河南省洛陽市2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷（解析版）

洛陽市2024——2025學年第二學期期中考試高二數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設是定義域為R的可導函數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的極限定義計算即得.【詳解】因，故故選：A.2.已知，則（）A. B.0 C.1 D.e【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)的求導法則求出，再賦值即可求出，最后求函數(shù)值即可.【詳解】由題意可得，，則，得，則，則.故選：D3.從2，4，8，14這四個數(shù)中任取兩個相減，可以得到不相等的差的個數(shù)為（）A.12 B.10 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】先確定有無重復的情況，再根據(jù)排列數(shù)求值即可.【詳解】由題意，，，，，，.可得，即，，因此，可以得到不相等的差的個數(shù)為.故選：B.4.的展開式中的系數(shù)為（）A.30 B.60 C.90 D.120【答案】B【解析】【分析】利用整體思想將三項視為二項，連續(xù)用兩次通項公式即可求解.【詳解】因為，所以通項公式，因為要求的系數(shù)，所以令，此時，又的通項公式，令，解得，則的展開式中的系數(shù)為，因此，的展開式中的系數(shù)為.故選：B.5.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)零點排除B、D兩項，再用對函數(shù)求導判斷上的單調(diào)性，即可判斷結(jié)果.【詳解】由可得，令，則，所以函數(shù)只有一個零點，故排除B、D兩項，由，令，所以，當時，，所以上單調(diào)遞增，所以當時，，所以當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以排除C項.故選：A【點睛】本題主要考查函數(shù)的點調(diào)性，解題的關鍵是求導的方法判斷單調(diào)性，考查學生對圖象分析能力.6.若函數(shù)在上存在最小值，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再根據(jù)函數(shù)在上存在最小值求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，，因此，當或時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減；所以的極大值為，極小值為，令，得，化簡得，解得或，因為函數(shù)在上存在最小值，所以，解得，故選：C.7.的展開式中系數(shù)最大的是（）A.的系數(shù) B.的系數(shù) C.的系數(shù) D.的系數(shù)【答案】B【解析】【分析】利用展開式的通項得不等式組可得答案.【詳解】設的展開式的通項為，，由題意可得，解得，因為所以，所以的展開式中系數(shù)最大的是的系數(shù).故選：B.8.若函數(shù)與函數(shù)的圖象有公共切線，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設出兩個切點，分別表示出切線，利用兩切線方程對應系數(shù)相等，解出，將看作關于變量的函數(shù)，求得函數(shù)的值域即可.【詳解】由題意，設公切線與函數(shù)相切于點，與函數(shù)相切于點；又，，則公切線的斜率，且；故切線方程為，化簡得，也可以表示為，化簡得，所以，則，又，則，則.故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但選不全的得部分分，有選錯的得0分．9.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，導數(shù)的運算法則以及復合函數(shù)的求導法則求解即可.【詳解】A選項：，故A錯誤；B選項：，故B正確；C選項：，故C錯誤；D選項：，故D正確.故選：BD.10.如圖，正方形網(wǎng)格棋盤，其中，，，位于棋盤上一條對角線的4個交匯處．在棋盤M，N處的甲、乙兩個質(zhì)點分別要到N，M處，它們分別隨機地選擇一條沿網(wǎng)格實線走的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達N，M處為止，則下列說法正確的有（）A.甲從M到達N處的走法種數(shù)為20B.甲從M必須經(jīng)過到達N處的走法種數(shù)為9C.甲、乙能在處相遇的走法種數(shù)為36D.甲、乙能相遇的走法種數(shù)為164【答案】ABD【解析】【分析】由到的最短路徑需要走6格，其中向上3步，向右3步，問題為6步中任選3步向上或向右走，再根據(jù)各選項的描述，同理分析各種走法的種數(shù)，即可確定答案.【詳解】A選項：需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以甲從M到達N處的走法種數(shù)為，故A正確；B選項：甲從到達，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有種走法，從到達，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得：甲從M必須經(jīng)過到達N處的走法種數(shù)為9，故B正確；C選項：由圖可知，甲走到處需要3步，且乙走到處需要3步，又因為，甲經(jīng)過的走法種數(shù)為9，乙經(jīng)過的走法種數(shù)為9，所以甲，乙兩人能在處相遇的走法種數(shù)為，故C錯誤；D選項：甲，乙兩人沿著最短路徑行走，可能在，，，處相遇，若甲，乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，必須向上走3格，乙經(jīng)過處，必須向左走3格，所以兩人在處相遇的走法有1種；若甲，乙兩人或處相遇，各有81種走法；若甲，乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，必須向右走3格，乙經(jīng)過處，必須向下走3格，所以兩人在處相遇的走法有1種.根據(jù)分類加法計數(shù)原理得：甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為，故D正確.故選：ABD.11.已知，，，則下列大小關系中正確的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，變形可得，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關系.【詳解】構造函數(shù)，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，因為，，，因為，故，即，即，故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_____．【答案】【解析】【分析】對二項展開式中的分別賦值，聯(lián)立方程即可求得.【詳解】對于，取，可得，再取，可得，故得.故答案為：.13.已知函數(shù)，，若，則的最小值為______.【答案】2【解析】【分析】求導得到，取得到，計算切線得到答案.【詳解】，則，取，故，，故切線方程為，取，解得，故的最小值.故答案：.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求最值，意在考查學生的計算能力和應用能力，轉(zhuǎn)化為切線方程是解題的關鍵.14.目前我省高中數(shù)學試卷中多選題的計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次高中數(shù)學考試中，洛洛同學三個多選題中第一小題和第二小題都隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，他的多選題的總得分（相同總分只記錄一次）共有n種情況，則除以64的余數(shù)是_________．【答案】17【解析】【分析】先分析得這位同學第一小題和第二小題都可能得0分，4分或6分，第三小題可能得0分，2分或3分，再列舉出所有的得分，找到，利用二項式定理解決余數(shù)問題．【詳解】這位同學第一小題和第二小題都可能得0分，4分或6分，第三小題可能得0分，2分或3分，如圖，當?shù)谌}得0分時，有可能總得分為：0，4，6，8，10，12，當?shù)谌}得2分時，有可能總得分為：2，6，8，10，12，14，當?shù)谌}得3分時，有可能總得分為：3，7，9，11，13，15，所以這位同學的多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）為：0，2，3，4，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，即，則又，則．則除以64的余數(shù)是．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處切線的方程；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）（2）極大值為，極小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得斜率，再根據(jù)點斜式求切線方程即可；（2）根據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得極值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，所以，又，所以在點處切線的方程為：，化簡得：.【小問2詳解】由題意，，.，令，解得或，列表如下：12

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知，函數(shù)的極大值為；極小值為.16.用0，1，2，3，4組成無重復數(shù)字的五位數(shù)．（1）偶數(shù)共有多少個？（2）比30000大的偶數(shù)共有多少個？（3）1，2相鄰的偶數(shù)共有多少個？【答案】（1）60（2）30（3）24【解析】【分析】（1）根據(jù)特殊元素0是否在個位分成兩類，再根據(jù)分類加法計數(shù)原理相加即可；（2）根據(jù)特殊位置，即萬位是3或4分類，再根據(jù)分類加法計數(shù)原理相加即可；（3）根據(jù)特殊位置，即個位是0或2或4分類，其中個位是4的情況可以用剔除法解決，再根據(jù)分類加法計數(shù)原理相加即可；【小問1詳解】當個位是0時，共有種情況；當個位是2或4時，共有種情況；根據(jù)分類加法計數(shù)原理得：符合題意的偶數(shù)有個.【小問2詳解】當萬位是3時，共有種情況；當萬位是4時，共有種情況；根據(jù)分類加法計數(shù)原理得：符合題意的偶數(shù)有個.【小問3詳解】當個位是0時，共有種情況；當個位是2時，則十位是1，共有種情況；當個位是4時，共有種情況；根據(jù)分類加法計數(shù)原理得：符合題意的偶數(shù)有個.17.已知，二項式展開式中第2項與第4項的二項式系數(shù)相等，且展開式中的常數(shù)項是.（1）求展開式的第5項；（2）設展開式中的所有項的系數(shù)之和為，所有項的二項式系數(shù)之和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)可得，即可根據(jù)通項求解常數(shù)項得，進而可求解，（2）利用賦值法可得系數(shù)法，即可求解.【小問1詳解】由題意知，所以.二項式展開式的通項是，所以當時展開式中的有常數(shù)項，所以，所以，因為，所以，所以展開式第5項是.【小問2詳解】令，二項式展開式中的所有項的系數(shù)之和，二項式系數(shù)之和，故.18.已知函數(shù)．（1）證明：當時，；（2）函數(shù)，記為函數(shù)的極大值點，求證：．【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析.【解析】【分析】（1）構造函數(shù)研究其單調(diào)性，進而求最小值即可；（2）研究的單調(diào)性，得出，進而化簡，再利用求范圍即可.【小問1詳解】欲證，只需證，即證，令，則，則在上單調(diào)遞增，則，即，故命題得證.【小問2詳解】因，則，令，則，則得；得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又，則由零點存在性定理可知，在和上分別存在一個零點，不妨設其零點分別為，且，則是方程的兩根，則，得；，得或，則在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，則在處取極大值，因為函數(shù)的極大值點，則，且，，則，所以.19.已知函數(shù)，．（1）當時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)a的值；（2）當時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．【答案】（1）（2）1個零點，理由見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，由，按照的取值分類討論函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，從而得到最值，計算驗證即得的值；（2）由，得方程，顯然為此方程的一個實數(shù)解．當時，方程可化簡為．構造函數(shù)，利用導數(shù)得到的最小值即可求解.【小問1詳解】由求導得：，因，當，即時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，顯然不符合題意；當，即時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，顯然不符合題意；當，即時，由可得，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由，可得，符合題意.故實數(shù)a的值為.【小問2詳解】由，可得，顯然是該方程的一個實數(shù)解，故是函數(shù)的一個零點；當時，方程可化簡為，設函數(shù)，則，由可得，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，即對任意的，恒成立，故方程無實數(shù)解，即時，函數(shù)不存在零點.綜上，函數(shù)有且只有1個零點.20.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若“，，，”為真命題，求實數(shù)a取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求得的定