2023~2024學(xué)年河南洛陽(yáng)聯(lián)考高考數(shù)學(xué)理仿真試題二模帶解析

2023-2024學(xué)年河南省洛陽(yáng)市聯(lián)考高考數(shù)學(xué)（理）仿真模擬試題（二模）一、單選題1.已知全集，集合滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義求出集合，再判斷即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，，?故選：D2.已知為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限.故選：B.3.已知向量，且，則（）A.6 B.8 C.10 D.12【正確答案】C【分析】由，可得，即可得答案.【詳解】因，所以，即.故選：C4.黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小、密度大、吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來(lái)，數(shù)字中也有類似的“黑洞”.任意取一個(gè)數(shù)字串，長(zhǎng)度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫成一個(gè)新的數(shù)字串.重復(fù)以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字串，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個(gè)數(shù)字串設(shè)為，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取一個(gè)數(shù)字串,確定“數(shù)字黑洞”，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式計(jì)算，可得答案.【詳解】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過(guò)第一步之后為314，經(jīng)過(guò)第二步之后為123，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以“數(shù)字黑洞”為123，即，則,故選:.5.已知拋物線的焦點(diǎn)在圓上，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.1 B.2 C.4 D.8【正確答案】C【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求解，由的幾何意義即可求解.【詳解】由于拋物線的焦點(diǎn)為正半軸上，與正半軸的交點(diǎn)為，故拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故選：C6.如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入A.A= B.A= C.A= D.A=【正確答案】A【分析】本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問(wèn)題等素養(yǎng)，認(rèn)真分析式子結(jié)構(gòu)特征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇．【詳解】執(zhí)行第1次，是，因?yàn)榈谝淮螒?yīng)該計(jì)算=，=2，循環(huán)，執(zhí)行第2次，，是，因?yàn)榈诙螒?yīng)該計(jì)算=，=3，，否，輸出，故循環(huán)體為，故選A．秒殺速解認(rèn)真觀察計(jì)算式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知循環(huán)體為．7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體各個(gè)面中，面積最大的面的面積為（）A. B. C. D.8【正確答案】A【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體各個(gè)面的面積即可得出答案.【詳解】如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，C為棱的中點(diǎn)，三棱錐A-BCD即為該幾何體．其中為直角三角形，，BD=4，AB⊥BD，所以其面積為；為等腰三角形，BC=CD，BD=4，點(diǎn)C到邊BD的距離為4，所以其面積為；為等腰三角形，，，所以點(diǎn)C到邊AB的距離為，所以其面積為；為等腰三角形，，，所以點(diǎn)C到邊AD的距離為，所以其面積為．綜上，該幾何體各個(gè)面中面積最大的面為，其面積為．故選：A．8.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先由題設(shè)求出，再通過(guò)構(gòu)造得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】令可得，又，解得，又，則，，即是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，.故選：B.9.中國(guó)雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng)，是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻大師在棱長(zhǎng)為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為（）A. B. C. D.6【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，求正方體的內(nèi)切球半徑，易知該球?yàn)樗笳拿骟w的外接球，根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可求得棱長(zhǎng)．【詳解】由題意，球是正方體的內(nèi)切球，且該球?yàn)檎拿骟w的外接球時(shí)，四面體的棱長(zhǎng)最大，則該球半徑，如圖：可知為外接球球心，，平面，為底面等邊的中心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，，在中，則，即，解得，即．故選：A10.甲乙兩位游客慕名來(lái)到贛州旅游，準(zhǔn)備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠(yuǎn)三百山5個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)，記事件A：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山，則條件概率（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，，，所以，故選：B.11.已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)為、，且、為兩曲線的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，在第三象限的交點(diǎn)為，由已知條件可得出，利用橢圓和雙曲線的定義可求得、，分析出為直角，利用勾股定理可求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，因?yàn)殡p曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，則，設(shè)橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)為、，且、為兩曲線的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，在第三象限的交點(diǎn)為，則，解得，由對(duì)稱性可知、的中點(diǎn)均為原點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，因?yàn)?、、、四點(diǎn)共圓，則有，故，由勾股定理可得，即，即，即，故橢圓的離心率為.故選：C.12.設(shè)，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】令，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性與最大值，再由當(dāng)且時(shí)，設(shè)且，求得，即可求解.【詳解】解：由，令函數(shù)，可得，當(dāng)，可得，單調(diào)遞增；當(dāng)，可得，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得極大值，即為最大值，函數(shù)的圖形，如圖所示，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，.設(shè)且，則，可得，所以，所以,所以.故選：A.二、填空題13.為了響應(yīng)全國(guó)創(chuàng)文明城活動(dòng)，某單位計(jì)劃安排五名員工分別去三個(gè)小區(qū)參加志愿者服務(wù)，每個(gè)員工只去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1人，員工甲不去小區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)共有______種．【正確答案】100【分析】根據(jù)題意有和兩種情況，共有種情況，再根據(jù)員工甲去三個(gè)小區(qū)的可能性相同，得到答案.【詳解】五名員工分別去三個(gè)小區(qū)A，B，C參加志愿者服務(wù)，每個(gè)員工只去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1人，則有和兩種情況，共有種情況，員工甲去三個(gè)小區(qū)的可能性相同，所以共有種情況.故10014.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與圓相交截得的弦長(zhǎng)為，則直線的方程為________．【正確答案】或【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離，分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出直線方程.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相交截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到直線的距離，若直線的斜率不存在，此時(shí)直線方程為，滿足圓心到直線的距離為，符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線方程為，即，則，解得，所以直線方程為，即，綜上可得直線方程為或.故或15.定義運(yùn)算：，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小正值是___________．【正確答案】##【分析】化函數(shù)為余弦函數(shù)，寫出圖像平移后的解析式，由偶函數(shù)求出的最小正值.【詳解】，向左平移個(gè)單位后得到，因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)是偶函數(shù)，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小正值，此時(shí).故16.若函數(shù)f(x)＝ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2兩處取到極值，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【正確答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)后令,再根據(jù)是導(dǎo)函數(shù)的兩根數(shù)形結(jié)合分析兩根的關(guān)系求解.【詳解】函數(shù),所以,若函數(shù)在和兩處取到極值,則和是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),即是方程,即的兩個(gè)根,所以函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,由于,所以當(dāng)或時(shí),；當(dāng)時(shí),；故的減區(qū)間有和,增區(qū)間有,且當(dāng)時(shí),,作出的草圖：由圖可知：,且,因?yàn)?即,取,并令,則所以,解得,此時(shí),故,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案：本題主要考查了函數(shù)的極值問(wèn)題,包括數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)與范圍分析的問(wèn)題,需要根據(jù)題意參變分離畫出圖像分析極值點(diǎn)之間的關(guān)系,并找到臨界條件進(jìn)行分析.屬于中等題型.三、解答題（一）必做題17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）方法1：由可得，由累加法求出，再證明數(shù)列為等差數(shù)列；方法2：由可得，可證得為常數(shù)數(shù)列，求出，再證明數(shù)列為等差數(shù)列；方法3：由可得，兩式相減可明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）由（1）知，所以，方法1：由并項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)和；方法2：由錯(cuò)位相減求和求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】方法1：，時(shí)，，累加得：，時(shí)也成立，.，是等差數(shù)列方法2：，，為常數(shù)數(shù)列，，，，是等差數(shù)列.方法3：當(dāng)時(shí)，①，②，②-①可得：，是等差數(shù)列，因?yàn)?小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以，方法1：并項(xiàng)求和當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，方法2：錯(cuò)位相減求和①②①-②：18.如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）構(gòu)造面面平行，利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線的方向向量與平面的法向量，即可得線面夾角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)椋謩e是棱，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)椋矫?，且，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面．【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)椋S的正方向，垂直平面向上的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，．由余弦定理可得，則，從而，，，，，故，，．設(shè)平面的法向量為，則,令，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．19.質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機(jī)抽取100桶檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖：（1）寫出頻率分布直方圖(甲）中的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為，試比較的大小（只要求寫出答案）；（2）佑計(jì)在甲、乙兩種食用油中各隨機(jī)抽取1桶，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另—個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)不大于20的概率；（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，設(shè)表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于的桶數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得：②若，則，.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由頻率分布直方圖的矩形面積和為1可得，再由分布的離散程度即可比較方差大小；（2）根據(jù)互斥事件的概率和及對(duì)立事件的概率求解即可；（3）求出從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于的概率是0.6826，得到，求出即可．【小問(wèn)1詳解】由題意，，解得，由甲、乙的頻率分布直方圖可以看出，甲的指標(biāo)的波動(dòng)大，乙的比較平均，波動(dòng)較小，故；【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件：在甲公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1桶，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，事件：在乙公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1桶，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，事件：在甲、乙公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽各取1桶，恰有一桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20，則，，；【小問(wèn)3詳解】，由條件得從而，從乙公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于的概率是，依題意得，.20.已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．（1）當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．【正確答案】（1），其中或（2）存在，【分析】（1）設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得，根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，得且，即且，由韋達(dá)定理，得，則，，聯(lián)立消去k，得，再根據(jù)范圍得出的范圍，即可得出答案；（2）設(shè)，，根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出，，則，即線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)，若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，結(jié)合弦長(zhǎng)公式列式得，即可化簡(jiǎn)代入得出，即可解出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達(dá)定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點(diǎn)M軌跡方程為，其中或．【小問(wèn)2詳解】雙曲線E的漸近線方程為．設(shè)，，聯(lián)立得，同理可得，因?yàn)?，所以，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則．即，．而，．所以，，解得，所以，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．21.關(guān)于的函數(shù).（Ⅰ）若為單調(diào)函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【正確答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【詳解】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)參數(shù)a討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)不變號(hào)的條件：時(shí)，恒為正，時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖像確定判別式為非正，解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：由于，所以函數(shù)單調(diào)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)不單調(diào)時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，①時(shí)，恒成立，故為單調(diào)遞增函數(shù).②時(shí)，令，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴為的極大值點(diǎn)，也是上的最大值點(diǎn).若，得∴時(shí)，，則，∴在上單調(diào)遞減.綜上，若為單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（Ⅱ）由題設(shè)知，，①由（Ⅰ）知，或時(shí)，單調(diào)，故只一個(gè)零點(diǎn).②若得得，則.當(dāng)或時(shí)，即，當(dāng)時(shí).即.在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn).又，根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度，時(shí)，時(shí)，∴有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間，另一個(gè)為.③或時(shí)，有.又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，時(shí)，故必存在不為1的，，使得，故時(shí)，，則；時(shí)，，則.∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.時(shí)，