河南省2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024—2025學(xué)年度高一4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.6 C.5 D.1或5【答案】C【解析】【分析】由純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得：.故選：C.2.若是平面內(nèi)一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為（）①和②和③和④和A.①② B.②③ C.③④ D.①④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用向量的共線定理，以及基底向量的定義，逐個判定，即可求解.【詳解】對于①中，由和，可得，所以和是共線向量，不能作為一組基底向量；對于②中，設(shè)，可得，方程組無解，所以和不共線，可以作為一組基底向量；對于③中，設(shè)，可得，方程組無解，所以和不共線，可以作為一組基底向量；對于④中，設(shè)，可得，解得所以和是共線向量，不能作為一組基底向量.故選：B.3.下列敘述正確的是（）A.有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺B.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐C.邊長為2的水平放置的正方形的斜二測畫法直觀圖的面積是D.直角三角形以其邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐【答案】C【解析】【分析】利用棱臺、棱錐、圓錐的結(jié)構(gòu)特征判斷ABD；利用斜二測畫法規(guī)則計算判斷C.【詳解】對于A，棱臺的所有側(cè)棱延長線交于一點，而有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體中，這些梯形的腰的延長線不一定交于一點，A錯誤；對于B，底面是正多邊形的棱錐頂點在底面上的射影不一定是正多邊形中心，B錯誤；對于C，由水平放置的平面圖形直觀圖面積是原面積的，得邊長為2的水平放置的正方形的斜二測畫法直觀圖的面積是，C正確；對于D，以直角三角形斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是兩個共底面的圓錐構(gòu)成的組合體，D錯誤.故選：C4.若m，n為空間直線，，為平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.，，，則D.若m，n是異面直線，則m，n在內(nèi)的射影為兩條相交直線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各選項中的條件，指出存在的可能情況判斷ABD；利用線面垂直的判定性質(zhì)推理判斷C.【詳解】對于A，，，則可能在內(nèi)，可能平行于，也可能與相交，A錯誤；對于B，，，則可能在內(nèi)，可能平行于，B錯誤；對于C，由，，得，而，因此，C正確；對于D，m，n是異面直線，m，n在內(nèi)的射影可能是兩條平行直線，可能是兩條相交直線，也可能是一條直線和一個點，D錯誤.故選：C5.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再根據(jù)平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】因為，，，所以，則.故選：A6.正三棱臺三側(cè)棱的延長線交于點P，如果，三棱臺的體積為，的面積為，那么側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過作面于，交面于，連接，確定側(cè)棱與底面所成的角，結(jié)合體積公式求出，再利用三棱錐為正三棱錐，求得，即可求解.【詳解】由正三棱臺三側(cè)棱的延長線交于點，得三棱錐為正三棱錐，過作平面于，交平面于，連接，由，得，則，又，則，則，解得，則，設(shè)的邊長為，則，解得，由三棱錐為正三棱錐，得是的中心，，由平面，得為側(cè)棱與底面所成的角，所以.故選：D7.如圖，在直三棱柱中，點D，E分別在棱，上，，，點F滿足，若平面ACF，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理找到過直線且與直線平行的平面，從而可以確定點位置，進(jìn)而求解即可.【詳解】在上取一點使得，連接，與交于一點，即為所求（如圖所示）.證明如下：根據(jù)已知，，在直三棱柱中，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，即平面.又，，，即的值為.故選：A.8.如圖，長方體中，，E為棱CD中點，則異面直線與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，做過與的兩平行平面，則異面直線與之間的距離為兩平行平面間距離.【詳解】如圖，取AB中點為F，中點為，中點為，連接.，則為正方體，因，四邊形為平行四邊形，有，平面，平面，則平面，同理有平面，，平面，則平面平面，則異面直線與之間的距離為兩平行平面間距離.如圖連接，由題可得平面ABCD，又平面ABCD，則DF，又，平面，則平面，又平面，則.又同理可得，結(jié)合平面，則平面，又平面平面，則平面.則平面間距離，為減去A到平面距離，再減去到平面距離.設(shè)A到平面距離為，到平面距離為則.注意到，，則，同理可得，又，則平面間距離為，即異面直線與之間的距離為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列結(jié)論中錯誤的是（）A.若為非零向量，且，則B.對于非零向量，，若，則存在唯一實數(shù)使得C.在中，若，則與面積之比為2∶9D.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】利用數(shù)量積的運算律判斷A；利用共線定理判斷B；利用共線定理構(gòu)造，求出面積比判斷C；利用向量夾角公式及向量共線的坐標(biāo)表示求出范圍判斷D.【詳解】對于A，若，則，則或，A錯誤；對于B，由共線定理，得B正確；對于C，令由，得，則為的重心，，，同理，則，C正確；對于D，，當(dāng)與共線時，有，得，由與的夾角為銳角，得，且與不共線，則且，D錯誤.故選：AD10.正四面體的棱長為，若點Q是該正四面體外接球球面上的一個動點，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先求出正四面體的外接球的半徑，然后利用向量的線性運算將化簡，轉(zhuǎn)化為求球面上的動點到某個定點的距離的最值，由此可求得的取值范圍，驗證各個選項是否在該范圍內(nèi)即可.【詳解】因為正四面體的外接球的球心的投影在底面正的中心，底面正的高為，故正四面體的高為，設(shè)外接球的半徑為，則，如圖所示，取中點，連接，因為，所以，球心到的距離，則，因為點Q是該正四面體外接球球面上的一個動點，所以，即，所以，分析各個選項，發(fā)現(xiàn)B，C在該范圍內(nèi)，即B，C正確.故選：BC.11.如圖，正方體的棱長為4，F(xiàn)是的中點，點P為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）A.四棱錐的體積為定值B.當(dāng)時，點P的軌跡長度為C.當(dāng)直線AP與平面所成的角為時，則點P的軌跡長度為D.若直線平面，則點P的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】求出四棱錐的體積即判A斷；求出的長度，分析點的軌跡，計算其長度判斷BC；利用面面平行的性質(zhì)得出點的軌跡，并計算出軌跡長度判斷D.【詳解】對于A，點到側(cè)面的距離即為，，，四棱錐的體積為定值，A正確；對于B，由平面，平面，得，則，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的四分之一圓，其軌跡長度為，B錯誤；對于C，由與平面所成的角為，則為等腰直角三角形，，則點的軌跡是以點為圓心，為半徑為半徑的四分之一圓，其軌跡長度為，C正確；對于D，取的中點，連接，由為的中點，得，由平面，平面，得平面，由且，得四邊形為平行四邊形，則，而，則，由平面，平面，得平面，由，平面，得平面平面，當(dāng)點在線段上運動時，平面，則平面，因此點軌跡為線段，其長度為，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是關(guān)于x的方程的一個根，則__________．【答案】【解析】【分析】將代入方程，化簡后利用實部與虛部等于零列方程組求解即可.【詳解】因為是關(guān)于的方程的一個根，所以，即整理得，，解得，.故，故答案為：．13.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為______________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，高為，根據(jù)條件建立方程，從而得到，，再利用體積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，高為，由題有，解得，，所以，所以圓錐的體積為，故答案為：.14.如圖，幾何體是四棱錐，為正三角形，，，M為線段AE的中點．則直線MD與平面EBC的位置關(guān)系為__________（填相交或平行）．N為線段EB上一點，使得D，M，N，C四點共面，則的值為__________．【答案】①.平行②.【解析】【分析】先由線面平行的判定理證得平面，再證得平面，由此利用面面平行的判定定理證得面面，從而得到平面；先由線面平行的性質(zhì)定理求得點位置，再由平面幾何知識求得，從而利用平行線分線段成比例得到的值.【詳解】記為的中點，連接，如圖1，因為分別為的中點，故，因為平面平面所以平面，又因為為正三角形，所以，，又為等腰三角形，，所以，所以，即，所以，又平面平面所以平面，又，平面，故平面平面，又因為平面，故平面.延長相交于點，連接交于點，連接，過點作交于點，如圖2，因為平面，平面，平面平面，所以，此時四點共面，設(shè)，得，故，又因為，所以，則有，故.故答案為：平行；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，．（1）若，求；（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，其中O是坐標(biāo)原點，求的大?。敬鸢浮浚?）；（2）.【解析】【分析】（1）利用共軛復(fù)數(shù)的意義、復(fù)數(shù)除法運算求出，再求出.（2）求出的坐標(biāo)，再利用向量夾角公式求解.【小問1詳解】由復(fù)數(shù)，，得，，所以.【小問2詳解】依題意，，，，因此，而，所以16.記的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求的面積．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合三角形中角的取值范圍，可得，從而確定角.（2）根據(jù)條件求角求邊，再結(jié)合三角形面積公式求面積.【小問1詳解】由，及正弦定理得，因為為三角形內(nèi)角，故，故得，又為三角形內(nèi)角，所以或.小問2詳解】由，得，又，所以，所以.由（1）得，故，所以，而為三角形內(nèi)角，所以，，結(jié)合，可得.由正弦定理，得，故的面積.17.如圖，在中，點M，N滿足，（，），點D滿足，E為AD的中點，且M，N，E三點共線．（1）用，表示；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形，由向量的加法和減法表示即可；（2）由三點共線的向量形式及題干條件得，又由（1）得，由平面向量的基本定理列方程求解即可；【小問1詳解】因為，所以.因為E為AD的中點，所以.【小問2詳解】因為M，N，E三點共線，所以設(shè).因為，，，所以.由（1）可知，則，所以，所以.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，M為PA的中點，N為PC的中點，E為PD的中點，．（1）求證：平面BMN；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接、、，推導(dǎo)出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.（2）設(shè)，計算得出，證明出平面，可知為三棱錐的高，結(jié)合錐體的體積公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】在四棱錐中，連接、、，由、分別為、的中點，得，，而，則，四邊形是平行四邊形，于是，又平面，平面，則平面，由、分別為、的中點，得，而平面，平面，因此平面，又，、平面，則平面平面，又平面，所以平面.【小問2詳解】令，由，得，則，即，于是，由（1）知，平面，則，由為的中點，得點到平面的距離為點到平面距離的，則，，由平面，平面，得，由，，得，而，平面，因此平面，即為三棱錐的高，則，所以.19.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．已知三棱錐如圖所示．（1）求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；（2）若平面ABC，，，三棱錐在頂點C處的離散曲率為，求點A到平面PBC的距離；（3）在（2）的前提下，又知點Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為，求BQ的長度．【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給的定義，表示，再相加，即可求解；（2）先根據(jù)題設(shè)中垂直關(guān)系結(jié)合點C處的離散曲率求得、，然后過點A作于點，利用線面