高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.1命題及其關(guān)系1.1.1命題學(xué)案含解析新人教A版選修1-1

PAGEPAGE6第一章常用邏輯用語§1.1命題及其關(guān)系1.1.1命題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解命題的概念.2.會推斷命題的真假.3.能把命題改寫成“若p，則q”的形式．學(xué)問點一命題的概念思索下列語句有什么共同特征？①若直線a∥b，則直線a和直線b無公共點；②3＋6＝7；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④5能被4整除．答案(1)都是陳述句；(2)都能夠推斷真假．梳理(1)定義：用語言、符號或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句．(2)分類：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命題：推斷為真的語句.,假命題：推斷為假的語句.))特殊提示：(1)推斷一個語句是否為命題的兩個要素：①是陳述句，表達(dá)形式可以是符號、表達(dá)式或語言；②可以推斷真假．(2)真命題可以給出證明，假命題只需舉出一個反例即可．學(xué)問點二命題的形式命題的一般形式為“若p，則q”，其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論．1．并非任何語句都是命題，只有能推斷真假的陳述句才是命題．(√)2．一個命題不是真命題就是假命題．(√)3．有的命題只有結(jié)論沒有條件．(×)類型一命題的概念例1下列語句：(1)eq\r(2)是無限循環(huán)小數(shù)；(2)x2－3x＋2＝0；(3)當(dāng)x＝4時，2x>0；(4)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(5)一個數(shù)不是合數(shù)就是素數(shù)；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函數(shù)的圖象太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．其中是命題的是________．(填序號)考點命題的概念及分類題點命題概念的理解答案(1)(3)(5)(8)解析本題主要考查命題的推斷，推斷依據(jù)：一是陳述句；二是看能否推斷真假．(1)是命題，能推斷真假；(2)不是命題，因為語句中含有變量x，在沒給變量x賦值前，我們無法推斷語句的真假；(3)是命題；(4)不是命題，不是陳述句；(5)是命題；(6)不是命題；(7)不是命題；(8)是命題．故答案為(1)(3)(5)(8)．反思與感悟推斷一個語句是否是命題的三個關(guān)鍵點(1)一般來說，陳述句才是命題，祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題．(2)語句表述的結(jié)構(gòu)可以推斷真假，含義模糊不清，無法推斷真假的語句不是命題．(3)對于含有變量的語句，要留意依據(jù)變量的取值范圍，看能否推斷真假，若能，就是命題；否則就不是命題．跟蹤訓(xùn)練1下列語句：①3>2；②作射線AB；③sin30°＝eq\f(1,2)；④x2－1＝0有一個根是－1；⑤x<1.其中是命題的是()A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤考點命題的概念及分類題點命題概念的理解答案B解析②是祈使句，故不是命題，⑤無法推斷真假，故不是命題．類型二命題的真假推斷例2給定下列命題：①若a>b，則2a>2b；②命題“若a，b是無理數(shù)，則a＋b是無理數(shù)”是真命題；③直線x＝eq\f(π,2)是函數(shù)y＝sinx的一條對稱軸；④在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，則△ABC是鈍角三角形．其中為真命題的是________．考點命題的真假推斷題點命題真假的推斷答案①③④解析結(jié)合函數(shù)f(x)＝2x的單調(diào)性，知①為真命題；而函數(shù)y＝sinx的對稱軸方程為x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，故③為真命題；又因為eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(π－B)＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB>0，故得cosB<0，從而得B為鈍角，所以④為真命題．反思與感悟一個命題要么為真命題，要么為假命題，且必居其一．欲推斷一個命題為真命題，需進(jìn)行論證，而要推斷一個命題為假命題，只需舉出一個反例即可．跟蹤訓(xùn)練2下列命題中為真命題的是()A．若ax＝b，則x＝logabB．若向量a，b，c滿意a∥b，b∥c，則a∥cC．已知數(shù)列{an}滿意an＋1－2an＝0，則該數(shù)列為等比數(shù)列D．在△ABC中，設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若滿意acosB＝bcosA，則該三角形為等腰三角形考點命題的真假推斷題點命題真假的推斷答案D解析對于A，需a>0，且a≠1；對于B，若b＝0，其結(jié)論不成立；對于C，若數(shù)列an＝0，則結(jié)論不成立．類型三命題的結(jié)構(gòu)形式例3將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并推斷命題的真假．(1)6是12和18的公約數(shù)；(2)當(dāng)a>－1時，方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根；(3)平行四邊形的對角線相互平分；(4)已知x，y為非零自然數(shù)，當(dāng)y－x＝2時，y＝4，x＝2.考點命題的概念及分類題點命題的結(jié)構(gòu)解(1)若一個數(shù)是6，則它是12和18的公約數(shù)，是真命題．(2)若a>－1，則方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根，是假命題．(3)若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線相互平分，是真命題．(4)已知x，y是非零自然數(shù)，若y－x＝2，則y＝4，x＝2，是假命題．反思與感悟把一個命題改寫成“若p，則q”的形式，首先要確定命題的條件和結(jié)論，若條件和結(jié)論比較隱晦，則要補充完整，有時一個條件有多個結(jié)論，有時一個結(jié)論需多個條件，還要留意有的命題改寫形式不唯一．跟蹤訓(xùn)練3已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心并且平分弦所對的弧，若把上述命題改為“若p，則q”的形式，則p是_____________________________________________________，q是________________________________________________________________________．考點命題的概念及分類題點命題的結(jié)構(gòu)答案一條直線是弦的垂直平分線這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧解析已知中的命題改為“若p，則q”的形式為“若一條直線是弦的垂直平分線，則這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧”，p：一條直線是弦的垂直平分線；q：這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧.1．下列語句是命題的為()A．x－1＝0B．他還年輕C．20－5×3＝10D．在2024年前，將有人登上火星考點命題的概念及分類題點命題概念的理解答案C解析對于A，不能推斷其真假，不構(gòu)成命題，故A錯誤；對于B，因為不能推斷真假，故B不正確；對于C，能推斷其真假，構(gòu)成命題，故C正確；對于D，不能判定真假，不構(gòu)成命題，故D錯誤．故選C.2．有下列命題：①若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；②若a>b，則a＋c>b＋c；③矩形的對角線相互垂直．其中真命題共有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個考點命題的概念及分類題點命題真假性推斷答案B解析①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不肯定成立，是假命題；②當(dāng)a>b時，有a＋c>b＋c成立，正確，所以是真命題；③矩形的對角線不肯定相互垂直，不正確，是假命題．3．下列說法正確的是()A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語句“最高氣溫30℃時我就開空調(diào)”是命題C．命題“對角線相互垂直的四邊形是菱形”是真命題D．語句“當(dāng)a>4時，方程x2－4x＋a＝0有實根”是假命題考點命題的概念及分類題點命題真假性推斷答案D解析對于A，改寫成“若p，則q”的形式應(yīng)為“若兩個角都是直角，則這兩個角相等”；B所給語句不是命題；C的反例可以是“用邊長為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來說明．故選D.4．把命題“當(dāng)x＝2時，x2－3x＋2＝0”改寫成“若p，則q”的形式：____________________.考點命題的概念及分類題點命題的結(jié)構(gòu)答案若x＝2，則x2－3x＋2＝05．若“方程ax2－3x＋2＝0有兩個不相等的實數(shù)根”是真命題，則a的取值范圍是_________．考點命題的概念及分類題點由命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案a<eq\f(9,8)且a≠0解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝－32－4×2a>0，,a≠0，))解得a<eq\f(9,8)且a≠0.1．依據(jù)命題的定義，可以推斷真假的陳述句是命題．命題的條件與結(jié)論之間屬于因果關(guān)系，真命題須要給出證明，假命題只需舉出一個反例即可．2．任何命題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成的，可以寫成“若p，則q”的形式．含有大前提的命題寫成“若p，則q”的形式時，大前提應(yīng)保持不變，且不寫在條件p中.

一、選擇題1．下列語句為命題的是()A．2x＋5≥0 B．求證對頂角相等C．0不是偶數(shù) D．今日心情真好啊考點命題的概念及分類題點命題概念的理解答案C解析結(jié)合命題的定義知C為命題．2．下列語句中是命題的為()①空集是任何集合的子集；②若x>1，則x>2；③3比1大嗎？④若平面上兩條直線不相交，則它們平行；⑤eq\r(－22)＝－2；⑥x>15.A．①②⑥ B．①②④C．①④⑤ D．①②④⑤考點命題的概念及分類題點命題概念的理解答案D解析依據(jù)命題的定義可知①②④⑤是命題．3．命題“垂直于同一條直線的兩個平面平行”的條件是()A．兩個平面B．一條直線C．垂直D．兩個平面垂直于同一條直線考點命題的概念及分類題點命題的結(jié)構(gòu)答案D解析所給的命題可以改為“假如兩個平面垂直于同一條直線，那么它們相互平行”，故選D.4．給出命題：方程x2＋ax＋1＝0沒有實數(shù)根，若該命題為真命題，則a的一個值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3考點命題的概念及分類題點由命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案C解析方程無實數(shù)根時，應(yīng)滿意Δ＝a2－4<0，故當(dāng)a＝0時符合條件．5．下列命題為真命題的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng)B．若x2＝1，則x＝1C．若x＝y(tǒng)，則eq\r(x)＝eq\r(y)D．若x<y，則x2<y2考點命題的概念及分類題點命題真假性推斷答案A解析A正確；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命題；C中，當(dāng)x＝y(tǒng)<0時，結(jié)論不成立，所以C是假命題；D中，當(dāng)x＝－1，y＝1時，結(jié)論不成立，所以D是假命題．故選A.6．對于隨意實數(shù)a，b，c，d，有下列命題：①若a>b，c≠0，則ac>bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；④若a>b>0，c>d，則ac>bd.其中真命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4考點命題的概念及分類題點命題真假性推斷答案A解析當(dāng)c<0時，①錯誤；ac2>bc2，明顯c2>0，因此②正確；當(dāng)a>0>b時，③錯誤；當(dāng)a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2時，明顯④錯誤，故選A.7．已知條件“直線l與平面α有公共點”，與下列結(jié)論：①直線l上的點都在平面α內(nèi)；②直線l上有些點不在平面α內(nèi)；③平面α內(nèi)隨意一條直線都不與直線l平行．構(gòu)成的命題中假命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3考點命題的概念及分類題點命題真假性推斷答案D解析直線l與平面α有公共點，則直線l與平面α相交或直線l在平面α內(nèi)，因此可推斷①②③都是假命題，故選D.8．已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命題，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥－3 B．a(chǎn)>－3C．a(chǎn)≤－3 D．a(chǎn)<－3考點命題的概念及分類題點由命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案D解析∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，又∵a∈A是假命題，即a?A，∴a<－3.二、填空題9．把命題“末位數(shù)字是4的整數(shù)肯定能被2整除”改寫成“若p，則q”的形式為________________________．考點命題的概念及分類題點命題的結(jié)構(gòu)答案若一個整數(shù)的末位數(shù)字是4，則它肯定能被2整除10．給出下列命題：①在△ABC中，若A>B，則sinA>sinB；②函數(shù)y＝x3在R上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；③函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a至多有一個交點；④若將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位長度，則得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象．其中真命題的序號是________．考點命題的概念及分類題點命題真假性推斷答案①②③解析①∵A>B，∴a>b，∴sinA>sinB.②③正確．④將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位長度，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的圖象．11．假如命題“若x∈A，則x＋eq\f(1,x)≥2”為真命題，則集合A可以是______________．(寫出一個即可)考點命題的概念及分類題點由命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案{x|x>0}解析當(dāng)x>0時，有x＋eq\f(1,x)≥2，故A可以為{x|x>0}．三、解答題12．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并推斷其真假．且指出p和q分別指什么．(1)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；(3)與同一條直線平行的兩個平面平行．考點命題的概念及分類題點命題的結(jié)構(gòu)解(1)“若兩個實數(shù)乘積為1，則這兩個實數(shù)互為倒數(shù)”，它是真命題．p：兩個實數(shù)乘積為1；q：這兩個實數(shù)互為倒數(shù)．(2)“若一個函數(shù)為奇函數(shù)，則它的圖象關(guān)于原點對稱”，它是真命題．p：一個函數(shù)為奇函數(shù)；q：這個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．(3)“若兩個平面與同一條直線平行，則這兩個平面平行”，它是假命題，這兩個平面也可能相交．p：兩個平面與同一條直線平行；q：這兩個平面平行．13．已知A：5x－1>a，B：x>1，請選擇適當(dāng)?shù)膶崝?shù)a，使得利用A，B構(gòu)造的命題“若p，則q”為真命題．考點命題的概念及分類題點由命題的真假求參數(shù)的取值范圍解若視A為p，則命題“若p，則q”為“若x>eq\f(1＋a,5)，則x>1”．由命題為真命題可知eq\f(1＋a,5)≥1，解得a≥4；若視B為p，則命題“若p，則q”為“若x>1，則x>eq\f(1＋a,5)”．由命題為真命題可知eq\f(1＋a,5)≤1，解得a≤4.故a取任一實數(shù)均可利用A，B構(gòu)造出一個真命題，比如這里取a＝1，則有真命題“若x>1，則x>eq\f(2,5)”．四、探究與拓展14．若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．考點命題的概念及分類題點由命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案[－3,0]解析∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．當(dāng)a＝0時，－3≤0恒成立；當(dāng)a≠0時，則有eq\b\lc\{\rc