2023~2024學年河北高考考前沖刺數(shù)學試題一模帶解析

2023-2024學年河北高考考前沖刺數(shù)學模擬試題（一模）一、單選題1．設集合，集合，集合，則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】化簡集合，根據(jù)集合的補集和交集的運算性質(zhì)求即可.【詳解】不等式的解集為，所以，故或，又，所以，故選：B．2．已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)運算即可求得復數(shù)，再得共軛復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可得答案.【詳解】，，，故在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：D．3．若函數(shù)在點處的切線為直線，若直線l與圓相切，則r的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】結合導數(shù)的幾何意義列方程求，由切點坐標與切線的關系求，根據(jù)直線與圓的位置關系列方程求.【詳解】函數(shù)的導函數(shù)，因為函數(shù)在點處的切線為直線，所以，解得，，故，切點在直線l上，，解得，直線與圓相切，圓心到直線l的距離為，故選：A．4．已知向量，．若，則（

）A．3 B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示，列式即可求得答案.【詳解】因為向量，，，所以，解得，故選：B．5．已知數(shù)列的首項，，前n項和滿足，則數(shù)列的前n項和為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題可得，進而可得，然后可得，利用等差數(shù)列的定義及求和公式即得.【詳解】由得，即，所以，所以，兩式作差，得，即，所以，所以或，又，故，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前n項和.故選：A.6．如圖，在正四棱臺中，棱，，的夾角為，，則棱，的夾角為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由棱臺的定義可知，分別延長，，，交于點P，連接AC，從而可得，從而可求出答案.【詳解】由棱臺的定義可知，分別延長，，，交于點P，連接AC，如圖，在正四棱臺中，棱，的夾角為，，所以△PAB是邊長為2的等邊三角形，所以.又在正方形中，,則，所以，所以，所以棱，的夾角為，故選：D7．已知定點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】設再表達出的坐標代入圓方程化簡即可.【詳解】設，則滿足.故.故.又點在圓上.故.故選:C本題主要考查了軌跡方程的求法，屬于基礎題型.8．設甲乘汽車?動車前往某目的地的概率分別為，汽車和動車正點到達目的地的概率分別為，則甲正點到達目的地的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】設事件A表示甲正點到達目的地，事件B表示甲乘火車到達目的地，事件C表示甲乘汽車到達目的地，由全概率公式求解即可.【詳解】設事件A表示甲正點到達目的地，事件B表示甲乘動車到達目的地，事件C表示甲乘汽車到達目的地，由題意知.由全概率公式得。故選：C二、多選題9．已知函數(shù)的定義域為，且對任意，恒成立；若時，.下列說法正確的是（

）A．時，B．對任意，有C．存在，使得D．“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在，使得”【正確答案】ABD【分析】對于選項，根據(jù)條件求得，可判斷，：直接利用關系式的變換求出結果．對于選項：利用假設法和關系式的而變換推出矛盾，進一步判定結果．對于選項：直接利用函數(shù)的單調(diào)性判定結果．【詳解】對于選項：，時，，，，而，，故正確；對于選項：（2），而當，時，，所以（2），所以，故正確；取，，其中，，1，，則，；，從而，而，對于，假設存在使，，，，，，這與矛盾，所以錯誤；對于：由上面推導可得當，時，，單調(diào)遞減，為減函數(shù)，所以若，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”，則，，，故正確．故選：．10．下列命題為真命題的是（）A．若，則B．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．的最小正周期為【正確答案】ACD【分析】利用二倍角公式和誘導公式可求得，知A正確；根據(jù)三角函數(shù)平移變換可求得，知B錯誤；利用三角恒等變換公式化簡得到解析式，利用整體對應的方式可求得單調(diào)遞增區(qū)間，知C正確；利用二倍角公式化簡得到，由正切型函數(shù)的周期性可求得結果知D正確.【詳解】對于A，，A正確；對于B，向右平移個單位長度得：，即，B錯誤；對于C，，則由，得：，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，C正確；對于D，，的最小正周期為，D正確.故選：ACD.11．已知P是橢圓C：上的動點，Q是圓D：上的動點，則（

）A．C的焦距為 B．C的離心率為C．圓D在C的內(nèi)部 D．|PQ|的最小值為【正確答案】BC【分析】根據(jù)橢圓方程直接判斷A、B的正誤，判斷圓心與橢圓左焦點的距離及圓心橫坐標對應橢圓點與圓心的距離，與圓的半徑長度關系判斷C的正誤，要使最小，保證P、Q、D共線，即，設應用兩點距離公式及橢圓方程求最小值，即可判斷D的正誤.【詳解】由橢圓方程知：，故焦距為，故A錯誤；C的離心率，故B正確；由圓D的方程知：圓心，半徑為，而且橢圓上的點到D的距離為，故圓D在C的內(nèi)部，故C正確；設，則，而，又，可知，故，故D錯誤.故選：BC12．（多選題）如圖所示的電路中，只箱子表示保險匣分別為、、、、箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，下列結論正確的是（

）A．所在線路暢通的概率為B．所在線路暢通的概率為C．所在線路暢通的概率為D．當開關合上時，整個電路暢通的概率為【正確答案】BD根據(jù)獨立事件的概率乘法公式以及對立事件的概率公式計算出各選項中線路暢通的概率，由此可得出結論.【詳解】由題意知，、、、、保險閘被切斷的概率分別為，，，，，所以、兩個盒子暢通的概率為，因此A錯誤；、兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為，因此C錯誤；、、三個盤子混聯(lián)后暢通的概率為，B正確；根據(jù)上述分析可知，當開關合上時，電路暢通的概率為，D正確.故選：BD.本題考查利用獨立事件的概率乘法公式計算事件的概率，考查計算能力，屬于中等題.三、填空題13．如圖，在中，點D在BC邊上，BD的垂直平分線過點A，且滿足，，則的大小為__________．

【正確答案】【分析】根據(jù)題意可得，結合正弦定理與、三角形內(nèi)角和定理與兩角和差余弦公式即可求得，從而得的大小.【詳解】因為BD的垂直平分線過點A，所以，則，所以．又因為在中，，，所以．在中，由正弦定理，得，所以,因為，所以為銳角，所以，則，又，所以．故答案為.14．已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)λ的值為__________．【正確答案】或【分析】由已知函數(shù)有唯一零點，結合偶函數(shù)的性質(zhì)，證明函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)條件列方程求λ的值.【詳解】因為函數(shù)有唯一零點，所以函數(shù)有唯一零點，因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又函數(shù)有唯一零點，所以函數(shù)的零點為，所以，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，又由可得，所以，所以解得或．故或．15．設，則的最小值為______.【正確答案】【分析】把分子展開化為，再利用基本不等式求最值．【詳解】，當且僅當，即時成立，故所求的最小值為．使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立．16．如圖，三棱錐的所有頂點都在球的表面上，平面平面，，，，則球的表面積為______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意以及面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得，再由，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，得，取中點，即為外接球的球心，進而求出半徑，利用球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，由，，，得，則，又平面平面，且平面平面，∴平面，則，又，，∴，則，∴平面，得，取中點，則為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑．∴球的表面積為．故．本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理以及球的表面積公式，考查了多面體的外接球問題，綜合性比較強，屬于中檔題.四、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足.(1)求角A；(2)若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）將，轉(zhuǎn)化為，再由余弦定理求解；（2）根據(jù)△ABC的外接圓半徑為1，得到，再利用余弦定理結合基本不等式求得，再由求解.【詳解】（1）解：因為，所以，即，所以，因為，所以；（2）因為△ABC的外接圓半徑為1，所以，由余弦定理得，，所以，當且僅當時，等號成立，所以，故△ABC的面積S的最大值是.18．已知數(shù)列，滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，證明.【正確答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）利用定義法證明出是公比為2的等比數(shù)列，再求出；（2）先判斷出當n為偶數(shù)時，.對n分奇偶討論，分別分組求和及放縮后可以證明出.【詳解】（1），，即，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又，，，，，，即.（2）由(1)，當n為偶數(shù)時，，故.當n為奇數(shù)時，.當n為偶數(shù)時，.綜上，.19．如圖，和都是邊長為2的正三角形，且它們所在平面互相垂直．平面，且．(1)設P是的中點，證明：AP平面．(2)求二面角的正弦值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)取的中點O，先求出長度，再結合等腰三角形三線合一得出，則有,則得出結論；(2)在點O建立空間坐標系，分別計算兩個半平面的法向量，并計算法向量的余弦值，再求解二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：取的中點O，連接．是正三角形，．∵平面平面，平面平面，平面ABC平面．平面，．在中，，．又，為等腰三角形．是的中點，．平面，．平面平面，平面．（2）由（1）知，，∴四邊形為平行四邊形，，．以點O為坐標原點，以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標系，則,，．設平面的法向量為，則即令，則，．設平面的法向量為，則即令，則，．．設二面角的平面角為，∴二面角的正弦值為．20．已知半橢圓和半圓組成曲線.如圖所示，半橢圓內(nèi)接于矩形，與軸交于點，點是半圓上異于，的任意一點.當點位于點處時，的面積最大.（1）求曲線的方程；（2）連，分別交于點，，求證：為定值.【正確答案】(1)和.(2)證明見解析，定值為4【分析】（1）由點在半圓上，求得，再由的面積最大，則與半圓在點處的切線平行，從而可求得，可得曲線方程．（2）設，寫出直線方程，求出點坐標，計算即可．【詳解】（1）因為點在半圓上，得，∵，∴，當半圓在點處的切線與直線平行時，的面積最大.∵，∴，，，所以曲線的方程和.（2）得，，設，則：，令，得，：，令，得，又，，，所以.本題考查求曲線的方程，考查解析幾何中的定值問題．對于定值問題，直接設動點坐標，然后根據(jù)已知計算點的坐標，計算線段長度等等，再利用動點在曲線上的性質(zhì)得出定值是一種基本方法．21．第七次全國人口普查登記于2020年11月1日開始，這是在我國人口發(fā)展進入關鍵期開展的一次重大國情國力調(diào)查，可以為編制“十四五”規(guī)劃，為推動高質(zhì)量發(fā)展，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略和政策體系?促進入口長期均衡發(fā)展提供重要信息支持，本次普查主要調(diào)查人口和住戶的基本情況.某校高三一班共有學生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集體戶進行申報，所有非住校生(走讀生及半走讀生)按原家庭申報，已知該班住校生與非住校生人數(shù)的比為，住校生中男生占，現(xiàn)從住校生中采用分層抽樣的方法抽取7名同學擔任集體戶戶主進行人口普查登記.（1）應從住校的男生?女生中各抽取多少人？（2）若從抽出的7名戶主中隨機抽取3人進行普查登記培訓①求這3人中既有男生又有女生的概率；②用表示抽取的3人中女生戶主的人數(shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.【正確答案】（1）男生?女生就分別抽取4人，3人；（2）①；②分布列答案見解析，數(shù)學期望.（1）找到住校生中男女生的比例關系，即可求出男女生分別抽取的人數(shù).（2）①抽取的3名戶主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人兩種情況，分別求出概率再求和即可；②找到變量X的所有可能取值，服從超幾何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可.【詳解】（1）由已知住校生中男生占，則女生占，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此男生?女生就分別抽取4人，3人.（2）①設事件A為“抽取的3名戶主中既有男生，又有女生”，設事件B為“抽取的3名戶主中男生有1人，女生有2人”；事件C為“抽取的3名戶主中男生有2人，女生有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，=，=，故，所以，事件A發(fā)生的概率為.②隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，.隨機變量X的分布列為X0123隨機變量X的數(shù)學期望.22．已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．【正確答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)導數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構建新函數(shù)，利用導數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當，由（1）討論可得、僅有一個解，當時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設，其中，故，設，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個零點，且：當時，即即，