2023~2024學(xué)年湖北襄陽(yáng)高三第二學(xué)期高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題帶解析

2023-2024學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】由即可得出答案【詳解】因?yàn)樗浴啊笔恰啊钡某湟獥l件故選：C本題考查的是充要條件的判斷，較簡(jiǎn)單.2．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B．2 C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由于，所以的虛部為2，故選：B3．部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義，如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形，具體作法是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線.將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個(gè)圖形，若記圖①三角形的面積為，則第n個(gè)圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【正確答案】D【分析】每一個(gè)圖形的面積是前一個(gè)圖形面積的，根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：每一個(gè)圖形的面積是前一個(gè)圖形面積的，即面積為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故第n個(gè)圖中陰影部分的面積為.故選：D.本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.4．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B． C．250 D．240【正確答案】D【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于0，即可求得答案.【詳解】由題意得二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，則常數(shù)項(xiàng)為，故選：D5．?dāng)?shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是阿氏圓.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線與圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡圓的方程，再求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，依題意點(diǎn)在圓的內(nèi)部，即可得到不等式，解得即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為阿氏圓：，又直線恒過點(diǎn)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)直線與圓恒有公共點(diǎn)，在圓的內(nèi)部或圓上，所以，所以，解得，即的取值范圍為.故選：C6．一排有8個(gè)座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有（

）A．120種 B．60種 C．40種 D．20種【正確答案】A【分析】把3人連同他的座位一起插入另5個(gè)座位形成的6個(gè)空隙即可.【詳解】依題意，把3人連同他的座位一起插入另5個(gè)座位形成的6個(gè)空隙中，有種.故選：A7．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，記的面積為，若，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【正確答案】B【分析】利用余弦定理和三角形面積公式得，再對(duì)上式兩邊同除，結(jié)合正弦函數(shù)有界性即可求出的范圍.【詳解】，由余弦定理知：，則，即兩邊同除有，其中，設(shè)，即，最小值為.故選：B.8．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊分別經(jīng)過其兩個(gè)焦點(diǎn)（如圖所示），當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，其面積最大，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【正確答案】C【分析】解法1、設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式求得，求得直線與的距離為，得到的面積為，設(shè)，得到，轉(zhuǎn)化為的值最小即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和橢圓的性質(zhì)，即可求解.解法2、設(shè)直線的傾斜角為，求得，原點(diǎn)的距離為，得到矩形面積，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式的成立的條件，得到，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解法1：設(shè)所在直線方程為且聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，由直線方程為，所以直線與垂線的距離為，矩形的面積為，設(shè)，則，所以，要使最大，則只需的值最大，即的值最小即可，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，其面積最大，即當(dāng)時(shí)，有最大值，即時(shí)，的值最小，由雙勾函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間為單調(diào)遞增，又由，當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，所以，可得，即，解得，所以，又因?yàn)?，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.解法2：設(shè)所在直線方程為且聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，設(shè)直線的傾斜角為，可得，即，代入上式，化簡(jiǎn)得，又由原點(diǎn)的距離為，所以矩形的面積：，設(shè)，則，且，可得，則，要使最大，則只需的值最大，即的值最小即可，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，其面積最大，即當(dāng)時(shí)，有最大值，即時(shí)，的值最小，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，所以，即，所以，可得，即，解得，所以，又因?yàn)?，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.二、多選題9．下列命題正確的有（

）A．空間中兩兩相交的三條直線一定共面B．已知不重合的兩個(gè)平面，則存在直線，使得為異面直線C．有兩個(gè)平面平行，其他各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．過平面外一定點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平行【正確答案】BD【分析】根據(jù)平面的確定可判斷A；根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系結(jié)合異面直線的概念可判斷B；根據(jù)棱柱的概念可判斷C；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合面面平行的判定可判斷D.【詳解】對(duì)于A，空間中兩兩相交的三條直線交于同一點(diǎn)時(shí)，可能共面也可能不共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不重合的兩個(gè)平面，可能平行或者相交，

不論是平行還是相交，都存在直線，使得為異面直線，B正確；對(duì)于C，如圖示幾何體滿足兩個(gè)平面平行，其他各個(gè)面都是平行四邊形，

但該幾何體不是棱柱，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于過平面外一定點(diǎn)，有且只有一條直線m與平面垂直，過點(diǎn)P有且只有一個(gè)平面與m垂直，則，故過平面外一定點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平行，D正確，故選：BD10．已知事件滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．如果，那么B．如果，那么，C．如果與互斥，那么D．如果與相互獨(dú)立，那么【正確答案】CD【分析】古典概型、條件概率、互斥事件的概率，相互獨(dú)立事件的概率公式的運(yùn)用?！驹斀狻繉?duì)于選項(xiàng)A，設(shè)一個(gè)盒子里有標(biāo)號(hào)為1到10的小球,從中摸出一個(gè)小球,記下球的編號(hào),記事件A=“球的編號(hào)是偶數(shù)”，事件B=“球的編號(hào)是1，2，3”，事件C=“球的編號(hào)是奇數(shù)”滿足,但是選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B，如果,那么,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C，如果與互斥，那么,所以選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D，如果與相互獨(dú)立，那么所以選項(xiàng)D正確。故選：CD11．在直角梯形中，為中點(diǎn)，分別為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，若，則的值可能是（

）

A．1 B． C． D．3【正確答案】AB【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)列方程可得，然后可得.【詳解】

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則設(shè)，則∵，∴，∴整理得，因?yàn)?，所以故選：AB.12．我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關(guān)系，如由在點(diǎn)處的切線寫出不等式，進(jìn)而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.運(yùn)用類似方法推導(dǎo)，下面的不等式正確的有（

）A．B．C．D．【正確答案】BC【分析】通過取特殊值確定AD錯(cuò)誤，通過證明當(dāng)時(shí)，，由此證明B，通過證明時(shí)，，由此證明C.【詳解】選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)不成立，A錯(cuò)誤B選項(xiàng)：等價(jià)于，故要證明只需證明，且，只需證明，只需證明，故考慮構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，將中的替換為，可得，即，所以，，，，所以，B選項(xiàng)正確選項(xiàng)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，將中的替換為，因?yàn)?，所以所以，又，所以，?dāng)時(shí)，，故，C正確；選項(xiàng)：因?yàn)?，D錯(cuò)誤，故選：BC.在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．三、填空題13．已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為__________.【正確答案】8【分析】由題意知關(guān)于對(duì)稱，故，使用基本不等式可求的最小值.【詳解】由隨機(jī)變量，且知關(guān)于對(duì)稱，故，由不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為8.故814．已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項(xiàng)為__________.【正確答案】【分析】先計(jì)算出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而得到新的等差數(shù)列的公差，從而求出的通項(xiàng)公式，求出新數(shù)列的第項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，設(shè)在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)所得新數(shù)列為，則新的等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，所以新數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故.故答案為.15．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且的周長(zhǎng)不小于18，則雙曲線的離心率的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】的周長(zhǎng)不小于18，可得的最小值不小于13，設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，則的最小值不小于13，分析可得三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，從而可求的范圍，根據(jù)離心率公式即可求解.【詳解】由右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，可得.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)不小于18，所以的最小值不小于13.設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，可得，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值,即，所以,即.因?yàn)?所以.又,所以.故答案為:.16．正四面體的棱長(zhǎng)為4，中心為點(diǎn)，則以為球心，1為半徑的球面上任意一點(diǎn)與該正四面體各頂點(diǎn)間的距離的平方和：__________.【正確答案】28【分析】將正四面體放入正方體中，利用向量的線性運(yùn)算可得，同理可得到，取的中點(diǎn)，可得到，即可求出答案【詳解】因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為4，故可將其放入棱長(zhǎng)為的正方體中，如圖所示，由題意可得,同理可得,,,取的中點(diǎn)，則，所以，所以，

故28四、解答題17．已知數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求使取最大值時(shí)的的值.（?。菊_答案】(1)(2)2【分析】（1）由遞推公式求得的通項(xiàng)公式；（2）用作比法比較大小確定的單調(diào)性求得的最大值.【詳解】（1）由得，，所以，所以故等差數(shù)列，所以，故通項(xiàng)公式為.（2），令，則，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)取2時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)取2時(shí)，取最大值.18．斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).

(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【正確答案】(1)存在，(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)在棱（含端點(diǎn)）存在一點(diǎn)使，利用，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求得答案.（2）求出平面的法向量，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn)，故平面，連接，由題意為正三角形，故,以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，設(shè)，可得，，假設(shè)在棱（含端點(diǎn)）上存在一點(diǎn)使，則，則；（2）由（1）知，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，又，則到平面的距離為，即點(diǎn)到平面距離為.19．近年來，綠色環(huán)保和可持續(xù)設(shè)計(jì)受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，成為了一種日益普及的生活理念和方式.可持續(xù)和綠色能源，是我們這個(gè)時(shí)代的呼喚，也是我們每一個(gè)人的責(zé)任.某環(huán)?？沙掷m(xù)性食用產(chǎn)品做到了真正的“零浪費(fèi)”設(shè)計(jì)，其外包裝材質(zhì)是蜂蠟.食用完之后，蜂蠟罐可回收用于蜂房的再建造.為了研究蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類的關(guān)系，研究團(tuán)隊(duì)收集了黃?褐兩種顏色的蜂蠟罐，對(duì)兩個(gè)品種的蜜蜂各60只進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：黃色蜂蠟罐褐色蜂蠟罐品種蜜蜂4020品種蜜蜂5010(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐是否與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián)？(2)假設(shè)要計(jì)算某事件的概率，常用的一個(gè)方法就是找一個(gè)與事件有關(guān)的事件，利用公式：求解，現(xiàn)從裝有只品種蜜蜂和只品種蜜蜂的蜂蠟蠸中不放回地任意抽取兩只，令第一次抽到品種蜜蜂為事件，第二次抽到品種蜜蜂為事件，求（用表示）附：，其中.臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián)；(2)【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合公式求，比較其與臨界值的大小，由此確定蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步求頻率判斷；（2）由古典概型概率公式和條件概率公式求，再代入所給公式求解.【詳解】（1）根據(jù)列表得，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián)，品種進(jìn)入黃色蜂蠟罐的頻率為，品種進(jìn)入褐色蜂蠟罐的頻率為，品種進(jìn)入黃色蜂蠟罐的頻率為，品種進(jìn)入褐色蜂蠟罐的頻率為，依據(jù)頻率分析，品種的蜜蜂選擇褐色蜂蠟罐的頻率是品種的蜜蜂的兩倍，所以品種的蜜蜂選擇進(jìn)入黃色蜂蠟罐與褐色蜂蠟罐有顯著差異；（2）由已知上式知，則，所以，所以，所以.20．設(shè)為常數(shù)）為偶函數(shù)且的最小值為-6.(1)求的值；(2)設(shè)，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱，若在上單調(diào)遞增，求和的值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)，為偶函數(shù)，且的最小值為-6，求得所以，，從而可進(jìn)一步求出的值．（2）先化簡(jiǎn)，再利用已知條件：它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱，求出兩個(gè)方程，解出，進(jìn)一步解出的值．【詳解】（1）為偶函數(shù)，,的最小值為.（2）由（1）得，所以，由的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可知，，，，或（舍去），，，，，，，，，在上單調(diào)遞增，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，不滿足對(duì)稱性，舍去，．21．過拋物線內(nèi)部一點(diǎn)作任意兩條直線，如圖所示，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)為焦點(diǎn)并且時(shí)，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)，證明在定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出定直線方程.【正確答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）設(shè)直線，聯(lián)立方程組求得，利用弦長(zhǎng)公式，分別求得，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）由和共線，得到，，又由和共線，得到和，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以拋物線的方程為.（2）解：當(dāng)為時(shí)，，由共線，可得，可得

①，同理由共線

②又由共線，可得，所以

③同理由共線，可得

④由①