2023~2024學年河南洛陽聯(lián)考高考數(shù)學理仿真試題二模帶解析

2023-2024學年河南省洛陽市聯(lián)考高考數(shù)學（理）仿真模擬試題（二模）一、單選題1.已知全集，集合滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)補集的定義求出集合，再判斷即可.【詳解】因為，且，所以，所以，，，.故選：D2.已知為虛數(shù)單位，，則復數(shù)在復平面上所對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】B【分析】先根據(jù)復數(shù)的乘方求出，再根據(jù)復數(shù)的除法運算即可得解.【詳解】因為，則，所以在復平面上所對應的點為位于第二象限.故選：B.3.已知向量，且，則（）A.6 B.8 C.10 D.12【正確答案】C【分析】由，可得，即可得答案.【詳解】因，所以，即.故選：C4.黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小、密度大、吸引力強，任何物體到了它那里都別想再出來，數(shù)字中也有類似的“黑洞”.任意取一個數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)、奇數(shù)的個數(shù)以及總的數(shù)字個數(shù)，把這三個數(shù)從左到右寫成一個新的數(shù)字串.重復以上工作，最后會得到一個反復出現(xiàn)的數(shù)字串，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個數(shù)字串設為，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取一個數(shù)字串,確定“數(shù)字黑洞”，根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式計算，可得答案.【詳解】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過第一步之后為314，經(jīng)過第二步之后為123，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以“數(shù)字黑洞”為123，即，則,故選:.5.已知拋物線的焦點在圓上，則該拋物線的焦點到準線的距離為（）A.1 B.2 C.4 D.8【正確答案】C【分析】根據(jù)焦點坐標即可求解，由的幾何意義即可求解.【詳解】由于拋物線的焦點為正半軸上，與正半軸的交點為，故拋物線的焦點為，所以，因此拋物線的焦點到準線的距離為，故選：C6.如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應填入A.A= B.A= C.A= D.A=【正確答案】A【分析】本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認真分析式子結構特征與程序框圖結構，即可找出作出選擇．【詳解】執(zhí)行第1次，是，因為第一次應該計算=，=2，循環(huán)，執(zhí)行第2次，，是，因為第二次應該計算=，=3，，否，輸出，故循環(huán)體為，故選A．秒殺速解認真觀察計算式子的結構特點，可知循環(huán)體為．7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體各個面中，面積最大的面的面積為（）A. B. C. D.8【正確答案】A【分析】首先把三視圖轉化為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體各個面的面積即可得出答案.【詳解】如圖，在棱長為4的正方體中，C為棱的中點，三棱錐A-BCD即為該幾何體．其中為直角三角形，，BD=4，AB⊥BD，所以其面積為；為等腰三角形，BC=CD，BD=4，點C到邊BD的距離為4，所以其面積為；為等腰三角形，，，所以點C到邊AB的距離為，所以其面積為；為等腰三角形，，，所以點C到邊AD的距離為，所以其面積為．綜上，該幾何體各個面中面積最大的面為，其面積為．故選：A．8.已知為數(shù)列的前n項和，若，則的通項公式為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先由題設求出，再通過構造得，由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】令可得，又，解得，又，則，，即是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，.故選：B.9.中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內部套雕出一個可以任意轉動的球，在球內部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內層正四面體的棱長最長為（）A. B. C. D.6【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，求正方體的內切球半徑，易知該球為所求正四面體的外接球，根據(jù)正四面體的性質，可求得棱長．【詳解】由題意，球是正方體的內切球，且該球為正四面體的外接球時，四面體的棱長最大，則該球半徑，如圖：可知為外接球球心，，平面，為底面等邊的中心，設正四面體的棱長為，則，，在中，則，即，解得，即．故選：A10.甲乙兩位游客慕名來到贛州旅游，準備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠三百山5個景點中隨機選擇其中一個，記事件A：甲和乙選擇的景點不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山，則條件概率（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用條件概率公式即可求出結果.【詳解】由題知，，，所以，故選：B.11.已知橢圓與雙曲線共焦點，雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設橢圓的標準方程為，雙曲線的標準方程為，設橢圓與雙曲線的公共焦點為、，且、為兩曲線的左、右焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限的交點為，在第三象限的交點為，由已知條件可得出，利用橢圓和雙曲線的定義可求得、，分析出為直角，利用勾股定理可求得橢圓的離心率.【詳解】設橢圓的標準方程為，雙曲線的標準方程為，設，因為雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，則，設橢圓與雙曲線的公共焦點為、，且、為兩曲線的左、右焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限的交點為，在第三象限的交點為，則，解得，由對稱性可知、的中點均為原點，所以，四邊形為平行四邊形，因為、、、四點共圓，則有，故，由勾股定理可得，即，即，即，故橢圓的離心率為.故選：C.12.設，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】令，求得，得到函數(shù)的單調性與最大值，再由當且時，設且，求得，即可求解.【詳解】解：由，令函數(shù)，可得，當，可得，單調遞增；當，可得，單調遞減，所以當，函數(shù)取得極大值，即為最大值，函數(shù)的圖形，如圖所示，對于函數(shù)，當且時，.設且，則，可得，所以，所以,所以.故選：A.二、填空題13.為了響應全國創(chuàng)文明城活動，某單位計劃安排五名員工分別去三個小區(qū)參加志愿者服務，每個員工只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1人，員工甲不去小區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)共有______種．【正確答案】100【分析】根據(jù)題意有和兩種情況，共有種情況，再根據(jù)員工甲去三個小區(qū)的可能性相同，得到答案.【詳解】五名員工分別去三個小區(qū)A，B，C參加志愿者服務，每個員工只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1人，則有和兩種情況，共有種情況，員工甲去三個小區(qū)的可能性相同，所以共有種情況.故10014.直線經(jīng)過點，與圓相交截得的弦長為，則直線的方程為________．【正確答案】或【分析】將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，根據(jù)弦長求出圓心到直線的距離，分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出直線方程.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，因為直線與圓相交截得的弦長為，所以圓心到直線的距離，若直線的斜率不存在，此時直線方程為，滿足圓心到直線的距離為，符合題意；若直線的斜率存在，設斜率為，則直線方程為，即，則，解得，所以直線方程為，即，綜上可得直線方程為或.故或15.定義運算：，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小正值是___________．【正確答案】##【分析】化函數(shù)為余弦函數(shù)，寫出圖像平移后的解析式，由偶函數(shù)求出的最小正值.【詳解】，向左平移個單位后得到，因為此時函數(shù)是偶函數(shù)，所以，則，所以當時，取得最小正值，此時.故16.若函數(shù)f(x)＝ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2兩處取到極值，且，則實數(shù)a的取值范圍是________.【正確答案】【分析】對求導后令,再根據(jù)是導函數(shù)的兩根數(shù)形結合分析兩根的關系求解.【詳解】函數(shù),所以,若函數(shù)在和兩處取到極值,則和是函數(shù)的兩個零點,即是方程,即的兩個根,所以函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點,且交點的橫坐標分別為,由于,所以當或時,；當時,；故的減區(qū)間有和,增區(qū)間有,且當時,,作出的草圖：由圖可知：,且,因為,即,取,并令,則所以,解得,此時,故,即實數(shù)的取值范圍是.故答案：本題主要考查了函數(shù)的極值問題,包括數(shù)形結合求解函數(shù)零點與范圍分析的問題,需要根據(jù)題意參變分離畫出圖像分析極值點之間的關系,并找到臨界條件進行分析.屬于中等題型.三、解答題（一）必做題17.記為數(shù)列的前項和，已知，且滿足.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）方法1：由可得，由累加法求出，再證明數(shù)列為等差數(shù)列；方法2：由可得，可證得為常數(shù)數(shù)列，求出，再證明數(shù)列為等差數(shù)列；方法3：由可得，兩式相減可明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）由（1）知，所以，方法1：由并項求和法求出數(shù)列的前項和；方法2：由錯位相減求和求出數(shù)列的前項和.【小問1詳解】方法1：，時，，累加得：，時也成立，.，是等差數(shù)列方法2：，，為常數(shù)數(shù)列，，，，是等差數(shù)列.方法3：當時，①，②，②-①可得：，是等差數(shù)列，因為.小問2詳解】由（1）知，所以，方法1：并項求和當為偶數(shù)時，，方法2：錯位相減求和①②①-②：18.如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點．（1）證明：平面．（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）構造面面平行，利用面面平行的性質定理證明線面平行即可；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線的方向向量與平面的法向量，即可得線面夾角的正弦值.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，．因為，分別是棱，的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．因為，分別是棱，的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．因為，平面，且，所以平面平面．因為平面，所以平面．【小問2詳解】以為坐標原點，分別以，的方向為，軸的正方向，垂直平面向上的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，．由余弦定理可得，則，從而，，，，，故，，．設平面的法向量為，則,令，得．設直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．19.質檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機抽取100桶檢測某項質量指標，由檢測結果得到如圖的頻率分布直方圖：（1）寫出頻率分布直方圖(甲）中的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質量指標的方差分別為，試比較的大?。ㄖ灰髮懗龃鸢福?；（2）佑計在甲、乙兩種食用油中各隨機抽取1桶，恰有一個桶的質量指標大于20，且另—個桶的質量指標不大于20的概率；（3）由頻率分布直方圖可以認為，乙種食用油的質量指標值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，設表示從乙種食用油中隨機抽取10桶，其質量指標值位于的桶數(shù)，求的數(shù)學期望.注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，計算得：②若，則，.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由頻率分布直方圖的矩形面積和為1可得，再由分布的離散程度即可比較方差大??；（2）根據(jù)互斥事件的概率和及對立事件的概率求解即可；（3）求出從乙種食用油中隨機抽取10桶，其質量指標值位于的概率是0.6826，得到，求出即可．【小問1詳解】由題意，，解得，由甲、乙的頻率分布直方圖可以看出，甲的指標的波動大，乙的比較平均，波動較小，故；【小問2詳解】設事件：在甲公司產品中隨機抽取1桶，其質量指標不大于20，事件：在乙公司產品中隨機抽取1桶，其質量指標不大于20，事件：在甲、乙公司產品中隨機抽各取1桶，恰有一桶的質量指標大于20，且另一個不大于20，則，，；【小問3詳解】，由條件得從而，從乙公司產品中隨機抽取10桶，其質量指標值位于的概率是，依題意得，.20.已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點，M為線段AB的中點．（1）當k變化時，求點M的軌跡方程；（2）若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【正確答案】（1），其中或（2）存在，【分析】（1）設，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得，根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點，得且，即且，由韋達定理，得，則，，聯(lián)立消去k，得，再根據(jù)范圍得出的范圍，即可得出答案；（2）設，，根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出，，則，即線段AB的中點M也是線段CD的中點，若A，B為線段CD的兩個三等分點，則，結合弦長公式列式得，即可化簡代入得出，即可解出答案.【小問1詳解】設，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點M軌跡方程為，其中或．【小問2詳解】雙曲線E的漸近線方程為．設，，聯(lián)立得，同理可得，因為，所以，線段AB的中點M也是線段CD的中點．若A，B為線段CD的兩個三等分點，則．即，．而，．所以，，解得，所以，存在實數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個三等分點．21.關于的函數(shù).（Ⅰ）若為單調函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）討論的零點個數(shù).【正確答案】（1）；（2）見解析【詳解】試題分析：（1）先求導數(shù)，再根據(jù)參數(shù)a討論導函數(shù)符號不變號的條件：時，恒為正，時，根據(jù)二次函數(shù)圖像確定判別式為非正，解得實數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)單調性討論函數(shù)零點個數(shù)：由于，所以函數(shù)單調時只有一個零點.函數(shù)不單調時，根據(jù)零點存在定理確定零點個數(shù).試題解析：（Ⅰ）的定義域為，①時，恒成立，故為單調遞增函數(shù).②時，令，.當時，，當時，.∴在上單調遞增，在上單調遞減.∴為的極大值點，也是上的最大值點.若，得∴時，，則，∴在上單調遞減.綜上，若為單調函數(shù)，實數(shù)的取值范圍是.（Ⅱ）由題設知，，①由（Ⅰ）知，或時，單調，故只一個零點.②若得得，則.當或時，即，當時.即.在和上單調遞減，在上單調遞增，∴的極小值點，極大值點.又，根據(jù)函數(shù)的增長速度，時，時，∴有兩個零點，一個在區(qū)間，另一個為.③或時，有.又在上單調遞增，在上單調遞減，且，時，故必存在不為1的，，使得，故時，，則；時，，則.∴在和上單調遞減，在上單調遞增.時，