2023~2024學(xué)年江蘇揚(yáng)州高三第二學(xué)期高考前保溫練數(shù)學(xué)試題帶解析

2023-2024學(xué)年江蘇省揚(yáng)州高三下學(xué)期高考前保溫練數(shù)學(xué)模擬試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】分別解集合,再用集合的交集運(yùn)算即可得出答案【詳解】集合,解得,,即,解得,故,所以故選：C2.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則m=（）A.1 B.1或-4 C.4 D.4或6【正確答案】A【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程求解即可得的值.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得.故選：A.3.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，將一個(gè)半徑為1的圓盤固定在平面上，圓盤的圓心與原點(diǎn)重合，圓盤上纏繞著一條沒有彈性的細(xì)線，細(xì)線的端頭（開始時(shí)與圓盤上點(diǎn)重合）系著一支鉛筆，讓細(xì)線始終保持與圓相切的狀態(tài)展開，切點(diǎn)為，細(xì)繩的粗細(xì)忽略不計(jì)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為（）A. B. C.2 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式，和展開過程中的長(zhǎng)度關(guān)系即可.【詳解】展開過程中：,,故選：D.4.在中，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，若，則（）A. B. C.1 D.2【正確答案】A【分析】將分別用表示，根據(jù)平面向量基本定理即可求解.【詳解】,,故，故，解得.所以.故選:A.5.圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對(duì)稱軸，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，由題中條件可得，，在直角三角形中，，，由雙曲線的定義可得，再求出離心率即可.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，由，，可得，.記雙曲線的焦距為2c，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，在直角三角形中，，，由雙曲線的定義，可得，所以，即，所以離心率.故選：C6.“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22，121，3443等.那么在四位數(shù)中，回文數(shù)共有（）A.81個(gè) B.90個(gè) C.100個(gè) D.900個(gè)【正確答案】B【分析】依據(jù)題意可知該數(shù)中間兩個(gè)數(shù)字是一樣的，兩端的數(shù)字是一樣的，簡(jiǎn)單計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：回文數(shù)中間兩個(gè)數(shù)字是一樣的，兩端的數(shù)字是一樣的所以共有：故選：B7.設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】由等差數(shù)列的求和公式和等差中項(xiàng)公式，求得且，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，可得，又由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知正方形的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．若正方形唯一確定，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】法一：設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，討論得到不合要求，即，分別聯(lián)立曲線方程，得到，，再根據(jù)得到，換元后必有有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由，解得，檢驗(yàn)后得到答案.法二：設(shè)出，表達(dá)出，代入曲線方程，得到，由基本不等式得到的范圍，并結(jié)合題意得到實(shí)數(shù)的值.【詳解】法一：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，為其中心，所以⊥于點(diǎn)，且，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，則，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，與僅有1個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與曲線方程，得到，解得，聯(lián)立直線與曲線方程，得到，解得，因?yàn)椋?，整理得，即，設(shè)，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，要使符合題意的正方形只有1個(gè)，則必有有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，解得，正根舍去，此時(shí)，解得，負(fù)根舍去，所以；法二：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，且四點(diǎn)逆時(shí)針排布，設(shè)，，則，由題意得兩點(diǎn)存在曲線上，所以，由①得，由②得，聯(lián)立兩式得，因?yàn)?，，故，，又，所以只有時(shí)，才能使得兩式恒成立，故，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，由題意，有唯一解，故.故選：C正方形唯一性轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)問題，再結(jié)合問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等）進(jìn)行求解，需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心D.函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【正確答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得、，即可求出，再根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)求出，即可求出函數(shù)解析，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.【詳解】由圖可知，，所以，即，解得，所以，又，所以，解得，又，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，所以點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，顯然函數(shù)不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N，若，則B.已知，，，則C.已知，，，則D.將總體劃分為2層，通過分層抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，和，，若，則總體方差【正確答案】ABC【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算判斷A；利用條件概率公式推理判斷B；利用全概率公式計(jì)算判斷C作答；根據(jù)分層方差和總方差的公式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)知，，根據(jù)對(duì)稱性知，，于是，A正確；對(duì)于B，由，得，所以，B正確；對(duì)于C，由，得，又，由全概率公式得，，C正確.不妨設(shè)兩層的樣本容量分別為m，n，總樣本平均數(shù)為，則，易知，當(dāng)時(shí),有，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，是圓上的兩點(diǎn)．則（）A.存在，，，使得B.若，均與圓相切，則弦長(zhǎng)的最小值為C.若，均與圓相切，則直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)D.若存在，，使得，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是【正確答案】BCD【分析】根據(jù)幾何知識(shí)得到當(dāng)直線，與圓相切且最小時(shí)最大，然后求的最大值即可判斷A選項(xiàng)；利用等面積的思路得到，然后求的最小值即可得到弦長(zhǎng)的最小值，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)圓的定義得到，是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)又是圓上的兩點(diǎn)，然后讓兩圓的方程相減得到直線的方程即可得到直線過定點(diǎn)，即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)存在，，使得得到，然后求時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由圖可知，當(dāng)直線，與圓相切且點(diǎn)在軸上時(shí)最大，此時(shí)，，，，所以最大時(shí)是銳角，故A錯(cuò)；，所以，則當(dāng)最小時(shí)，弦長(zhǎng)最小，，所以，故B正確；設(shè)點(diǎn)，，是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，圓的方程為，即①，又，是圓②上的兩點(diǎn)，所以直線的方程為②-①：，過定點(diǎn)，故C正確；若存在，，使得，則，當(dāng)直線，與圓相切時(shí)，最大，對(duì)應(yīng)的余弦值最小，當(dāng)直線，與圓相切，且時(shí)，，，因?yàn)?，所以，則，故D正確.故選：BCD.12.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面ABCD，，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，過A，D，E三點(diǎn)的平面與平面PBC的交線為l，則（）A.直線l與平面PAD有一個(gè)交點(diǎn)B.C.直線PA與l所成角的余弦值為D.平面截四棱錐所得的上下兩個(gè)幾何體的體積之比為【正確答案】BD【分析】根據(jù)所給圖像，作中點(diǎn)，連接，則為交線l，然后根據(jù)線面平行的基本定理可判斷A；結(jié)和線面垂直的判定及性質(zhì)可判斷B；結(jié)合異面直線所成角的定義可判斷C；結(jié)和棱錐的體積公式可判斷D.【詳解】如圖，取棱PC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，因?yàn)镋是棱PB的中點(diǎn)，則，即A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則l為直線EF，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，即平面PAD，故A錯(cuò)誤；由底面ABCD，平面ABCD，所以，由，可得為等腰直角三角形，而斜邊PC的中點(diǎn)為F，所以，再由底面ABCD是正方形，易得，又，且平面PDC，所以平面PDC，又平面PDC，所以，又，且平面ADFE，所以平面ADFE，又平面ADFE，所以，故B正確；由，則直線PA與l所成的角，即PA與AD所成的角，由，則，即PA與AD所成的角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；，，所以，所以，故D正確.故選：BD.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為___________【正確答案】【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)最大確定,再由通項(xiàng)公式求含項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可得.∴通項(xiàng)公式，令，解得.∴展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案.14.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則“”是“”的____________條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一種）【正確答案】充分不必要【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系分析判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以，所以，，所以成立，由可得，，，所以此時(shí)滿足，但不一定，所以“”是“”的充分不必要條件，故充分不必要15.若兩個(gè)銳角，滿足，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式，化簡(jiǎn)可得角，的關(guān)系，代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以所以，因?yàn)?，為銳角，所以有，所以，即，所以，即，因?yàn)?，為銳角，所以有，即，所以故16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.【正確答案】【詳解】點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)P′C⊥DE時(shí)，P′C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P′C＝＝.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用與的關(guān)系得到為等比數(shù)列求解即可;（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，又因?yàn)?，滿足上式，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.【小問2詳解】因?yàn)?，所?18.學(xué)校組織A，B，C，D，E五位同學(xué)參加某大學(xué)的測(cè)試活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測(cè)試方案，每位同學(xué)隨機(jī)選擇其中的一種方案進(jìn)行測(cè)試，選擇甲方案測(cè)試合格的概率為，選擇乙方案測(cè)試合格的概率為，且每位同學(xué)測(cè)試的結(jié)果互不影響.（1）若5位同學(xué)全選擇甲方案，將測(cè)試合格的同學(xué)的人數(shù)記為X，求X的分布列及其方差；（2）若測(cè)試合格的人數(shù)的期望值不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測(cè)試的同學(xué)的可能人數(shù).【正確答案】（1）分布列見詳解；.（2）【分析】（1）由條件確定隨機(jī)變量X的可能取值，則，由此可得其分布列，求得方差；（2）設(shè)選擇甲方案測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為，則選擇乙方案測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為，并設(shè)通過甲方案測(cè)試合格的學(xué)生人數(shù)為，通過乙方案測(cè)試合格的學(xué)生人數(shù)為，利用二項(xiàng)分布期望公式和期望的性質(zhì)求，由條件確定的取值.【小問1詳解】由已知隨機(jī)變量X的取值有,則.；；；；；.所以X的分布列為X012345P方差.小問2詳解】設(shè)選擇甲方案測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為，則選擇乙方案測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為，并設(shè)通過甲方案測(cè)試合格的學(xué)生人數(shù)為，通過乙方案測(cè)試合格的學(xué)生人數(shù)為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)所有學(xué)生均選擇乙方案測(cè)試，則，所以，不符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)所有學(xué)生均選擇甲方案測(cè)試，則，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，所以，又，則，故當(dāng)時(shí)，符合題意.綜上，所以.所以當(dāng)選擇甲方案測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為時(shí)，測(cè)試合格的人數(shù)的均值不小于3.19.在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.（1）求證：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)題意，可證，即，從而證得面，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，過S作面，垂足為D，連接，以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)為E，連結(jié)，∵，∴，在和中，∴，∴，∵的中點(diǎn)為E，∴，∵，∴面，∵面，∴【小問2詳解】過S作面，垂足為D，連接，∴∵，平面∴，同理，∵底面為等腰直角三角形，，∴四邊形為正方形且邊長(zhǎng)為2.以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面與平面夾角為故平面與平面夾角的余弦值為.20.如圖，四邊形ABCD中，已知，.（1）若ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng)；（2）若，，，求∠BDC的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由，結(jié)合余弦定理可得，由ABC的面積為可得，后由余弦定理可得AC即可得周長(zhǎng)；（2）由（1）結(jié)合，，可設(shè)，則，后由正弦定理可得，即可得答案.【小問1詳解】由余弦定理，在中，.又，，則.又ABC的面積為，則.則，則ABC的周長(zhǎng)為.【小問2詳解】由（1）可知，又，，四邊形內(nèi)角和為，則.設(shè)，則.在中，由正弦定理，.在中，由正弦定理，.消去，得.因，則，則.則.21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，y軸，且過A（2，0），B（4，3）兩點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)P（2，1），設(shè)過點(diǎn)P的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN分別與y軸交于點(diǎn)G，H，當(dāng)時(shí)，求直線l的斜率.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)雙曲線過代入求解；（2）設(shè)過點(diǎn)P的直線l的方程為：，，與雙曲線方程聯(lián)立，設(shè)直線AM的方程為，令，得到G的坐標(biāo)，設(shè)直線AN的方程為，令，得到H的坐標(biāo)，再由結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問1詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線過，所以，解得，所以雙曲線方程；【小問2詳解】由題意設(shè)過點(diǎn)P的直線l的方程為：，，由，消去y得，則，解得或，由韋達(dá)定理得，設(shè)直線AM的方程為，令，得，則，設(shè)直線AN的方程為，令，得，則，所以，即，即，即，即，即，則，將韋達(dá)定理代入得，整理得，即，解得