2023~2024學(xué)年貴州遵義高考數(shù)學(xué)理試題二模帶解析

2023-2024學(xué)年貴州省遵義市高考數(shù)學(xué)（理）模擬試題（二模）一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】先求出集合，再根據(jù)并集的運(yùn)算即可求出．【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：A．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正確答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到所在象限.【詳解】，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以位于第四象限.故選：D3．下圖是2013-2020年國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)（單位：萬(wàn)元）和國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占總教育經(jīng)費(fèi)占比的統(tǒng)計(jì)圖，下列說(shuō)法正確的是（

）A．2019年國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)和國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占總教育經(jīng)費(fèi)占比均最低B．國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)逐年增加C．國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占比逐年增加D．2020年國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)是2014年的兩倍【正確答案】B【分析】由統(tǒng)計(jì)圖逐一分析即可.【詳解】對(duì)于A，顯然國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)逐年增加，最低不是2019年，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占比在2015年至2019年逐年下降，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，2014年與2020年的國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)分別為大約250000000萬(wàn)元和不到450000000萬(wàn)元，顯然不滿足后者是前者的2倍的關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：B4．已知曲線的一條對(duì)稱軸是，則的值可能為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)先寫出其對(duì)稱軸的一般形式，然后檢查符合條件的選項(xiàng).【詳解】由題意，，即，于是，，即，，經(jīng)檢驗(yàn)，只有當(dāng)時(shí)即時(shí)符合.故選：C5．函數(shù)在上的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【正確答案】D【分析】先確定函數(shù)的奇偶性，排除C，代入特殊點(diǎn)的函數(shù)值，排除AB，得到D正確.【詳解】定義域?yàn)镽，又，故為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，又，排除B選項(xiàng)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且關(guān)于對(duì)稱，又，所以，故，即，排除A選項(xiàng)，故D正確.故選：D6．在長(zhǎng)方體中，，連接AC，，則（

）

A．直線與平面ABCD所成角為B．直線與平面所成角為C．直線與直線所成角為D．【正確答案】C【分析】設(shè)，連接，可得即為直線與平面ABCD所成角，求出可判斷A；連接，可得即為直線與平面所成角，求出可判斷B；因?yàn)?，轉(zhuǎn)化為直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即為，根據(jù)可判斷C；求出，，可判斷D.【詳解】設(shè)，對(duì)于A，連接，因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面ABCD所成角，因?yàn)?，所以，在直角三角形中，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，因?yàn)槠矫妫约礊橹本€與平面所成角，因?yàn)?，所以，在直角三角形中，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋灾本€與直線所成角即為直線與直線所成角，即為，因?yàn)?，所以，所以直線與直線所成角為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，即所以，故，故D錯(cuò)誤.故選：C.7．已知函數(shù)在處取得極值0，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【正確答案】B【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的意義，列式求解.【詳解】，有，得，所以.故選：B8．某學(xué)校安排3名教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生社團(tuán)，每名教師至少指導(dǎo)一個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)只需一位指導(dǎo)老師，則不同的安排方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種【正確答案】C【分析】根據(jù)分組分配的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】4個(gè)學(xué)生社團(tuán)，分為2，1，1的組，則有種分組情況，再分配給3位老師，則有種方法.故選：C9．已知銳角滿足，則（

）A． B． C． D．1【正確答案】D【分析】先根據(jù)求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根據(jù)兩角和得正切公式即可得解.【詳解】由，得，即，解得，又為銳角，所以，又，即，解得（舍去），所以，所以.故選：D.10．如圖，網(wǎng)絡(luò)紙上繪制的是某質(zhì)地均勻內(nèi)部為空的航天器件的三視圖（圖中小方格是邊長(zhǎng)為1cm的正方形），該器件由平均密度為的合金制成，則該器件的質(zhì)量為（

）A．390πg(shù) B．342πg(shù)C．260πg(shù) D．228πg(shù)【正確答案】A【分析】根據(jù)三視圖，計(jì)算幾何體的體積，再根據(jù)密度求幾何體的質(zhì)量.【詳解】由三視圖可知，幾何體是圓柱，里面挖去了一個(gè)球，如圖，圓柱的底面半徑為3cm，高為6cm，球的半徑為2cm，所以幾何體的體積,所以該器件的質(zhì)量是g.故選：A11．過(guò)雙曲線：的左焦點(diǎn)F作的其中一條漸近線的垂線，垂足為M，與的另一條漸近線交于點(diǎn)N，且，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】由圖形的幾何性質(zhì)求漸近線的傾斜角與斜率即可.【詳解】

如圖所示，設(shè)OM、ON為雙曲線的漸近線，由題意可知：FM⊥OM，因?yàn)椋訫為FN中點(diǎn)，故為等腰三角形，即，故，所以，故選:B12．已知，，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，利用單調(diào)性比大小即可.【詳解】令，則，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故在R上恒成立，即，令，則，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故在上恒成立，即，而，，即，令，則，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立，即令，由上知恒成立，即在R上單調(diào)遞增，而，故，所以，故.故選：D方法點(diǎn)睛：對(duì)于比大小問(wèn)題構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，需要積累，，等常用的放縮不等式，同時(shí)對(duì)于本題熟記等的近似值更快捷.二、填空題13．已知平面向量，的夾角為，且，，則=_______.【正確答案】【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算及運(yùn)算律可求得答案.【詳解】解：，所以．故答案為.14．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）.【正確答案】21【分析】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)公式待定系數(shù)求值即可.【詳解】設(shè)的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，則，即的系數(shù)為21.故21.15．已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則直線AB的斜率為_(kāi)__________.【正確答案】2【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求得直線AB的斜率，并驗(yàn)證判別式大于零.【詳解】設(shè)，代入拋物線，得，則①，因?yàn)閮牲c(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以由①得，直線AB的斜率為2.則直線AB：與代入拋物線聯(lián)立，得，，解得.所以直線AB的斜率為2.故2.16．在中，，D為BC邊上一點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)__________.【正確答案】【分析】將用表示，再平方可求得，再由結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.【詳解】由，得，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將用表示，再平方是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題17．2018年12月8日，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭成功發(fā)射嫦娥四號(hào)探測(cè)器，開(kāi)啟了月球探測(cè)的新旅程.為了解廣大市民是否實(shí)時(shí)關(guān)注了這一事件，隨機(jī)選取了部分年齡在20歲到70歲之間的市民作為一個(gè)樣本，將此樣本按年齡，，，，分為5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中實(shí)數(shù)的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中市民年齡的眾數(shù)；(2)為進(jìn)一步調(diào)查市民在日常生活中是否關(guān)注國(guó)家航天技術(shù)發(fā)展的情況，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從，，三組中抽取了6人.從這6人中任意抽取3人了解情況.記這3人中年齡在的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【正確答案】(1)，眾數(shù)為(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)概率之和等于即可求得，由頻率分布直方圖即可得出眾數(shù)；（2）先根據(jù)分層抽樣求出各區(qū)間的人數(shù)，再寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【詳解】（1）由，解得，眾數(shù)為；（2）的人數(shù)為，的人數(shù)為，的人數(shù)為，則可取，，，，，所以分布列為（人）.18．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足不等式的的最大值.【正確答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)【分析】（1）已知與的關(guān)系求解，然后證明即可；（2）由（1）求出，進(jìn)而由裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，求解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，所以，..所以時(shí)，即，所以，所以的最大值為.19．如圖，棱臺(tái)中，，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，連接，BD，.

(1)證明：；(2)求二面角的余弦值.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】根據(jù)棱臺(tái)數(shù)據(jù)可知其是正棱臺(tái)，建立空間直角坐標(biāo)系后，（1）利用空間向量的數(shù)量積證明垂直關(guān)系，（2）根據(jù)平面的法向量求二面角.【詳解】（1）

由題意，該棱臺(tái)是正四棱臺(tái).連接交于，以所在直線為軸，經(jīng)過(guò)且垂直于平面的直線為軸，交上底面于，連接，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)，過(guò)作底面的垂線，則垂足在上.根據(jù)題干數(shù)據(jù)，，為上底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)的一半，顯然，故，又，則，故.于是，，則，于是（2），于是，，設(shè)平面的法向量為，根據(jù)，則為其中一條法向量；由，，設(shè)平面的法向量為，根據(jù)，則為其中一條法向量.于是，結(jié)合圖形可知，二面角的平面角是銳角，則該二面角大小的余弦值是.20．已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線交橢圓于P，Q（不與重合）兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別交x軸于點(diǎn)M，N，求證.【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再證明即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，解得，則，則，所以直線的傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，所以.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明是解決本題第二問(wèn)的關(guān)鍵.21．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).(1)證明：在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；(2)若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先設(shè)函數(shù)，首先判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，以及極大值點(diǎn)的定義，即可證明；（2）由不等式參變分離為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，設(shè)，則，在區(qū)間，函數(shù)和都是單調(diào)遞減函數(shù)，所以單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間上存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）因?yàn)槿我?，都有成立，所以恒成立，即，記，，記，所以，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)，若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，求的值.【正確答案】(1);(2)5.【分析】（1）直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出直線的直角坐標(biāo)方程；由曲線的極坐標(biāo)方程，能求出曲線的直角坐標(biāo)方程．（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程，利用韋達(dá)定理由此能求出的值．【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的直角坐標(biāo)方程為．曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）將直線的參數(shù)方