2023~2024學年河南洛陽聯(lián)考高考數(shù)學理仿真試題二模帶解析_第1頁
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2023-2024學年河南省洛陽市聯(lián)考高考數(shù)學(理)仿真模擬試題(二模)一、單選題1.已知全集,集合滿足,則()A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)補集的定義求出集合,再判斷即可.【詳解】因為,且,所以,所以,,,.故選:D2.已知為虛數(shù)單位,,則復數(shù)在復平面上所對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】B【分析】先根據(jù)復數(shù)的乘方求出,再根據(jù)復數(shù)的除法運算即可得解.【詳解】因為,則,所以在復平面上所對應的點為位于第二象限.故選:B.3.已知向量,且,則()A.6 B.8 C.10 D.12【正確答案】C【分析】由,可得,即可得答案.【詳解】因,所以,即.故選:C4.黑洞原指非常奇怪的天體,它體積小、密度大、吸引力強,任何物體到了它那里都別想再出來,數(shù)字中也有類似的“黑洞”.任意取一個數(shù)字串,長度不限,依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)、奇數(shù)的個數(shù)以及總的數(shù)字個數(shù),把這三個數(shù)從左到右寫成一個新的數(shù)字串.重復以上工作,最后會得到一個反復出現(xiàn)的數(shù)字串,我們稱它為“數(shù)字黑洞”,如果把這個數(shù)字串設為,則()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義,任取一個數(shù)字串,確定“數(shù)字黑洞”,根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式計算,可得答案.【詳解】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義,任取數(shù)字2021,經(jīng)過第一步之后為314,經(jīng)過第二步之后為123,再變?yōu)?23,再變?yōu)?23,所以“數(shù)字黑洞”為123,即,則,故選:.5.已知拋物線的焦點在圓上,則該拋物線的焦點到準線的距離為()A.1 B.2 C.4 D.8【正確答案】C【分析】根據(jù)焦點坐標即可求解,由的幾何意義即可求解.【詳解】由于拋物線的焦點為正半軸上,與正半軸的交點為,故拋物線的焦點為,所以,因此拋物線的焦點到準線的距離為,故選:C6.如圖是求的程序框圖,圖中空白框中應填入A.A= B.A= C.A= D.A=【正確答案】A【分析】本題主要考查算法中的程序框圖,滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng),認真分析式子結構特征與程序框圖結構,即可找出作出選擇.【詳解】執(zhí)行第1次,是,因為第一次應該計算=,=2,循環(huán),執(zhí)行第2次,,是,因為第二次應該計算=,=3,,否,輸出,故循環(huán)體為,故選A.秒殺速解認真觀察計算式子的結構特點,可知循環(huán)體為.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體各個面中,面積最大的面的面積為()A. B. C. D.8【正確答案】A【分析】首先把三視圖轉化為幾何體的直觀圖,進一步求出幾何體各個面的面積即可得出答案.【詳解】如圖,在棱長為4的正方體中,C為棱的中點,三棱錐A-BCD即為該幾何體.其中為直角三角形,,BD=4,AB⊥BD,所以其面積為;為等腰三角形,BC=CD,BD=4,點C到邊BD的距離為4,所以其面積為;為等腰三角形,,,所以點C到邊AB的距離為,所以其面積為;為等腰三角形,,,所以點C到邊AD的距離為,所以其面積為.綜上,該幾何體各個面中面積最大的面為,其面積為.故選:A.8.已知為數(shù)列的前n項和,若,則的通項公式為()A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先由題設求出,再通過構造得,由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】令可得,又,解得,又,則,,即是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,則,.故選:B.9.中國雕刻技藝舉世聞名,雕刻技藝的代表作“鬼工球”,取鬼斧神工的意思,制作相當繁復,成品美輪美奐.1966年,玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應用到玉雕之中,他把玉石鏤成多層圓球,層次重疊,每層都可靈活自如的轉動,是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內部套雕出一個可以任意轉動的球,在球內部又套雕出一個正四面體(所有棱長均相等的三棱錐),若不計各層厚度和損失,則最內層正四面體的棱長最長為()A. B. C. D.6【正確答案】A【分析】根據(jù)題意,求正方體的內切球半徑,易知該球為所求正四面體的外接球,根據(jù)正四面體的性質,可求得棱長.【詳解】由題意,球是正方體的內切球,且該球為正四面體的外接球時,四面體的棱長最大,則該球半徑,如圖:可知為外接球球心,,平面,為底面等邊的中心,設正四面體的棱長為,則,,在中,則,即,解得,即.故選:A10.甲乙兩位游客慕名來到贛州旅游,準備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠三百山5個景點中隨機選擇其中一個,記事件A:甲和乙選擇的景點不同,事件B:甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山,則條件概率()A B. C. D.【正確答案】B【分析】先利用古典概率公式求出和的概率,再利用條件概率公式即可求出結果.【詳解】由題知,,,所以,故選:B.11.已知橢圓與雙曲線共焦點,雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分,兩曲線的交點與兩焦點共圓,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設橢圓的標準方程為,雙曲線的標準方程為,設橢圓與雙曲線的公共焦點為、,且、為兩曲線的左、右焦點,設橢圓與雙曲線在第一象限的交點為,在第三象限的交點為,由已知條件可得出,利用橢圓和雙曲線的定義可求得、,分析出為直角,利用勾股定理可求得橢圓的離心率.【詳解】設橢圓的標準方程為,雙曲線的標準方程為,設,因為雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分,則,設橢圓與雙曲線的公共焦點為、,且、為兩曲線的左、右焦點,設橢圓與雙曲線在第一象限的交點為,在第三象限的交點為,則,解得,由對稱性可知、的中點均為原點,所以,四邊形為平行四邊形,因為、、、四點共圓,則有,故,由勾股定理可得,即,即,即,故橢圓的離心率為.故選:C.12.設,則()A. B.C. D.【正確答案】A【分析】令,求得,得到函數(shù)的單調性與最大值,再由當且時,設且,求得,即可求解.【詳解】解:由,令函數(shù),可得,當,可得,單調遞增;當,可得,單調遞減,所以當,函數(shù)取得極大值,即為最大值,函數(shù)的圖形,如圖所示,對于函數(shù),當且時,.設且,則,可得,所以,所以,所以.故選:A.二、填空題13.為了響應全國創(chuàng)文明城活動,某單位計劃安排五名員工分別去三個小區(qū)參加志愿者服務,每個員工只去一個小區(qū),每個小區(qū)至少安排1人,員工甲不去小區(qū),則不同的安排方法種數(shù)共有______種.【正確答案】100【分析】根據(jù)題意有和兩種情況,共有種情況,再根據(jù)員工甲去三個小區(qū)的可能性相同,得到答案.【詳解】五名員工分別去三個小區(qū)A,B,C參加志愿者服務,每個員工只去一個小區(qū),每個小區(qū)至少安排1人,則有和兩種情況,共有種情況,員工甲去三個小區(qū)的可能性相同,所以共有種情況.故10014.直線經(jīng)過點,與圓相交截得的弦長為,則直線的方程為________.【正確答案】或【分析】將圓的方程化為標準式,即可得到圓心坐標與半徑,根據(jù)弦長求出圓心到直線的距離,分斜率存在與不存在兩種情況討論,分別求出直線方程.【詳解】圓,即,圓心為,半徑,因為直線與圓相交截得的弦長為,所以圓心到直線的距離,若直線的斜率不存在,此時直線方程為,滿足圓心到直線的距離為,符合題意;若直線的斜率存在,設斜率為,則直線方程為,即,則,解得,所以直線方程為,即,綜上可得直線方程為或.故或15.定義運算:,將函數(shù)的圖像向左平移個單位,所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù),則的最小正值是___________.【正確答案】##【分析】化函數(shù)為余弦函數(shù),寫出圖像平移后的解析式,由偶函數(shù)求出的最小正值.【詳解】,向左平移個單位后得到,因為此時函數(shù)是偶函數(shù),所以,則,所以當時,取得最小正值,此時.故16.若函數(shù)f(x)=ax2-ex+1在x=x1和x=x2兩處取到極值,且,則實數(shù)a的取值范圍是________.【正確答案】【分析】對求導后令,再根據(jù)是導函數(shù)的兩根數(shù)形結合分析兩根的關系求解.【詳解】函數(shù),所以,若函數(shù)在和兩處取到極值,則和是函數(shù)的兩個零點,即是方程,即的兩個根,所以函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點,且交點的橫坐標分別為,由于,所以當或時,;當時,;故的減區(qū)間有和,增區(qū)間有,且當時,,作出的草圖:由圖可知:,且,因為,即,取,并令,則所以,解得,此時,故,即實數(shù)的取值范圍是.故答案:本題主要考查了函數(shù)的極值問題,包括數(shù)形結合求解函數(shù)零點與范圍分析的問題,需要根據(jù)題意參變分離畫出圖像分析極值點之間的關系,并找到臨界條件進行分析.屬于中等題型.三、解答題(一)必做題17.記為數(shù)列的前項和,已知,且滿足.(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設,求數(shù)列的前項和.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)方法1:由可得,由累加法求出,再證明數(shù)列為等差數(shù)列;方法2:由可得,可證得為常數(shù)數(shù)列,求出,再證明數(shù)列為等差數(shù)列;方法3:由可得,兩式相減可明數(shù)列為等差數(shù)列;(2)由(1)知,所以,方法1:由并項求和法求出數(shù)列的前項和;方法2:由錯位相減求和求出數(shù)列的前項和.【小問1詳解】方法1:,時,,累加得:,時也成立,.,是等差數(shù)列方法2:,,為常數(shù)數(shù)列,,,,是等差數(shù)列.方法3:當時,①,②,②-①可得:,是等差數(shù)列,因為.小問2詳解】由(1)知,所以,方法1:并項求和當為偶數(shù)時,,方法2:錯位相減求和①②①-②:18.如圖,在四棱錐中,平面平面,四邊形是梯形,,,,分別是棱,的中點.(1)證明:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)構造面面平行,利用面面平行的性質定理證明線面平行即可;(2)以為坐標原點,建立空間直角坐標系,利用向量法求出直線的方向向量與平面的法向量,即可得線面夾角的正弦值.【小問1詳解】證明:取的中點,連接,.因為,分別是棱,的中點,所以.因為平面,平面,所以平面.因為,分別是棱,的中點,所以.因為平面,平面,所以平面.因為,平面,且,所以平面平面.因為平面,所以平面.【小問2詳解】以為坐標原點,分別以,的方向為,軸的正方向,垂直平面向上的方向為軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.設,則,.由余弦定理可得,則,從而,,,,,故,,.設平面的法向量為,則,令,得.設直線與平面所成的角為,則,即直線與平面所成角的正弦值為.19.質檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機抽取100桶檢測某項質量指標,由檢測結果得到如圖的頻率分布直方圖:(1)寫出頻率分布直方圖(甲)中的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質量指標的方差分別為,試比較的大小(只要求寫出答案);(2)佑計在甲、乙兩種食用油中各隨機抽取1桶,恰有一個桶的質量指標大于20,且另—個桶的質量指標不大于20的概率;(3)由頻率分布直方圖可以認為,乙種食用油的質量指標值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,設表示從乙種食用油中隨機抽取10桶,其質量指標值位于的桶數(shù),求的數(shù)學期望.注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表,計算得:②若,則,.【正確答案】(1);(2);(3).【分析】(1)由頻率分布直方圖的矩形面積和為1可得,再由分布的離散程度即可比較方差大??;(2)根據(jù)互斥事件的概率和及對立事件的概率求解即可;(3)求出從乙種食用油中隨機抽取10桶,其質量指標值位于的概率是0.6826,得到,求出即可.【小問1詳解】由題意,,解得,由甲、乙的頻率分布直方圖可以看出,甲的指標的波動大,乙的比較平均,波動較小,故;【小問2詳解】設事件:在甲公司產(chǎn)品中隨機抽取1桶,其質量指標不大于20,事件:在乙公司產(chǎn)品中隨機抽取1桶,其質量指標不大于20,事件:在甲、乙公司產(chǎn)品中隨機抽各取1桶,恰有一桶的質量指標大于20,且另一個不大于20,則,,;【小問3詳解】,由條件得從而,從乙公司產(chǎn)品中隨機抽取10桶,其質量指標值位于的概率是,依題意得,.20.已知雙曲線E:與直線l:相交于A、B兩點,M為線段AB的中點.(1)當k變化時,求點M的軌跡方程;(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點,問:是否存在實數(shù)k,使得A、B是線段CD的兩個三等分點?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.【正確答案】(1),其中或(2)存在,【分析】(1)設,,,聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程,消去y,得,根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點,得且,即且,由韋達定理,得,則,,聯(lián)立消去k,得,再根據(jù)范圍得出的范圍,即可得出答案;(2)設,,根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出,,則,即線段AB的中點M也是線段CD的中點,若A,B為線段CD的兩個三等分點,則,結合弦長公式列式得,即可化簡代入得出,即可解出答案.【小問1詳解】設,,,聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程,得,消去y,得.由且,得且.由韋達定理,得.所以,.由消去k,得.由且,得或.所以,點M軌跡方程為,其中或.【小問2詳解】雙曲線E的漸近線方程為.設,,聯(lián)立得,同理可得,因為,所以,線段AB的中點M也是線段CD的中點.若A,B為線段CD的兩個三等分點,則.即,.而,.所以,,解得,所以,存在實數(shù),使得A、B是線段CD的兩個三等分點.21.關于的函數(shù).(Ⅰ)若為單調函數(shù),試求實數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)討論的零點個數(shù).【正確答案】(1);(2)見解析【詳解】試題分析:(1)先求導數(shù),再根據(jù)參數(shù)a討論導函數(shù)符號不變號的條件:時,恒為正,時,根據(jù)二次函數(shù)圖像確定判別式為非正,解得實數(shù)的取值范圍;(2)根據(jù)函數(shù)單調性討論函數(shù)零點個數(shù):由于,所以函數(shù)單調時只有一個零點.函數(shù)不單調時,根據(jù)零點存在定理確定零點個數(shù).試題解析:(Ⅰ)的定義域為,①時,恒成立,故為單調遞增函數(shù).②時,令,.當時,,當時,.∴在上單調遞增,在上單調遞減.∴為的極大值點,也是上的最大值點.若,得∴時,,則,∴在上單調遞減.綜上,若為單調函數(shù),實數(shù)的取值范圍是.(Ⅱ)由題設知,,①由(Ⅰ)知,或時,單調,故只一個零點.②若得得,則.當或時,即,當時.即.在和上單調遞減,在上單調遞增,∴的極小值點,極大值點.又,根據(jù)函數(shù)的增長速度,時,時,∴有兩個零點,一個在區(qū)間,另一個為.③或時,有.又在上單調遞增,在上單調遞減,且,時,故必存在不為1的,,使得,故時,,則;時,,則.∴在和上單調遞減,在上單調遞增.時,

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