陜西省部分學校2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數學試題（解析版）

2024-2025學年度第二學期期中校際聯(lián)考高二數學試題注意事項：1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數列，則該數列的第36項為（）A B.36 C. D.6【答案】C【解析】【分析】歸納可得該數列通項公式為，再代入計算可得.【詳解】因為數列，即，所以歸納可得該數列的通項公式為，所以.故選：C2.已知集合，則中元素的個數為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據并集定義計算求解.【詳解】根據題意，，所以，所以中元素的個數為.故選：A3.據報道，從2024年7月16日起，“高原版”復興號動車組將上線新成昆鐵路和達成鐵路，假設“高原版”復興號動車開出站一段時間內，速度與行駛時間的關系為，則當時，“高原版”復興號動車的加速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據導數的物理意義，利用求導法則，可得答案.【詳解】由題意可得“高原版”復興號動車的加速度，將代入上式，可得（）.故選：B.4.已知函數是定義在上的偶函數，當時，，則當時，（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由偶函數的性質即可求解.【詳解】當時，，因為函數是定義在上的偶函數，所以，故選：C5.已知等差數列的公差不為0，其前項和為，且，，當取得最小值時，（）A.3 B.5 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】把等差數列的前n項和設為二次函數，利用二次函數的對稱性可求最值.【詳解】設等差數列的公差為，則，令，因為，所以，所以二次函數的圖象關于直線對稱．又因為，可得，所以當取得最小值時，．故選：B6.若數列滿足，，則（）A. B. C. D.9【答案】D【解析】【分析】根據給定的遞推公式，推導出數列的周期即可.【詳解】數列中，由，得，則，因此數列是周期數列，周期為4，所以.故選：D7.已知函數和在區(qū)間上的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.在a到b之間的平均變化率大于在a到b之間的平均變化率B.在a到b之間的平均變化率小于在a到b之間的平均變化率C.對于任意，函數在處的瞬時變化率總大于函數在處的瞬時變化率D.存在，使得函數在處的瞬時變化率小于函數在處的瞬時變化率【答案】D【解析】【分析】由平均變化率和瞬時變化率的概念即可判斷.【詳解】解：∵在a到b之間的平均變化率是，在a到b之間的平均變化率是，又，，∴，∴A、B錯誤；易知函數在處的瞬時變化率是函數在處的導數，即函數在該點處的切線的斜率，同理可得：函數在處的瞬時變化率是函數在該點處的導數，即函數在該點處的切線的斜率，由題中圖象可知：時，函數在處切線的斜率有可能大于在處切線的斜率，也有可能小于在處切線的斜率，故C錯誤，D正確．故選：D．8.杭州的三潭印月是西湖十景之一?被譽為“西湖第一勝境”.所謂三潭，實際上是3個石塔和其周圍水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每個高2米，分別矗立在水光瀲滟的湖面上，形成一個等邊三角形，記為，設的邊長為，取每邊的中點構成，設其邊長為，依此類推，由這些三角形的邊長構成一個數列，若的前項和為，則的邊長（）A.62 B.61 C.31 D.30【答案】A【解析】【分析】根據題意得到是等比數列，利用等比數列的前項和公式即可求解.【詳解】根據題意，取每邊的中點構成，則的各邊均為對應的中位線，長度減半，由此，依次類推可得，所以是首項為，公比的等比數列，故其前項和，解得，即的邊長.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用求導公式求出各個選項中函數的導數，再判斷作答.【詳解】直接計算得，A正確；，B錯誤；，C正確；，D正確.故選：ACD10.記等比數列的前項積為，且，若，則的可能取值為（）A.6 B.7 C.9 D.10【答案】AD【解析】【分析】由等比數列下標和性質即可求解.【詳解】由，結合等比數列下標和的性質可得：，所以，又，所以，所以可以是或或，所以的可能值為或，故選：AD11.定義數列的“差分數列”：.若數列的“差分數列”是公差為的等差數列，且，，則（）A.B.CD.數列的前項和【答案】ABC【解析】【分析】根據可得選項A正確；根據等差數列通項公式可得選項B正確；利用累加法求數列通項公式可得選項C正確；舉反例可說明選項D錯誤.【詳解】A.由題意得，，即，故，選項A正確.B.∵數列是公差為的等差數列，，∴，故，選項B正確.C.由得，，∴當時，，∴，當時，滿足上式，故，選項C正確.D.當時，，選項D錯誤.故選：ABC.第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設是可導函數，且.則__________.【答案】2【解析】【分析】根據導數的定義計算可得.【詳解】因為且是可導函數，所以故答案為：13.的內角的對邊分別為，若，則的面積為__________.【答案】2【解析】【分析】由正弦定理邊化角，結合三角形面積公式即可求解.【詳解】由，結合正弦定理邊化角可得：，又為三角形的內角，，所以，所以的面積為：,故答案為：214.若等差數列的前m項的和為20，前3m項的和為90，則它的前2m項的和為____________.【答案】50【解析】【分析】利用等差數列片段和性質有為等差數列，應用等差中項的性質求即可.【詳解】由等差數列片段和性質知：為等差數列，所以，則，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數列的前項和.（1）求實數的值；（2）若，求.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根據給定的前n項和，求出數列的通項，即可計算作答；（2）由（1）可知，，求解即可.【小問1詳解】當時，，數列是等比數列，滿足，，解得.【小問2詳解】由（1）可知，，，，解得.16.設為等差數列的前n項和，，．（1）求數列的通項公式；（2）求；（3）若，，成等比數列，求m的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知結合等差數列的通項公式及求和公式即可求解；（2）結合等差數列的求和公式即可求解；（3）結合等差數列的性質及等差數列的求和公式即可求解.【小問1詳解】∵為等差數列的前n項和，，．∴，解得，∴數列的通項公式為．小問2詳解】由（1）知，．【小問3詳解】∵，，成等比數列，∴，即，即，又因為，解得.17.我省某高中落實國家“雙減”政策，合理安排學生作息時間.為了調查學生從家到達學校所需時間，學校對高一學生上學交通方式進行問卷調查.經調查，乘坐機動車上學的學生有800人，騎自行車上學的學生有250人，步行上學的學生有200人.（1）為保證調查結果相對準確，現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法進行調查，已知在騎自行車上學的學生中抽取了5人，求從乘坐機動車上學的學生中應抽取多少人？（2）抽取出的5名騎自行車的學生從家到達學校所需時間分別為（單位：），求這5個數的平均數和方差.【答案】（1）16（2）平均數為14，方差為7.6【解析】【分析】（1）利用分層抽樣的定義和比例關系得到答案；（2）由平均數和方差的運算公式求出答案.【小問1詳解】從乘坐機動車上學的學生中應抽取人；【小問2詳解】這5個數的平均數為，方差為.18.已知函數.（1）求曲線的一條與直線平行的切線的方程；（2）求過點且與曲線相切的切線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩直線平行知切線斜率，利用導數幾何意義構造方程求得切點坐標，進而得到所求切線方程；（2）設切點坐標，利用切線斜率構造方程可求得，進而得到切線方程.【小問1詳解】因為切線與直線平行，所以切線的斜率，由，得導數，由，得，則，又，所以切點坐標為，所求切線方程為，即.【小問2詳解】設切點，則，即切線的斜率為，切線方程為：，將點代入可得，得，此時切線方程為，即，所求切線方程為：19.設數列的前項和為，已知數列滿足.（1）證明：數列為等差數列；（2）求；（3）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）.【解析】【分析】