2023~2024學(xué)年湖北荊門高考數(shù)學(xué)押題試題5月帶解析

2023-2024學(xué)年湖北省荊門市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（5月）一、單選題1．已知集合，，，則（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】B【分析】根據(jù)并集的結(jié)果，分類討論當(dāng)、時集合A、B的情況，即可求解.【詳解】，當(dāng)即時，，不符合題意；當(dāng)即時，，此時.所以.故選：B.2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（

）．A． B．10 C． D．2【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運算規(guī)則和共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】；故選：B.3．已知雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【正確答案】A【分析】求出雙曲線C漸近線的斜率，與已知直線斜率的乘積等于-1，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的方程為：，斜率為和，直線的斜率為，因為兩直線垂直，則有，即，（，顯然這是不可能的），或，；故選：A.4．某人周一至周五每天6：30至6：50出發(fā)去上班，其中在6：30至6：40出發(fā)的概率為0.4，在該時間段出發(fā)上班遲到的概率為0.1；在6：40至6：50出發(fā)的概率為0.6，在該時間段出發(fā)上班遲到的概率為0.2，則小王某天在6：30至6：50出發(fā)上班遲到的概率為（

）A．0.3 B．0.17 C．0.16 D．0.13【正確答案】C【分析】根據(jù)全概率的計算公式即可求解.【詳解】由題意可知：小王某天在6：30至6：50出發(fā)上班遲到的概率為：,故選.5．已知點O為所在平面內(nèi)一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心【正確答案】B【分析】由，利用數(shù)量積的定義得到，從而得到點O在邊AB的中垂線上，同理得到點O在邊AC的中垂線上判斷.【詳解】解：根據(jù)題意，，即，所以，則向量在向量上的投影為的一半，所以點O在邊AB的中垂線上，同理，點O在邊AC的中垂線上，所以點O為該三角形的外心．故選：B．6．一個四棱錐的四個側(cè)面中，鈍角三角形最多有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【正確答案】D【分析】取一個三棱錐，且和平面，利用極限思想和三角形性質(zhì)即可求解.【詳解】作鈍角三角形，且，分別在，上取一點，，連接，在空間中取一點，使得平面，如下圖所示：由上圖可知，當(dāng)足夠小時，和仍為鈍角，而，即為鈍角，同理，也為鈍角，故在四棱錐中，其四個側(cè)面均為鈍角三角形.故選：D.7．在我國古代，楊輝三角（如圖1）是解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具，從圖1中可以歸納出等式：?類比上述結(jié)論，借助楊輝三角解決下述問題：如圖2，該“芻童垛”共2021層，底層如圖3，一邊2023個圓球，另一邊2022個圓球，向上逐層每邊減少個圓球，頂層堆6個圓球，則此“芻童垛”中圓球的總數(shù)為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，由楊輝三角中觀察規(guī)律，推廣之后，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】由楊輝三角中觀察得可得.推廣，得到即由題意，2021層“芻童垛”小球的總個數(shù)為故選:B8．若直線與直線是曲線的兩條切線，也是曲線的兩條切線，則的值為（

）A． B．0 C．-1 D．【正確答案】C【分析】利用和互為反函數(shù)推得兩條公切線和也互為反函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出，，進而化簡可得，代入化簡可得答案.【詳解】由和互為反函數(shù)可知，兩條公切線和也互為反函數(shù)，即滿足，，即，，設(shè)直線與和分別切于點和，可得切線方程為和，整理得：和，則，，由，得，且，則，所以，所以,故選：C本題考查了反函數(shù)的相關(guān)知識以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，解答時要注意利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程并進行系數(shù)的比較，從而得出參數(shù)之間的關(guān)系式.二、多選題9．已知，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，且，則B．若A，B，C是平面內(nèi)不共線三點，，，則C．若且，則直線D．若直線，直線，則a與b為異面直線【正確答案】ABC【分析】根據(jù)基本事實3（公理2）可判斷A；根據(jù)基本事實1（公理3）可判斷B；根據(jù)基本事實2（公理1）可判斷C；根據(jù)異面直線的定義可判斷D.【詳解】對于A，由根據(jù)且，則是平面和平面的公共點，又，由基本事實3（公理2）可得，故A正確；對于B，由基本事實1（公理3）：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，又，且，則，故B正確；對于C，由基本事實2（公理1）：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，故C正確；對于D，由于平面和平面位置不確定，則直線與直線位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故D錯誤.故選：ABC.10．函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象上存在點，使得在點處的切線與直線垂直C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【正確答案】ABD【分析】先化簡函數(shù)得，求出，利用周期公式可以判斷選項A利用導(dǎo)數(shù)可以判斷選項B；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱軸和單調(diào)區(qū)間可以判斷選項CD.【詳解】解：，結(jié)合圖象可得，即，所以，解得，又，所以，因此，由題意，根據(jù)周期公式可得，所以選項A正確；假設(shè)存在，設(shè)切點為，則，所以在的切線的斜率，又與直線垂直，所以，得，假設(shè)成立，所以選項B正確；，其對稱軸為，即對稱軸為，所以選項C不正確；，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可得，即，所以選項D正確.故選：ABD11．已知點P在：上，點，則（

）A．點P到直線AB的距離最大值是B．滿足的點P有2個C．過直線AB上任意一點作的兩條切線，切點分別為M，N，則直線MN過定點D．的最小值為【正確答案】ABD【分析】對A，求出直線AB的方程，算出圓心到該直線的距離，進而通過圓的性質(zhì)判斷答案；對B，設(shè)點，根據(jù)得到點P的軌跡方程，進而判斷該軌跡與圓的交點個數(shù)即可；對C，舉反例判斷即可；對D，設(shè)，設(shè)存在定點，使得點在圓上任意移動時均有，進而求出點P的軌跡方程，然后結(jié)合點P在圓O上求得答案.【詳解】對A，，則圓心到直線的距離，所以點P到該直線距離的最大值為，A正確；對B，設(shè)點，則，且，由題意，兩圓的圓心距為，半徑和與半徑差分別為，于是，即兩圓相交，滿足這樣條件的點P有2個，B正確；對C，如圖，過作切線時，直線顯然不經(jīng)過，故C錯誤；

對D，即求的最小值，設(shè)存在定點，使得點在圓上任意移動時均有，設(shè)，則有，化簡得，∵，則有，即，∴，，所以，所以D正確.故選：ABD.12．?dāng)?shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．若且，數(shù)列單調(diào)遞減B．若存在無數(shù)個自然數(shù)，使得，則C．當(dāng)或時，的最小值不存在D．當(dāng)時，【正確答案】ACD【分析】A選項，根據(jù)求出，再由求出，從而得到且，數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；B選項，可舉出反例；C選項，由或時，可證得數(shù)列單調(diào)遞減，所以最小值不存在；D選項，對變形為，采用裂項相消進行求和，結(jié)合數(shù)列的項的正負(fù)性和單調(diào)性求出其取值范圍.【詳解】A選項，，令，解得：，令，解得：綜上：且，所以且，數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；B選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以存在無數(shù)個自然數(shù)，使得，故B錯誤；C選項，當(dāng)或時，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以最小值不存在，C正確；D選項，，所以，所以，故，因為，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，，所以，又因為單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，綜上：，D正確.故選：ACD由數(shù)列通項公式研究數(shù)列的性質(zhì)，要對數(shù)列的通項公式進行變形，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識點進行處理，本題D選項，要將變形為，采用裂項相消進行求和，結(jié)合數(shù)列的項的正負(fù)性和單調(diào)性求出其取值范圍.三、填空題13．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)______【正確答案】1【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合指數(shù)運算求解.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解得：，故1.14．已知數(shù)列的前8項1，1，2，3，5，10，13，21，令，則的最小值點________．【正確答案】7【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合二次函數(shù)運算求解.【詳解】由題意可得：，因為，且開口向上，所以的最小值點.故7.15．過點作斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，直線交x軸于點Q，連接QA，OB，則直線QA，QB的斜率之和為________．【正確答案】0【分析】由題意可得直線的方程與點的坐標(biāo)，設(shè),聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，根據(jù)過兩點的斜率公式即可求解.【詳解】由題意可得直線的方程為,,設(shè),聯(lián)立，消去可得,即，,則，.所以.故答案為:0.16．如圖是兩個直三棱柱和重疊后的圖形，公共側(cè)面為正方形，兩個直三棱柱底面是腰為2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為______．【正確答案】/【分析】將幾何體轉(zhuǎn)化為直三棱柱加兩個三棱錐，利用棱柱和棱錐體積公式即可得到答案.【詳解】依題意中，，，則，該幾何體可視為直三棱柱的側(cè)面和側(cè)面在形外附著兩個三棱錐、，且為中點，有平面，平面，所以幾何體體積，故答案為.四、解答題17．已知數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)議，當(dāng)取得最小值時，求n的取值．【正確答案】(1)(2)1，2，3．【分析】（1）由數(shù)列中與的關(guān)系即可求解；（2）分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)時求出的表達(dá)式，觀察其單調(diào)性即可得的最小值，從而求出n的取值.【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，所以，又時，不滿足上式，故數(shù)列的通項公式為.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)，時，因為單調(diào)遞增，∴，綜上，當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，，因為單調(diào)遞增，∴．綜上所述，當(dāng)取得最小值時，n的取值為1，2，3．18．已知三棱錐，是等腰直角三角形，是等邊三角形，且，，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦.【正確答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）取中點，連，，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面，即可得出；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點，，方向為，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題中條件，求出點坐標(biāo)，再求出平面的一個法向量，以及直線的方向向量，根據(jù)向量夾角計算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）如圖，取中點，連，則，因為，則，①又是等邊三角形，是中點，則，②且，③由①②③得平面，故.（Ⅱ）注意到，以為坐標(biāo)原點，，方向為，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，，，根據(jù)，，則，解得.則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，不妨令，則.因為，所以直線與平面所成角滿足.方法點睛：立體幾何體中空間角的求法：（1）定義法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過作輔助線，在幾何體中作出空間角，再解對應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；（2）空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向量，通過計算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾角、兩平面的法向量夾角）的余弦值，來求空間角即可.19．在平面四邊形中，，，，.(1)求的面積；(2)求的長.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用余弦定理可得邊進而可得面積；（2）由四邊形內(nèi)角和可得角與互余，再結(jié)合正弦定理可得邊的長.【詳解】（1）由已知在中，，，，利用余弦定理得，即，解得，故；（2）在中，由正弦定理得，即，同理，在中，由正弦定理得，即，又四邊形內(nèi)角和為，且，，故，即，又，即，即，解得.20．隨著消費者對環(huán)保?低碳和健康生活的追求不斷加強，新能源汽車的市場需求也在不斷增加.新能源汽車主要有混合動力汽車?純電動汽車?燃料電池汽車等類型.某汽車企業(yè)生產(chǎn)的型汽車，有混合動力和純電動兩種類型，總?cè)债a(chǎn)量達(dá)120臺，其中有30臺混合動力汽車，90臺純電動汽車.(1)若從中隨機抽檢2臺汽車，用表示抽檢混合動力汽車的臺數(shù)，分別就有放回抽檢與不放回抽檢，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若從每日生產(chǎn)的120臺型汽車中隨機地抽取10臺樣本，用表示樣本中混合動力汽車臺數(shù)，分別就有放回抽取和不放回抽取，用樣本中的混合動力汽車臺數(shù)的比例估計總體中混合動力汽車臺數(shù)的比例，求誤差不超過0.15的概率，并比較在相同的誤差限制下，采用哪種抽取估計的結(jié)果更可靠.參考數(shù)據(jù)：（概率值精確到0.00001）二項分布概率值超幾何分布概率值00.056310.0492910.187710.1825420.281570.2905130.250280.2613440.146000.1470150.058400.0539660.016220.0130770.003090.0020680.000390.0002090.000030.00001100.000000.00000總計1.000001.00000【正確答案】(1)答案見解析(2)0.86556，0.88140；采用不放回抽取估計的結(jié)果更可靠【分析】（1）若有放回抽樣，則隨機變量服從二項分布，根據(jù)二項分布列和數(shù)學(xué)期望，若無放回抽樣，則隨機變量服從超幾何分布，根據(jù)組合數(shù)公式，寫出概率，列分布列，再求數(shù)學(xué)期望；（2）由條件可知，是一個隨機變量，分有放回抽樣和無放回抽樣兩種情況求，再比較大小后，即可判斷.【詳解】（1）對于有放回抽檢，每次抽到混合動力汽車的概率為，且各次抽檢結(jié)果是獨立的，設(shè)為有放回抽檢的混合動力汽車的臺數(shù)，則可取，的分布列如下：012則.對于不放回抽檢，各次抽檢的結(jié)果不獨立，設(shè)為不放回抽檢的混合動力汽車的臺數(shù)，則服從超幾何分布，可取的分布列如下：012則.注：也可按照下面步驟作答.的分布列為.的分布列為.（2）樣本中混合動力汽車的比例是一個隨機變量，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，有放回抽取：不放回抽?。阂驗?，所以，在相同的誤差限制下，采用不放回抽取估計的結(jié)果更可靠.（注：（2）問，可以參考人教版選擇性必修三第79頁例6，分別就放回抽樣和不放回抽樣，用樣本中的某類品的比例估計總體中這類品的比例，定量地比較估計效果，用概率的方法解釋直觀常識.對用同一抽取模型，兩個分布的均值相同，從兩種分布的概率分布看，或者從方差的大小比較（超幾何分布的方差較小），都反應(yīng)超幾何分布更集中于均值附近.）21．設(shè)函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【正確答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)后分與兩種情況討論即可；（2）方法一：討論當(dāng)時成立，當(dāng)時參變分離可得，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)分析最小值即可；方法二：將題意轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分類討論單調(diào)性與最大值即可.【詳解】（1），，當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，，則在上單調(diào)遞減；時，，則在上單調(diào)遞增．（2）方法一：在恒成立，則當(dāng)時，，顯然成立，符合題意；當(dāng)時，得恒成立，即記，，，構(gòu)造函數(shù)，，則，故為增函數(shù)，則.故對任意恒成立，則在遞減，