直線l：與雙曲線C：聯(lián)立得,當(dāng)或時直線l與雙曲線C有1個交點,即直線與雙曲線相切或與漸近線平行時與雙曲線有1個公共點；3.當(dāng)直線l：與拋物線C：聯(lián)立,得,當(dāng)或時直線l與拋物線C有1個交點,即直線與拋物線相切或與拋物線準(zhǔn)線垂直時直線與拋物線有1個公共點.【例4】（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）設(shè)橢圓：,,是橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,點在橢圓外,且．(1)求橢圓的方程；(2)若,點為橢圓上橫坐標(biāo)大于1的一點,過點的直線與橢圓有且僅有一個交點,并與直線,交于M,N兩點,為坐標(biāo)原點,記,的面積分別為,,求的最小值．【解析】（1）因為點在橢圓上,所以,①因為點在橢圓外,且,所以,即,②由①②解得,,故橢圓的方程為．（2）設(shè)點,,設(shè)直線：,由橢圓性質(zhì)以及點的橫坐標(biāo)大于1可知,,將直線代入方程并化簡可得,,即,因為直線與橢圓有且僅有一個交點,所以,即．直線的方程為：；直線的方程為：,聯(lián)立方程得,同理得,所以,所以,,所以,令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時,不等式取等號,故當(dāng)時,取得最小值．【例5】已知雙曲線C：的焦距為4,且過點.(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線C有且只有一個公共點,求實數(shù)的值.【解析】（1）由題意可知雙曲線的焦點為和,根據(jù)定義有．,又,所以,,．所求雙曲線的方程為．（2）因為雙曲線的方程為,所以漸近線方程為；由,消去整理得．①當(dāng)即時,此時直線與雙曲線的漸近線平行,此時直線與雙曲線相交于一點,符合題意；②當(dāng)即時,由,解得,此時直線雙曲線相切于一個公共點,符合題意．綜上所述：符合題意的的所有取值為,．【例6】已知頂點在原點,焦點在軸上的拋物線過點．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點P作直線l與拋物線有且只有一個公共點,求直線l的方程；(3)過點作直線交拋物線于A、B兩點,使得Q恰好平分線段AB,求直線AB的方程．【解析】（1）因為頂點在原點,焦點在y軸上的拋物線過點,所以拋物線的焦點在y軸正半軸,設(shè)其方程為,將點代入可得,所以,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,（2）當(dāng)直線斜率不存在時,過點的直線與拋物線有一個交點；當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線斜率為,直線方程為由得,直線與拋物線只有一個交點,所以,解得,所以直線方程為綜上,過點與拋物線有且只有一個交點的直線方程為和；（3）設(shè)點,直線斜率為點在拋物線上,所以所以,即,所以直線方程為經(jīng)檢驗,直線符合題意.(三)判斷直線與圓錐曲線公共點個數(shù)判斷直線l：Ax＋By＋C＝0與圓錐曲線C：F(x,y)＝0公共點個數(shù)時,通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y)＝0,消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程．消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)當(dāng)a≠0時,設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ,則Δ>0?直線與圓錐曲線C有2個公共點；Δ＝0?直線與圓錐曲線C有1個公共點；Δ<0?直線與圓錐曲線C沒有公共點.(2)當(dāng)a＝0,b≠0時,即得到一個一次方程,則直線l與圓錐曲線C相交,且只有一個交點,此時,若C為雙曲線,則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線,則直線l與拋物線的對稱軸重合或平行．【例7】（2022屆浙江省溫州市樂清市高三下學(xué)期5月仿真）已知分別是橢圓的左、右焦點,點在直線的同側(cè),且點到直線l的距離分別為．(1)若橢圓C的方程為,直線l的方程為,求的值,并判斷直線與橢圓C的公共點的個數(shù)；(2)若直線l與橢圓C有兩個公共點,試求所需要滿足的條件；【解析】（1）橢圓C的方程為,則.又直線,所以,所以.聯(lián)立,消去y可得：.因為,所以直線與橢圓C有1個公共點.（2）聯(lián)立,消去y可得：.因為直線l與橢圓C有兩個公共點,所以,整理化簡得：.又,其中,所以,,所以.所以直線l與橢圓C有兩個公共點,則.【例8】如圖,F是拋物線的焦點,Q是準(zhǔn)線與x軸的交點,斜率為k的直線l經(jīng)過點Q．(1)當(dāng)k取不同數(shù)值時,求直線l與拋物線公共點的個數(shù)；(2)若直線l與拋物線相交于A、B兩點,求證：是定值．(3)在x軸上是否存在這樣的定點M,對任意的過點Q的直線l與拋物線相交于A、B兩點,均能使得為定值,若有,找出滿足條件的點M;若沒有,請說明理由．【解析】（1）拋物線的焦點為,,設(shè),代入并化簡得①．當(dāng),直線的方程為,與的交點為原點,直線l與拋物線有個公共點；當(dāng),,若,即,直線l與拋物線有個公共點；若,即時,直線l與拋物線有個公共點；若,即或,直線l與拋物線沒有公共點．（2）由于直線與拋物線有兩個交點,由（1）得.設(shè)交點、,由①得,,所以為定值0．（3）若存在滿足條件的點,使得為定值．則僅當(dāng),即時,為定值．三、跟蹤檢測1．已知,分別是橢圓的左、右焦點,點,在直線的同側(cè),且點,到直線l的距離分別為,.(1)若橢圓C的方程為,直線l的方程為,求的值,并判斷直線l與橢圓C的公共點的個數(shù)；(2)若直線l與橢圓C有兩個公共點,試求所需要滿足的條件；(3)結(jié)合（1）和（2）,試寫出一個能判斷直線l與橢圓C有公共點的充要條件（不需要證明）.2．已知拋物線的方程為,直線l繞點旋轉(zhuǎn),討論直線l與拋物線的公共點個數(shù),并回答下列問題：（1）畫出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關(guān)系,從圖中你發(fā)現(xiàn)直線l與拋物線只有一個公共點時是什么情況？（2）與直線l的方程組成的方程組解的個數(shù)與公共點的個數(shù)是什么關(guān)系？3．（2023屆四川、云南部分學(xué)校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓的離心率為,其左右焦點分別為,點是橢圓上任意一點,且滿足.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓外一點作橢圓的兩條切線,滿足,求動點的軌跡方程.4．（2023屆甘肅省金昌市永昌縣高三上學(xué)期模擬）已知橢圓的左?右焦點分別為是上一動點,的最大面積為.(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點,為上兩點,且,求四邊形面積的最大值.5．設(shè)為雙曲線的左?右頂點,直線過右焦點且與雙曲線的右支交于兩點,當(dāng)直線垂直于軸時,為等腰直角三角形.(1)求雙曲線的離心率；(2)已知,若直線分別交直線于兩點,當(dāng)直線的傾斜角變化時,以為直徑的圓是否過定點,若過定點求出定點的坐標(biāo)；若不過定點,請說明理由.6．（2023屆安徽省部分校高三上學(xué)期開學(xué)摸底）已知為坐標(biāo)原點,橢圓過點,記線段的中點為．(1)若直線的斜率為3,求直線的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形,求的取值范圍．7．（2023屆浙江省A9協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考）已知直線與雙曲線交于、兩個不同的點.(1)求的取值范圍；(2)若為雙曲線的左頂點,點在雙曲線的左支上,點在雙曲線的右支上,且直線、分別與軸交于、兩點,當(dāng)時,求的值.8．（2023屆河南省駐馬店市上蔡縣高三上學(xué)期月考）已知橢圓C：（）的焦距為,且經(jīng)過點.(1)求橢圓C的方程;(2)過點的直線交橢圓C于A、B兩點,求（O為原點）面積的最大值.9．給定橢圓C：,稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點為,其短軸的一個端點到點F的距離為．(1)求橢圓C及其“準(zhǔn)圓”的方程；(2)若點A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點,B,D是橢圓C上的相異兩點,且軸,求的取值范圍；(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點,過點P作兩條直線,,使得,與橢圓C都只有一個公共點,且,分別與橢圓的“準(zhǔn)圓”交于M,N兩點．證明：直線MN過原點O．10．設(shè)雙曲線C：（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別是F1,F2,漸近線分別為l1,l2,過F2作漸近線的垂線,垂足為P,且△OPF1的面積為．(1)求雙曲線C的離心率；(2)動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點（A,B分別在第一、四象限）,且△OAB的面積恒為8,是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線C,若存在,求出雙曲線C的方程；若不存在,說明理由．11．如圖,為坐標(biāo)原點,雙曲線和橢圓均過點,且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形．(1)求的方程；(2)是否存在直線,使得與交于兩點,與只有一個公共點,且？證明你的結(jié)論．12．已知雙曲線的漸近線方程為,且雙曲線C過點.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線與雙曲線C只有一個公共點,求實數(shù)k的值.13．（2022屆上海市上海師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期3月月考）已知為坐標(biāo)原點,雙曲線和橢圓均過點且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為的正方形．(1)求,的方程；(2)是否存在直線,使得與交于,兩點,與只有一個公共點,且？證明你的結(jié)論；(3)橢圓的右頂點為,過橢圓右焦點的直線與交于、兩點,關(guān)于軸的對稱點