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2023-2024學(xué)年河南省洛陽(yáng)市聯(lián)考高考數(shù)學(xué)(理)仿真模擬試題(二模)一、單選題1.已知全集,集合滿足,則()A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義求出集合,再判斷即可.【詳解】因?yàn)?,且,所以,所以,,?故選:D2.已知為虛數(shù)單位,,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方求出,再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t,所以在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限.故選:B.3.已知向量,且,則()A.6 B.8 C.10 D.12【正確答案】C【分析】由,可得,即可得答案.【詳解】因,所以,即.故選:C4.黑洞原指非常奇怪的天體,它體積小、密度大、吸引力強(qiáng),任何物體到了它那里都別想再出來(lái),數(shù)字中也有類似的“黑洞”.任意取一個(gè)數(shù)字串,長(zhǎng)度不限,依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù),把這三個(gè)數(shù)從左到右寫成一個(gè)新的數(shù)字串.重復(fù)以上工作,最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字串,我們稱它為“數(shù)字黑洞”,如果把這個(gè)數(shù)字串設(shè)為,則()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義,任取一個(gè)數(shù)字串,確定“數(shù)字黑洞”,根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式計(jì)算,可得答案.【詳解】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義,任取數(shù)字2021,經(jīng)過(guò)第一步之后為314,經(jīng)過(guò)第二步之后為123,再變?yōu)?23,再變?yōu)?23,所以“數(shù)字黑洞”為123,即,則,故選:.5.已知拋物線的焦點(diǎn)在圓上,則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.1 B.2 C.4 D.8【正確答案】C【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求解,由的幾何意義即可求解.【詳解】由于拋物線的焦點(diǎn)為正半軸上,與正半軸的交點(diǎn)為,故拋物線的焦點(diǎn)為,所以,因此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,故選:C6.如圖是求的程序框圖,圖中空白框中應(yīng)填入A.A= B.A= C.A= D.A=【正確答案】A【分析】本題主要考查算法中的程序框圖,滲透閱讀、分析與解決問(wèn)題等素養(yǎng),認(rèn)真分析式子結(jié)構(gòu)特征與程序框圖結(jié)構(gòu),即可找出作出選擇.【詳解】執(zhí)行第1次,是,因?yàn)榈谝淮螒?yīng)該計(jì)算=,=2,循環(huán),執(zhí)行第2次,,是,因?yàn)榈诙螒?yīng)該計(jì)算=,=3,,否,輸出,故循環(huán)體為,故選A.秒殺速解認(rèn)真觀察計(jì)算式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),可知循環(huán)體為.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體各個(gè)面中,面積最大的面的面積為()A. B. C. D.8【正確答案】A【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體的直觀圖,進(jìn)一步求出幾何體各個(gè)面的面積即可得出答案.【詳解】如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體中,C為棱的中點(diǎn),三棱錐A-BCD即為該幾何體.其中為直角三角形,,BD=4,AB⊥BD,所以其面積為;為等腰三角形,BC=CD,BD=4,點(diǎn)C到邊BD的距離為4,所以其面積為;為等腰三角形,,,所以點(diǎn)C到邊AB的距離為,所以其面積為;為等腰三角形,,,所以點(diǎn)C到邊AD的距離為,所以其面積為.綜上,該幾何體各個(gè)面中面積最大的面為,其面積為.故選:A.8.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,則的通項(xiàng)公式為()A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先由題設(shè)求出,再通過(guò)構(gòu)造得,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】令可得,又,解得,又,則,,即是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則,.故選:B.9.中國(guó)雕刻技藝舉世聞名,雕刻技藝的代表作“鬼工球”,取鬼斧神工的意思,制作相當(dāng)繁復(fù),成品美輪美奐.1966年,玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中,他把玉石鏤成多層圓球,層次重疊,每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng),是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻大師在棱長(zhǎng)為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球,在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐),若不計(jì)各層厚度和損失,則最內(nèi)層正四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為()A. B. C. D.6【正確答案】A【分析】根據(jù)題意,求正方體的內(nèi)切球半徑,易知該球?yàn)樗笳拿骟w的外接球,根據(jù)正四面體的性質(zhì),可求得棱長(zhǎng).【詳解】由題意,球是正方體的內(nèi)切球,且該球?yàn)檎拿骟w的外接球時(shí),四面體的棱長(zhǎng)最大,則該球半徑,如圖:可知為外接球球心,,平面,為底面等邊的中心,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,則,,在中,則,即,解得,即.故選:A10.甲乙兩位游客慕名來(lái)到贛州旅游,準(zhǔn)備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠(yuǎn)三百山5個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè),記事件A:甲和乙選擇的景點(diǎn)不同,事件B:甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山,則條件概率()A B. C. D.【正確答案】B【分析】先利用古典概率公式求出和的概率,再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題知,,,所以,故選:B.11.已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn),雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分,兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,設(shè)橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)為、,且、為兩曲線的左、右焦點(diǎn),設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,在第三象限的交點(diǎn)為,由已知條件可得出,利用橢圓和雙曲線的定義可求得、,分析出為直角,利用勾股定理可求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,設(shè),因?yàn)殡p曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分,則,設(shè)橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)為、,且、為兩曲線的左、右焦點(diǎn),設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,在第三象限的交點(diǎn)為,則,解得,由對(duì)稱性可知、的中點(diǎn)均為原點(diǎn),所以,四邊形為平行四邊形,因?yàn)?、、、四點(diǎn)共圓,則有,故,由勾股定理可得,即,即,即,故橢圓的離心率為.故選:C.12.設(shè),則()A. B.C. D.【正確答案】A【分析】令,求得,得到函數(shù)的單調(diào)性與最大值,再由當(dāng)且時(shí),設(shè)且,求得,即可求解.【詳解】解:由,令函數(shù),可得,當(dāng),可得,單調(diào)遞增;當(dāng),可得,單調(diào)遞減,所以當(dāng),函數(shù)取得極大值,即為最大值,函數(shù)的圖形,如圖所示,對(duì)于函數(shù),當(dāng)且時(shí),.設(shè)且,則,可得,所以,所以,所以.故選:A.二、填空題13.為了響應(yīng)全國(guó)創(chuàng)文明城活動(dòng),某單位計(jì)劃安排五名員工分別去三個(gè)小區(qū)參加志愿者服務(wù),每個(gè)員工只去一個(gè)小區(qū),每個(gè)小區(qū)至少安排1人,員工甲不去小區(qū),則不同的安排方法種數(shù)共有______種.【正確答案】100【分析】根據(jù)題意有和兩種情況,共有種情況,再根據(jù)員工甲去三個(gè)小區(qū)的可能性相同,得到答案.【詳解】五名員工分別去三個(gè)小區(qū)A,B,C參加志愿者服務(wù),每個(gè)員工只去一個(gè)小區(qū),每個(gè)小區(qū)至少安排1人,則有和兩種情況,共有種情況,員工甲去三個(gè)小區(qū)的可能性相同,所以共有種情況.故10014.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),與圓相交截得的弦長(zhǎng)為,則直線的方程為________.【正確答案】或【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式,即可得到圓心坐標(biāo)與半徑,根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離,分斜率存在與不存在兩種情況討論,分別求出直線方程.【詳解】圓,即,圓心為,半徑,因?yàn)橹本€與圓相交截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心到直線的距離,若直線的斜率不存在,此時(shí)直線方程為,滿足圓心到直線的距離為,符合題意;若直線的斜率存在,設(shè)斜率為,則直線方程為,即,則,解得,所以直線方程為,即,綜上可得直線方程為或.故或15.定義運(yùn)算:,將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位,所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),則的最小正值是___________.【正確答案】##【分析】化函數(shù)為余弦函數(shù),寫出圖像平移后的解析式,由偶函數(shù)求出的最小正值.【詳解】,向左平移個(gè)單位后得到,因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)是偶函數(shù),所以,則,所以當(dāng)時(shí),取得最小正值,此時(shí).故16.若函數(shù)f(x)=ax2-ex+1在x=x1和x=x2兩處取到極值,且,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【正確答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)后令,再根據(jù)是導(dǎo)函數(shù)的兩根數(shù)形結(jié)合分析兩根的關(guān)系求解.【詳解】函數(shù),所以,若函數(shù)在和兩處取到極值,則和是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),即是方程,即的兩個(gè)根,所以函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,由于,所以當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),;故的減區(qū)間有和,增區(qū)間有,且當(dāng)時(shí),,作出的草圖:由圖可知:,且,因?yàn)?即,取,并令,則所以,解得,此時(shí),故,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案:本題主要考查了函數(shù)的極值問(wèn)題,包括數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)與范圍分析的問(wèn)題,需要根據(jù)題意參變分離畫出圖像分析極值點(diǎn)之間的關(guān)系,并找到臨界條件進(jìn)行分析.屬于中等題型.三、解答題(一)必做題17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,且滿足.(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)方法1:由可得,由累加法求出,再證明數(shù)列為等差數(shù)列;方法2:由可得,可證得為常數(shù)數(shù)列,求出,再證明數(shù)列為等差數(shù)列;方法3:由可得,兩式相減可明數(shù)列為等差數(shù)列;(2)由(1)知,所以,方法1:由并項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)和;方法2:由錯(cuò)位相減求和求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】方法1:,時(shí),,累加得:,時(shí)也成立,.,是等差數(shù)列方法2:,,為常數(shù)數(shù)列,,,,是等差數(shù)列.方法3:當(dāng)時(shí),①,②,②-①可得:,是等差數(shù)列,因?yàn)?小問(wèn)2詳解】由(1)知,所以,方法1:并項(xiàng)求和當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,方法2:錯(cuò)位相減求和①②①-②:18.如圖,在四棱錐中,平面平面,四邊形是梯形,,,,分別是棱,的中點(diǎn).(1)證明:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)構(gòu)造面面平行,利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行即可;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出直線的方向向量與平面的法向量,即可得線面夾角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】證明:取的中點(diǎn),連接,.因?yàn)?,分別是棱,的中點(diǎn),所以.因?yàn)槠矫?,平面,所以平面.因?yàn)椋謩e是棱,的中點(diǎn),所以.因?yàn)槠矫?,平面,所以平面.因?yàn)椋矫?,且,所以平面平面.因?yàn)槠矫?,所以平面.【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)椋S的正方向,垂直平面向上的方向?yàn)檩S的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,.由余弦定理可得,則,從而,,,,,故,,.設(shè)平面的法向量為,則,令,得.設(shè)直線與平面所成的角為,則,即直線與平面所成角的正弦值為.19.質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機(jī)抽取100桶檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),由檢測(cè)結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖:(1)寫出頻率分布直方圖(甲)中的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為,試比較的大小(只要求寫出答案);(2)佑計(jì)在甲、乙兩種食用油中各隨機(jī)抽取1桶,恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20,且另—個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)不大于20的概率;(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,設(shè)表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶,其質(zhì)量指標(biāo)值位于的桶數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,計(jì)算得:②若,則,.【正確答案】(1);(2);(3).【分析】(1)由頻率分布直方圖的矩形面積和為1可得,再由分布的離散程度即可比較方差大小;(2)根據(jù)互斥事件的概率和及對(duì)立事件的概率求解即可;(3)求出從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶,其質(zhì)量指標(biāo)值位于的概率是0.6826,得到,求出即可.【小問(wèn)1詳解】由題意,,解得,由甲、乙的頻率分布直方圖可以看出,甲的指標(biāo)的波動(dòng)大,乙的比較平均,波動(dòng)較小,故;【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件:在甲公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1桶,其質(zhì)量指標(biāo)不大于20,事件:在乙公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1桶,其質(zhì)量指標(biāo)不大于20,事件:在甲、乙公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽各取1桶,恰有一桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20,且另一個(gè)不大于20,則,,;【小問(wèn)3詳解】,由條件得從而,從乙公司產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10桶,其質(zhì)量指標(biāo)值位于的概率是,依題意得,.20.已知雙曲線E:與直線l:相交于A、B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn).(1)當(dāng)k變化時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程;(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn),問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)k,使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)?若存在,求出k的值;若不存在,說(shuō)明理由.【正確答案】(1),其中或(2)存在,【分析】(1)設(shè),,,聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程,消去y,得,根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點(diǎn),得且,即且,由韋達(dá)定理,得,則,,聯(lián)立消去k,得,再根據(jù)范圍得出的范圍,即可得出答案;(2)設(shè),,根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出,,則,即線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn),若A,B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn),則,結(jié)合弦長(zhǎng)公式列式得,即可化簡(jiǎn)代入得出,即可解出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè),,,聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程,得,消去y,得.由且,得且.由韋達(dá)定理,得.所以,.由消去k,得.由且,得或.所以,點(diǎn)M軌跡方程為,其中或.【小問(wèn)2詳解】雙曲線E的漸近線方程為.設(shè),,聯(lián)立得,同理可得,因?yàn)?,所以,線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn).若A,B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn),則.即,.而,.所以,,解得,所以,存在實(shí)數(shù),使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn).21.關(guān)于的函數(shù).(Ⅰ)若為單調(diào)函數(shù),試求實(shí)數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【正確答案】(1);(2)見(jiàn)解析【詳解】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)參數(shù)a討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)不變號(hào)的條件:時(shí),恒為正,時(shí),根據(jù)二次函數(shù)圖像確定判別式為非正,解得實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù):由于,所以函數(shù)單調(diào)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)不單調(diào)時(shí),根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).試題解析:(Ⅰ)的定義域?yàn)?,①時(shí),恒成立,故為單調(diào)遞增函數(shù).②時(shí),令,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∴為的極大值點(diǎn),也是上的最大值點(diǎn).若,得∴時(shí),,則,∴在上單調(diào)遞減.綜上,若為單調(diào)函數(shù),實(shí)數(shù)的取值范圍是.(Ⅱ)由題設(shè)知,,①由(Ⅰ)知,或時(shí),單調(diào),故只一個(gè)零點(diǎn).②若得得,則.當(dāng)或時(shí),即,當(dāng)時(shí).即.在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴的極小值點(diǎn),極大值點(diǎn).又,根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度,時(shí),時(shí),∴有兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)在區(qū)間,另一個(gè)為.③或時(shí),有.又在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,時(shí),故必存在不為1的,,使得,故時(shí),,則;時(shí),,則.∴在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.時(shí),
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